Análisis de Sistemas No Lineales

Transcripción

1 a los Sistemas No Lineales Análisis de Sistemas No Lineales Dr. Fernando Ornelas Tellez Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo Morelia, Michoacán DEP-FIE Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 1/44

2 a los Sistemas No Lineales Contenido 1 a los Sistemas No Lineales Modelos de SNL: continuo y discreto, forzado y no forzado, autónomo y no autónomo Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 2/44

3 Outline a los Sistemas No Lineales 1 a los Sistemas No Lineales Modelos de SNL: continuo y discreto, forzado y no forzado, autónomo y no autónomo Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 3/44

4 a los Sistemas No Lineales Ingeniería de Control Es el diseño de un sistema (controlador) que actúa sobre otro sistema (planta o proceso) con una finalidad de lograr un objetivo. Así, en ingeniería de control, se diseñan sistemas de control que dirigen o regulan el comportamiento de la salida de una planta o proceso mediante sus elementos de entrada. Proceso y Sistema Un proceso es una secuencia de operaciones para obtener un fin determinado (e.g. proceso químico), mientras que un sistema es un concepto más general, siendo un conjunto de operadores o componentes que actúan relacionados de tal manera que realizan una tarea como una unidad completa. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 4/44

5 Intro. a los Sistemas No Lineales Sistema Dinámico Es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo. Ejemplos de Sistemas Dinámicos: Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 5/44

6 Intro. a los Sistemas No Lineales Modelo Matemático de un Sistema Dinámico Es un conjunto de ecuaciones que representan con cierto grado exactitud la dinámica del sistema físico. El modelo se describe generalmente como un operador entre las entradas y salidas del sistema, o como un conjunto de ecuaciones diferenciales (caso continuo) y/o en diferencias (caso discreto). Representación en Espacio de Estado El ente matemático para la representación de los sistemas dinámicos a estudiar será el de su representación en espacio de estados. Note que para sistemas dinámicos no lineales, no es posible su representación en el dominio de la frecuencia, como lo es para sistemas lineales. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 6/44

7 a los Sistemas No Lineales Representación en Espacio de Estados Necesidad de Análisis en Espacio de Estados Los sistemas modernos de control son altamente complejos debido a: Múltiples entradas y salidas Sistemas variantes en el tiempo Dinámica no lineal Las últimas dos características no pueden ser analizadas fácilmente por los métodos clásico o incluso imposibles de analizar. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 7/44

8 a los Sistemas No Lineales Definición de Estado y Vector de Estado Definition Estado. Es el conjunto más pequeño de variables (variables de estado) tal que con el conocimiento de éstas en t = t 0 y el conocimiento de la entrada u para t t 0, se puede determinar por completo el comportamiento futuro del sistema dinámico. Definition Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir el comportamiento del sistema, estas variables son los componentes del vector x R n. Un espacio de estados de dimensión n, está compuesto de n ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden ser lineales o no lineales y variantes en el tiempo. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 8/44

9 a los Sistemas No Lineales Representación en Espacio de Estados La representación de un espacio de estados con n estados y m entradas de un sistema no lineal se describe como ẋ 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n, u 1,u 2,..., u m, t) ẋ 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n, u 1,u 2,..., u m, t). ẋ n = f n (x 1, x 2,..., x n, u 1,u 2,..., u m, t) donde x i es el estado, con i = 1,...,n; u j son las variables de entrada, con j = 1,...,m y f i son funciones (generalmente diferenciables) no lineales. O bien, de forma vectorial x = [ x 1 x 2 x n ] T, u = [ u1 u 2 u n ] T y f (x, u, t) = [ f1 (x, u, t) f 2 (x, u, t) f n (x, u La salida se puede definir como y = h (x, u, t). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 9/44

10 a los Sistemas No Lineales Ejemplo Representación en Espacio de Estados Example Determine la representación en función de trasferencia y en espacio de estados de la siguiente ecuación diferencial. d n y d t n + a d n 1 y n 1 d t n a d y 1 d t + a 0 y = b 0 u donde a i y b j son constantes con i = 1,...,n, j = 1,...,m; y es la salida del sistema y u es la variable de entrada. Considere condiciones iniciales cero. Defina el vector de estado x. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 10/44

11 a los Sistemas No Lineales Aspectos Importantes del Espacio de Estados y Dominio de la Frecuencia (Laplace) Es posible obtener la función de transferencia de un sistema no lineal? Sin función de transferencia, como es posible aplicar los métodos de diseño vistos en control analógico? Posibles soluciones: Controladores PID sintonizados por Ziegler Nichols (inconvenientes? ) Modelado mediante respuesta en frecuencia (aproximado mediante linealización) Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 11/44

