Demuestra que el punto de tangencia, T, es el lugar de la recta r desde el que se ve el segmento AB con ángulo máximo.

Transcripción

1 Resuelve Página 69 Optimización Una persona se acerca a una estatua de m de altura. Los ojos de la persona están m por debajo de los pies de la escultura. A qué distancia se debe acercar para que el ángulo, φ, bajo el cual ve la estatua sea máimo? Hay una hermosa resolución por métodos geométricos. Obsérvala: Se traza una circunferencia que pasa por los puntos A y B y es tangente a la recta r. B A O T r Demuestra que el punto de tangencia, T, es el lugar de la recta r desde el que se ve el segmento AB con ángulo máimo. Para probar que el ángulo trazado desde el punto de tangencia T es el mayor posible entre todos los trazados desde puntos de la recta usaremos la siguiente propiedad: Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales. Sea P un punto cualquiera situado sobre la recta r (análogamente se razonaría si se encuentra en la posición de Q). Unimos el punto P con B y obtenemos el punto de corte P con la circunferencia. El % % ángulo APB % % es menor que el ángulo AP' B pero AP' B ATB porque los dos son ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco AB. En consecuencia el ángulo trazado desde P es menor que el trazado desde el punto de tangencia T. Así, cualquier ángulo trazado desde puntos de % la recta distintos de T es menor que ATB, de donde se deduce que este es el mayor ángulo posible. B A P' Q' O Q T P r

2 Recta tangente a una curva Página 7 Halla las rectas tangentes a cada curva que cumplen la condición que se indica: a) y b) + y + y 0 en los puntos de abscisa 0,,. en los puntos de abscisa 0. c) y 6 + d) y + paralelas a la recta y 9 que pasan por el punto P (, 0). a) Calculamos la derivada de la función: ( 5+ 6)( ) ( ) y' 0 8+ ( ) ( ) Ordenadas de los puntos: y (0) 0; y () ; y () 50 Recta tangente en (0, 0): y' (0) 8 y 8 Recta tangente en (, ): y' () 9 y 9( ) 9 + Recta tangente en (, 50): y' () y 50 + ( ) + 7 b) Obtención de las ordenadas correspondientes: + y + y y 6 + y 0 y + y 0 ± 6+ 8 ± 00 y ± 0 y 8 Punto (, ) y 7 8 Punto (, 7) Para hallar la pendiente en estos puntos, derivamos implícitamente: + yy' + y' 0 y' (y + ) y' y + y + Así: y' (, ) ; y' (, 7) 5 5 Recta tangente en (, ): y 5 ( ) Recta tangente en (, 7): y 7 + ( ) c) Pendiente de la recta: y 9 y + 9 m y' no tiene solución. Luego no eiste ningún punto de la curva en el que las tangentes sean paralelas a la recta dada. d) La pendiente de la recta tangente en, y 0 es: y' () +. Entonces la recta tangente es: y.

3 Crecimiento y decrecimiento de una función en un punto Página 7 Demuestra que si una función y f () es decreciente en 0, entonces: f ' ( 0 ) 0 Si f () es decreciente en 0 entonces eiste un entorno de 0, E ( 0 a, 0 + a) tal que, si E, 0, entonces: f () f ( 0) < 0 0 f () f ( 0) Por tanto, si f () es derivable en 0, se tiene que f '( 0 ) lm í 0. " 0 Dada la función y 9 + 5: a) Dónde crece? b) Dónde decrece? y' 6 9 ( ) ( )( + ) a) < y' > 0 f es creciente en (, ) > y' > 0 f es creciente en (, + ) b) < < y' < 0 f es decreciente en (, ) 0

4 Máimos y mínimos relativos de una función Página 7 Comprueba que la función y /( ) tiene solo dos puntos singulares, en 0 y en 6. Averigua de qué tipo es cada uno de estos dos puntos singulares; para ello, debes estudiar el signo de la derivada. ( ) ( ) ( ) `( ) j ( 6 ) ( 6) y' ( ) ( ) ( ) ( ) y' 0 0 ( 6) 0 6 f '( 0, 0) > 0 En 0 hay un punto de infleión. f '( 00, ) > 0 f '( 599, ) < 0 En 6 hay un mínimo relativo. f '( 6, 0) > 0 a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función y +. Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b) Haz lo mismo para y a) y' + ( + ) y' Punto ( 0, 0) Dos puntos singulares. 8 Punto (, ) Los dos puntos están en el intervalo [ ;,5], donde la función es derivable. Además, f ( ) 7 y f (,5),7. En (0, 0) hay un punto de infleión. En (, ) hay un máimo relativo. b) y' ( + )( + )( + ) y' 0 8 Punto (, 0) 8 Punto (, ) Tres puntos singulares. 8 Punto (, 0) 9 Los tres puntos están en el mismo intervalo [, 0], donde la función es derivable. Además, f ( ) f (0) 9. Hay un mínimo relativo en (, 0), un máimo relativo en (, ) y un mínimo relativo en (, 0).

5 Información etraída de la segunda derivada Página 75 Estudia la curvatura de esta función: y f '() ; f ''() Punto ( 0, 5) f ''() 0 ( ) 0 8 Punto c, m 7 f f''' () 7 8; f''' ( 0) 0; f ''' c m 0p Los puntos (0, 5) y c, m son puntos de infleión. 7 La función es cóncava en (, 0) c, + m, pues f ''() > 0. La función es convea en el intervalo c0, m, pues f ''() < 0. Estudia la curvatura de la función siguiente: f ' () + 9; f '' () 6 y f '' () Punto (, ) ( f ''' () 6; f ''' () 0) El punto (, ) es un punto de infleión. La función en convea es (, ), pues f ''() < 0. La función en cóncava es (, + ), pues f ''() > 0. 5

6 5 Optimización de funciones Página 77 Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. Llamamos al número que buscamos. Ha de ser > 0. Tenemos que minimizar la función: f () + 5 f '() f( 5) ( novale, pues > 0) (Como lm í f () +, lm í f () +, y la función es continua en (0, + ); hay un mínimo en 5) " 0+ "+ Por tanto, el número buscado es 5. El mínimo es 0. De entre todos los triángulos rectángulos cuyos catetos tienen longitudes que suman 0 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máima. f ' () + y 0 y 0 y ( 0 ) Área 0, 0 < < 0 Tenemos que maimizar la función: f () + 0 y, 0 < < y cf (0) 0; f (0) 0; f (5) 5 ; y f es continua. Luego en 5 está el máimom. Los catetos miden 5 cm cada uno. El área máima es de,5 cm. Entre todos los rectángulos de perímetro m, cuál es el que tiene la diagonal menor? d 6 d ( ) +, 0 < < 6 Tenemos que minimizar la función: 6 f () ( ) +, 0 < < 6 6 ( ) + f '() + 6+ ( 6 ) + ( 6 ) + ( 6 ) + f '() ( f (0) 6; f (6) 6; f () 8,; y f () es continua. Luego en hay un mínimo). El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado m. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,8 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Suponemos el recipiente con dos tapas: h r πr r h Área total πr h + πr πr (h + r) V 6,8 l 6,8 dm 6

7 Como V π r h, r h 6,8 h Así: Área total πr c r r + m πr c + r r m Tenemos que hallar el mínimo de la función: 68,, r r (Como f (r) πc + r m, r > 0 r f '(r) πc r r + m e + r o 0 + r 0 r r lm í f (r) +, lm í + r h r El cilindro tendrá radio dm y altura dm. f (r) +, y f es continua en (0, + ); en r hay un mínimo). 7

8 6 Dos importantes teoremas Página 79 Comprueba que la función f () sen cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, π]. Dónde cumple la tesis? y sen es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. Además, f (0) f (π) 0. Por tanto, cumple la hipótesis del teorema de Rolle. y' cos 0 Cumple la tesis en: π é( 0, π) Calcula b para que la función: f () + cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b]. Dónde cumple la tesis? f () es una función polinómica. Por tanto, es continua y derivable en Á y, en particular, continua en [0, b] y derivable es (0, b). Por otra parte debe ser: f (0) f (b) b b + b b 0 b, b 0, b De los tres resultados anteriores solo es válido b por las condiciones del problema. Veamos dónde cumple la tesis: f '() 0, Como (0, ), este es el valor al que se refiere la tesis del teorema de Rolle. Comprueba que la función: + si 05, < f () ) 5 ( ) si cumple las hipótesis del teorema de Rolle. Dónde se cumple la tesis? La función está definida por intervalos mediante funciones polinómicas. Será continua en [ 0,5; ] si lo es en el punto. lm í f() lm í ( + ) 8 8 lm í f() lm í 5 ( ) + +` j lm í f () f () f () es continua en Estudiamos su derivabilidad: si 05, < < f '() ), f '( ) f '( + ) f () es derivable en y, por tanto, en ( ) si < < el intervalo ( 0,5; ). Finalmente, f ( 0,5) f (). El punto al que se refiere la tesis del teorema de Rolle lo obtenemos de ( ) 0. 8

9 Aplicando el teorema de Rolle, demuestra que la ecuación + k 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [, ] cualquiera que sea el valor de k. f () + k es continua en [, ] y derivable en (, ). f '() 0 La derivada solo se anula en y en. Supongamos que f () tiene dos raíces en [, ], sean c y c. Por el teorema de Rolle, como f (c ) f (c ) 0, eistiría un c (c, c ) tal que f '(c) 0. Pero f '() solo se anula en y en, que no están incluidos en (c, c ), pues c, c. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto, + k 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [, ], cualquiera que sea el valor de k. Página 8 si < 5 Demuestra que f () ) cumple las hipótesis del teorema del valor medio si en el intervalo [, 6]. En qué punto cumple la tesis? _ lm í f() lm í ( ) 5 8 b 8 b lm í f() lm í ( + 0 9) 5` f () es continua en f ( ) 5 b a Luego f () es continua en el intervalo [, 6]. (Para está formada por dos polinomios). Veamos si es derivable: si < f '() ) + 0 si > En, tenemos que f '( ) f '( + ). Por tanto, la función es derivable en (, 6). Su derivada es: si f '() ) + 0 si > Luego, se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio. Veamos dónde cumple la tesis: f( 6) f( ) 5 6 f '(c) La tesis se cumple en c a si 0 6 Calcula a y b para que f () * cumpla las hipótesis del teorema del valor + b si > 0 medio en [, ]. Dónde cumple la tesis? Haz la gráfica. La función está definida por intervalos mediante funciones polinómicas. Será continua en [, ] si lo es en el punto 0. lm í f() lm í ( + + a) a lm í f() lm í ( a 0 f (0) + b) si < < 0 f '() ) f '(0 ), f '(0 + ) b b + b si 0< < 9

