Tema 3 Equivalencia. Formas normales.

Transcripción

1 Tema 3 Equivalencia. Formas normales. Lógica Proposicional Antonio de J. Pérez Jiménez Departamento Ccia. Lógica Informática Antonio de J. Pérez Jiménez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 1 / 7

2 Equivalencia lógica A, B PROP son equivalentes, A B, si para toda v, v(a) = v(b). Proposición. Sean A, B PROP. Se tienen las siguientes equivalencias: Idempotencia: A A A ; A A A Conmutatividad: A B B A ; A B B A { A (B C) (A B) C Asociatividad: A (B C) (A B) C Absorción: A (A B) A ; A (A B) A { A (B C) (A B) (A C) Distributividad: A (B C) (A B) (A C) Doble negación: A A { (A B) A B Leyes de De Morgan: (A B) A B Leyes de tautología: Leyes de inconsistencia: A tautología: A B B ; A B A A insatisfactible: A B A ; A B B Antonio de J. Pérez Jiménez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 2 / 7

3 Formas Normales Sustitución. Sean B, A, A PROP. Indicaremos por B{A/A } a la proposición que resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subfórmula A por A. Si A no es subfórmula de B, entonces B{A/A } es B. Teorema de sustitución. Sean B, A, A PROP. Si A A entonces B{A/A } B. Nota: El teorema de sustitución y las propiedades de equivalencia nos permiten comprobar, con técnica algebraicas, cuándo dos fórmulas son equivalentes. Por ejemplo: A (B A) A ( B A) (A B) (A A) (A B) A A Formas normales Un literal es un símbolo proposicional o su negación. Definición. Una fórmula está en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es una conjunción de disyunción de literales. Una fórmula está en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyunción de conjunción de literales. Antonio de J. Pérez Jiménez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 3 / 7

4 Formas Normales Teorema. Toda fórmula proposicional es equivalente a una fórmula en f.n.c. y a una fórmula en f.n.d. Procedimiento (demostración) para pasar F PROP a una f.n.c.: 1) Traducir y en términos de,,. 2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando las leyes de De Morgan). 3) Eliminar dobles negaciones (usando: A A). 4) Aplicar la distributividad de respecto de, hasta obtener una fórmula en f.n.c. Para obtener una fórmula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso 4) utilizamos la distributividad de respecto de. Antonio de J. Pérez Jiménez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 4 / 7

5 Formas Normales. Ejemplo Ejemplo: Pasar a f.n.c. la fórmula: ( p q) (p q) ( p q) (p q) 1) ( p q) ( p q) 1) ( p q) ( p q) 2) ( ( p) ( q)) ( p q) 3) ( p q) ( p q) ( ) 4) ( p ( p q) (q ( p q)) ( p p q) (q p q) (*) Obsérvese que ( p q) ( p q) ( p q) ( p) q está ya en f.n.d. Antonio de J. Pérez Jiménez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 5 / 7

6 Pares complementarios. Satisfactibilidad Un par complementario es un conjunto de fórmulas {A, A}. Lema. Si L 1,..., L k son literales, entonces 1) L 1 L k es tautología si y sólo si {L 1,..., L k } contiene un par complementario. 2) L 1 L k es satisfactible si y sólo si {L 1,..., L k } no contiene ningún par complementario. [Indicaciones: para la demostración de 1): * Si {L 1,..., L k } no contiene ningún par complementario, la fórmula no será una tautología pues podemos definir una valoración v : SP {0, 1} que sea nula sobre cada literal: v(p) = 8 < : 0 si p {L 1,..., L k } 1 si p {L 1,..., L k } 0 en otro caso. ** Si {L 1,..., L k } contiene un par complementario, (p.e. L i y L j ), basta observar que para cada valoración, v, v(l i ) = 1 o v(l j ) = 1 El apartado 2) se demuestra de forma análoga]. Antonio de J. Pérez Jiménez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 6 / 7

7 Satisfactibilidad en formas normales Proposición. Sean C 1,..., C n PROP conjunciones de literales y D 1,..., D m PROP disyunciones de literales. Entonces: 1) C 1 C n es insatisfactible si y sólo si cada C j contiene un par de literales complementarios. 2) D 1, D n es una tautología si y sólo si cada D j contiene un par de literales complementarios. Ejemplos: 1 (p q r q) ( p q p) (s r q r) es una fórmula expresada en f.n.c. Cada disyunción de literales posee un par complementario. Por tanto es una tautología. 2 (p q r s) ( s q p s) (q r s r) es una fórmula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyunción de literales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautología. 3 (r q s q) ( p q p) (r q r) es una fórmula expresada en f.n.d. Cada conjunción de literales posee un par complementario. Por tanto es insatisfactible. 4 (q q) ( p s q r p) (s q r) es una fórmula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjunción de literales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible. Antonio de J. Pérez Jiménez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 7 / 7