12 a los Sistemas No Lineales Aspectos Importantes del Espacio de Estados El modelado en espacio de estados es el apropiado para diseño de sistemas de control no lineales. Adecuado para utilizar técnicas avanzadas de control como: Control Neuronal Teoría de Regulación Control Óptimo Lineal y No Lineal Análisis de Estabilidad en el sentido de Lyapunov Algoritmos Difusos También puede aplicarse a sistemas lineales. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 12/44

13 a los Sistemas No Lineales Intro. Componentes Principales de un Sistema de Control Un esquema básico de un sistema de control comprenderá: Planta: es el proceso o sistema sobre el que se desea actuar o controlar. Controlador: es el sistema que genera la entrada requerida para que la planta se comporte de una manera predeterminada. Entrada de Referencia: es la señal externa de referencia para las salidas de la planta y que el controlador tomará en cuenta en el diseño. Señal de Control: es la señal generada por el controlador y que es aplicada a la planta. Salida de la Planta: es la variable de salida de la planta o sistema la cual se desea controlar. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 13/44

14 a los Sistemas No Lineales Intro. Tipos de Sistemas de Control Existen diferentes clasificaciones para los sistemas de control dependiendo del enfoque del problema a analizar o diseñar, por ejemplo: De acuerdo a su estructura: sistema de control a lazo abierto y lazo cerrado. De acuerdo a su análisis: esquemas lineales y no lineales. De acuerdo a su comportamiento dependiente o no del tiempo:sistemas variantes e invariantes con el tiempo, o más general, no autónomos y autónomos, respectivamente. De acuerdo al marco del tiempo: sistemas continuos y discretos. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 14/44

15 Intro. a los Sistemas No Lineales Dado que la mayoría de los sistemas a analizar y diseñar son sistemas no lineales dinámicos (p.e., circuitos eléctricos, sistemas mecánicos, biológicos, entre otros), es conveniente el uso de herramientas de análisis no lineal. El objetivo del curso es introducir y comprender esas herramientas. En particular, se presentarán herramientas para análisis de estabilidad de sistemas no lineales (SNL), con énfasis en el método de Lyapunov. Adicionalmente se introducen herramientas básicas para control por retroalimentación de SNL incluyendo linealización por retroalimentación (para tratar al sistema no lineal como si fuese lineal). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 15/44

16 Intro. a los Sistemas No Lineales El porque de un análisis de SNL: conocer el comportamiento y propiedades de un sistema de control es crucial para posteriormente poder modificarlo o mejorarlo mediante estrategias de control. Las ventajas en el control de un sistema del cual se tiene conocimiento de su estructura y comportamiento son inmensas, e incluyen mejoras en su respuesta, análisis de su estabilidad, mejoras en la robustez de los controladores, reducción en el consumo de energía, mayores niveles de seguridad. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 16/44

17 a los Sistemas No Lineales Intro. Descripción del Sistema No Lineal Se analizará un sistema dinámico el cual puede ser modelado por un número finito de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) de primer orden acopladas, representado como ẋ = f (x,u,t) (1) donde x R n es el vector de estado, u R m es el vector de entradas (utilizadas para fines de control y que puede ser u(t) ó u(x)) y t es el tiempo. Usualmente se tiene la salida, la cual podemos representar como y = h(x,u,t) (2) donde y R p es un vector de p variables de salida de interés (variables medidas por los sensores de un sistema o proceso). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 17/44

18 a los Sistemas No Lineales Intro. Esquema de Control de un Sistema No lineal Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 18/44

19 Outline a los Sistemas No Lineales 1 a los Sistemas No Lineales Modelos de SNL: continuo y discreto, forzado y no forzado, autónomo y no autónomo Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 19/44

20 a los Sistemas No Lineales Linealidad y Principio de Superposición Considere un sistema dado en espacio de estado como ẋ = f (x,u) y = h(x,u). Por conveniencia, asumiremos que origen es un punto de equilibrio para el sistema, es decir, para x e = 0, u e = 0, hacen que f (0,0) = 0 y h(0,0) = 0, si no es así, suponiendo que el punto de equilibrio es x e 0, etc., se hace un cambio de variables como para obtener x = x x e, ũ = u u e, ỹ = y y e x = f ( x,ũ) ỹ = h( x,ũ), Con equilibrio en el origen. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 20/44

21 a los Sistemas No Lineales Linealidad y Principio de Superposición Un sistema se dice que es lineal si satisface las siguientes propiedades: 1 y(t;αx 1 + βx 2,0) = αy(t;x 1,0) + βy(t;x 2,0) 2 y(t;αx 0,δu) = αy(t;x o,0) + δy(t;0,u) 3 y(t;0,δu 1 + γu 2 ) = δy(t;0,u 1 ) + γy(t;0,u 2 ). La propiedad 2 es la descomposición usual de un sistema en su respuesta homogénea (u = 0) y la respuesta particular (x 0 = 0). La propiedad 3 es la definición formal del principio de superposición. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 21/44

