32[m/s] 1,6[s] + 4,9[m/s ] 1,6 [s ] = = 32[m/s] 9,8[m/s ] 1,6[s] A2.- El trabajo realizado por la fuerza al mover la partícula hasta un punto x =3 es

Transcripción

1 BLOQUE A A.- En el instante t = se deja cae una pieda desde un acantilado sobe un lago;,6 s más tade se lanza una segunda pieda hacia abajo con una velocidad inicial de 3 m/s. Sabiendo que ambas piedas llegan a la supeficie del lago en el mismo instante, enconta la altua del acantilado. A.- Una patícula de 3 kg pate del eposo en x = y se mueve a lo lago del eje X bajo la influencia de una fueza cuyo valo expesado en función de la distancia al oigen es F = 6 + 4x -3x, donde F está dada en newtons y x en metos. (a) Enconta el tabajo ealizado po la fueza al move la patícula de x = a x = 3. (b) Enconta la potencia desaollada po la fueza cuando la patícula se encuenta en el punto x = 3. BLOQUE B B.- Considéese una onda sinusoidal tansvesal, que se popaga de deecha a izquieda y tiene una longitud de onda de m, una amplitud de 4 m y una velocidad de popagación de m/s. Detemina: a) el númeo de onda y la fecuencia angula b) la ecuación de la onda en función de x, t y la fase inicial. c) la velocidad y aceleación tansvesal máxima de un punto alcanzado po la vibación. B.- Se considea el campo eléctico poducido po una caga q = 3. 9 C situada en el oigen de coodenadas (,, ) y po la caga q = 3. 9 C situada en (, 8, ). Las distancias se dan en mm. a) Dibuja un esquema de la situación y calcula el potencial eléctico en el punto A de coodenadas (, 6, ) b) Calcula el potencial eléctico en el punto B de coodenadas (3, 4, ) c) Calcula el tabajo necesaio paa lleva una caga q = 9 C desde A hasta B. (Datos K e = /4πε = 9 x 9 N.m /C )

2 Solución del modelo A.- La pimea pieda se deja cae, patiendo del eposo, en el instante t = y llega al suelo en el instante t = s t La segunda pieda se lanza con velocidad v = 3 m/s en el instante t =,6 s y llega al suelo al mismo tiempo que la pimea. Si la altua del acantilado es h, deben satisfacese las dos ecuaciones h= gts h= v( ts, 6) + g( ts, 6) De ambas ecuaciones es fácil obtene s t vt+ ( /) gt 3[m/s],6[s] + 4,9[m/s ],6 [s ] ts = = =, 4 s v gt 3[m/s] 9,8[m/s ],6[s] y entonces 9,8 [m/s ], 4 [s ] 8, m h = = A.- El tabajo ealizado po la fueza al move la patícula hasta un punto x =3 es W = Fdx = 6+ 4x 3x dx = 6x+ x x = 9 julios La enegía cinética de la patícula habá aumentado en esta cantidad. Puesto que inicialmente ea ceo (la patícula pate del eposo), su velocidad cuando se encuenta en el punto x =3 es W 9 [J] mv = W v = = = 6 m/s m 3 [kg] Nos quedamos con el signo positivo de la aíz pues es fácil ve que, aunque la aceleación en este punto es negativa a = F / m= ( )/3= 3 m/ s, la velocidad sigue siendo positiva pues solo se anula paa 6x x x 3 + =. La potencia desaollada es el tabajo ealizado po unidad de tiempo dw F. dx P = F. dt = dt = v La fueza cuando la patícula está en x = 3 es F = (6 + 4 x 3 3 x 3 ) = - 9 N, de modo que la potencia en ese momento es P = 9 6 vatios. B.- ( a) El númeo de onda y la fecuencia angula son v k = π π π m ω πν π k v π s λ = m = = = λ = = - -

3 (b) La ecuación de la onda es yxt (, ) Asin ( kx t ) 4sin π = ω + φ = x πt+ φ (c) La velocidad y aceleación tansvesales del punto de la cueda de coodenada x son dy( x, t) vy( x, t) = = ωacos kx ωt+ φ dt d y( x, ) t y(, ) sin a x t = = ω A kx ωt+ φ dt de modo que sus valoes máximos seán ω max = ωa = 8π m y a max = 6π m/s. B.- ( a) La distancia del punto A a la caga q es A = 6 mm, y su distancia a la caga q es A = mm. Entonces 9 9 q q VA = + = 9 [N.m / C ] [C/m] 9 V 3 3 = 4πε A A 6 (b) La distancia del punto B a la caga q es B = (3 + 4 ) / = 5 mm, y su distancia a la caga q es B = (3 + (8-4) ) / = 5 mm. Po lo tanto q q VB = + = 4πε B B (c ) El tabajo necesaio paa lleva la caga q desde A a B es W = q V V = [C] 9 [V] = 8 J AB B A

