= lim. y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )

Transcripción

1 Tema 4 Diferenciabilidad 4.1 Funciones Diferenciables Cuando estudiamos el Cálculo en una variable real, se definía función derivable en un punto como aquélla para la cual existía la derivada en dicho punto. En el caso de funciones de varias variables no es posible la generalización directa de este razonamiento, pues pueden existir las derivadas parciales y, sin embargo, no hacerlo alguna de las derivadas direccionales. Por esta razón la definición de función derivable es un poco más compleja en este caso. Recordemos la definición para el caso de una variable: Sea fx una función definida al menos en un entorno del punto x 0 R, diremos que fx es derivable en el punto x 0 si existe y es finito el límite: f x 0 = h 0 fx 0 + h fx 0 h = x x 0 fx fx 0 x x 0 = f x 0 que recibe el nombre de derivada de la función fx en el punto x 0. En tal situación, la derivada representaba, desde el punto de vista geométrico, la pendiente de la recta tangente a la curva y = fx en el punto x 0, y 0, de tal manera que la ecuación de dicha recta resulta ser: y = fx 0 + f x 0 x x 0 Es posible así re-escribir la definición de función derivable, de la forma siguiente: Una función fx es derivable en x 0 si existe 1 f x 0 y además se verifica: fx fx 0 f x 0 x x 0 = 0 x x 0 x x 0 1 Recordemos que con este hecho ya sería derivable, para el caso de funciones de una variable. 25

2 26 CA LCULO / INGENIERO GEO LOGO / TEMA 4 es decir, que la diferencia entre la funcio n: y = f x, y su recta tangente: y = f x0 + f 0 x0 x x0, sea un infinite simo en x0 de orden mayor que uno2. 0 fhx,yl y x Ejemplo de funcio n para la cual existen las derivadas parciales y sin embargo no es derivable en el punto 0, 0. Generalicemos ahora esta versio n de la definicio n para el caso de funciones de dos variables reales: Una funcio n de dos variables reales f x, y es diferenciable en el punto x0, y0 si existen las derivadas parciales x0, y0 y x0, y0 de la funcio n en dicho punto, y adema s se verifica: f x, y f x0, y0 x0, y0 x x0 x0, y0 y y0 kx, y x0, y0 k x,y x0,y0 =0 donde kx, y x0, y0 k denota el mo dulo o norma del vector x x0, y y0 : p kx, y x0, y0 k = + x x0 2 + y y0 2 Tenemos ası que para definir la diferenciabilidad de f x, y en un punto no so lo se requiere la existencia de las derivadas parciales, tambie n que la diferencia entre la funcio n y el plano tangente a la superficie z = f x, y en dicho punto sea un infinite simo de orden superior a uno, o bien, dicho de una forma menos te cnica: que el plano tangente a la superficie constituya una buena aproximacio n a la funcio n en las cercanı as del punto en cuestio n. 2 Obviamente, esta segunda condicio n coincide con la primera, algo que no va a ocurrir en varias variables. De manera ma s general puede definirse una funcio n f x derivable en x0 como aque lla para la que existe un nu mero real a tal que: x x0 f x f x0 + a x x0 =0 x x0 Demostra ndose entonces trivialmente que en tal caso el nu mero a debe ser necesariamente: a = x x0 es decir, la derivada de f x en x0. f x f x0 x x0