22 a los Sistemas No Lineales Principio de Superposición Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 22/44

23 a los Sistemas No Lineales Principio de Superposición Definition Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la vez y sumando los resultados. (Tarea) Simular un sistema lineal y uno no lineal para comprobar el principio de superposición: ẋ = ax + u, x(0) = x 0, a > 0, y = x ẋ = ax 3 + u, x(0) = x 0, a > 0, y = x. Simular para una entrada tipo escalón (u 1 = 1,u 2 = 2) o entradas sinusoidales. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 23/44

24 Outline a los Sistemas No Lineales 1 a los Sistemas No Lineales Modelos de SNL: continuo y discreto, forzado y no forzado, autónomo y no autónomo Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 24/44

25 a los Sistemas No Lineales No Linealidades Es deseable que los modelos matemáticos sean lineales, esto por su sencillez con respecto a los no lineales, y porque en muchos casos pueden representar en forma precisa el comportamiento de sistemas reales. Sin embargo, los avances tecnológicos actuales han generado una enorme variedad de nuevos problemas y aplicaciones que son del tipo no lineal. Aunque algunos sistemas físicos tienen una región de operación muy cercana a la lineal para cierto rango de valores de entrada y salida, otros sistemas importantes son no lineales para señales de cualquier tamaño. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 25/44

26 a los Sistemas No Lineales No Linealidades En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para señales de entrada grandes. Puede haber una zona muerta que afecte las señales pequeñas. (La zona muerta de un componente es un rango pequeño de variaciones de entrada ante las cuales el componente es insensible). Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática en algunos componentes. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 26/44

27 Outline a los Sistemas No Lineales 1 a los Sistemas No Lineales Modelos de SNL: continuo y discreto, forzado y no forzado, autónomo y no autónomo Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 27/44

28 a los Sistemas No Lineales Descripción del Sistema No Lineal El sistema (1) se dice forzado cuando explícitamente aparece la entrada u. Cuando para el sistema (1) no aparece explícitamente la entrada u (ya sea por que es cero (no existe) o es utilizada como retroalimentación), se dice que el sistema es no forzado (o la ecuación de estado es no forzada), cuya respuesta viene dada por ẋ = f (x,t). (3) Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 28/44

29 a los Sistemas No Lineales Descripción del Sistema No Lineal En este curso se abordarán tanto sistemas invariantes en el tiempo (Autónomo), donde ẋ = f (x) no depende explícitamente del tiempo. También se tratarán los sistemas variantes en el tiempo (No Autónomo), donde el lado derecho de (3) es una función explícita del tiempo, esto es ẋ = f (x,t). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 29/44

30 a los Sistemas No Lineales Descripción del Sistema No Lineal El sistema no lineal (1) se dice continuo debido a que su comportamiento viene gobernado por una ecuación diferencial, sin embargo, también existe el modelado discreto o la representación discreta de un sistema, ya sea que tal discretización sea obtenida por la discretización de un modelo continuo, o bien, por que el sistema por naturaleza sea discreto (p.e., algoritmos de computadora, sistemas muestreados como el Radar, modelos económicos, convertidores de potencia, etc), que se puede representar con ecuaciones en diferencias como x(k + 1) = f (x(k),u(k),k). Este curso se enfocará principalmente a sistemas no lineales continuos. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 30/44

31 Outline a los Sistemas No Lineales 1 a los Sistemas No Lineales Modelos de SNL: continuo y discreto, forzado y no forzado, autónomo y no autónomo Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 31/44

32 a los Sistemas No Lineales Puntos de Equilibrio Un concepto importante al trabajar con la ecuación de estado es el concepto de punto de equilibrio. Definition Un vector x e R n es un punto de equilibrio del sistema no forzado (3), si f (x e,t) = 0, t 0. Si x e es un punto de equilibrio de (3), entonces la ecuación diferencial ẋ = f (x,t), t 0, x(t) = x e tiene la solución x(t) = x e, t 0 i. e., si el sistema inicia en el equilibrio, este permanecerá en él para todo tiempo (si ninguna fuerza actúa sobre el sistema). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 32/44

33 a los Sistemas No Lineales Múltiples Puntos de Equilibrio Un sistema lineal ẋ = A(t)x puede tener solamente un punto aislado de equilibrio, x = 0. Así, el sistema sólo puede tener un punto de operación en estado estable, siempre y cuando el punto de equilibrio sea estable, el cual es un atractor del estado del sistema de forma independiente de la condición inicial. Un sistema no lineal puede tener más de un punto de equilibrio aislado, y el estado puede converger a uno de los muchos puntos de operación en estado estable, dependiendo de la condición inicial del sistema. Definition Un punto fijo x es aquel que satisface la condición x = T (x ). Es decir, el mapeo o transformación T deja a x invariante. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 33/44