4 Modelo 3 BLOQUE A A.- Se lanza una pelota, desde una altua inicial de m, conta un muo vetical situado a 4 m de distancia. La velocidad inicial de la pelota es v = (i + j) m/s. Cuando la pelota choca conta el muo la componente hoizontal de su velocidad cambia de signo y la componente vetical no vaía. En que punto llega al suelo la pelota? A.- Un satélite atificial está situado a 35 km sobe la supeficie de la iea. Calcula: a) su velocidad obital; b) su peiodo de evolución alededo de la iea; c) el valo de la aceleación centípeta a esa distancia de la iea. d) Compaa este esultado con el valo de la intensidad de la gavedad, g, a esa distancia de la iea. Datos: R = 64 km, g = 9,8 m/s BLOQUE B B.- Un mol de gas ideal se caliente y se expande desde un estado inicial I (con pesión p i = 3 atm, volumen V i = lito, enegía intena U i = 456 J) hasta un estado final F (p f = atm, V f = 3 litos, U f = 9 J) siguiendo una tayectoia ecta desde el estado inicial al final en un diagama pv. (a) Mosta la tayectoia seguida en el diagama pv y calcula el tabajo ealizado po el gas. (b) Detemina el calo suministado al gas en este poceso. B,- Una bobina de espias se encuenta en un campo magnético unifome B =,. La bobina tiene foma ectangula de lados a = cm y b = 3 cm. La nomal al plano de la bobina foma un ángulo φ con las líneas del campo magnético. Cuando po la bobina pasa una coiente de intensidad I =, A sobe la bobina se ejece un pa de fuezas cuyo momento tiene un valo τ = 8 7 N m. Detemina el valo de φ.

5 Solución del modelo 3 A.- La pelota llega a la paed al cabo de un tiempo t = 4/v x = 4/ segundos. En ese instante su velocidad vetical y su coodenada Y seán v = v gt = = y y y y v t gt [m/s] 9,8 [m/s ], 4 s 6,8 m/s = + y = + = [m] [m/s],4 [s] 4,9 m/s,6 [s ] 5, m En el ebote en la paed la velocidad hoizontal se inviete. Po lo tanto, a pati de este instante tenemos un poblema de tio oblicuo patiendo de un punto (, 5.) y velocidad inicial (-, 6.8). Las ecuaciones paa las coodenadas son ahoa x= t y = 5, + 6,8t 9,8t 6, 8 + 6, 8 + 5, 9,8 Cuando la pelota llega al suelo y = y así t = 9,8 =,8 s La distancia a la paed seá entonces x = -8, m. A.- Si llamamos h a la altua del satélite sobe la supeficie de la iea, el adio de su óbita seá R + h. La aceleación centípeta del satélite es v / (R + h). Dicha aceleación es debida a la fueza gavitatoia, de modo que (llamando M a la masa de la iea) v Mm GM m = G v = R + h R + h R + h El cálculo puede simplificase teniendo en cuenta que g = GM / R = 9,8 m/ s GM R R 6, 4 v = = = 9,8 [m/s ] [m] = 59,73 [m/s] 6 g R R + h + ( h/ R),5 y v = 7,73 x 3 m/s. El peiodo de evolución seá ( R + h) π ( R + h) 3/ π = = = 5483,83 s v gr El valo de la aceleación centípeta es v M GM R = G = = g =,97g + ( R ) / + h R + h + R h R h R 6 B.- (a ) La tempeatua inicial del gas es

