En busca de resultados Plan de clase (1/4) Escuela: Fecha: Profesor (a):

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1 En busca de resultados Plan de clase (1/4) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: SNyPA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales u operaciones inversas para resolver problemas que implican una ecuación cuadrática. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. Si lo consideran necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas. 1. El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. Cuál es ese número? 2. Un número se elevó al cuadrado, el resultado se multiplicó por 4 y luego se restó 6 a lo que se obtuvo, el resultado final fue 30. Hay dos posibles soluciones, cuáles son? 3. El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 306. Cuál es ese número? 4. El producto de dos números naturales consecutivos es 552. Cuáles son esos números? Consideraciones previas: Se sugiere hacer un alto para analizar los procedimientos utilizados cuando la mayoría de los equipos termine de resolver el primer problema. Es probable que utilicen el ensayo y error, es decir, que vayan probando con diferentes números hasta encontrar el que cumple con las condiciones del problema. En este momento conviene pedirles que formulen una ecuación, darles unos minutos y analizar las ecuaciones formuladas. Si se representa el número buscado con la letra, la ecuación correspondiente al primer problema es: 2 5 = 220. Una vez establecida la ecuación, se sugiere preguntar: Qué se puede hacer para resolver una ecuación como ésta? Un procedimiento es simplificar la ecuación y obtener: 2 = 225 Esta ecuación se puede resolver sacando raíz cuadrada en ambos miembros para obtener el valor de. Otro procedimiento son las operaciones inversas, es decir, hacer el camino de regreso: a 220 sumarle 5, luego sacar raíz cuadrada al resultado. Haga notar que, en cualquiera de los casos (puede haber más procedimientos), se obtienen dos soluciones: 15 y -15, pues ambos números son raíces cuadradas de 225. Además, es muy conveniente comprobar que estos números cumplen con las condiciones del problema. La finalidad de hacer un alto después de resolver el primer problema es socializar los recursos utilizados para que más alumnos tengan elementos adicionales para resolver los siguientes problemas. Si bien no se pide que planteen ecuaciones, se sugiere que se haga notar su utilidad para resolverlos.

2 El segundo problema tiene asociada la ecuación: = 30 La cual también se puede resolver mediante operaciones inversas. Los números que cumplen con las condiciones del problema son +3 y -3. Los dos problemas finales tienen asociadas las ecuaciones más complejas: 2 + = 306 y ( + 1) = 552 En ambas ecuaciones aparecen, además de términos cuadráticos de, términos lineales de la incógnita. Es probable que los estudiantes las resuelvan mediante ensayo y error. Otro procedimiento posible, es el de factorización, el cual se estudiará en el bloque 2 (G9B2C1). Las soluciones son 17 y -18, para el problema 3; y para el problema 4, la solución es 23 (y su sucesor 24). En este último problema hay que notar que, como se buscan números naturales, el número -24, aunque sí es solución de la ecuación correspondiente no es solución del problema. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más eitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

3 De qué número se trata? Plan de clase (2/4) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: SNyPA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen ecuaciones cuadráticas para modelar problemas en contetos intramatemáticos y las resuelvan mediante procedimientos personales u operaciones inversas. Además que concluyan que una ecuación de este tipo tiene dos soluciones. Consigna: En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuación para cada caso. Si consideran necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas. 1. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo. De qué número se trata? 2. El cuadrado de un número menos el doble del mismo número es igual a 24. Cuál es ese número? 3. El cuadrado de un número es igual a la tercera parte del mismo más 8. Cuál es ese número? Consideraciones previas: Es necesario dar al menos 15 minutos para la discusión e iniciar con la revisión de las ecuaciones para ver si las que plantearon los diferentes equipos son iguales, equivalentes o distintas. Después, hay que analizar los procedimientos que usaron para resolverlas. Las ecuaciones que resultan de los problemas anteriores son cuadráticas y pueden resolverse por ensayo y error, procedimiento que probablemente utilicen los alumnos. Conviene decir en esta sesión que las tres ecuaciones que resultan son de segundo grado porque, a diferencia de las de primer grado, la incógnita está elevada al cuadrado. Además, es importante comprobar que las dos raíces que se obtienen de su solución cumplen con la ecuación incluyendo la negativa, si es que la hay. Por ejemplo, para el primer problema (cuya ecuación correspondiente es 2 = 3) las soluciones son 3 y 0. Para el segundo la ecuación correspondiente es 2 2 = 24, con soluciones 6 y -4. El tercero tiene ecuación 2 3 = 8, 8 con soluciones 3 y. Esta última solución es difícil de ser obtenida por ensayo y error. Se 3 sugiere que no la dé de entrada, sino que pregunte: Además de 3, habrá otra solución? Se debe hacer notar que todas las ecuaciones cuadráticas resueltas hasta el momento han tenido dos soluciones, por lo tanto, es seguro que la anterior también tenga dos soluciones.