10 Cuando a 0 y b la función es continua en [, ] y derivable en (, ). + f () * + f( ) f( ) 0 ( ) 5 5 si < 0 si 0< + resultado un punto válido porque < < también es un punto válido porque 0 < < Aplica el teorema del valor medio, si es posible, en el intervalo [, ] a la función siguiente: f () + Calcula el valor correspondiente a c y comprueba gráficamente el resultado obtenido. f () es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. En particular, es continua en [, ] y derivable en (, ). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio. Veamos dónde cumple la tesis: f() b f() a f( ) f( ) 6 6 b a ( ) + f '() 6 La tesis se cumple en c. 8 Repite el ejercicio anterior para la función: g () + g () es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. En particular, es continua en [, ] y derivable en (, ). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio. Veamos dónde cumple la tesis: g() b g() a g( ) g( ) 0 ( 9) 9 b a ( ) + g' () ± + 0 ± ± ± Por tanto, se cumple la tesis en c. 9,, 5 0

11 7 Aplicaciones teóricas del teorema del valor medio Página 8 Demuestra que si f es derivable en un entorno de 0 y f ' ( 0 ) < 0, entonces f es decreciente en 0. Por las hipótesis, eiste un entorno E ( 0 δ, 0 + δ) en donde f ' es negativa. Sean y dos puntos del entorno tales que <. f cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [, ], por tanto, c (, ) tal que: f( ) f( ) f '(c) < 0 f ( ) f ( ) < 0 f ( ) < f ( ) Es decir, f es decreciente en 0. Demuestra que si f ' ( 0 ) 0 y f '' ( 0 ) < 0, entonces f presenta un máimo relativo en 0. '( ) '( ) '( ) f '' ( 0 ) lm f 0+ h f 0 lm f 0 + h í í < 0 h80 h h80 h Si h < 0, entonces: Si h > 0, entonces: f ' ( 0 + h) > 0 f es creciente a la izquierda de 0 () f ' ( 0 + h) < 0 f es creciente a la derecha de 0 () Por () y (), f presenta un máimo en 0, ya que es creciente a la izquierda de 0 y decreciente a su derecha.

12 8 Teorema de Cauchy y regla de L'Hôpital Página 8 En cada caso halla c donde se cumple la tesis del teorema de Cauchy: a) f () +, g () +, en [, ] b) f () +, g () + 6, en [0, ] c) f () sen, g () cos, en : π, πd 6 d) f (), g () ln, en [, ] a) Las funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Cauchy por ser polinómicas. f( ) f( ) 5 g( ) g( ) 7 5 f '() c 8 c 5 (, ) g' () c c 5 c b) Las funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Cauchy por ser polinómicas. f( ) f( 0) ( ) g( ) g( 0) 6 f' () c c + 8 c + g' () c c c c (0, ) c) Las funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Cauchy por ser trigonométricas. fb πl fb πl sen π sen π 6 6 gbπl gbπl cos π cos π 6 6 f' () c cos 8 cos g' () c c c senc senc c π bπ, πl 6 d) Las funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Cauchy en [, ]. f( ) f( ) 9 8 g( ) g( ) ln ln ln f' () c c c 8 c 8 c g' () c ln c,908 (, ) ln

13 Ejercicios y problemas resueltos Página 87. Tangente en un punto de la curva Hazlo tú. Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y y en el punto (, ). Para hallar la derivada, tomamos logaritmos: y y y ln + ln y ln y ln + ln y 0 Derivamos: y' ln + y y' + ln y + 0 y y' y ln + y + y ln y + y' 0 y' (y ln + ) y y ln y y y ln y y' y ln + y' (, ) Por tanto, la ecuación de la recta tangente en (, ) es: y ( ); es decir, y. Tangente que pasa por un punto eterior Hazlo tú. Halla los puntos de la curva f () + en los que la recta tangente a ella pasa por el origen de coordenadas. Los puntos de tangencia están en la curva y son de la forma (a, a a + ). La pendiente de la recta que pasa por el punto de tangencia y por el origen de coordenadas es a a + 0 a 0. Por otro lado, la pendiente de la recta tangente será f '(a) a. Por tanto, a a + a a a a + a a a, a. Hay dos puntos de tangencia que corresponden a dos rectas tangentes:, f ( ), f '( ) 6 y 6( + ), f (), f '() y + ( + ). Recta tangente en un punto de la curva Hazlo tú. Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto de coordenadas c, m. Comprueba que el segmento de esa recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia. y' y' 9 La recta es tangente es y ( ) 9 La recta corta a los ejes en los puntos: 0 y 9 ( ) y 0 0 ( ) 6 9

14 Si P c, m; Q c0, m y R (6, 0). El punto medio del segmento QR es f , p c, m P. Por tanto, P divide al segmento en dos partes iguales. Página 88. Intervalos de crecimiento Hazlo tú. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a) f () b) f () ln ( + 5) a) El dominio de definición es Á {, }. ( ) f '() ( ) ( ) f '() 0 0,, 0 Como el denominador es un cuadrado, el signo de f '() depende solo del signo del numerador. f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 0 Es creciente en (, ) y (, + ). Es decreciente en (, ); (, 0); (0, ) y (, ). b) El dominio de definición es (, 5) (, + ). f '() f '() (que no pertenece al dominio) No tiene puntos singulares. f ' < 0 No eiste f f ' > 0 5 Es creciente en el intervalo (, + ) y decreciente en (, 5). Página Un avión que se aleja Hazlo tú. Una lancha rápida navega paralela a la costa a 0 km de esta, a velocidad constante, v. En un cierto instante, desde un faro de la costa la vemos acercarse. Su distancia a nosotros es de 6 km y disminuye a una velocidad de 7 km/h. Qué velocidad lleva la lancha? vt d(t) 6 0 Tomamos como instante incial aquél en el que se encuentra a 6 km de distancia. La distancia entre la proyección sobre la costa y el faro es 6 0 km. La distancia entre la lancha y el faro en función del tiempo t es d (t) ( vt) + 0 con d (0) 6.

15 v( vt) La velocidad a la que se acerca es d' (t) ( vt) + 00 d' (0) 7 ya que la distancia disminuye al acercarse la lancha. y, por el enunciado del problema, v v 7 v 78 km/h 6 7. Una esfera que se hincha Hazlo tú. Halla cuál fue la velocidad de aumento del radio cuando medía m. El instante en el que el radio mide m es: π 0,t π 0,t t s 0,π R (t ) R' e π o 0, 0, π t R' (t ) 0, c, tm 0 π π e 0,,, π o 0 0 0,008 m/s π 0, π π Por tanto, el radio crece a una velocidad de 8 mm/s. Página Puntos en los que se anulan f ', f '' y f ''' Hazlo tú. Estudia si la función f () ( + ) tiene algún máimo, mínimo o punto de infleión. f ' () ( + ) f '' () ( + ) f '''() ( + ) f '( ) f ''( ) f '''( ) 0 Estudiamos el signo de f ' a la izquierda y a la derecha de. El punto (, ) es un máimo relativo. 9. Coeficientes de una función f ' > 0 f ' < 0 Hazlo tú. Calcula b y d para que la función f () + b + + d tenga un máimo relativo en el punto (, ). La función pasa por el punto (, ) f () Tiene un máimo en f '() 0 f () + b + + d b + d f '() + b + f '() + b + 0 b+ d + b + 0 b, d Los valores buscados son b y d. 5

16 Página 9. Área máima Hazlo tú. Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total 5 cm. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máimo. Llamemos r al radio del cilindro y h a la altura. El área total es S πr + πr h. πr + πr h 5 h 7 πr πr El volumen del cilindro es V πr h πr 7 πr r (7 πr πr ) 7r πr. Buscamos las dimensiones del cilindro de volumen máimo. V '(r) 7 πr V ' (r ) 0 7 πr 0 r V '' (r ) 6πr cm π V '' (r ) < 0 En r Solo falta calcular la altura del cilindro, que es h. Problema de tiempo mínimo hay un máimo relativo. π 7 π 9/ π 6 cm. π / π π Hazlo tú. La vela mayor de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Si la hipotenusa debe medir 6 m, calcula sus dimensiones para que la superficie de la vela sea máima. Llamemos, y a las medidas de los catetos del triángulo rectángulo. + y 6 y 6 La superficie de la vela es S y ya que los catetos hacen de base y de altura del triángulo rectángulo. Se obtiene: S () 6 S' () 6 8 e + 6 o 6 S' () 0 8 0, (no vale) El valor es un máimo como se puede comprobar estudiando el signo de f ' a ambos lados del mismo. El otro cateto del triángulo mide y 6 ( ) La vela es un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden m. 6

17 Ejercicios y problemas guiados Página 9. Tangente perpendicular a una recta Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f () + que son perpendiculares a la recta + y 0. La recta y + tiene pendiente. Cualquier recta perpendicular a ella tendrá pendiente. Por tanto, debemos calcular los puntos de la curva en los que la pendiente vale. f '() f '(),, f c m c m c m + y + c + m y +, f c m c m c m + y + c m y. Intervalos de concavidad y conveidad Determinar los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión de la función: f () El dominio de definición es Á {, }. f () f '() ( ) ( ) f '' () + ( ) f '' () no tiene solución No tiene puntos de infleión y la tabla de los signos de la segunda derivada es: f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0 (el signo de la segunda derivada solo depende del denominador) La función es cóncava en (, ) y (, + ). Es convea en (, ).. Máimo y mínimo absoluto Calcular el máimo y el mínimo absolutos, en el intervalo [, ] de la función: f () ln ( + + ) f () ln ( + + ) está definida en Á ya que el argumento del logaritmo siempre es positivo. Es una función continua y derivable en [, ]. Por ser continua en un intervalo cerrado y acotado, alcanza sus etremos absolutos. Estos pueden ser los etremos del intervalo o los etremos relativos si están en el interior. f '() f '() ,

