Área de Matemáticas. INTERVALOS Un intervalo es un subconjunto de números reales, existen los siguientes tipos de intervalos INTERVALOS CERRADO

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1 Istitució Eductiv S Vicete de Púl Cieci, Tecologí y Sociedd e Armoí Áre de Mtemátics AREA: Mtemátics PROFESOR: Crlos A. Márquez Ferádez Mil: kmrfer@gmil.com Grdo: GUIA Nº TEMA: INTERVALOS Y DESIGUALDADES INTERVALOS U itervlo es u sucojuto de úmeros reles, eiste los siguietes tipos de itervlos INTERVALOS CERRADO [ ; ] = { / } INTERVALOS SEMICERADO A LA IZQUIERDA [ ; ) = { / < } INTERVALO SEMICERRADO A LA DERECHA ( ; ] = { / < } INTERVALOS ABIERTOS ( ; ) = { / < < } I NTERVALOS INFINITOS { } ( ; ) = / > ( ; ) = { / < }

2 [ ; ) = { / } ( ; ] = { / } Escriir el itervlo e ls otrs dos represetcioes. A=[ ;8]. B={ / 3 < } 3. C={ / 5 < 9} 4. E = { / > } 5. M = { / 5} 6. N = ( ;6] W = 3; 7. [ ) OPERACIONES CON INTERVALOS UNIÓN DE INTERVALOS Se A = [,5) B = (,8) l uió A B Comprede los úmeros reles desde hst 8, si icluir el 8 U form muy útil pr relizr ests opercioes es e u gráfic - 5 8

3 3 Luego A B = [,8) E l gráfic terior A B = ( ;5) INTERSECCIÓN ENTRE INTERVALOS Desigulddes U de ls forms de comprr úmeros reles o epresioes reles es trvés de ls desigulddes, sus propieddes so de gr importci porque fcilit l relció: PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES P : PROPIEDAD TRANSITIVA si, y c so úmeros reles tles que < y < c, etoces < c P : Si summos o restmos mos miemros de u desiguldd u úmero rel, l desiguldd NO cmi de setido; es decir si, y c so úmeros reles tles que <, etoces ± c < ± c Est propiedd os grtiz l trsposició de térmios e ls desigulddes y se reliz de mer similr que e ls igulddes. Ejemplo: 5 (-) 5 (-) 3 3 Sol = [ 3, )

4 4 Ejemplo : 5 < 9 5 ( 5) < 9 ( 5) < 4 < 4 ( ;4) P3 : Si multiplicmos o dividimos mos miemros de u desiguldd por u mismo úmero positivo, l desiguldd NO cmi de setido; es decir: si, R, c > y < etoces.c <.c Not: est propiedd lo que pltes es que podemos relizr trsposició u fctor positivo de u ldo l otro de u desiguldd SIN QUE CAMBIE el setido de l desiguldd. Ejemplo : 5 < 4 < < ( ;8) P4 : Si multiplicmos o dividimos mos ldos de u desiguldd por u mismo úmero egtivo, l desiguldd cmi de setido; es decir: Si, R,c < y < etoces.c >.c Not: Est propiedd estlece que pr trspoer u FACTOR NEGATIVO de u ldo otro de u desiguldd es ecesrio CAMBIAR el setido de l desiguldd. Ejemplo : P5 : El producto o cociete de dos úmeros es myor que cero( o positivo) cudo mos úmeros so positivo o cudo mos úmeros so egtivos; es decir:

5 5 < < > > >..., cudo R etoces Si : 6 P El producto o cociete de dos úmeros es meor que cero( o egtivo) cudo los úmeros tiee sigos cotrrios; es decir: > < < > <..., cudo R etoces Si E form similr se iterpret ls siguietes epresioes: ; ;. ;. INECUACIONES U iecució es u desiguldd e l que prece u o más icógits. Ls iecucioes ls podemos clsificr e:. Iecucioes poliomics. Iecucioes rcioles INECUACIONES POLINOMICAS Tod iecució poliomic se puede escriir de l siguiete form: ó Cudo =, teemos u iecució de primer grdo tmié llmd iecució liel Pr ecotrr l solució de u iecució liel, se trspoe térmios y fctores teiedo e cuet ls propieddes de ls desigulddes. Ejemplo : Hllr l solució de l siguiete desiguldd <

