MODELOS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICOS CLASE 4: DISTRIBUCIÓN t, CHI-CUADRADA y EXPONENCIAL PROFESOR: OSCAR SAAVEDRA ANDRÉS DURANGO.

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1 DISTRIBUCIÓN t Con frecuencia intentamos estimar la media de una población cuando se desconoce la varianza, en estos casos utilizamos la distribución de t de Student. Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande, digamos n 30, la distribución de T no difiere de manera considerable de la normal estándar. Teorema Sean 1,,, n variables aleatorias independientes que son todas normales con media μ y desviación estándar σ. Sea: n n i i y S i1 n i1 n 1 Entonces la variable aleatoria T i tiene una distribución t con υ = n 1 grados S / n de libertad. La distribución t se usa de manera extensa en problemas que tienen que ver con inferencia acerca de la media de la población o en problemas que implican muestras comparativas. NOTA: Alfa (α): este valor hace referencia al nivel de confianza que deseamos que tengan los cálculos de la prueba; es decir, si queremos tener un nivel de confianza del 95%, el valor de alfa debe ser del 0.05, lo cual corresponde al complemento porcentual de la confianza. Grados de Libertad (v): Es un estimador del número de categorías independientes en la prueba de independencia o experimento estadístico. Se encuentran mediante la fórmula n-r, donde n=número de sujetos y r es el número de grupos estadísticamente dependientes. Ejemplo 1 En la distribución t con 16 grados de libertad, encuentre el área, o la probabilidad, de cada una de las siguientes regiones: a) A la derecha de.10

2 b) A la izquierda de c) A la izquierda de d) A la derecha de.583 e) Entre -.10 y.10 f) Entre y Ejemplo Encuentre los valores de t para las situaciones siguientes. a) Un área de 0.05 en la cola superior, con 1 grados de libertad. b) Un área de 0.05 en la cola inferior, con 50 grados de libertad. c) Un área de 0.01 en la cola superior, con 30 grados de libertad. d) Entre los que queda 90% del área, con 5 grados de libertad. e) Entre los que queda 95% del área, con 45 grados de libertad. Ejemplo 3 Si es una variable aleatoria que sigue una distribución t de student, a) Encuentre P (T <,390) cuando se tienen 60 grados de libertad. b) Encuentre P (-0.856< T <.485) cuando se tienen 5 grados de libertad. c) Encuentre el valor de k para P (-,01 < T < k) = 0,965 cuando se tienen 40 grados de libertad. Ejemplo 4 Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta información muestrea 5 lotes cada mes. Si el valor t calculado cae entre t 0.05 y t 0.05, queda satisfecho con su afirmación. Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media x = 518 gramos por milímetro y una desviación estándar muestral s = 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimiento es aproximadamente normal. Ejemplo 5 Una empresa manufacturera afirma que las baterías que utiliza en sus juegos electrónicos duran un promedio de 30 horas. Para mantener este promedio, se prueban 16 baterías cada mes. Si el valor t que se calcula cae entre - t 0.05 y t 0.05, la empresa queda satisfecha con su afirmación. Qué conclusiones extraería la empresa de una muestra que tiene una media de x 7. 5 horas y una desviación estándar de s = 5 horas? Suponga que la distribución de las duraciones de las baterías es aproximadamente normal.

3 DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADA (χ ) upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/... La distribución chi cuadrada juega un papel vital en la inferencia estadística. Tiene una aplicación considerable en la metodología y en la teoría. La distribución chi cuadrada es un componente muy importante de la prueba de hipótesis y de la estimación estadística. La tabla Chi-cuadrado es usada para realizar pruebas de independencia, que nos permite determinar si existe una relación entre dos variables categóricas. La prueba nos indica si existe o no una relación entre las variables, pero no indica el grado o el tipo de relación; es decir, no indica el porcentaje de influencia de una variable sobre la otra o la variable que causa la influencia. La tabla tiene dos entradas (ver anexo): Alfa (α): este valor hace referencia al nivel de confianza que deseamos que tengan los cálculos de la prueba; es decir, si queremos tener un nivel de confianza del 95%, el valor de alfa debe ser del 0.05, lo cual corresponde al complemento porcentual de la confianza. Grados de Libertad (v): Es un estimador del número de categorías independientes en la prueba de independencia o experimento estadístico. Se encuentran mediante la fórmula n-r, donde n=número de sujetos y r es el número de grupos estadísticamente dependientes. Teorema Si S es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una población normal que tiene la varianza σ, entonces la estadística: n n s i 1 i1 Tiene una distribución chi cuadrada con v = n 1 grados de libertad La tabla da los valores de χ α para diversos valores de α y ν.