34 a los Sistemas No Lineales Sistemas Lineales Dada la simplicidad de los sistemas lineales, es deseable, si es posible, hacer linealizaciones de sistemas no lineales. Para ello se requiere que las funciones no lineales f (x,u,t) y h(x,u,t) sean lo suficientemente suaves 1 para ser expandidas en series de Taylor. 1 Suficientemente suave implica que las funciones f (x,u,t) y h(x,u,t) puedan puedan ser derivables. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 34/44

35 Linealización a los Sistemas No Lineales El método de linealización puede no ser suficiente para el análisis y descripción del comportamiento de un sistema no lineal en todo el rango de operación. Hay dos limitaciones básicas de la linealización: 1 Ya que la linealización es llevada a cabo sobre un punto de operación, sólo se puede predecir el comportamiento local del sistema no lineal en una vecindad de ese punto. En general no es sencillo inferir por el comportamiento no local, y de ninguna manera el comportamiento global a través del espacio de estado. 2 La dinámica del sistema no lineal es mucho más rica que la de un sistema lineal. Hay fenómenos no lineales que no podrían obtenerse por los modelos lineales (p.e., tiempo de escape finito,ciclos limite, múltiples equilibrios aislados, caos, etc.). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 35/44

36 a los Sistemas No Lineales Tiempo de Escape Finito Para un sistema lineal inestable, el estado va a infinito conforme el tiempo se aproxima al infinito Para un sistema no lineal, el estado puede ir a infinito en un tiempo finito. Por ejemplo, considere la ecuación diferencial ẋ = x 2, x(0) = x 0. La solución es: x(t) = x 0 1 x 0 t De esta manera se infiere que x(t) cuando t 1 x 0. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 36/44

37 Ciclos Límites a los Sistemas No Lineales Para que un sistema lineal invariante en el tiempo llegue a oscilar, este debe tener un par de eigenvalores sobre el eje imaginario (Tarea realizar el oscilador): ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ω 2 x 1, ω constante la cual no es una condición robusta. Esta condición es imposible mantener en presencia de perturbaciones, o su amplitud dependerá de la condición inicial. En casos prácticos, las oscilaciones estables deben ser producidas por sistemas no lineales. Hay sistemas no lineales los cuales van a un estado de oscilación de amplitud y frecuencia fija, no importando el estado inicial. Este tipo de oscilación es conocido como ciclos límite Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 37/44

38 a los Sistemas No Lineales Determinación de Puntos de Equilibrio Ejemplo: Péndulo simple Considere el péndulo Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 38/44

39 a los Sistemas No Lineales Determinación de Puntos de Equilibrio Ejemplo: Péndulo simple Usando la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento en al dirección tangencial viene dada por ml θ = mg sinθ kl θ. Para obtener la representación en espacio de estado del péndulo, definimos x 1 = θ y x 2 = θ, entonces la ecuación de estado resultante es (Tarea: su deducción) ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = g l sinx 1 k m x 2 Para encontrar los puntos de equilibrio, se hace ẋ 1 = ẋ 2 = 0 y se resuelve para x 1 y x 2. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 39/44

40 a los Sistemas No Lineales Determinación de Puntos de Equilibrio Ejemplo: Péndulo simple (Tarea) Los puntos de equilibrio están localizados en (nπ, 0) para n = 0,±1,±2,±3,... De la descripción física del péndulo, es claro que sólo se tienen dos posiciones de equilibrio correspondientes a los puntos de equilibrio (x 1,x 2 ) = (0,0) y (x 1,x 2 ) = (π,0). Los otros puntos son repeticiones de los anteriores. La diferencia entre los dos puntos de equilibrio está en sus propiedades de estabilidad. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 40/44

41 a los Sistemas No Lineales Ejemplo: Circuito del Diodo Túnel Explicar su comportamiento no lineal y discutir sus puntos de equilibrio. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 41/44

42 a los Sistemas No Lineales Ejemplo: Sistema Masa-Resorte Explicar su comportamiento no lineal y discutir sus puntos de equilibrio. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 42/44

43 Appendix For Further Reading For Further Reading I H. Khalil, Nonlinear Systems, Prentice-Hall, J-J. E. Slotine and W. Li, Applied Nonlinear Control, Prentice-Hall, M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Prentice-Hall, S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Perseus Publishing, Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 43/44

44 Appendix For Further Reading For Further Reading II S. Someone. On this and that. Journal on This and That. 2(1):50 100, Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 44/44