18 Evaluamos: f ( ) ln (( ) + ( ) + ) ( ) 0 f (0) ln 0 f () ln 0,0986 f () ln 7 0,05 Alcanza el máimo absoluto en (, ) y el mínimo absoluto en (, ln 7 ).. Continuidad en [a, b] Dada la función f () + 7, demostrar que eiste un valor c (, ) tal que f ' (c). Para que la función esté definida debe ser el radicando mayor o igual que 0. La inecuación es cierta en Á. Por tanto, el dominio de f () es Á y es continua en [, ]. Calculamos la derivada: '( ) ln f () f + 7ln 8 ln f() ( ) ln + 7 ( ) ln ( ) ln 8 f'( ) Por tanto, la función es derivable en (, ). f( ) f( ) Por el teorema del valor medio eiste un punto c (, ) tal que f '(c ) Etremos relativos Sea f () e a con a 0. a) Calcular el valor de a para que la función tenga un etremo relativo en el punto de abscisa. b) Clasificar los etremos relativos cuando a. a) f '() e a a e a f ' () 0 e a ae a 0 e a ( a) 0 a 0 a (ya que la eponencial nunca se anula) b) Para a la derivada es f '() e e. f '() 0 0, 0 f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 0 0, f (0) 0 (0, 0) es un mínimo relativo., f () e (, e ) es un máimo relativo. 8

19 Ejercicios y problemas propuestos Página 9 Para practicar Recta tangente Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se indican: a) y ln (tg ) en π 8 b) y sen5 en π 6 c) + y 8y en d) y ( + ) sen en 0 a) Ordenada en el punto: π 8 y 0 ( + tg ) Pendiente de la recta: y' tg Recta tangente: y b π 8 l π b) Ordenada en el punto: π 6 y Pendiente de la recta: y' 5cos 5 sen5 y' b π l 8 y' b π l Recta tangente: y b πl 6 c) Ordenadas en los puntos: + y 8y y 8y ± 6 60 y 8± y 5 8 Punto (, 5) y 8 Punto (, ) Pendiente de las rectas: + yy' 8y' 0 y' (y 8) y' y 8 y y' (, 5) 5 y' (, ) Recta tangente en (, 5): y 5 ( ) y + 7 Recta tangente en (, ): y + ( ) y + 5( / ) / d) Ordenada en el punto: 0 y (0 + ) sen 0 0 P (0, ) Pendiente de la recta tangente: y ( + ) sen ln y sen ln ( + ) y' cos ln ( y + ) + sen + y' cos ln ( < + ) + sen F ( + ) sen + m [cos 0 ln + 0] 0 ( 0 + 0) 0 Recta tangente: y + 0( 0) y 9

20 Halla las tangentes a la curva y paralelas a la recta + y 0. La pendiente de la recta + y 0 es m. Buscamos los puntos en los que la derivada sea igual a : ( ) y' ( ) + + y' ( + ) Punto ( 0, 0) 0 ( ) 0 8 Punto (, ) Recta tangente en (0, 0): y Recta tangente en (, ): y ( ) y + 8 Obtén la ecuación de la recta tangente paralela al eje de abscisas en las siguientes curvas: a) y ln b) y e c) y sen Una recta paralela al eje de abscisas tiene pendiente cero. a) y' ln + ln + y' 0 ln + 0 ln e e y La recta tangente en el punto c, m es: y e e b) y' e + e ( + )e Como e 0 para todo : y' Punto ( 0, 0) 0 ( + ) 0 8 Punto (, / e) En el punto (0, 0), la recta tangente es: y 0 e En el punto e, o, la recta tangente es: y e e c) y' cos π + πk 8 π + π k 8 y y' 0 cos 0 π + πk 8 π + π k 8 y En los puntos bπ + πk, l, con k Z, la recta tangente es: y En los puntos c π + πk, m, con k Z, la recta tangente es: y Halla el punto de la gráfica de y en el que la tangente forma un ángulo de 60 con el eje X. Escribe la ecuación de esa tangente. Si la recta tangente forma un ángulo de 60 con el eje X, su pendiente es tg 60. Buscamos un punto en el que la derivada valga : y' y' y El punto es e, o. 0 e

21 La recta tangente en ese punto será: y' + c m y + y + 5 a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f () + + en. b) Eiste alguna otra recta tangente a la gráfica de f que sea paralela a la que has hallado? En caso afirmativo, hállala. a) Hallamos la pendiente de la recta tangente usando la derivada: f '() 6 +, f () 8, f '() y 8 + ( ) b) Para saber si eiste otro punto en el que la recta tangente sea paralela resolvemos: f '() 6 +, Hay otro punto:, f ( ) y + ( + ) es la recta tangente en este punto. 6 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y 0 en su punto de infleión. Calculamos primero el punto de infleión resolviendo f ''() 0: f '() f '' () f '' () Evaluando la derivada segunda a ambos lados de 6 observamos que la función pasa de convea a cóncava. Luego es un punto de infleión., f c m c m c m 0 7, f ' c m c m La ecuación es y 7 c m Halla los puntos de la curva: y 5 + en los que la recta tangente a ella pase por el origen de coordenadas. Debemos hallar las ecuaciones de las tangentes desde un punto eterior a la gráfica de la función. Los puntos de tangencia son de la forma (a, a 5a + ). La pendiente de la recta tangente que pasa por el origen es a 5a+ 0 a 5a+. a 0 a Usando la derivada, la pendiente anterior también es 6a 5. a 5a+ 6a 5 a a 5a + 6a 5a a, a Obtenemos dos puntos de tangencia y dos rectas tangentes:, f ( ), f '( ) 7 y 7, f (), f '() 7 y 7

22 8 Halla los puntos de la curva: y + en los que la recta tangente a esta pase por el punto (0, 8). Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes en dichos puntos. Debemos hallar las ecuaciones de las tangentes desde un punto eterior a la gráfica de la función. Los puntos de tangencia son de la forma e a, a a o. a + a ( 8) a + a+ La pendiente de la recta tangente que pasa por (0, 8) es. a 0 a Usando la derivada, la pendiente anterior también es a +. a + a + a + a + a + a + a a, a a Obtenemos dos rectas tangentes: f '( ) y 8 + f '() 6 y Halla, en cada caso, las ecuaciones de las rectas tangentes paralelas al eje X: a) y b) y c) y + ( ) ln e a) El eje horizontal tiene pendiente 0. y' ( ) ( ) ( ) ( ) y' 0 ( ) 0 0, 0, f (0) 0 y 0 c m, f c m 9 y 9 b) y' ln + ln ( ln + ) ln y' 0 ( ln + ) 0 0 (no vale), e e, f ae k a k e e c) y' ( + ) e ( + ) e e e y e y' 0 0,, f ( ), f ( ) + e e y + e y e ( )

23 Máimos y mínimos. Puntos de infleión 0 Halla los máimos, los mínimos y los puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y ( 8) b) y d) y + e) y + c) y f) y e ( ) a) f '() + 9 f '() 0 ( + ) 0 Signo de la derivada: ± 6 ± f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 8 y 0 8 y Hay un mínimo en (, 0) y un máimo en (, ). Puntos de infleión: f '' () 6 0 y Como f '' () < 0 para < y f ''() > 0 para >, el punto (, ) es un punto de infleión. b) y 8 f '() f '() 0 ( ) y 0 8 y / f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 Hay un mínimo en c, m. f '' () 0 ( ) y 0 / 8 y ( 6/ 8) f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0 0 Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en c, 6 m. 8 c) f '() 6 f ' () 0 ( 6) y 0 / 8 y 7/ 6 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 Hay un mínimo en c, 7 m. 6 f '' () ( ) y 0 8 y f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0 0 Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en (, ).

24 d) f '() + f '() 0 ( + ) 0 0 y 0 f ' < 0 0 f ' > 0 Hay un mínimo en (0, 0). f '' () + 0 para todo. No hay puntos de infleión. e) f '() ( + ) f '() y f ' > 0 0 f ' < 0 Hay un máimo en (0, ). ( + ) + ( + ) ( + ) + 8 f '' () 6 ( ) ( ) ( ) f '' () 0 ± ± ± y f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0 Hay un punto de infleión en e, o y otro en e, o. f) f ' () e ( ) + e e ( + ) e f ' () 0 e 0 0 (pues e 0 para todo ) y f ' < 0 0 f ' > 0 Hay un mínimo en (0, ). f '' () e + e e ( + ) f '' () 0 y e f '' < 0 f '' > 0 Hay un punto de infleión en c, m. e Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máimos y los mínimos de las siguientes funciones: a) y 8 b) y + c) y ( ) d) y e) y f ) y 8 ( ) a) y 8 8. Dominio Á {0, } ( ) ( ) ( 8 ) ( ) f '() ( ) ( ) ( )

25 f ' () Signo de la derivada: f ' > 0 f ' > 0 6 ± ± 6 6 ± f ' < 0 f ' < 0 0 f ' > 0 / La función es creciente en (, 0) c0, m (, + ). Es decreciente en c, m (, ). Tiene un máimo en c, 9 m, y un mínimo en c, m. b) y +. Dominio Á {, } f ' () ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f ' () Signo de la derivada: f ' > 0 f ' > 0 0 f ' < 0 f ' < 0 La función es creciente en (, ) (, 0). Es decreciente en (0, ) (, + ). Tiene un máimo en (0, ). c) y. Dominio Á {, } f ' () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ' () 0 ( ) 0 Signo de la derivada: f ' > 0 f ' < 0 0 f ' < 0 La función es creciente en (, ) (, + ). Es decreciente en (, ) (, ) (, ). Tiene un máimo en e, o. 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 Tiene un mínimo en e, o. Tiene un punto de infleión en (0, 0). d) y f ' (). Dominio Á {} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5

26 f '() Signo de la derivada: ± 6 ± ± f ' < 0 f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0 La función: es creciente en (, ) (, ). es decreciente en (, ) (, + ). tiene un mínimo en (, ). tiene un máimo en (, 9). e) y f ' (). Dominio Á {0} ( ) + + f '() 0 0. No tiene solución. Signo de la derivada: f ' > 0 f ' > 0 0 La función es creciente en todo su dominio. f) y 8 8. Dominio Á {0, } ( ) f ' () 8 ( 6) 8( 6) 8 ( 6) ( ) ( ) ( ) f '() Signo de la derivada: f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 0 f ' < 0 La función: es creciente en (0, ). es decreciente en (, 0) (, ) (, + ). tiene un máimo en (, ). Estudia la concavidad, la conveidad y los puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y + b) y 6 c) y ( ) d) y e e) y + f) y ln ( + ) a) y +. Dominio Á f '() ; f ''() 6 f '' () Signo de f '' (): f '' < 0 f '' > 0 0 La función es convea en (, 0) y cóncava en (0, + ). Tiene un punto de infleión en (0, ). 6