3 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 4 27 De forma trivial se generaliza esta definición para el caso de n variables: Una función f x es diferenciable en x 0 si existen las derivadas parciales de f x en x 0 y además se verifica: n i=1 f x f x 0 i x 0 x i x 0 i = 0 x x 0 x x 0 siendo x = x 1,..., x n y x 0 = x 0 1,..., x0 n. Finalmente, ya de manera completamente general definiremos: Definición: Dada la función f : A R n R m, definida al menos en un entorno de x 0, con f = f 1, f 2,..., f m, se dice que f es diferenciable en el punto x 0 si existe una aplicación lineal L : R n R m que puede depender de x 0 tal que se verifica: f x f x 0 L x x 0 = 0 x x 0 x x 0 Usando las propiedades de la norma, es fácil comprobar que esta igualdad equivale a la siguiente: f x f x0 L x x 0 = 0 x x 0 x x 0 Definición: Dada una función f : A R n R m diferenciable en el punto x 0, se llama derivada, o diferencial, de f en el punto x 0 y se denota por D f x 0, ó d x0 f, a la única aplicación lineal L : R n R m que verifica la definición anterior. Proposición: La matriz asociada a la aplicación lineal d x0 f respecto de las bases canónicas en R n y R m es la matriz Jacobiana J f x 0 = i j x 0. Demostración: Denominemos h = x x 0, h = h 1,..., h n. Tendremos entonces que: l l 1n L h =..... l m1... l mn Dado que f x es derivable en x 0 debe verificarse: h 1. h n f x 0 + h f x 0 L h h 0 = 0 h y por tanto debe verificarse componente a componente, por ejemplo, para la componente j-ésima: f j x 0 + h f j x 0 n k=1 l jkh k h 0 h = 0

4 28 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 4 Y si tomamos dicho límite a lo largo de la recta h = α u i, siendo u i el correspondiente vector de la base canónica de R n : f j x 0 + α u i f j x 0 + l ji α = 0 j x 0 l ji = 0 α 0 α i De manera que: Q.E.D. l ji = j i x 0 Definición: Una función se dice que es diferenciable en un abierto A si es diferenciable en todos los puntos de A. Nota: Derivadas y diferenciales Existe un frecuente abuso del lenguaje cuando se trata con funciones diferenciables de varias variables. Es habitual usar indistintamente los términos derivada, diferencial y matriz jacobiana, dando por sentada la comprensión de los diferentes conceptos involucrados. Detallaremos brevemente este hecho: Si recordamos del cálculo en una variable, la diferencial en x 0 de una función fx derivable en x 0 no era más que la aplicación lineal: dfx 0 : R R definida de la forma: dfx 0 h = f x 0 h Tradicionalmente se denominaba dx, y no h, a la variable sobre la que dfx 0 actuaba, de manera que se escribe: dfx 0 dx = f x 0 dx Muy frecuentemente se eina de la expresión anterior a la variable sobre la cual la diferencial actúa es decir dx, de manera que habitualmente se escribe: dfx 0 = f x 0 dx Análogamente, para una función escalar de varias variables: fx 1,..., x n, derivable en x 0, la diferencial de f en x 0 es la aplicación lineal: df x 0 h 1 h = n 1 x 0... n x 0. = x 0 h k k h n k=1

5 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 4 29 Introduciendo la notación más habitual: h k dx k, tendremos: df x 0 = 1 x 0 dx n x 0 dx n Y finalmente, dando por obvio el punto en el que está definida la diferencial, la expresión más corriente que suele usarse es: df = 1 dx n dx n En el caso de una función vectorial, f f 1,..., f m, podemos escribir, para cada una de las funciones componentes: df j = j 1 dx j n dx n En definitiva, hablaremos indistintamente de derivada D f x 0 aplicación lineal en abstracto, sin actuar en ningún vector concreto, diferencial d x0 f aplicación lineal actuando sobre el vector dx 1,..., dx n y matriz jacobiana J f x 0 matriz asociada a la aplicación lineal en las bases canónicas correspondientes, es decir la matriz de derivadas parciales de la función, de una función diferenciable en un punto x 0, obviándose los matices diferenciadores entre estos conceptos. 4.2 Propiedades de las Funciones Diferenciables Teorema: Sea f : A R n R m una función diferenciable en el punto x 0, entonces f es continua en x 0. Teorema: Sea f : A R n R m, f = f1,..., f m. Supongamos que existen todas las derivadas parciales de f, i j, y que son funciones continuas en un entorno de x 0, E x 0 A, entonces f es diferenciable en x 0. Este Teorema permite en la práctica determinar con facilidad la derivabilidad de la mayor parte de las funciones que trataremos. Basta con calcular las derivadas parciales y observar su continuidad. Es de resaltar, no obstante, que el teorema establece su resultado en sentido directo pero no recíproco, es decir, la diferenciabilidad de una función en un punto no implica que las derivadas parciales sean funciones continuas en un entorno de dicho punto. Definición: Se dice que una función f es de clase C 1 en un conjunto abierto A R n si existen las derivadas parciales de f en todos los puntos de A y además son funciones continuas en dichos puntos. Evidentemente el Teorema anterior se re-escribe ahora diciendo que toda función de clase C 1 es A es diferenciable en A.

