Ecuaciones lineales de orden superior

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1 ANEXO GUIA 5 Ecuaciones lineales de orden superior Las ideas presentadas para ecuaciones lineales de segundo orden se pueden generalizar a ecuaciones lineales de orden n d n x n + a n 1(t) dn 1 x n a 1(t) dx + a 0(t) x = f(t), (1) donde f(t), a n 1 (t),, a 1 (t), a 0 (t) son funciones continuas definidas en un intervalo J. Uno de los objetivos de este anexo es mostrar que la solución general x(t) de (1) se puede escribir en la forma x(t) = x H (t) + x P (t), donde x H (t) es la solución general de la ecuación homogénea asociada d n x + a n 1(t) dn 1 x n + + a 1(t) dx n 1 + a 0(t) x = 0, (2) y x P (t) es una solución particular cualquiera de (1). Tal como ocurre con las ecuaciones lieales de segundo orden, el cálculo explícito de x H (t) y x P (t) resulta difícil en general. Sin embargo, cuando los coeficientes a n 1 (t),, a 1 (t), a 0 (t) son funciones constantes, entonces x H (t) resulta ser una combinación lineal de funciones del tipo t k e α t cos βt, t k e α t sen βt. (3) El cálculo de soluciones particulares tambien se simplifica en el caso de ecuaciones lineales con coeficientes constantes si adicionalmente, el término f(t) es una combinación de funciones del tipo (3). 1. Teoría general Será conveniente escribir la ecuación (1) en la forma L [x] (t) = f(t), (NH) en donde L se interpreta como un operador diferencial de orden n, el cual actúa sobre una función n veces derivable x = x(t), t J, transformándola en la función L [x] (t). Resolver (1) es equivalente a encontrar el conjunto de las preimágenes de la función f, mediante el operador L. Se demuestra sin dificultad que L es lineal, es decir L [c 1 x 1 + c 2 x 2 ] = c 1 L [x 1 ] + c 2 L [x 2 ] 1

2 para cualquier par de constantes c 1 y c 2 y cualquier par de funciones x 1 y x 2 n veces diferenciables en J. Ejemplo. Considere el operador Entonces L [x] = d4 x 4 x. L [cos 2t] = 15 cos 2t, L [ t 4] = 24 t 4. El siguiente resultado es el Teorema Fundamental de Existencia y Unicidad para ecuaciones lineales de orden n. La demostración de este resultado está más allá de los alcances de estas notas. Teorema 1. Si las funciones f(t), a n 1 (t),, a 1 (t), a 0 (t) son continuas en J, entonces para cada t 0 en J y cada elección de números reales x 0,..., x n 1 existe una única función x = x(t), t J, que satisface (NH) y las condiciones iniciales x(t 0 ) = x 0, dx (t 0) = x 1 0,, dn 1 x (t 0) = x (n 1) n 1 0. (4) 1.1. Ecuaciones lineales homogéneas. Esta sección está dedicada a la ecuación diferencial homogénea L [x] = 0 (H) Una consecuencia inmediata del Teorema Fundamental es el siguiente resultado. dx Teorema 2. La única solución de (H) que satisface x(t 0 ) = 0, (t 0) = 0,..., d n 1 x(t n 1 0 ) = 0 es la función constante cero, x(t) = 0 para todo t en J. Para las ecuaciones homogéneas de orden n también vale el principio de superposición de soluciones (Teorema 4, Guía 5). Es decir, si x 1 (t),..., x r (t) son soluciones de (H), y si c 1,..., c r son constantes, entonces la combinación lineal x(t) = c 1 x 1 (t) + + c r x r (t) es solución de (H). Ejemplo. Por reemplazo directo puede verse que x 1 (t) = e t, x 2 (t) = e t, x 3 (t) = cos t y x 4 (t) = sen t son soluciones de d 4 x x = 0. (5) 4 Por tanto tambien es solución de (5) cualquier función que se pueda escribir en la forma x(t) = c 1 e t + c 2 e t + c 3 cos t + c 4 sen t, 2