27 b) y 6. Dominio Á f '() ; f ''() f '' () 0 ( ) 0 Signo de f '' (): f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0 La función es cóncava en (, ) (, + ) y convea en (, ). Tiene un punto de infleión en (, 5) y otro en (, 5). c) y ( ). Dominio Á f ' () ( ) ; f '' () ( ) f '' () 0 f '' () > 0 para Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de infleión. d) y e. Dominio Á f ' () e + e ( + )e ; f '' () e + ( + )e ( + )e f '' () 0 (e 0 pata todo ) Signo de f '' (): f '' < 0 f '' > 0 La función es convea en (, ) y cóncava en (, + ). Tiene un punto de infleión en c, e m. e) y. Dominio Á { } + f ' () f '' () 6 ( + ) ( + ) ( ) + ( ) + ( + ) ( + ) f '' () 0 para todo. Signo de f '' (): f '' < 0 f '' > 0 La función es convea en (, ) y cóncava en (, + ). No tiene puntos de infleión. f) y ln ( + ). Dominio (, + ) f '() + f '' () ( + ) f '' () < 0 para (, + ) Por tanto, la función es convea en (, + ). 7

28 Estudia si las siguientes funciones tienen máimos, mínimos o puntos de infleión en el punto de abscisa : a) y + ( ) b) y + ( ) c) y ( ) 6 d) y + ( ) 5 a) Máimos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '() 0. f '() ( ) ( ) 0, f () Estudiamos el signo de la derivada: f ' > 0 f ' > 0 La función crece a la izquierda y a la derecha de. No hay ni un máimo ni un mínimo. Puntos de infleión: buscamos los puntos en los que f ''() 0. f '' () 6( ) 6( ) 0, f () Estudiamos el signo de f ''(): f '' < 0 f '' > 0 Es convea a la izquierda de y cóncava a su derecha. Hay un punto de infleión en (, ). b) Máimos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '() 0. f '() ( ) ( ) 0, f () Estudiamos el signo de la derivada: f ' < 0 f ' > 0 La función decrece a la izquierda de y crece a su derecha. Hay un mínimo en (, ). Podemos comprobar que no hay puntos de infleión con el signo de f ''(): f '' () ( ) f ''() 0 para cualquier. La función es cóncava en todo su dominio. c) Máimos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '() 0. f '() 6( ) 5 6( ) 5 0, f () Estudiamos el signo de la derivada: f ' > 0 f ' < 0 La función crece a la izquierda de y decrece a su derecha. Hay un máimo en (, ). Como f '' () 0( ) 0, la función es convea en todo su dominio. d) Máimos y mínimos: buscamos los puntos en los que f '() 0. f '() 0( ) 0( ) 0, f () Como f '() 0( ) 0, la función es creciente en todo su dominio. No hay máimos ni mínimos. Estudiamos el signo de f'' () 0( ) : f '' < 0 f '' > 0 La función es convea a la izquierda de y cóncava a su derecha. Hay un punto de infleión en (, ). 8

29 Determina los máimos y mínimos de las siguientes funciones: a) f () + ( ) b) f () ln c) f () sen cos d) f () e a) f '() 8 ( + ) f '() 0 8 ( + ) 0 ( ) 8 f '' () ( ), y, f ''() > 0 El punto (, ) es un mínimo relativo de la función. b) f '() ln + f '() 0 ln + 0 e f '' () e, y e, f '' (e ) > 0 El punto (e, e ) es un mínimo relativo de la función. c) f '() cos + sen f '() 0 cos + sen 0 sen cos tg (ya que cos no puede ser 0) _ π + kπ b ` con k Z 7π + kπb a f '' () sen + cos π 7π d) f ' () e + k π, y sen + k π, y sen π 7π cos cos π 7π f ' () 0 e 0 0 f '' () e + e 0, y 0, f '' (0) < 0 El punto (0, 0) es un máimo relativo. 5 Dadas las funciones: +, f '' d π n < 0 Los puntos d π + kπ, n son máimos relativos de la función., f '' d 7π n > 0 Los puntos d 7π + kπ, n son mínimos relativos de la función. si + 7 si < f () * g () * si > + si a) Comprueba que son derivables en Á. b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máimos y mínimos. Ambas funciones son continuas y derivables salvo quizás en los puntos donde se separan los trozos porque están definidas por intervalos mediante funciones polinómicas. a) Estudiamos el punto : lm í ( ) 8 lm í f() * + 8 lm í ( ) lm í f () f () Es continua también en si < f '() ) f '( ) f '( + ) Es derivable en. si > 9

30 Estudiamos el punto : lm í ( 7 ) 8 lm í g () * + 8 lm í ( + ) lm í g () g () Es continua también en si < g' () ) f '( ) f '( + ) Es derivable en. + si > b) En el caso de f (): f '() (pertenece al intervalo de definición), y, f ''( ) > 0 El punto (, ) es un mínimo relativo. En el caso de g (): Z ] + ( pertenece al intervalodedefinición) g' () 0 [ 0 8 ] + ( no vale porque no está en el intervalo de definición) \ 7, y 65, g'' c 7 m > 0 El punto c 7, 65 m es un mínimo relativo. 6 Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f (). Tiene máimos o mínimos? Determina los intervalos de concavidad y conveidad. Tiene algún punto de infleión? si < 0 f () * Es una función continua en Á. si 0 si < 0 f '() ), f '(0 ) 0 f '(0 + ) También es derivable en 0. si > 0 La primera derivada solo se anula cuando 0. f ' > 0 f ' > 0 0 La función no tiene ni máimos ni mínimos relativos. si < 0 f '' () ) Es convea en el intervalo (, 0) y cóncava en (0, + ). si > 0 El punto (0, 0) es un punto de infleión porque cambia de convea a cóncava. Página 9 Coeficientes de una función 7 Dada la función f () + a + 6, calcula a sabiendo que f () tiene un etremo relativo en el punto de abscisa. Se trata de un máimo o un mínimo? Como tiene un etremo relativo en debe cumplirse que f '() 0. f '() a f '() 0 a 0 a 9 7 Por tanto, f () + 6. f '() ; f ''() 8 + 6, f (), f ''() > 0 El punto c, m es un mínimo relativo

31 8 De la función f () a + b sabemos que pasa por (, ) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta + y 0. Halla a y b. f () a + b ; f ' () a + b f( ) 8 a+ b a f () f'( ) 8 a+ b b + 9 Halla una función f () + a + b + c que tenga un etremo relativo en el punto de abscisa y un punto de infleión en P (, ). f () + a + b + c f '() + a + b f '' () 6 + a f () + a + b + c f '' () a 0 f '() 0 + a + b 0 + a+ b+ c 6+ a 0 a, b, c + a+ b 0 0 Calcula los coeficientes a, b y c de la funciónf () + a + b + c, sabiendo que: a) La ecuación de la recta tangente a f en 0 es y. b) Tiene un etremo relativo en el punto (, 0). f () + a + b + c f ' () + a + b + c Del apartado a) se deduce que pasa por el punto (0, 0) y que f '(0). El apartado b) implica que f ( ) 0 y que f '( ) 0. f '(0) c f ( ) 0 a + b 0 a + b 0 f '( ) 0 + a b + 0 a+ b 0 + a b+ 0 a, b Halla a, b, c y d para que f () a + b + c + d tenga un máimo relativo en el punto (0, ) y un mínimo relativo en el punto (, 0). Las condiciones del problema implican que: f (0), f '(0) 0, f () 0, f '() 0 f () a + b + c + d f '() a + b + c d c 0 8a+ b+ 0 a, b a+ b 0

32 Sea f () a + b + c + d un polinomio que cumple f () 0, f ' (0) y tiene dos etremos relativos para y. Halla a, b, c y d. f () a + b + c + d f '() a + b + c _ f ( ) 0 8 a+ b+ c+ d 0 b b f '( 0) 8 a+ b+ d + c b ` f '( ) 0 8 a+ b+ c 0 b b f '( ) 0 8 a+ b+ c 0b a a+ b+ d b a b b b c b b b ` ` a+ b b c b b b 6a+ b b d 5 b a 6 a Así: f () d; f ' () + ( ) ( ) Dada la función y a + b a, calcula los valores de a y b sabiendo que tiene dos puntos de infleión, uno en y otro en /. f '() a + 9b 6 a f '' () a + 8b 6 f ''( ) 0 f ''( / ) a+ 8b 6 0 a+ b 0 a+ 9b 6 0 a+ b 0 Restando las igualdades: a + 0 a Sustituyendo en la.ª ecuación: b 0 b La curva y + a + b + c corta al eje de abscisas en y tiene un punto de infleión en el punto (, ). Calcula a, b y c. y + a + b + c f '() + a + b f '' () 6 + a _ f ( ) a b+ c 0 b f ( ) 8 8+ a+ b+ c b ` b f ''( ) a 0 b a _ a b+ c b a+ b+ c 7 b ` b a 6 b a a 6 b 0 c 5 La función f () + a + b + c verifica que f (), f ' () 0 y que f no tiene etremo relativo en. Calcula a, b y c. f () + a + b + c f '() + a + b f '' () 6 + a f ( ) f '( ) 0 f ''( ) a+ b+ c + a+ b 0 6+ a 0 a b c 0 f () + 6 Sea f () + a + b + 5. Halla a y b para que la curva y f () tenga en un punto de infleión con tangente horizontal. Si la curva tiene un punto de infleión en, debe ser f ''() 0. f '() + a + b f ''() 6 + a f ''() 6 + a 6 + a 0 Si en la tangente es horizontal, su pendiente será 0; y, por tanto, f '() 0.

33 f ' () + a + b + a + b 0 Resolvemos: 6+ a 0 8 a * + a+ b 0 8 b ( ) La curva será f () Halla el valor de c de modo que la función y e tenga un único punto crítico. + c Se trata de un máimo, de un mínimo o de un punto de infleión? e( + c) e e ( + c ) f '() ( + c) ( + c) f '() 0 ± c + c 0 Para que solo haya un etremo relativo, ha de ser: c 0 c En este caso sería: y e + ; f '() e ( + ) ( + ) f '() 0 f '() 0 si f () es creciente si. Hay un punto de infleión en. 8 a) Calcula los valores de los parámetros a y b para que sea derivable la función: si < 0 f () e * + a+ b si 0 b) Halla sus etremos relativos en el caso a, b. a) La función está definida por intervalos mediante funciones continuas y derivables. Solo nos queda estudiar el punto 0. Veamos la continuidad de la función: Z lm ] í lm í f() 8 0 e [ b 8 0 lm í ( ] + a+ b) b 8 0+ \ Para el valor obtenido de b la función es continua porque lm í f() f (0): 8 0 si < 0 8 f' ( 0 ) f '() e * a para que sea derivable en 0. + a si > 0 8 f' ( 0+ ) a Si a y b la función es continua y derivable en Á. b) f () * e + si < 0 si > 0 f ' () * e si si < 0 0 f ' () 0 * 0 8 ( no vale) e 0 8 Estudiando el signo de la primera derivada en las proimidades de, obtenemos que el punto (, 0) es un mínimo relativo.