6 6 4 6 < 3 5es equivlete < 3 5 Ecotremos l solució de l iecució ( ;] 4 6 < < < 9 9 > 9 > ( ; ) Ahor represetmos e l rect uméric ls dos solucioes y l itersecció etre ests solucioes será l solució Luego l solució de l iecució so todos los vlores de que perteece l ; ; itervlo ( ], simólicmete se escrie sí: ( ]

7 7 Ejemplo : s = ( ; 3] Gráficmete Ejemplo 3: 4 5 < < 9 5 < 8 8 > > 4 S = ( 4; ) Gráficmete SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE ORDEN MAYOR QUE Pr solucior este tipo de iecucioes se recomied l siguiete metodologí:

8 8. Relice trsposició de térmios uo de los ldos de l desiguldd de tl mer que e el otro ldo quede cero. reduzc térmios semejtes 3. Frctorizr por culquier método l epresió ecotrd luego de reducir térmios semejtes. 4. Aplique l propiedd 5 y 6 de desigulddes. Ejemplo : Hllr el cojuto solució de l desiguldd ( 9)( 4) Pr que Aplicdol propiedd 5de desigulddes ( 9)( 4) sedeecumplirque : 36 5 Gráficmete L solució es l itersecció de los itervlos S = [ 9; ) [ 4; ) =[ 9 ; ) Luego S = [ 9; ) Alicemos l otr solució es decir S = ( ; 4] ( ;9] gráficmete , licémosl

9 9 S ( ; 4] ( ;9] = ( ; 4] = Ahor L solució S será = ( ; 4] [ 9; ) S, Método : Este método cosiste e represetr e l rect uméric cd fctor, el procedimieto es el siguiete: ( 9) ( 4) Resultdo Luego l solució de l desiguldd 5 36 so los úmeros reles S = ; 4 9; myores o igules cero, es decir ( ] [ ) Método 3: 5 36 ( 9)( 4). Ecotrmos los ceros de cd fctor, es decir = 9 y = 4 co los cules ; 4 ; 4;9 ; 9; formmos itervlos iertos ( ) ( ) ( )

10 Evlumos l desiguldd e cd itervlo y compromos si e cd itervlo se cumple l desiguldd, e quellos itervlos dode se cumpl l desiguldd hce prte de l solució ( )( ) Aálisis e el itervlo ( ;4) Tomemos u úmero e este itervlo = 6 ( 6 9)( 6 4) ( 5)( ) 3 Como 3 es myor o igul cero etoces el itervlo ( ;4) solució. = ;4 S ( ) Aálisis e el itervlo ( 4;9) = ( 9)( 4) ( 8)( 5) 4 cotrdicció -4 o es myor que etoces el itervlo ( 4;9) Aálisis e el itervlo ( 9 ; ) = ( 9)( 4) ( )( 4) 4 hce prte de l o hce prte de l solució Como 4 es myor que cero el itervlo ( 9 ; ) hce prte de l solució S = ( 9 ; ) Luego l solució de l desiguldd es: S = S S S = ( ; 4) ( 9; ) SOLUCION DE INECUACIONES RACIONALES