3 con c 1, c 2, c 3 y c 4 números reales. Puede verificarse por ejemplo que una solución de (5) que satisface las condiciones iniciales es la función x(0) = 0, dx (0) = 2, d 2 x (0) = 2, d3 x (0) = 0, 2 3 x(t) = e t cos t sen t. Más aún, de acuerdo con el Teorema 1 esta es la única solución que satisface esas condiciones iniciales. No sobra insistir que existen infinitas soluciones de (5) Porqué? Se recordará de los cursos de álgebra lineal que r funciones x 1 (t),, x r (t), t J son linealmente independientes si la identidad donde c 1,, c r son escalares, implica c 1 x 1 (t) + + c r x r (t) = 0, para todo t J, c 1 = 0,, c r = 0. Definición 1. Un conjunto fundamental de soluciones de (H) es un conjunto de n soluciones linealmente independientes de H. Definición 2. Si x 1 (t),, x n (t), t J, son funciones n 1 veces diferenciables se define su determinante de Wronski mediante x 1 (t) x n (t) dx 1 W (t) W (x 1,, x n ) (t) = det (t)... dx n (t)... d n 1 x 1 d (t)... n 1 x n (t) n 1 n 1 El teorema que sigue suministra un criterio para saber cuándo n soluciones de (H) forman un conjunto fundamental de soluciones. Teorema 3. Si x 1 (t),, x n (t), t J son n soluciones de (H), entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes: (1) W (t) 0 para todo t J. (2) W (t) 0 para algún t 0 en J. (3) {x 1 (t),, x n (t)}, t J, forma un conjunto fundamental. 3

4 Ejemplo. El conjunto { cos t, sen t, e t, e t} es un conjunto fundamental de soluciones de (5). En efecto cos t sen t e t e t W (t) = det sen t cos t e t e t cos t sen t e t e t = 8, sen t cos t e t e t po lo tanto el conjunto dado es linealmente independiente. Como en el caso de las ecuaciones lineales de segundo orden veremos ahora que dado un conjunto fundamental de soluciones de (H), entonces cada solución de (H) puede escribirse como combinación lineal de ese conjunto fundamental. Teorema 4. Sea {x 1 (t),, x n (t)}, t J, un conjunto fundamental de soluciones de (H) en el intervalo J. Entonces toda solución de (H) en J es de la forma donde c 1,, c n son constantes arbitrarias. x H (t) = c 1 x 1 (t) + + c n x n (t), t J (6) El conjunto de todas las soluciones de (H), tal como las representadas en (6) se conoce como la solucióm general de (H). Ejemplo. Se verifica (ver problema 1) que x 1 (t) = t, x 2 (t) = t 2 y x 3 (t) = t 3 satisfacen la ecuación diferencial 3 d 2 x 3 t + 6 dx 2 t 2 6 x = 0, t > 0. (7) t3 Se calcula sin dificultad que W (t, t 2, t 3 ) = 2t 3, luego estas tres soluciones forman un conjunto fundamental y la solución general de (7) es x H (t) = c 1 t + c 2 t 2 + c 3 t 3, donde c 1, c 2 y c 3 son constantes arbitrarias. Reducción de orden. Pude ser que alguna solución x 1 (t) de la ecuación homogénea (H) sea conocida. En tal caso se puede reducir el orden de la ecuación mediante la sustitución x(t) = x 1 (t) u(t) donde u(t) es una función por determinar. Reemplazando en (H) se obtiene que la función v(t) = du 4

5 satisface una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n 1. Ejemplo. Por sustitución directa se verifica que x 1 (t) = t es solución de la ecuación homogénea 1 d 2 x 3 t + 2 dx 2 t 2 2 t x = 0. 3 Hallaremos otras soluciones por reducción de orden. Sustituyendo x(t) = x 1 (t) u(t) en la ecuación diferencial se obtine la ecuación lineal homogénea en u(t): d 3 u + 2 d 2 u 3 t = 0. 2 Es claro que la ecuación en u(t) se reduce a una ecuación de segundo orden mediante la sustitución v(t) = du. Más aún, y(t) = d2 u produce la ecuación de primer orden 2 dy + 2 y(t) = 0. Se tiene sin dificultad que y(t) = c 1 t t 2, donde c 1 es una constante cualquiera. Mediante integración se obtiene v(t), e integrando nuevamente se llega a u(t) = c 1 ln t + c 2 t + c 3, donde c 1, c 2 y c 3 son constantes arbitrarias. En consecuencia t u(t) es solución para cualquier elección de las constantes. Esto nos suministra un conjunto fundamental { t, t 2, t ln t }. La solución general estará dada por x(t) = c 1 t ln t + c 2 t 2 + c 3 t Ecuaciones lineales no homogéneas Consideramos ahora la ecuación diferencial lineal no homogénea (NH). Dos propiedades fundamentales de la ecuación no homogénea (NH) son los resultados siguientes. Teorema 5. Supóngase que x P (t) es una solución particular de (NH). Entonces cada solución de (NH) es de la forma x(t) = x H (t) + x P (t), donde x H (t) es alguna solución de la ecuación homogénea asociada (H). Teorema 6. Supóngase que f(t) = c 1 f 1 (t) + + c r f r (t). Si x k solución de L [x] (t) = f k (t) k = 1,..., r, entonces x = c 1 x 1 (t) + + c r x r (t) es una solución de = x k (t) es una L [x] (t) = c 1 f 1 (t) + + c r f r (t). 5