34 Para resolver 9 Halla el dominio de definición y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: f () ln e o + La función está definida cuando + > 0. Como el denominador es siempre positivo, debe ser > 0. Por tanto el dominio de definición es (, ) (, + ). f '() ( + )( ) f ' () 0 0 (este punto no es válido porque no está en el dominio de definición). f ' < 0 No eiste f f ' > 0 La función es decreciente en (, ) y creciente en (, + ). 0 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y en los puntos de ordenada y. Calculamos primero las abscisas de los puntos , 5 Derivamos en forma implícita: yy' + 0 yy' + 0 y' + y 5, y, y' 5+ Recta tangente: y ( + 5), y, y' + Recta tangente: y + ( ) Determina los puntos de la circunferencia ( ) + (y + ) 6 en los que la recta tangente a ella es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Para que la recta tangente sea paralela a la bisectriz del primer cuadrante, la pendiente de la recta tangente debe ser. Derivamos en forma implícita: ( ) + (y + )y' 0 y' y + y' y + y + y + Hallamos los puntos de la circunferencia que cumplen esta condición: ( ) + ( y+ ) 6, y + Soluciones: y + +, y Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y arc tg + y + 0. y + 0 y + tiene pendiente. que es paralela a la recta Igualamos la derivada a esta pendiente para que la recta tangente sea paralela a la recta dada. y' + y' (no es un punto válido), +, y 0, y' y ( )

35 Halla la ecuación de la tangente a la curva y / en el punto de absicsa e. ln y ln y' + ln y' + ln y e, y e, y' e y e + e ( e) Estudia los intervalos de crecimiento y los máimos y los mínimos de la función dada por: y + Definimos la función por intervalos. Para ello, calculamos los puntos donde f () 0: ± ± + si < f () * + si + si > Hallamos la derivada de f : f ' () * + + si < si < si > En no es derivable, pues f ' ( ) f ' ( + ). En no es derivable, pues f ' ( ) f ' ( + ). Veamos dónde se anula la derivada: + 0 Pero f '() + para < y >. 0 y f '() para < < Por tanto, f '() se anula en f ( ). Signo de la derivada: f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 La función: es creciente en (, ) (, + ). es decreciente en (, ) (, ). tiene un máimo en (, ). tiene un mínimo en (, 0) y otro en (, 0). Son los puntos donde f no es derivable. 5 Estudia la eistencia de máimos y mínimos relativos y absolutos de la función y. f () * + si < si si > si < f '() * si < < si > En no es derivable, pues f '( ) f '( + ). En no es derivable, pues f '( ) f '( + ). La derivada se anula en 0. 5

36 Signo de la derivada: f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 0 La función tiene un máimo relativo en (0, ). No tiene máimo absoluto a lm í f() lm í f() + k Tiene un mínimo relativo en (, 0) y otro en (, 0). En estos puntos, el mínimo también es absoluto, puesto que f () 0 para todo. 6 La curva y + α + β + γ corta al eje de abscisas en y tiene un punto de infleión en (, ). Calcula los puntos de la curva que tengan recta tangente paralela al eje X. f () + α + β + γ; f ' () + α + β; f '' () 6 + α f ( ) 0 f ( ) f ''( ) a+ b+ g 0 7 9a b g 8 + a 0 a 9 b g Así: f () 9 + 6; f '() 8 + Puntos con tangente horizontal: 8 8 f '() 0 ± 88 6 ± 8 ± Los puntos son (, 0) y (, ). 7 Halla el ángulo que forman las rectas tangentes a las funciones f () y g() en el punto de abscisa : f () g() La pendiente de la recta tangente a f () en es: f '() f '() La pendiente de la recta tangente a g () en es: g' () g' () El ángulo que forman las dos rectas será: tg α 6 α 5 8 Dada la función f () ( + ), halla los puntos donde las tangentes son paralelas a la recta y 6. ( )( + ) si < + + f () * * ( )( + ) si si si < + si < f '() ) si > La función no es derivable en porque las derivadas laterales son distintas f '() 6 ) 6 8, y 5, y 5 Los puntos buscados son (, 5) y (, 5). 6

37 9 Dada la función f () se pide: a) El punto de esa curva en el que la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (, ) y (, 0). b) Las rectas que pasan por el punto (, ) y son tangentes a la curva. a) La cuerda que une los puntos dados tiene pendiente m 0. ( ) f '() f '(), y 5 La solución es el punto c, 5 m. b) El punto (, ) no pertenece a la curva. Debemos calcular las tangentes a la curva desde un punto eterior. Un punto genérico de la curva es de la forma (a, a ). La pendiente de la recta que pasa por este punto y el (, ) es m a a. a ( ) a + Así a a a a + a(a + ) a, a Tenemos dos rectas tangentes: 8 f' ( ) 6 8 y + 6( + ) 8 f' ( ) 8 y + ( + ) 0 Halla el valor que debe tener a para que la función f () ln, a > 0, tenga un punto a singular en e. El dominio de definición es (0, + ) por ser a positivo. f '() + ln a Para que tenga un punto singular en e debe ser f '(e) 0 e + e ln e 0 e b+ ln e l 0 + (ln e ln a) 0 + ln a 0 ln a a a a e / Página 95 a Se considera la función f () + b + c si 0 *. ln si > 0 Determina a, b y c para que sea continua, tenga un máimo en y la tangente en sea paralela a la recta y. La función está definida por intervalos mediante funciones continuas. Eigimos la continuidad en 0 y así será continua en Á. lm í (a + b + c) c 8 0 lm í ( ln ) lm í ln (indeterminado) Usando la regla de L Hôpital lm í lm í ( ) Luego lm í ( ln ) Por tanto, para que sea continua c 0. 7

38 Si < 0, f '() a + b Por tener un máimo en, f '( ) 0 a + b 0 b a Para que la tangente en sea paralela a la recta y, debe ser f '() a + b. b a a, b a+ b a) Dada la función: + p si f () * + m+ n si > calcula los valores de m, n y p para que f sea derivable en Á y tenga un etremo relativo en. b) Es un máimo o un mínimo? c) Comprueba si eisten otros puntos singulares y representa la función. a) La función está definida por intervalos mediante funciones polinómicas, luego es continua y derivable salvo, quizás, en el punto. Estudiamos el punto. Continuidad: lm í ( + p) + p 8+ lm í ( + p + m + n m + n p + m+ n) + m+ n 8 Si se cumple la condición anterior la función será continua en porque lm í f () f (). 8 + p si < f' ( f '() ) ) + p * + p + m m p + m si > f' ( + ) + m Si se cumple la condición anterior la función será derivable en al coincidir las derivadas laterales. Para que tenga un etremo relativo en, f ' c m 0 + p 0 p. p m p m 5, n, p m+ n p b) f '' c m < 0 El etremo relativo es un máimo. c) Si eiste otro etremo relativo, debe estar en el segundo intervalo. f '() 0 ( > ) f '' c 5 m > 0 En 5 hay un mínimo relativo. Y X 8

39 + e si 0 Sea f la función definida por f () *. a b si > 0 a) Determina el valor de a y b sabiendo que f () es derivable en 0. b) Tiene puntos singulares? a) Eigimos la continuidad y derivabilidad en 0. Veamos la continuidad: lm í ( + e ) 8 0 lm í a b a b 8 0+ Cuando a b, la función es continua ya que lm í f () f (0). 8 0 Veamos la derivabilidad: e si < 0 f '( 0 ) f '() * a si > 0 * f '( 0+ ) a a b b b Si se cumple la condición anterior será derivable en 0 ya que coinciden sus derivadas laterales. a b a a, b b + e si < 0 La función queda así: f () * si 0 Su derivada es: f ' () * e si < 0 si 0 < b) Los puntos singulares solo pueden estar en el primer trozo ya que la derivada no se anula cuando 0. f '() 0 e 0 ln > 0 (este punto no es válido porque no pertenece al intervalo de definición) Luego no tiene puntos singulares. Halla los puntos de la parábola y que se encuentran a distancia mínima del punto A c, m. La distancia entre el punto A c, m y un punto P (, ) de la parábola es: AP d () ( + ) + c + m Buscamos los que minimizan la distancia: d' () d' () d' < 0 d' > 0, y 0 En el punto (, 0) se alcanza la mínima distancia. 9

40 5 El nivel medio diario de CO de una ciudad depende del número de habitantes, p, y viene dado por la función: C (p ) p +7 con p en miles y C en partes por millón (ppm). Si la evolución de la población de esa ciudad en t años es p (t), + 0,t, en miles de habitantes, con qué rapidez estará variando la concentración de CO en ese lugar dentro de años? La epresión del nivel medio diario de CO en función del tiempo en años es C [ p (t )] (C p)(t ). La variación de CO viene dada por la derivada de la función anterior., + 0, t (C p)'(t ) C' [ p (t)] p' (t) 0,t (, + 0, t ) + 7 Ya que: p C' ( p) y p' (t) 0,t p + 7, + 09, Si t (C p)'() 0,6 0, (, + 09, ) + 7 Nos da un crecimiento de 0, partes por millón a los años. 6 La velocidad de una partícula en m/s, viene dada por la función v (t ) (t + t)e t con t 0. a) En qué instante del intervalo [0, ] se alcanza la velocidad máima? b) Calcula lm í v (t ) e interpreta el resultado. 8 + a) v' (t ) ( t )e t v' (t ) 0 ( t )e t 0 t [0, ] Estudiando los signos de v' (t) a ambos lados de podemos comprobar que en t hay un máimo relativo. La velocidad no puede ser mayor en los etremos 0 y debido a la forma en que la función crece y decrece. b) lm í ( t + t) e t lím t + t et Este resultado combinado con el apartado anterior nos indica que a partir del instante la velocidad de la partícula disminuye tendiendo a pararse cuando el tiempo aumenta. 7 En un eperimento, la cantidad de agua en función del tiempo viene dada por la epresión C (t ) + 0t t con t [, 0], t en horas y C (t ) en litros. Halla cuál es la cantidad mínima de agua y en qué instante de tiempo se obtiene. El problema consiste en hallar el mínimo absoluto de una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado. C' ( t ) t t C' ( t ) t t 7 0 t, t (el punto no es válido) t t Evaluamos en el punto singular y en los etremos del intervalo. 0 0 t