6 30 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 4 Propiedades Básicas: 1. Sean f y g dos funciones vectoriales, f, g : A R n R m, ambas diferenciables en x 0, entonces se verifica: 1.a f + g es diferenciable en x 0 y además: D f + g x 0 = D f x 0 +D g x 0. En términos de las matrices jacobianas, la propiedad se escribe: J f + g x 0 = J f x 0 + J g x 0 1.b λ f es diferenciable en x 0 y Dλ f x 0 = λd f x 0. Jλ f x 0 = λ J f x 0 2. Sean f, g : A R n R dos funciones escalares diferenciables en x 0. Se tiene entonces: 2.a f g es diferenciable en x 0 y Df g x 0 = Df x 0 g x 0 +f x 0 Dg x 0. Las matrices jacobianas correspondientes en este caso matrices fila simplemente verificarán al misma identidad: Jf g x 0 = Jf x 0 g x 0 + f x 0 Jg x 0 2.b Si g x 0 0 entonces la función cociente: verifica: D f x 0 = Df x 0g x 0 f x 0 Dg x 0 g g x 0 2 y análogamente para las correspondientes matrices. f g, es diferenciable en el punto x 0 y se Regla de la Cadena. Finalmente, dedicaremos un apartado especial a la Regla de la cadena, pues es la propiedad de las funciones diferenciables menos trivial, y con más aplicaciones y posibilidades. Recordemos en primer lugar cómo funcionaba la regla de la cadena para las funciones de una variable. Se trataba de cómo derivar la función composición de dos funciones derivables. Es decir, si fx es derivable en x 0 y gx es derivable en fx 0, entonces g fx también es derivable en x 0 y se verifica: g f x 0 = g fx 0 f x 0 De manera general estas expresiones van a ser válidas sustituyendo las derivadas ordinarias por las matrices jacobianas correspondientes. Veamos: Sean f : R n R m una función vectorial de n variables reales definida al menos en un entorno del punto x 0 R n, y sea g : R m R p definida de tal manera que la imagen de f esté contenida en el dominio de g, Im f Dom g. En tales circunstancias estará bien

7 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 4 31 definida la función compuesta: h = g f, h : R n R p, que por definición actúa de la forma: h x = g f x = g f x, x Dom f Entonces, si f es diferenciable en el punto x 0 y g es diferenciable en el punto f x 0, se verifica que h es diferenciable en el punto x 0 y además: D h x 0 = D g f x 0 D f x 0 Si J f x 0 es la matriz jacobiana de f en x 0 y J g f x 0 es la correspondiente a g en el punto y 0 = f x 0, entonces tendremos que la matriz jacobiana de h en x 0 verificará la ecuación matricial: J h x 0 = J g f x 0 = J g f x 0 J f x 0 Ejemplo: Sea fx, y, z = x 2 y 2, x + y + z 2 una función vectorial, f : R 3 R 2, y sea g : R 2 R 2, gu, v = u + v, u 2 uv. Determinemos la matriz jacobiana de h = g f en el punto 1, 1, 1. Tendremos: J f = Debemos calcular f1, 1, 1 = 0, 3, así: J g = g1 u g 2 u g 1 g 2 = = 2x 2y z 1 1 2u v u J f1, 1, 1 = J g0, 3 = Finalmente: J h1, 1, 1 = = Detallaremos a continuación algunos casos particulares concretos para los que la regla de la cadena resulta especialmente útil. Caso Particular 1. Consideremos la composición de una función escalar fx, y, z y una vectorial: σt = xt, yt, zt curva en R 3 : f : R 3 R, σ : R R 3 La función compuesta Gt es una función de una variable real: Gt = f σt = fxt, yt, zt