6 Generalizamos ahora el método de variación de parámetros para las ecuaciones lineales de orden superior. Con este método, debido a Lagrange, se puede encontrar una solución particular x P (t) de (NH) si se conoce un conjunto fundamental de soluciones {x 1 (t),, x n (t)} de (H). En forma completamente análoga al caso de ecuaciones de segundo orden puede probarse que si las funciones P 1,..., P n, satisfacen el sistema de ecuaciones entonces x 1 (t) x n (t) dx 1 (t)... dx n (t)... d n 1 x 1 d (t)... n 1 x n (t) n 1 n 1 dp 1 dp 2. dp n = 0 0. f(t), x P (t) = x 1 (t) P 1 (t) + + x n (t) P n (t), (8) es una solución particular de la ecuación no homogénea (NH). Aplicando la regla de Kramer al sistema anterior se tiene que dp j = W j(t), j = 1,, n, W (t) donde W (t) es el determinante de Wronski y W j (t) es el determinante que se obtiene cuando la j-esima columna del determinante de Wronski se sustituye por el transpuesto de (0, 0,, f(t)). Ejemplo. Mediante el método de variación de parámetros hallar una solución particular de 3 d 2 x 3 t + 6 dx 2 t 2 6 x = t sen t, t > 0. (9) t3 La ecuación homogénea asociada (7) fue tratada en un ejemplo previo. Se mostró que {t, t 2, t 3 } forman un conjunto fundamental de (7) y que W (t, t 2, t 3 ) = 2t 3. Según (8) tenemos x P (t) = t P 1 (t) + t 2 P 2 (t) + t 3 P 3 (t), donde dp j = W j(t) 2t 3 dp 1, j = 1, 2, 3. En particular = W 1(t) = 1 2t 3 2t det 3 Algunos cálculos elementales muestran que Entonces 0 t 2 t 3 0 2t 3t 2 t sen t 2 6t W 2 (t) = 2t 4 sen t, W 3 (t) = t 3 sen t. = t2 sen t. 2 x P (t) = t t 2 sen t + t 2 2t sen t + t 3 sen t 2 2 = t cos t. 6

7 2. Ecuaciones con coeficientes constantes En esta sección estudiaremos una generalización del método debido a L. Euler para resolver ecuaciones lineales del tipo d n x + a d n 1 x n n a dx n a 0 x = f(t), (10) en donde a n 1,, a 1, a 0 son constantes reales. Según la sección anterior, cada una de las soluciones x = x(t) de (10) se puede escribir en la forma x(t) = x H (t) + x P (t), donde x P es alguna solución particular de (10) y x H es una solución de la ecuación homogénea asociada d n x + a d n 1 x n n a dx n a 0 x = 0. (11) Primero estudiaremos las soluciones x H (t) de (11) Ecuaciones homogéneas El método de Euler consiste en buscar soluciones de (11) del tipo x(t) = e λ t, λ una constante por determinar. Como dk k (e λ t ) = λ k e λ t y e λ t 0, se tiene que e λ t satisface (11) si y sólo si λ satisface la ecuación característica ρ(λ) λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0. (12) El Teorema fundamental del álgebra asegura la existencia de exactamente n raíces (que pueden ser complejas) contando multiplicidades. Si el polinomio característico ρ(λ) tiene coeficientes reales (lo cual ha sido supuesto en este capítulo), entonces las raíces se presentan en pares conjugados. Es decir, si α + i β es raiz de ρ(λ), también lo es su complejo conjugado α i β Raíces diferentes de la ecuación característica Supondremos que ρ(λ) tiene n raíces diferentes. Digamos que hay r raíces reales distintas λ 1,, λ r, y p pares de raíces complejas conjugadas distintas α 1 + i β 1, α 1 i β 1,, α p + i β p, α p i β p. Observe que r + 2p = n. Las raíces reales diferentes dan lugar a r soluciones e λ 1 t,..., e λr t, 7

