Intensificación en Estadística

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1 GRADO EN VETERINARIA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E IO 0-0 IV Curso Cero Itesfcacó e Estadístca Itroduccó a la fucó Sumatoro Itroduccó Cocepto de fucó sumatoro Aplcacoes Itroduccó Cocepto de fucó sumatoro Aplcacoes Propedades de los sumatoros Propedades elemetales Propedades de comutatvdad y asocatvdad Operacoes de agrupameto y partcó Sumatoros de fucoes de varable depedete etera Ejerccos Referecas Ferado Muñoz Valcárcel Coordador de Estadístca y Empresa

2 Itroduccó a la fucó sumatoro Itroduccó Cocepto de fucó sumatoro E muchos campos cetífcos y tecológcos (y, partcularmete, e estadístc se trabaja habtualmete co ua gra catdad de datos umércos Así, por ejemplo, e ua eplotacó gaadera co ua cabaña de 0000 vacas, la produccó dara de leche de estas costtuye ua sere de 0000 úmeros, dcado cada uo de ellos la produccó de cada ua de las vacas E estadístca es usual etraer formacó de ua sere de úmeros (como los de la eplotacó ctad utlzado fucoes deomadas estadístcos, basadas e las operacoes algebracas ordaras: suma, producto, raíz cuadrada, etc Uo de estos estadístcos se deoma meda artmétca La meda artmétca de los úmeros,, 8 y es gual a la suma de los úmeros dvdda por : Meda artmétca = = Lógcamete, la meda artmétca puede obteerse para cualquer catdad de datos, pero su epresó ordara se hace tedosamete larga cuado el úmero de los datos es elevado (como e el caso de las 0000 produccoes de leche) por lo que parece razoable buscar ua epresó smplfcada para epresar de forma stétca la suma de todos los datos Además, puesto que los datos utlzados e cada mometo será específcos del problema que estemos abordado, será coveete que la epresó que obtegamos sea aplcable e cualesquera cotetos de los que hayamos obtedo resultados umércos Supogamos que X es ua varable umérca que puede tomar valores e el tervalo [a, b] y que, por algú procedmeto, asgamos valores sucesvamete a la varable S llamamos al prmer valor, al segudo, etc, la sere obteda puede escrbrse de la sguete forma:,,,, -,, dode dca el total de valores obtedos (E el caso de la eplotacó, umeradas las vacas, sería la produccó de leche de la prmera vaca, la de la seguda, y 0000 la de la últm Etoces, la suma de todos los úmeros de la sere sería T = Def S llamamos al -ésmo úmero, co =,,, y utlzamos el símbolo (sgma mayúscul, podemos escrbr T de la sguete forma abrevada: = = = T

3 El últmo térmo de las gualdades aterores se deoma sumatoro de ( sub-), desde gual a hasta gual a ; y las epresoes stuadas bajo y sobre dca que la suma de los térmos empeza e y terma e Los sumatoros se puede represetar de dferetes formas, sedo alguas de las más frecuetes las sguetes: = =, cuado se quere precsar el valor de, =, cuado el valor de se cooce por el coteto U sumatoro es u operador matemátco: es ua fucó que tee como argumeto ua fucó de varable depedete etera (o, ()), sedo u úmero etero Esta fucó puede ver dada por: ( ua tabla de valores, o por (b) ua fórmula Los dos ejemplos sguetes lustra ambos casos: (,,8,7, Aplcacoes (b) = +, para =,,,, Utlcemos los dos ejemplos del apartado ateror para aalzar como fucoa el operador sumatoro e cada uo de los casos descrtos más arrba para la fucó (a ) (b ) = =,+,8+,7 +, =, = ( + ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) = 0 Propedades de los sumatoros Puesto que e su cocepcó más smple u sumatoro es ua forma abrevada de escrbr ua suma de úmeros de forma abrevada, el atural que comparta co la suma umérca ordara sus propedades La traslacó de las propedades de esta a aquellos es lo que veremos e los sguetes apartados Propedades elemetales Sumatoro de u úmero () k = k, para cualquer úmero k, puesto que el sumatoro epresa la suma de k cosgo msmo veces E partcular:

4 () () 0= 0, = Producto de u úmero por u sumatoro () puesto que (a ) = a, (a ) = (a + a + + a ) = a( ) = a Propedades de comutatvdad y asocatvdad Propedades comutatvas de los sumatoros S y y so dos sumatoros co el msmo rago de valores, < <, etoces: () () ( + y ) = (y + ), + y = y + Propedades asocatvas de los sumatoros S, y, z so tres sumatoros co el msmo rago de valores, < <, etoces: (7) (+ y ) = ( + y + z ) = (8) + y, + y + z Operacoes de agrupameto y partcó Geeralzado el cocepto de sumatoro que hemos vedo utlzado, y utlzado las propedades de los apartados y, podemos desarrollar alguas fórmulas útles para el cálculo abrevado de sumatoros de valor descoocdo cuado se cooce los valores de otros sumatoros que se pueda relacoar co aquél Def Dada la sere de úmeros,,, m, m+, -,, sedo m <, la suma de los últmos (-m-) úmeros de la sere recbe el ombre de sumatoro de desde = m+ hasta =, y se represeta por : m+