6 PV i i 3 [atm] [lito] i = = = 36,6 K nr [mol],8 [atm.lito/mol] de modo que la enegía intena inicial es 3 PV i i 9 9 8,3 Ui = ncvi = n R = [atm.lito] = J = 456 J nr,8 Es ahoa fácil ve que la tempeatua final es = = 73, K y U f = 9 J. (a ) La tayectoia en un diagama p-v es una línea ecta que va desde el punto (, 3) al punto (3, ), donde las abcisas se miden en litos y las odenadas en atmósfeas. La ecuación de la ecta que pasa po ambos puntos es 3 7 P = 3+ ( V ) = V 3 El tabajo ealizado en el poceso es 3 Vf Vf 7 7 = = V i V = + = i 4 W PdV V dv V V f i 5 atm.lito Ota foma de calcula el tabajo ealizado es calcula el áea limitada po la ecta anteio y las veticales V = y V = 3. Esta áea es la suma de un cuadado de base (V f V i ) y altua P f y un tiángulo de la misma base y altua (P i P f ), es deci 5 8, 3 W = ( Vf Vi) Pf ( Vf Vi)( Pi Pf ) = 5 atm.lito = J = 56,7 J,8 (b ) El calo suministado al gas en el poceso es Q = U W = (9 456) [J] + 56,7 [J] = 9,7 [J] B.- Supongamos que los lados hoizontales son de longitud a y los lados veticales son de longitud b. Sobe los lados veticales actúan fuezas F = NIa B que son pependiculaes al plano deteminado po el vecto a diigido a lo lago del lado (y en el sentido de la coiente) y la diección del campo magnético. Po lo tanto, ambas fuezas son veticales y de sentido contaio, ya que la coiente apunta en sentido contaio en cada lado. Po su pate, las fuezas sobe los lados veticales son F = NIb B, que son hoizontales. Si la nomal al plano de la bobina foma un ángulo φ con el campo, los lados veticales están a una distancia (a/) cos φ del eje vetical de la bobina. En esumen, el momento de las fuezas hoizontales es τ = F( a/ )cosφ = NIbBacosφ = NIBScosφ siendo S = ab el áea de la bobina. (Nótese que el esultado hubiea sido el mismo si los lados a fuesen los veticales y los lados b los hoizontales). Entonces 7 τ 8 [N.m] cosφ = = = 3 4 NIBab [A], [] 6 [m ] 3

7 Modelo 4 BLOQUE A A.- Un bloque de 3 kg desliza po una supeficie hoizontal, sin ficción, según la diección del eje X con una velocidad de 6 m/s. En un momento dado, este bloque explota en pates con masas kg y kg espectivamente, de tal foma que el tozo de kg se mueve sobe la supeficie hoizontal en la diección del eje Y con una velocidad de 4 m/s. (a) Enconta la velocidad del oto tozo. (b) Cuál es la velocidad del cento de masas después de la explosión? A.- Se lanza una pieda hoizontalmente desde lo alto de una pendiente que foma un ángulo φ con la hoizontal. Si la velocidad inicial de la pieda es v a qué distancia (medida a lo lago de la pendiente) ateiza? BLOQUE B B.- Una cueda de 6 cm fija po sus extemos viba en su modo fundamental con una fecuencia de 3 Hz. La amplitud de vibación de su punto cental es de 3 cm. La cueda tiene una masa de 3 g. Cuál es la velocidad de popagación de una onda tansvesal en la cueda; (b) cuál es la tensión de la cueda? B.- Sean 3 supeficies esféicas concénticas de adios = 5 cm, = cm y 3 = 5 cm. Las tes supeficies tienen una misma caga Q = 8 µc unifomemente distibuida. Calcula el campo eléctico en un punto situado a una distancia d = cm del cento de las supeficies. (Datos: K = /(4πε ) = 9 9 N m /C )

8 Solución del modelo 4 A.- Puesto que no actúan fuezas extenas, la cantidad de movimiento del sistema se conseva. Po lo tanto (llamando M a la masa del bloque inicial y m, m a las masas de los fagmentos finales) se tiene Mv = m v + m v x x = mv + mv y y Según el enunciado, v x = y v y = 4 m/s, de modo que las componentes de la velocidad del bloque M 3 v x = v= 6 [m/s] = 9 m/s m m v = v = 4 [m/s] = m/s y y m b ) La velocidad del cento de masas se mantiene constante. A.- Las coodenadas de la pieda en función del tiempo son x= vt y= gt y eliminando el tiempo ente ambas obtenemos la ecuación de la tayectoia y = ( g/ v ) x Po ota pate, la ecuación de la pendiente es y= xtanφ. Así, cuando la pieda caiga en la pendiente se cumpliá g v tanφ v tan φ x tan ; f = xf φ xf = yf = v g g La distancia d medida a lo lago de la pendiente es entonces v v tanφ d = xf + yf = tanφ + tan φ = g gcosφ B.- (a ) Si la cueda viba en su modo fundamental, la longitud de onda es λ = L. Entonces la velocidad de las ondas en la cueda es v= λν = L ν =,6 3 m/s= 36 m/s (b) La velocidad de popagación de las ondas en una cueda es v = τ / ρ. Entonces [ ] [ ],3 kg [ ] = = = τ ρv,6 m 36 m/s 64,8 N

9 B.- Po el teoema de Gauss el campo eléctico ceado po una supeficie esféica unifomemente cagada a una distancia de su cento es si < R E () = Q si > R 4πε El punto en cuestión está fuea de las dos pimeas supeficies y dento de la tecea, de modo que solo las dos pimeas contibuyen al campo. Entonces Q Q 8 [ C] E = E + E = + = 9 N.m /C = N/C πε, [m ]