8 mientras que los p pares de raíces complejas conjugadas dan lugar a 2p soluciones e α 1 t cos β 1 t, e α 1 t sen β 1 t,..., e αp t cos β p t, e αp t sen β p t, con lo que se tienen n soluciones. Se demuestra con técnicas de álgebra lineal que estas n soluciones son linealmente independientes, y por ende forman un conjunto fundamental de soluciones. Ejemplo. La ecuación caraterística de (5) es λ 4 1 = ( λ 2 1 ) ( λ ) = 0, la cual tiene un par de raíces complejas conjugadas i, i y dos raíces reales 1, 1, todas distintas entre si. Ellas dan lugar a las cuatro soluciones linealmente independientes que forman el conjunto fundamental ya conocido {cos t, sen t, e t, e t } Raíces repetidas de la ecuación característica Cuando el polinomio característico ρ(λ) tiene raíces repetidas el conjunto fundamental debe completarse de manera análoga al caso de las ecuaciones lineales homogénes de segundo orden. Si λ es una raíz repetida de ρ(λ) con multiplicidad algebraica k, entonces asociadas a la raiz λ se tienen las siguientes k soluciones soluciones de (11) e λ t, t e λ t,..., t k 1 e λ t. Si α k + i β es una raiz repetida de (12) con multiplicidad algebraica k, también su conjugada α k i β será una raiz repetida con la misma multiplicidad algebraica. En tal caso se tienen 2k soluciones de (11) e α t cos β t, e α t sen β t, t e α t cos β t, t e α t sen β t,, t k 1 e α t cos β t, t k 1 e α t sen β t Ejemplo. Considérese la ecuación diferencial de tercer orden + x 3 3d2 + 3dx + x(t) = 0. 2 La ecuación caraterística (λ + 1) 3 = 0 tiene a λ = 1 como raíz de multiplicidad algebraica 3. El conjunto fundamental de soluciones es {e t, t e t, t 2 e t } y la solución general es x(t) = ( c 1 + c 2 t + c 3 t 2) e t. donde c 1, c 2 y c 3 son constantes arbitrarias. Ejemplo. Considerese la ecuación diferencial de cuarto orden d 4 x + x 4 2d2 + x =

9 La ecuación caraterística (λ 2 + 1) 2 = 0 tiene al par λ = ±i como raíces conjugadas de multiplicidad algebraica 2. El conjunto fundamental de soluciones es {cos t, sen t, t cos t, t sen t, }, por lo tanto la solución general puede escribirse como x(t) = (c 1 + c 2 t) cos t + (c 3 + c 4 t) sen t. donde c 1, c 2, c 3 y c 4 son constantes arbitrarias Ecuaciones no homogéneas Presentaremos el método de coeficientes indeterminados para encontrar soluciones de la ecaución no homogénea (10) cuando el término no homogéneo f(t) es una combinación lineal de funciones del tipo t k cos ωt e α t, t k sen ωt e α t. La idea es simplemente buscar una solución particular de la misma forma. Esto se ilustra mejor con algunos ejemplos. Ejemplo. Hallaremos una solución particular de d2 x 4 + dx x = cos 2t. 2 Ahora bien, f(t) = cos 2t no es solución de la la ecuación homogénea asociada. Por eso buscaremos una solución particular x P (t) de la misma forma, es decir, x P (t) = A cos 2t + B sen 2t donde los coeficientes A y B están por determinar. Reemplazando x P (t) en la ecuación diferencial no homogénea, y agrupando términos se tiene (3A 6B) cos 2t + (6A + 3B) sen 2t = cos 2t. Entonces 3A 6B = 1 y 6A + 3B = 0, de lo que se sigue que A = 1 y B = 2 15 Una solución particular será 15. x P (t) = 1 15 cos 2t 2 15 sen 2t. Pueden surgir dificultades en la aplicación del método de los coeficientes indeterminados cuando el término no homogéneo f(t) es solución de la ecuación homogénea asociada. Ejemplo. Hallaremos una solución particular de d 4 x + x 4 2d2 + x = sen t. 2 9