4 Ejemplo 6 Encuentre los siguientes valores de la distribución chi-cuadrada a partir de la tabla. a) b) c) d) e) Ejemplo 7 Para una distribución chi cuadrada encuentre χ α tal que: a) P 0.99 cuando v 4 b) P 0.05 cuando v 19 c) P cuando v 5 Ejemplo 8 Para una distribución chi-cuadrada encuentre tal que: a) ( ) b) ( ) c) ( ) Ejemplo 9 Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 5 observaciones, de una población normal con varianza σ = 6, tenga una varianza s a) Mayor que 9.1 b) Entre 3.46 y Suponga que las varianzas muéstrales son mediciones continuas. Ejemplo 10 Las calificaciones de un examen de colocación que se aplicó a estudiantes de primer año de licenciatura durante los últimos cinco años están aproximadamente distribuidas de forma normal con una media μ = 74 y una varianza σ =8. Consideraría aún que σ =8 es un valor válido de la varianza si una muestra aleatoria de 0 estudiantes que realizan este examen de colocación este año obtienen un valor de s = 0?

5 DISTRIBUCIÓN EPONENCIAL Esta distribución se aplica para modelar el tiempo transcurrido entre la ocurrencia de dos éxitos consecutivos; estos éxitos pueden ser: llegadas de clientes a un negocio, llegadas de piezas de producción a una estación de trabajo, fallas consecutivas de una máquina. En general, esta distribución se utiliza en la modelación de sistemas de líneas de espera y en la teoría de confiabilidad. Definición de la Distribución Exponencial. La v.a. tiene distribución exponencial, si su función de densidad es: ( ) donde μ = valor esperado o media. La siguiente fórmula aporta la probabilidad acumulada de obtener un valor de la variable aleatoria exponencial que sea menor o igual que algún valor específico x. ( ) ( ) La distribución exponencial modela el tiempo de espera a que ocurra un éxito de una distribución Poisson, razón por la cual hay una relación entre los parámetros θ y λ que es μ = 1/λ. Esta relación es importante considerar cuando se aplica la distribución exponencial para modelar tiempo de espera de un éxito de una distribución Poisson. Ejemplo 11 El tiempo requerido para pasar por la inspección en los aeropuertos puede ser molesto para los pasajeros. El tiempo medio de espera en los períodos pico en cierto aeropuerto

6 es de 1.1 minutos. Suponga que los tiempos para pasar por la inspección de seguridad tienen una distribución exponencial. a) Cuál es la probabilidad de que durante los períodos pico se requieran 10 minutos para pasar la inspección de seguridad? b) De qué durante los períodos pico se requieran entre 10 y 0 minutos para pasar la inspección de seguridad? c) De qué durante los períodos pico se requieran más de 0 minutos para pasar la inspección de seguridad? Ejemplo 1 Los tiempos entre las llegadas de vehículos a un determinado entronque siguen una distribución de probabilidad exponencial cuya media es 1 segundos. a) Cuál es la probabilidad de que los tiempos de llegada entre vehículos sean 1 segundos o menos? b) Cuál es la probabilidad de que los tiempos de llegada entre vehículos sean de 6 segundos o menos? c) Cuál es la probabilidad de 30 o más segundos entre los tiempos de llegada? Ejemplo 13 El tiempo de vida (en hora) de un dispositivo electrónico es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad de probabilidad exponencial. ( ) a) Cuál es la media del tiempo de vida de este dispositivo? b) Cuál es la probabilidad de que el dispositivo tenga una falla en las primeras 5 horas de funcionamiento? c) Cuál es la probabilidad de que el dispositivo funcione 100 o más horas sin fallar? Tomado de: Anderson, D. Sweeney, D. Estadística para Administración y Economía. 10ª edición. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Jay Devore. Sexta edición.

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