11 p( ) p( ) Pr solucior u iecució rciol de l form ó q( ) q( ) q( ) se recomied el siguiete procedimieto:. Trspog todos los térmios l ldo izquierdo de l desiguldd de tl mer que el ldo derecho quede cero.. Reduzc térmios semejtes tto e el umerdor como e el deomidor. 3. Fctorizr tto el umerdor como el deomidor 4. Represete los fctores e l rect rel (técic de cemeterio) y ecuetre l solució. Not: Los úmeros que hce cero el deomidor siempre so itervlo ierto e ese etremo, esto se dee que q ( ) Ejemplo : Hllr l solució de l iecució 5 5 Solució 5 5 Trspoemos el térmio ( )( ) 5 opercioes etre rcioles 5 6 ( 3)( ) l ldo izquierdo de tl mer que l derech quede cero 3 Los ceros de cd fctor so = ; = ; y = co estos ceros formmos itervlos y podemos utilizr uos de los métodos estudidos teriormete por ejemplo el método. 3/ ( 3)

12 ( ) ( ) ( 3)( ) ( ) Luego l solució so todos reles meores o igules cero 3 S = (, ], Ejemplo : Hllr el itervlo solució de l iecució ( 7 ) 5( 3 ) ( 3 )( 7 ) ( 3 )( 7 ) 3 ( 3 )( 7 ) ( 3 ) ( 7 ) ( )( ) Ahor tommos los itervlos solució que se myor o igul cero, es decir quellos que teg sigos positivos S =,3 U, 3 Ejemplo 3 ( 7 ) /

13 3 3 Hllr el itervlo solució de l iecució ( 5 3) /8 5/ Luego l solució so los meores que cero 7 5 S =,, Tller Hllr el cojuto solució de ls siguietes desigulddes R: (,5] R : (, 3/ ] [ / 3, ) R:, ( 3) > 4( 4) R:, y y 4 R: (,5] 6. ( ) 5,3 R: ( ] R : [ 7 /,5] 8. 5 > R: (, 5) ( 3, )

14 4 9. < 8 R: (,6). 6 9 R: { 3}. ( 3 ) > 3( ) R : No tiee solució ó solució cojuto vcio. 4 4( ) 7 R : lr y y y 3. > y R : y (,) R :,, R :, R : 34 75, < 7 R : /, 7 / 5 6. [ ) 7. ( ) R : [ 7, / 3] <. 3 3 < ( )( )( 3) 4 > < 3 4 >

15 5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES. Pr u compñí que fric termosttos, el costo comido de mo de or y mteriles es de $5 por termostto. Los costos fijos so de $6. Si el precio de vet de u termostto es de $7, Cuátos dee vederse pr que l compñí oteg utiliddes. U costructor dee decidir si rried o compr u máqui ecvdor. Si rried l máqui el pgo mesul serí de $6(co se e u ño), y el costo dirio (gs, ceite y coductor) serí de $6 por cd di que se utilizd. Si l compr, su costo fijo ul serí de $4, y los costos por operció y mteimieto serí de $8 por cd di que l máqui se utilizd. Cuál es el úmero míimo de dís l ño que tedrí que usrse l máqui pr justificr el rriedo e lugr de l compr 3. L compñí Dvis fric u producto que tiee u precio uitrio de vet de $ y u costo uitrio de $5. Si los costos fijos so de $6, determie el úmero míimo de uiddes que dee ser vedids pr que l compñí teg utiliddes. 4. U crvl tiee dos ples de oletos Pl A: Trif de etrd de 5 dólres y 5 cetvos cd vuelt e los juegos Pl B: Trif de etrd de dos dólres y 5 cetvos cd vuelt e los juegos. Cuáts vuelts tedrí que dr pr que el pl A resultr meos cro que el pl B? 5. U grupo de estudites decide sistir u cocierto. El costo de cotrtr u utoús pr que los lleve l cocierto es de 45 dólres, lo cul se dee reprtir e form uiforme etre los estudites. Los promotores del cocierto ofrece descuetos grupos que llegue e utoús. Los oletos cuest ormlmete 5 dólres cd uo, pero se reduce cetvos de dólres del precio del oleto por cd perso que vy e el grupo( hst l cpcidd máim del utoús). Cuátos estudites dee ir e el grupo pr que el costo totl por estudite se meor 54 dólres?