10 Ahora bien, las funciones sen t, t sen t, cos t y t cos t satisfacen la ecuación homogénea asociada. Por eso no podemos esperar soluciones particulares del tipo c 1 cos t + c 2 sen t + c 3 t cos t + c 4 t sen t. Guiados por la analogía de las ecuaciones de segundo orden buscaremos soluciones particulares x P (t) de forma x P (t) = t 2 (A cos t + B sen t), donde los coeficientes A y B están por determinar. Reemplazando x P (t) en la ecuación diferencial no homogénea, y agrupando términos se tiene 8A cos t 8B sen t = sen t. Entonces 8A = 0 y 8B = 1. La solución particular será x P (t) = t2 8 sen t. Ejercicios. 1. Hallar la solución general de la ecuación 3 d 2 x 3 t + 6 dx 2 t 2 6 x = 0, t > 0. t3 Sugerencia: Está es una ecuación del tipo Cauchy-Euler. Las soluciones son del tipo x(t) = t k, donde k es un exponente por determinar. 2. Verifique que x(t) = t es solución de + 2 d 2 x 3 t + 4 dx 2 t 2 4 x = 0, t > 0. t3 Halle un conjunto fundamental de esta ecuación diferencial. 3. Sea ρ(λ) = (λ 1) (λ 2 + 4). Halle el operador diferencial L que tenga ρ(λ) como polinomio característico y halle la solución general de 4. Halle la solución de L [x] (t) = sen 2t x 3 2d2 dx 2x = sen t, 2 dx x(0) = 0, (0) = 1, d 2 x (0) =

11 5. Dada la ecuación (t + 1) d4 x dx + (t 1) 4 x = tan t diga en qué intervalos se puede garantizar la existencia de soluciones, de acuerdo al teorema de existencia de soluciones para ecuaciones lineales de orden n. 6. En los siguientes casos decida si el conjunto dado forma o no un conjunto fundamental de soluciones, en el intervalo dado. En caso afirmativo halle la solución que satisface las condiciones iniciales que se indican. a) tx x = 0, t > 0; x 1 = 1, x 2 = t, x 3 = t3. C.I. x(1) = 0, x (1) = 1, x (1) = 1. b) x + 2x x 2x = 0, < t < ; x 1 = cosh t, x 2 = senh t, x 3 = e 2t. C.I. x(0) = 0, x (0) = 0, x (0) = 1. c) x + 2x x 2x = 0, < t < ; x 1 = cosh t, x 2 = senh t, x 3 = e t. C.I. x(0) = 0, x (0) = 0, x (0) = 1. d) x (4) + 2x + x = 0, < t < ; x 1 = cos t, x 2 = sen t, x 3 = t, x 4 = t2. C.I. x(0) = 0, x (0) = 1, x (0) = 1, x (0) = ( reducción de orden ) Dada la ecuación x 3 3d2 + 3dx 2 x = 0 a) Muestre que existe un único λ = λ 1 para el cual la función x = e λ 1 t es una solución. b) Muestre que la substitución x = e λ 1 t v(t) permite reducir la ecuación dada a una de segundo orden. Emplee esta reducción para obtener un conjunto fundamental de soluciones. 8. Halle las solución de cada uno de los siguientes problemas con condiciones iniciales: a) x (4) x = 0, x(0) = 0, x (0) = 0, x (0) = 1, x (0) = 1 b) x x = 0, x(0) = 0, x (0) = 0, x (0) = 1 c) x (4) + 2x + x = 0, x(0) = 0, x (0) = 0, x (0) = 0, x (0) = 1 d) x (4) x = e t, x(0) = 0, x (0) = 0, x (0) = 0, x (0) = 0 9. Halle la solución general de x 3 2d2 dx 2 + 2x = 11 e2t 1 + e t.

12 10. Una masa m 1 pende del extremo de un resorte vertical de constante k 1 que cuelga sujeto de un soporte fijo. A su vez un segundo resorte de constante k 2 se sujeta de la masa m 1, mientras que una masa m 2 se suspende del extremo libre de este último resorte. Si x 1 y x 2 representan los desplazamientos de las masas m 1 y m 2 a partir de sus respectivas posiciones de equilibrio a) muestre que x 1 y x 2 satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden d m 2 x 1 1 = (k k 2 )x 1 + k 2 x 2 d m 2 x 2 (*) 2 = k 2 2 x 1 k 2 x 2 b) Si en un sistema apropiado de unidades m 1 = m 2 = 1, muestre que x 1 satisface la ecuación d 4 x (k k 2 ) d2 x k 1 k 2 x 1 = 0 (**) (sug: despeje x 2 en la primera ecuación del sistema (*) y reemplace en la segunda ecuación) c) Resuelva la ecuación (**) en el caso en que k 1 = 5, k 2 = 6, si además x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 1, x 1(0) = 0, x 2(0) = 0. Respuestas seleccionadas 5. (, π 2 ), ( π 2, 1), ( 1, π 2 ), ( π 2, ). 6a) x(t) = t 1 6 t3, 6b) x(t) = 1 3 cosh t senh t e 2t. 3a) x(t) = 1 2 cos t 1 2 sen t et, 6d) 1 4 cos t sen t 3 8 et e t tet 12