41 C () ,67 C () ,89 C (0) , La cantidad mínima se alcanza a las horas y es aproimadamente de,89 litros. 8 Calcula los etremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los de concavidad y conveidad de las siguientes funciones: a) f () + b) f () e ( ) si < a) ) f () * si + si < + si si < f '() ) + si > La función no es derivable en ya que las derivadas laterales en dicho punto no coinciden. Z 0 8 ] f '() 0 [ ] ( este punto no vale) \ La tabla de los signos de la primera derivada es: f ' < 0 f ' > 0 f ' > 0 La función es decreciente en c, m y creciente en c, + m. si < f '() ) f () es cóncava en Á. si > e b) f () * e si si < 0 0 6e f '() * 6e si si < 0 > 0 La función no es derivable en 0 porque las derivadas laterales en dicho punto no coinciden. La primera derivada nunca se anula. Por tanto, su tabla de los signos es: Es creciente en (, 0) y decreciente en (0, + ). e f '() * e si si < 0 > 0 f ' > 0 f ' < 0 0 Como la segunda derivada es positiva, es cóncava en (, 0) y en (0, + ). 9 Calcula el máimo y el mínimo absolutos en el intervalo [, ] de la función: f () ln ( + ) + ( ) La función dada es continua en el intervalo [, ] luego alcanza su máimo y su mínimo absoluto. Estos pueden ser los etremos del intervalo o los máimos y mínimos relativos.

42 f '() + + f '() Evaluamos:, f ( ) ln 5 5,9, f ( ) ln,, f () ln 0 Su mínimo absoluto es el punto (, ln 5 5) y su máimo absoluto es el punto (, ln 0). 50 Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 0 cm y de capacidad máima. Cuál debe ser el radio de la base? h + R 00 R 00 h Volumen πr h π(00 h )h π(00h h ) h 0 cm Tenemos que maimizar la función volumen: f (h) π(00h h ) f ' (h) π(00 h ) R (consideramos la raíz positiva, pues h 0). f ' (h) 0 00 h 0 h ± 00 c f ' (h) > 0 a la izquierda de h 00 y f '(h) < 0 a la derecha de h 00. Luego en h 00 no hay máimom. Por tanto, el radio de la base será: R 00 h R 00 5 Halla la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm q ue, al girar alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máimo. y Perímetro cartulina + y 60 + y 0 0 y Volumen πy πy (0 y) π(0y y ) Tenemos que maimizar la función: V ( y) π(0y y ) V '( y) π(60y y ) V '( y) 60y y 0 y(0 y) 0 y 0 ( no vale) y (En y 0 hay un máimo, pues V '( y) > 0 a la izquierda de este valor y V '( y) < 0 a su derecha). Los lados de la cartulina medirán 0 cm y 0 cm.

43 5 Sean e y dos números positivos cuyo producto vale 6. Puede + y ser menor que 7? Razona la respuesta. Supongamos que y 6 con, y > 0 y 6 con > 0. Consideremos que la función f () + f '() , que es continua y derivable en (0, + ). f ' < 0 f ' > 0, f () 8 (, 8) es el mínimo absoluto de la función en (0, + ). Así la suma mínima es 8 y, por tanto, no puede ser menor que 7. 5 El radio de un círculo crece uniformemente con una velocidad de cm/s. Halla la velocidad de crecimiento de su superficie cuando el radio sea 5 cm. Llamamos R (t ) t a la función que describe el radio en función del tiempo. El radio es igual a 5 cm cuando t,5 s. La función que describe a la superficie del círculo es S (t) πr (t) πt. La velocidad de crecimiento se obtiene mediante la derivada S' (t) 8πt. t,5; S' (,5) 8π,5 6,8 cm /s 5 a) Siendo h () la suma de las coordenadas del punto P (, f ()) de la gráfica de f () Calcula los etremos relativos de h (). b) Tiene h () algún etremo absoluto? a) h() + f () h' () + + h' () h'' () h'' (0) > 0 En 0 hay un mínimo relativo. 0, h (0) El mínimo relativo es (0, ). b) El mínimo relativo es necesariamente un mínimo absoluto porque la función siempre decrece a su izquierda y siempre crece a su derecha. 55 El punto P (, y) recorre la elipse y Deduce las posiciones del punto P para las que su distancia al punto (0, 0) es máima y también aquellas para las que su distancia es mínima. La distancia entre un punto P (, y) de la elipse y el origen de coordenadas es d ( 0) + ( y 0) + y. Está definida para valores de en el intervalo [ 5, 5] y de y en el intervalo [, ]. (Si o y tomaran valores fuera de esos intervalos, no se cumpliría la ecuación de la elipse). Usando la derivación implícita: + yy' + yy' d' + y + y Por otro lado, derivando implícitamente la ecuación de la elipse: yy' yy' + 0 y' y

44 Sustituyendo en la epresión de la derivada: d' + ye 9 o yy' 5y 6 + y + y 5 + y d' 0 0 Por tanto, las distancias máimas o mínimas se pueden alcanzar en los etremos 5, 5 o en el punto singular 0. Calculamos las ordenadas de los puntos: 5 + y 9 y y y 9 y 0 y, y Evaluamos en los cuatro puntos obtenidos: 5, y 0 d 5 5, y 0 d 5 0, y d 0, y d La distancia máima se alcanza en los puntos ( 5, 0) y (5, 0). La distancia mínima se alcanza en los puntos (, 0) y (, 0). nota. Gráficamente es muy sencillo comprobar estos resultados porque la elipse dada está centrada en el origen, su semieje mayor mide 5 unidades y su semieje menor,. La distancia máima se alcanza en los etremos del eje mayor y la mínima en los etremos del eje menor. 56 Las manecillas de un reloj miden cm y 6 cm; uniendo sus etremos se forma un triángulo. a) Demuestra que el área de ese triángulo viene dada por A () sen, donde es el ángulo que forman las manecillas. b) Halla para que el área del triángulo sea máima y calcula dicha área. a) 6 Si llamamos al ángulo que forman las manecillas, la altura del triángulo sobre la manecilla mayor es a sen. El área del triángulo es A() 6 sen sen, con (0, π) para que se pueda construir el mismo. b) A' () cos A' () 0 cos 0 π A'' () sen A'' b π l < 0 π, A b π l es el máimo relativo. Las manecillas deben ser perpendiculares para que el área sea máima y ésta es de cm.

45 57 En un cuadrado de lado 0 cm queremos apoyar la base de un cilindro cuya área lateral es 50 cm. Cuál debe ser el radio del cilindro para que su volumen sea máimo? Área lateral cilindro πr h 50 cm h 50 πr El volumen del cilindro es: h V πr h πr 50 5r V (r) 5r πr Al estar apoyada la base sobre el cuadrado, tenemos que el dominio r de V (r) es el intervalo (0, 5]. Tenemos que maimizar V (r) 5r, con r (0, 5]. 0 cm 0 cm Como V (r) es una función creciente, su máimo se alcanza en r Dada f: [, e] Á definida por f () + ln, determina cuáles de las rectas tangentes a la gráfica de f tienen la máima pendiente. La pendiente de la recta tangente a f () en a es f '(a). Tenemos que hallar el máimo de: f '() +, [, e] Calculamos la derivada de f '(); es decir, f ''(): f ''() f '' () 0 0 [, e] (En hay un máimo relativo de f '(), pues f ''() > 0 a la izquierda de ese valor y f ''() < 0 a su derecha). Hallamos f '() en y en los etremos del intervalo [, e]: f '() 0,5; f '() 0; f '(e) e 0, e Por tanto, la recta tangente con pendiente máima es la recta tengente en. La hallamos: f () + ln ; f '() La recta es: y + ln + ( ) Página En un triángulo isósceles de base cm (el lado desigual) y altura 0 cm, se inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales: a) Epresa el área, A, del rectángulo en función de su base,, y di cuál es el dominio de la función. b) Halla el valor máimo de esa función. & & a) A Los triángulos ABC y DEC son semejantes; luego: A B 0 cm y D B E C cm AB DE BC EC Como: AB 0 cm DE y BC 6 cm EC Tenemos que: y y 5

46 0( ) 5( ) 0( ) y y Por tanto, el área del rectángulo es: A y ( 60 5 ) 60 5 A() puede tomar valores entre 0 y. Por tanto, el dominio de A() es: Dominio (0, ) b) Hallamos el máimo de A(): A' () A' () y 5 (En 6 hay un máimo, pues A' () > 0 para < 6 y A' () < 0 para > 6). El máimo de la función A() se alcanza en 6, que corresponde al rectángulo de base 6 cm y altura 5 cm. En este caso, el área es de 0 cm (que es el área máima). 60 Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 cm. Para la tapa y la superficie lateral, usamos un determinado material, pero para la base, debemos emplear un material un 50 % más caro. Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible. y Volumen y 80 cm y 80 Para la tapa y el lateral z /cm Para la base,5z /cm El precio total será: P z ( + y) +,5z ( ) z c + 80 m +,5 z z c + 0 m +,5 z z c , m z c5, 0 + m Tenemos que minimizar la función que nos da el precio: P () z c5, + 0 m P' () z e5 0 o z 5 e 0 o P' () y 5 (En hay un mínimo, pues P' () < 0 a la izquierda de ese valor y P' () > 0 a su derecha). El envase debe tener la base cuadrada de lado cm y 5 cm de altura. 6 Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de m y la altura relativa a ese lado de 5 m. Encuentra un punto P sobre la altura tal que la suma de distancias de P a los tres vértices sea mínima. altura 5 m d d d 6 6 La suma de las distancias a los tres vértices es: S d + d Pero: d + 6 y d 5 Por tanto: S ()