4 Una vez que los alumnos hayan planteado y resuelto problemas como los anteriores, se puede proponer ejercicios de resolución de ecuaciones como las siguientes: a) 2-4 = 0 b) ( - 5) 2 = 144 c) = 0 d) 2 +2 = 21 Es importante insistirle a los alumnos que verifiquen las dos soluciones de las ecuaciones. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más eitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

5 Cuál de las dos es? Plan de clase (3/4) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: SNyPA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen ecuaciones cuadráticas para modelar problemas en diversos contetos y las resuelvan mediante procedimientos personales u operaciones inversas. Además, que determinen si las dos soluciones de la ecuación cumplen con las condiciones del problema. Consigna. En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan la ecuación correspondiente a cada caso. Si lo consideran necesario, utilicen su calculadora. 1. El parque de una colonia está ubicado en un terreno cuadrado. El estacionamiento es un cuadrado de 50 m de lado, ubicado en una esquina del terreno. El resto es el jardín con un área de m 2. Calculen cuánto mide por lado todo el terreno Ecuación: 2. A una pieza de cartón de forma cuadrada (Figura A), se le recortan cuadrados en las esquinas para hacer una caja sin tapa (Figura B), con las siguientes medidas: Altura = 10 cm Volumen =1 000 cm 3. Calculen la medida del lado de la pieza de cartón que se necesita para hacer la caja. Figura A Figura B

6 Ecuación: Consideraciones previas: Se espera que los alumnos planteen ecuaciones para resolver los problemas. Si es necesario, ayúdelos a identificar los datos, la incógnita y las relaciones relevantes de cada problema. Dé tiempo suficiente para esto. Aquí no se trata sólo de dar respuesta a los problemas planteados, pues podrían resolverse en forma aritmética sin mucha dificultad; sin embargo, el propósito es que precisamente la sencillez para encontrar su solución les permita encontrar la relación entre los datos para transformarlos en una ecuación cuadrática. Con base en lo anterior, es probable que los alumnos razonen de la siguiente forma: El terreno es cuadrado, por lo tanto su área se obtiene elevando la medida de su lado al cuadrado ( 2 ), el estacionamiento también es cuadrado, así que su área será igual a (50 50 = 2 500) y el área del jardín es de m 2. Por lo que la ecuación puede quedar epresada de la siguiente forma: 2 = la cual se puede simplificar hasta obtener 2 = y determinar el resultado del problema, que es 130 m. Otra forma de ver este problema consiste en plantear que al área del terreno se le resta la del estacionamiento y se tiene la del jardín, por lo que se obtiene: = Una ecuación que también pudiera surgir es 50( 50) + ( 50) = , basada en una segmentación del terreno como la que se muestra enseguida: ( 50) ( 50) Es importante discutir y dar espacio para los distintos razonamientos empleados y que los alumnos se den cuenta que cualquiera de ellos, aunque parezcan diferentes, son válidos, es decir, que las ecuaciones obtenidas son equivalentes. También hay que hacer notar que la ecuación tiene dos soluciones: 1 = 130 y 2 = 130, pero que sólo una de ellas cumple con las condiciones del problema, puesto que las longitudes no pueden ser negativas.

7 El razonamiento para formular la ecuación del segundo problema es más complejo, pues hay que relacionar la longitud de la altura (10 cm) con las medidas de los lados de la base de la caja ( 20). Hay que esperar a que los alumnos realicen la tarea por sí solos y sólo 2 brindarles ayuda si es muy necesario. La ecuación que resulta es 1000 ( 20) (10). Para solucionar esta ecuación, se puede usar el procedimiento de operaciones inversas: si se divide entre 10 se obtiene 100 = ( 20) 2 y si a ésta se le etrae raíz cuadrada se obtiene: ±10 = 20, de donde resulta que puede ser 30 o 10. Es importante descartar la solución = 10 a partir del conteto del problema. Es probable que los alumnos obtengan este mismo resultado por otros medios, como ensayo y error, lo importante es que sepan eplicar el procedimiento utilizado y por qué el resultado cumple con las condiciones del problema. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más eitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

8 A la inversa Plan de clase (4/4) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: SNyPA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. Intenciones didácticas: Que los alumnos traduzcan al lenguaje común ecuaciones cuadráticas y las resuelvan usando procedimientos personales. Consigna: Organizados en parejas, inventen un problema que se pueda resolver con cada una de las ecuaciones presentadas. Resuelvan y comprueben resultados. Pueden utilizar calculadora. a) ( +3) = 270 b) a 2 + a = 132 c) 3n 2 n =102 Consideraciones previas: La traducción de una ecuación a un problema no es una tarea sencilla pero es importante que los alumnos la lleven a cabo, con el fin de que le busquen sentido a una epresión algebraica. Los problemas inventados pueden corresponder a diferentes contetos tales como, cálculo de áreas, edades, números, dinero, etcétera, sin embargo, para una misma ecuación, los problemas siempre tendrán la misma estructura. Por ejemplo, para la del inciso a, los problemas pueden ser: - El largo de un rectángulo mide tres unidades más que el ancho y el área es 270 m 2, Cuáles son las dimensiones del rectángulo? - El producto de dos números es 270. Si uno es tres unidades mayor que el otro, cuáles son los números? - Juan es tres años mayor que su hermano Luis. Si el producto de sus edades es 270, qué edad tiene cada uno? Los procedimientos para resolver estas ecuaciones pueden ser todavía de ensayo y error, es hasta el siguiente bloque cuando se empieza el estudio formal de procedimientos algebraicos. Es importante que verifiquen las dos soluciones de las ecuaciones y que decidan, a partir del conteto de los problemas formulados, cuál es la que permite dar una respuesta lógica al problema. 1. Cuáles fueron los aspectos más eitosos de la sesión?

9 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15