8 32 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 4 Aplicando la regla de la cadena: G t = dg dt = dx dt dy dt dz dt Tenemos en definitiva: dg dt = dx dt + dy dt + dz dt donde evidentemente las parciales de f han de ser tomadas actuando sobre xt, yt, zt. Si recordamos ahora que se definió el gradiente de una función escalar fx, y, z simplemente como su matriz de derivadas parciales escrita en forma de vector: grad fx, y, z = fx, y, z =,, = ı + j + κ mientras que la derivada de una curva σt era a su vez interpretable como el vector tangente a dicha curva: dx σ t = dt, dy dt, dz = dx dy dz ı + j + dt dt dt dt κ tendremos que la regla de la cadena antes escrita puede reinterpretarse ahora en la forma: dg dt t = grad f σt σ t denotando en este caso el punto al producto escalar estándar de vectores de R 3. Caso Particular 2. Un caso que se presenta muy habitualmente en las Matemáticas aplicadas a las ciencias y la técnica es el siguiente: Sea f una función escalar definida en R 3, y sea g : R 3 R 3 un campo en R 3. Tendremos así la composición: hx, y, z = f gx, y, z. Si denotamos gx, y, z = ux, y, z, vx, y, z, wx, y, z, y llamamos u, v, w a las variables de las que depende la función f, tendremos: h h h = u Así por ejemplo, para la derivada h tendremos: h = u u + y análogamente para las demás variables. w + w u w w u w u w

9 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA Gradientes y derivadas direccionales Aunque ya definimos el gradiente en el tema anterior, recordemos la definición: Definición: Sea f : U R n R una función diferenciable sobre el abierto U, se define el gradiente de f x en el punto x de U como el vector de R n : gradf = f =,..., 1 n Mientras que la derivada direccional la definíamos de la forma: Definición: Sea f : R n R definida al menos en un entorno de x 0, y sea v un vector de R n tal que v = 1. Se define la derivada direccional de f en la dirección de v en el punto x 0 Domf de las siguientes dos maneras equivalentes: D v f x 0 = h 0 f x 0 + h v f x 0 h = d dt f x 0 + t v Presentaremos a continuación un resultado que permite en la práctica calcular cómodamente las derivadas direccionales de las funciones diferenciables: Teorema. Si f x es una función escalar diferenciable en x, entonces existen todas sus derivadas direccionales en x, y además se verifica: para cualquier vector v 0. D v f x = gradf. v Dem: Definamos la función Gt = f x+t v = f σt, siendo por tanto σt = x+t v, es decir, la recta que pasa por x y que tiene a v como vector director. Gt es evidentemente diferenciable, además G 0 = D v f, y así, por la regla de la cadena: Q.E.D. Propiedades. D v f x = G 0 = grad f x σ 0 = f x v 1 El vector gradiente de una función en un punto determina la dirección y el sentido de máximo crecimiento de la función. Dicho de otra forma, marca la dirección y sentido en el que la derivada direccional es máxima. Dem: Si se considera, como hacemos habitualmente, que el vector v es unitario, tendremos: D v f = gradf v = gradf v cos θ = gradf cos θ luego cos θ = 1, es decir: θ = 0, proporciona el máximo valor posible de la derivada direccional, y por tanto el vector v correspondiente a dicha derivada máxima, y gradf, son paralelos. t=0