47 Tenemos que minimizar la función S (): S' () S' () (consideramos solo la raíz positiva, pues 0). (En hay un mínimo, pues S' () < 0 a la izquierda de ese valor y S' () > 0 a su derecha). Por tanto, el punto buscado se encuentra a m de la base, situado sobre la altura. 6 Dos postes de m y 8 m de altura distan entre sí 0 m. Se desea tender un cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los etremos de estos. Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea mínima? m 0 0 m 8 m La longitud total del cable es: L() + + ( 0 ) + 8 ; es decir: L() ; L' () ( 0) + ( + )( 60 + ) L' () ( 0) ( 0) + ( 60 + ) ( 0)( + ) 60 + ( )( + ) ± ± 58 8 ± 7 60 ( novale) (En hay un mínimo, pues L' () < 0 a la izquierda de ese valor y L' () > 0 a su derecha). Por tanto, el punto del suelo debe situarse a m del poste de m (y a 8 m del poste de 8 m). 6 De todas las rectas que pasan por el punto (, ), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima. Las rectas que pasan por el punto (, ) son de la forma: y + m ( ) Hallamos los puntos de corte con los ejes de la recta: Con el eje Y 0 y m Punto (0, m) Con el eje X y 0 Punto c, 0m m m (, ) 7

48 El área del triángulo es: A(m) c m( m) m m m c + m m c m m Hallamos el mínimo de la función: A' (m) e + m mo + m A' (m) 0 m m ( no vale) + 0 m (m no vale, pues no formará un triángulo en el primer cuadrante la recta con los ejes). (En m hay un mínimo, pues A' (m) < 0 a la izquierda de ese valor y A' (m) > 0 a su derecha). Por tanto, la recta es: y ( ); es decir: y + 6 Una escalera se apoya en la pared. Si el etremo inferior comienza a deslizarse a una velocidad de m/s, cuál será la velocidad del etremo superior en el instante en que el etremo inferior diste 5 m de la pared? La longitud de la escalera es de 5 m. Ten en cuenta que en el instante t, en segundos, el etremo inferior se ha separado de la pared t metros. Halla la altura a (t) a la que se encuentra el etremo superior. Averigua el valor de a'(5). a(t ) 5 t 5 t con t [0, 5] a(t ) es derivable en (0, 5). a' (t ) t 5 t Como el etremo inferior se desliza a m/s, estará a 5 m de la pared cuando t 5. La velocidad del etremo superior en ese instante es a' (5) m/s 65 Calcula las dimensiones del triángulo isósceles de área máima, inscrito en una circunferencia de m de radio. 5 t a Cada triángulo isósceles cuya base se encuentre por encima del diámetro horizontal se corresponde con otro que tiene la misma base y está situado por debajo del diámetro horizontal. El área de este segundo triángulo es necesariamente mayor que la del primero porque tiene la misma base y mayor altura. Por eso podemos limitarnos a los triángulos cuya base queda por debajo del diámetro horizontal. Si llamamos a la distancia del centro de la circunferencia a la base del triángulo y b a la medida de la base tenemos: b 6 b 6 con [0, ) 6 ( ) El área del triángulo es A() + 6 ( + ). A' () ( ) A' () , (no vale) b/ 8

49 El área máima se podrá dar en 0, por ser un etremo del intervalo, o en. 0, A(0) 6 cm, A() 0,785 cm (área máima) La base del triángulo mide cm y la altura, 6 cm. Cuestiones teóricas 66 Comprueba que f () 8, definida en el intervalo [0, ], verifica las hipótesis del teorema de Rolle y encuentra el valor c (0, ) para el que f ' (c) 0. f () 8 es derivable en todo Á: por tanto, es continua en [0, ] y derivable en (0, ). Además, f (0) f ( ) 0. Luego verifica la hipótesis del teorema de Rolle en [0, ]. Eiste, pues, un c (0, ) tal que f ' (c) 0. Lo calculamos: f ' () 8 0 ± 6 Por tanto, c 6. 6è( 0, ) 6é( 0, ) 67 La función y 5 +, cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, ]? En caso afirmativo, di cuál es el 0 que cumple la tesis. f () 5 + es continua en [0, ] y derivable en (0, ); luego cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [0, ]. Veamos en que punto, o puntos, cumple la tesis: f '() 0 + f( ) f( 0) 6 ( ) f '() Hay dos puntos: 0 0 ± ± 5 0 ± 5± y 5+ Z ] si 68 Se tiene la función: f () [ ] si < 0 \ Prueba que f satisface las hipótesis del teorema del valor medio en [, 0] y calcula el o los puntos en los que se cumple el teorema. Veamos que f () es continua en [, 0]: Si f () es continua, pues está formada por dos funciones continuas. Si : _ lm í f () lm í c m b 8 8 b b lm í f () lm í e o ` b f () es continua en f( ) b a Por tanto, f () es continua en [, 0]. Veamos que f () es derivable en [, 0]: 9

50 Si y (, 0), f es derivable. Su derivada es: f ' () * si < < si < < 0 En, tenemos que: f ' ( ) f ' ( + ) Por tanto, f () es derivable en (, 0). Su derivada es: si < f '() * si < 0 Como f () cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [, 0], eiste algún punto, f( 0) f( ) / ( /) c (, 0), tal que f '(c). 0 ( ) Calculamos c : f '() si < é(, ) è(, ) f ' () si < 0 (, 0) Por tanto, hay dos soluciones: c y c 69 Es posible calcular a, b, c para que la función: 5 + f () ) a + b + si si < cumpla el teorema de Rolle en el intervalo [0, c]? El teorema de Rolle dice: Si f es una función continua en [0, c] y derivable en (0, c) y f (0) f (c), eiste algún punto (0, c) tal que f '() 0. Calculamos a y b para que f () sea continua y derivable. Continuidad: Si f () es continua, pues está formada por dos polinomios. En, tenemos que: _ lm í f () lm í ( 5 + ) 6 8 b 8 b lm í f () lm í ( a + b + ) a+ b+ ` Para que sea continua, ha de ser a + b + 6; es 8+ 8 decir: a + b f( ) a+ b + b a Derivabilidad: 5 si < Si f () es derivable. Además: f '() ) a + b si > En, tenemos que: f' ( ) 5 f' ( + Para que sea derivable, ha de ser: a + b 5 ) a+ b 50

51 Con las dos condiciones obtenidas, hallamos a y b para que f () sea continua y derivable: a+ b a+ b 5 b a a + a 5 8 a 8 b Con estos valores de a y b, queda: 5 + si < 5 f () ) f '() ) + + si + 5 si si < f '() > 0 para todo Á f () es creciente No eiste ningún valor de c tal que f (0) f (c) puesto que: f ( 0) f() c c + c+ c + c + c ± 6 + c + 0 c no tiene solución. No eiste ningún c tal que f () cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en [0, c]. 70 La función f () cos toma en los etremos del intervalo [0, π] el valor. Cumplirá el teorema de Rolle? / f () ) cos si 0 π cos si π/ π es continua en [0, π]. Además, f (0) f (π). La derivada de f (), si π es: f '() sen si 0< < π/ ) sen si π/ < < π Como f ' π b l f ' π + b l, f () no es derivable en π (0, π). Por tanto, f () no es derivable en el intervalo (0, π); y no podemos aplicar el teorema de Rolle. 7 Sea f una función continua y derivable tal que f (0). Calcula cuánto tiene que valer f (5) para asegurar que en [0, 5] eiste un c tal que f ' (c) 8. Si f () es continua en [0, 5] y derivable en (0, 5), por el teorema del valor medio, podemos asegurar que eiste c (0, 5) tal que: f( 5) f( 0) f '(c) 5 0 f( 5) f( 5) En este caso: f '(c) 8 f (5) Calcula a y b para que: a f () ) 0 b + si si < cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [, 6]. Dónde cumple la tesis? El teorema del valor medio dice: si f es una función continua en [, 6] y derivable en (, 6), eiste f' ( 6) f' ( ) algún punto c (, 6) tal que f '(c). 6 Continuidad: Si f () es continua, pues está formada por dos polinomios. En, tenemos que: _ lm í f () lm í ( a ) a 8 b 8 b lm í f () lm í ( + 0 b) b` Para que sea continua, ha de ser: a b; es decir: a + b 7 f( ) b b a

52 Derivabilidad: a Si f () es derivable. Su derivada es: f '() ) + 0 En : si si < > f' ( ) a f' ( + Para que sea derivable, ha de ser: a ) Uniendo los dos resultados obtenidos: a+ b 7 a a b 9 Por tanto, si a y b 9, se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [, 6]. En este caso quedaría: si < f () ) f '() ) si + 0 Veamos dónde cumple la tesis: f( 6) f( ) (, 6) La tesis se cumple en c 9. 7 Sea f () /. Prueba que f () f ( ) 0, pero que f'() no es nunca cero en el intervalo [, ]. Eplica por qué este resultado contradice aparentemente el teorema de Rolle. f '() No eiste f '(0) Por tanto, f () no es derivable en el intervalo (, ); y no podemos aplicar el teorema de Rolle. 7 La derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable. Puede haber dos números distintos, a y b, tales que f (a) f (b)? Razónalo. No es posible, si la función es derivable (y nos dicen que lo es, pues f '() > 0 para todo ). Lo probamos por reducción al absurdo: Supongamos que eisten dos números distintos, a y b, tales que f (a) f (b). f () es derivable para todo. Por el teorema de Rolle, habría un punto c, en el que f '(c) 0. Esto contradice el que f '() > 0 para todo. 75 Calcula a, b y c para que la función: a b f () + + * c + 5 si si < cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, ]. En qué punto se cumple la tesis? Continuidad: Si f () es continua, pues está formada por dos polinomios. En, tenemos que: _ lm í f () lm í ( + a+ b) + a+ bb 8 8 b lm í f () lm í ( c + ) c + ` Para que sea continua, ha de ser + a + b c + ; es decir: a + b c f( ) c+ b a si si <

53 Derivabilidad: Si f () es derivable. Además: + a si < f '() ) c si > En : f' ( ) + a f' ( + Para que sea derivable, ha de ser: + a c ) c f ( 0) b f ( ) c + b c + Para que se cumplan las hipótesis del teorema de Rolle en [0, ], ha de cumplirse que: a+ b c a + a c b 5 b c+ c En este caso sería: si f '() ) si > Y se cumplirían las hipótesis del teorema de Rolle. Veamos dónde cumple la tesis: f ' () 0 0 (0, ) Por tanto, la tesis se cumple en. Página Dada la función: f () ln ( + ) + ln ( 0 + 0) demuestra que eiste un valor a (, ) tal que f ' (a) 0. Menciona y justifica los resultados teóricos empleados. Consideremos la función g () +. g' () ln + > 0 g () es creciente en Á. En particular lo es en el intervalo [, ]. Luego g () > g () cuando [, ] ln [ g ()] > ln [ g ()] ln > 0 cuando [, ] por ser creciente la función logaritmo neperiano. Consideremos ahora la función h () h' () 0 < 0 cuando [, ] h () decreciente en [, ] h () > h () ln [ h ()] > ln [ h ()] ln > 0 por ser creciente la función logaritmo neperiano. Por tanto, el radicando de f () es la suma de dos números positivos y la raíz está bien definida. f () es derivable en el intervalo [, ]. f () es derivable en (, ). f ( ) ln + ln f () f () f ( ) ln+ ln Por el teorema de Rolle eiste un valor a (, ) tal que f ' (a) 0. 5