5 = m+ + m m+ A partr de las defcoes y, podemos obteer la sguete descomposcó: (9) m = + m+ Observemos que esta últma gualdad os permte, por ua parte, descompoer u sumatoro e la suma de otros dos sumatoros de - formas dsttas y, por otra, calcular el sumatoro completo s se cooce los valores de dos de las posbles descomposcoes Sumatoros de fucoes de varable depedete etera Como vmos e el apartado, la fucó = () puede ver dada medate ua tabla de valores o medate ua fórmula E ambos casos el sumatoro puede calcularse s más que susttur cada por su valor y efectuar la suma de todos los valores obtedos De hecho, cuado la fucó está defda por ua tabla de valores, la úca forma de calcular el sumatoro es la de efectuar drectamete la suma de todos sus térmos Pero, cuado la fucó está defda por medo de ua fórmula, este ua gra catdad de téccas para obteer el sumatoro s recurrr al cálculo y suma de cada uo de sus térmos A cotuacó se epoe los resultados obtedos al aplcar dchas téccas a alguos de los casos más frecuetes y, como corolaros, obtedremos de las térmos de las seres coocdas como progresoes artmétca y geométrca (0) () () (+ ) = (+ )( + ) = = (+ )( + )( + ) = = 0 Progresoes artmétcas Ua progresó geométrca es ua sere de úmeros a, a,, a cada uo de los cuales se obtee del ateror sumádole ua catdad costate d deomada razó Los térmos a y a recbe, respectvamete los ombres de prmer y últmo térmo de la progresó Dados uos valores de a y d, los restates térmos de la sucesó so, por tato a = a + d, a = a + d, a = a + d,, a = a - + d

6 Susttuyedo a e la epresó de a y realzado los cálculos oportuos, se obtee que a = a + d Por aálogo mecasmo, resulta que a = a + d Reterado el proceso, es posble obteer la epresó geeral de cualquer térmo de la sucesó utlzado solamete los valores de a y de d: a = a + (-)d, para =,,,, La suma de los térmos de la progresó, S = a = a + a ++ a, se obtee s más que aplcar las propedades geerales de los sumatoros: S = a = (a + ( ) = a + d ( ) Medate cálculos secllos, de la últma gualdad se obtee la sguete fórmula geeral de la suma buscada: () S = a = a+ a Progresoes geométrcas Ua progresó geométrca es ua sere de úmeros a, a,, a cada uo de los cuales se obtee del ateror multplcado este por ua catdad costate d deomada razó Los térmos a y a recbe, respectvamete los ombres de prmer y últmo térmo de la progresó Dados uos valores de a y d, los restates térmos de la sucesó so, por tato a = a d, a = a d, a = a d,, a = a - d Susttuyedo a e la epresó de a y realzado los cálculos oportuos, se obtee que a = a d Por aálogo mecasmo, resulta que a = a d Reterado el proceso, es posble obteer la epresó geeral de cualquer térmo de la sucesó utlzado solamete los valores de a y de d: a = a d (-), para =,,,, La suma de los térmos de la progresó, S = más que aplcar las propedades geerales de los sumatoros: S = a = (a d ) = a d a = a + a ++ a, se obtee s ( ) ( ) Medate cálculos secllos, de la últma gualdad se obtee la sguete fórmula geeral de la suma buscada: () S = a = a ( ) ( d ) ( Aplcacoes

7 () La suma de los úmeros pares,,, 8, 0,, 98, 00, se obtee aplcado (): a+ a = = 00 = 00 () La suma de los úmeros,,,, 0 se obtee aplcado (): = a ( ) ( d ) ( = 0 ( ) 0 = ( ) ( ) Ejerccos Desarrollar los sguetes sumatoros: b) c) e) f) 8 a 0 ( + y ) f 0 0 Calcular el valor umérco de los sguetes sumatoros: b) c) e) f) ( ) ( ) Epresar co la otacó sumatoro las sguetes sumas: (y ) + (y ) + (y ) + (y ) b) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 7

8 c) ((y ) (y ) (y ) (y )) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Calcular el valor umérco de los sumatoros del ejercco para los sguetes valores umércos de las varables: =, = -, =, = 7, = 0, = -, 7 =, 8 = -, 9 =, 0 =, f =, f =, f =, f = 8, f = Coocedo los valores de los sumatoros, calcular el valor de los sguetes sumatoros: b) c) = = ( ) ( ) Desarrollar los sguetes sumatoros dobles: b) c) j= j j= j= j j ( y ) j= j= j ( ) j= =, = 9, 7 Calcular los valores umércos de los sumatoros y del ejercco sedo los elemetos de las dos prmeras columas de la sguete matrz: j Referecas Sumatoros (wkped: 0 Sumatoros: ejerccos (JA Satzo): 8

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