10 34 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 4 2 Sea f : R 2 R una función escalar de dos variables reales, de clase C 1 en su dominio, y sea C k la curva de nivel k de dicha función, es decir: C k = {x, y R 2 / fx, y = k}. Entonces el gradiente de f es ortogonal a C k en cada uno de los puntos de dicha curva. Recordemos que la ortogonalidad entre un vector y una curva se entiende en términos de la perpendicularidad entre el vector y el vector tangente a dicha curva. 3 Sea f : R 3 R una función de clase C 1 y sea x 0, y 0, z 0 un punto en la superficie de nivel S k = {x, y, z R 3 / fx, y, z = k siendo k una constante. Entonces el gradiente de f en ese punto es normal a dicha superficie de nivel. En este caso la ortogonalidad se entiende con respecto al plano tangente a S K en el punto, o alternativamente, con respecto al vector tangente a cualquier trayectoria σt contenida en S k, con σt 0 = x 0, y 0, z 0. Dem: Evidentemente las propiedades 2 y 3 son ambas casos particulares del caso general en R n. Demostremos la propiedad 3: Sea σt una curva tal que σt S k, t, entonces σ t 0 es un vector tangente a S k en σ0 = x 0, y 0, z 0. Tendremos entonces: Q.E.D. d dt f x 0 + t σ 0 t=0 = grad f σ 0 = 0 De las propiedades 2 y 3 se deduce de manera inmediata lo siguientes: Si fx, y k = 0 es la ecuación de una curva en R 2 evidentemente se trata de la curva de nivel C k de la función fx, y, con fx, y de clase C 1, entonces la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto x 0, y 0 puede escribirse de la forma: grad fx 0, y 0 x x 0, y y 0 = 0 x0,y 0 x x 0 + x0,y 0 y y 0 = 0 Análogamente, si fx, y, z k = 0 es la ecuación de una superficie en R 3 superficie de nivel S k de la función fx, y, z, con fx, y, z de clase C 1, entonces la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto x 0, y 0, z 0 se escribe: grad fx 0, y 0, z 0 x x 0, y y 0, z z 0 = 0 x x 0+ y y 0+ z z 0 = 0 donde las derivadas parciales son evaluadas obviamente en x 0, y 0, z 0. Ejemplo: Calculemos la ecuación del plano tangente al elipsoide de revolución: en el punto 1, 1, 1 2. x y2 4 + z2 = 1

11 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 4 35 Tomaremos fx, y, z = x2 4 + y2 4 + z2, y así: El plano tangente será: grad f = x 2, y 2, 2z grad f1, 1, 1 2 = 1 2, 1 2, 2 1 2, 1 2, 2 x 1, y 1, z 1 2 = 0 x 2 + y 2 + 2z = Derivadas de orden superior Definición: Sea f : A R n R una función de varias variables definida al menos en un entorno A de x 0 y diferenciable en dicho entorno. Llamaremos derivada parcial segunda respecto de las variables x i y x j de una función f, en x 0, y lo denotaremos por f xi,x j x 0 2 f i j x 0 a la derivada parcial respecto de la variable x i, en x 0, de la función j, es decir, 2 f i j x 0 = i j x 0. Análogamente se definen derivadas parciales de orden superior. Ejemplo: Dada la función fx, y = x 2 + y 3 x + 1 hallar todas las derivadas segundas posibles. = 2x + y3 = 3y2 x y por ello 2 = 2 = 3y2 = 3y2 2 = 6yx Definición: Dada una función f : A R m R, diremos que f es de clase C r en un abierto V A si para todo x V existen y son continuas todas las derivadas parciales de f hasta el orden r inclusive. Si existen y son continuas todas las derivadas de cualquier orden se dice que f es de clase C. Teorema de Schwarz. Dada una función f : A R n R de clase C 2 en un entorno E x 0 de x 0 contenido en A, entonces se cumple que i j x 0 = 2 f j i x 0 El teorema anterior se generaliza fácilmente para las derivadas de orden superior. Sea f : A R n R una función de clase C k y x 0 A, entonces se verifica que: m f i1... im x 0 = m f x 0 πi1... πim m = 2,..., k

12 36 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 4 siendo π cualquier permutación de los índices dados. Matriz hessiana: Como vimos en una sección anterior, si una función f : A R n R es diferenciable en un punto x 0 A, su diferencial es una aplicación lineal d x0 f : R n R, cuya matriz jacobiana asociada es una matriz fila: Si f es de clase C 2 diferenciable en un entorno de x 0, tenemos en total n 2 derivadas parciales segundas de f. Se define estonces la matriz hessiana de f en x 0 como la matriz de derivadas parciales segundas siguiente: H x0 f = n 1 n 2 1 n 2 n... 2 n x 0 Usando el Teorema de Schwarz es evidente que se trata de una matriz simétrica.