54 77 Verdadero o falso? Razona la respuesta. a) Una función que no sea una recta puede tener infinitos puntos en los que su recta tangente sea y. b) Si f ' (a) 0, f '' (a) 0, entonces f no puede tener ni máimo ni mínimo en a. c) Si un polinomio de grado tiene un mínimo en, ese mínimo no puede ser mínimo absoluto. d) Una función continua en [0, 5], que no es derivable en, no puede tener un máimo en. e) Si y f () es creciente en a, entonces y f () es decreciente en a. Y f ) Si f ' (a) 0, f tiene un máimo o un mínimo en a. g) Si f ' (a) 0, f '' (a) 0 y f ''' (a) 5, f tiene un punto de infleión en a. h) Si esta es la gráfica de f ' (), entonces f tiene un mínimo en y un máimo en. X a) Verdadero. Las funciones y sen o y cos tienen infinitos puntos en los que la recta tangente es y. Sucede en los máimos relativos de la función. b) Falso. Por ejemplo, la función f () tiene un mínimo relativo en (0, 0) y f '(0) f ''(0) 0 c) Verdadero. La razón es que en un polinomio de tercer grado p () ocurre que: lm í p () + lm í p () o bien, 8 lm í 8 p () 8 + lm í 8 + p () + Los polinomios de tercer grado no tienen ni máimos ni mínimos absolutos. d) Falso. La función y no es derivable en y tiene un máimo en ese punto. e) Verdadero. Supongamos que f () es creciente en a. Entonces eiste un entorno E en el que si < f ( ) < f ( ). Pero f ( ) < f ( ) f ( ) > f ( ). Luego f () es decreciente en ese mismo entorno E. f) Falso. La función y es creciente en 0, pero f '(0) 0 0. g) Verdadero. Si f '' (a) 5 Eiste un entorno de a en el que f ''() es decreciente. Como f '' (a) 0, en ese entorno, f ''() > 0 cuando < a y f ''() < 0 cuando > a. Por tanto, la función pasa de cóncava a convea y tiene un punto de infleión en a. h) Falso. La tabla de los signos de la primera derivada es: f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 Por tanto, tiene un máimo en y un mínimo en. 5

55 Para profundizar 78 En una circunferencia de radio r se traza la tangente en un punto cualquiera C y una cuerda AB paralela a dicha tangente. Demuestra que, para que el área del triángulo ABC sea máima, la distancia de C a la cuerda debe ser / del radio. La altura del triángulo ha de ser mayor que el radio, pues, si trazamos la cuerda por A'B', podemos conseguir otro triángulo con la misma base, AB, y mayor altura; y así, con mayor área. Espresamos el área del triángulo en función de : altura + r base y y r Área base r ( + r) r ( + r ) r A() ( + r ) r ; [0, r ) Obtenemos el valor de para el que A() alcanza el máimo: A' () r + ( + r ) r ( + r) r r r+ r r r r r A' () 0 r + r 0 r± r + 8r r± 9r r ± r A' A r ( novale) r/ r/ r C r y B' B cen r hay un máimo, pues A' () > 0 a la izquierda de este valor y A' () < 0 a su derecham. El máimo se alcanza en r. Por tanto, la distancia de C a la cuerda, que es la altura del triángulo, es: h r + r r Observación: Vamos a calcular la longitud de los lados del triángulo: AB base r r r r AC BC y h ( r ) + c r m r r + 9r r Por tanto, hemos obtenido que el triángulo inscrito en una circunferencia que nos da el área máima es el triángulo equilátero. 55

56 79 Cuando un globo está a 00 m sobre el suelo y se eleva a 5 m/s, un automóvil pasa bajo él con velocidad de 5 km/h. Con qué velocidad se separan coche y globo un segundo después? Ten en cuenta lo siguiente: El globo está a t m de altura en el instante t. El coche está a (5/,6) t m de la vertical del globo. Halla la distancia entre ambos y averigua la velocidad de alejamiento cuando t. La distancia entre el coche y el globo en función del tiempo es: d (t) ( t) + e 5 to 8, 5t t , La velocidad de alejamiento es la derivada del espacio que los separa. 76, 5t d' (t) 8, 5t t Al cabo de segundo es: 76, d' () 5,7 m/s 8, Una torre está al final de una calle. Un hombre se dirige en automóvil hacia la torre a razón de 5 m/s. Sabiendo que la torre tiene 500 m de altura, con qué velocidad varía el ángulo del observador respecto de la cumbre de la torre cuando dicho observador se encuentra a 000 m de la torre? Halla tg α y, después, α. Averigua el valor de α'(t ) para t 0. tg α(t ) tg α(t ) arc tg α'(t ) α'(0) , siendo t t 00 t t 00 9t 00t rad/s t α t

57 Autoevaluación Página 97 Halla los puntos de la función: f () ln cos + cos en los que la recta tangente sea paralela a la recta y. Para que la recta tangente sea paralela a la recta dada, la pendiente de la recta tangente debe ser. f () ln ( cos ) ln ( + cos ) f '() sen sen sen sen cos + cos cos sen sen ya que sen 0 (en caso contrario no estaría definida la función). f '() sen π + k π con k Z. sen Calcula los etremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los de concavidad y conveidad de la función siguiente: f () ( ) si < + f () * * ( ) si si si < + si < f '() ) si > La función no es derivable en porque f '( ) f '( + ) < f '() 0 ) 0 8 > La tabla de los signos de la derivada primera es: f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 La función es creciente en los intervalos (, ) y (, + ). Es decreciente en el intervalo (, ). si < f '() ) si > f es convea es (, ) y cóncava en (, + ). Estudia el crecimiento de la función f () e (cos + sen ) y determina sus máimos y mínimos para [0, π]. Consideramos la función: f () e (cos + sen ) para [0, π]. Calculamos la derivada: f '() e (cos + sen ) + e ( sen + cos ) e ( cos ) e cos _ π b f '() 0 cos 0 ` (para [0, π]) π b a 57

58 Signo de la derivada: 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 π π π La función es creciente en : 0, π l, c π, πf y decreciente en cπ, π m. Tiene un máimo en bπ, e π/ l y un mínimo en c π, e / π m. a) Estudia la curvatura de la siguiente función: f () ln b) Escribe la ecuación de la recta tangente que pasa por su punto de infleión. a) El dominio de definición de la función es (0, + ). f es cóncava en los intervalos donde f '' > 0 y convea si f '' < 0. Calculamos f ' y f '': f () ln f ' () ln + ( ln + ) f ''() ( ln + ) + c m ln + f '' () 0 ln + 0 ln e / f (e / ) e Estudiamos el signo de f '' teniendo en cuenta el dominio de f, (0, + ), y el punto donde f '' () 0, e / 0,: Signo de la derivada: f '' < 0 f '' > 0 0 e / Conclusiones: f es convea en (0, e / ). f es cóncava en (e /, + ). Punto de infleión: ce, e / b) Pendiente de la recta tangente en e / : m f '' (e / ) e / ( ln e / + ) e / > c m+h e / Ecuación de la recta tangente en ce /, e m: y e e / ( e / ) m 58

59 5 Determina a, b, c y d para que la función: g () a + b + c + d tenga un máimo relativo en el punto (0, ) y un mínimo relativo en el punto (, 0). g () tiene un máimo relativo en (0, ) g () tiene un mínimo relativo en (, 0) g () a + b + c + d g' () a + b + c g (0) d g' (0) 0 c 0 g () 0 8a + b + 0 g' () 0 a + b 0 g( 0) * g'( 0) g( ) 0 * g'( ) 0 a+ b a+ b 0 a, b La función buscada es f () +. Es una función polinómica de tercer grado en la que lm í 8 f () y lm í 8 + f () +, luego (0, ) es el máimo relativo y (, 0) es el mínimo, por estar el primero a la izquierda del segundo. 6 Calcula el punto de la curva y + La pendiente de la recta tangente a f () f '() ( + ) en el que la pendiente de la recta tangente sea máima. + Buscamos los puntos donde la derivada de f '' () es 0: f '' () en es f ' (). Tenemos que hallar el máimo de f ' (). ( + ) + ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f '' () ± ± Estudio del signo de f '': f' ( / ) ( )/ 8 f' ( / ) ( )/ 8 f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0 lm í 8 f '() lm í 8 + f ' () 0 En hay un máimo de f ' () y en hay un mínimo de f ' (). Por tanto, el punto en el que la pendiente de la recta tangente es máima es: e, o 59

60 7 De todos los cilindros que pueden inscribirse en una esfera de 9 cm de radio, halla la altura y el radio del que tiene mayor volumen. y 9 Llamaremos al radio del cilindro e y a la mitad de la altura. Entonces: + y 8 y El volumen del cilindro es: 8 donde (0, 9). V () π 8 π 8 Para hallar el de volumen máimo calculamos el máimo relativo de la función anterior. ( ) V '() π 5 8 f p 6π 8 8 V '() 0 ( 5) 0 0 (no vale), 6 (no vale), 6 Estudiamos los signos de V '() cerca del punto singular: V' > 0 V' < 0 En 6 hay un máimo relativo. 6 6 radio 6 cm y altura 6 cm V ( 6) π cm 8 La función f () si [, ] verifica la igualdad f ( ) f (). Justifica si es posible encontrar algún c (, ) tal que f ' (c) 0. + si < 0 f () ) si 0 El teorema de Rolle dice que si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f (a) f (b), eiste un c (a, b) tal que f '(c) 0. Comprobamos si la función f cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, ]: Veamos si f es continua en 0: lm í lm í f() f ( 0) lm í f es continua en [, ] Estudiamos la derivabilidad de f : si < 0 f ' () ) si > 0 f '( ) f ' ( + ). f no es derivable en 0 f no es derivable en (, ). f no cumple las hipótesis del teorema de Rolle; por tanto, no podemos asegurar que eista un c (, ) tal que f '(c) 0. 60