Funciones polinómicas

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1 Funciones polinómicas

2 Polinomios Recuerden que un polinomio es una expresión algebraica de la forma P(x) = a n x n + a n - 1 x n a n - 2 x n a 1 x + a 0 a n, a n a 1, a o son números, llamados coeficientes. a n es el coeficiente principal a o es el término constante. Para cualquier polinomio, (0, a o ) es el intercepto en y.

3 Polinomios Ejemplo f(x) = 5x 4 x 3 + 3x 2 + 2x 7 el coeficiente principal, a n es 5. el término constante, a o es -7. el intercepto en y, (0, a o ) es -7.

4 Polinomios P(x) = a n x n + a n - 1 x n a n - 2 x n a 1 x 1 + a 0 El grado de un polinomio, P(x), es el exponente mayor al que se encuentra elevada la variable x. Polinomio de grado cero (función constante) Ejemplo: P(x) = 2 Polinomio de grado uno (función lineal) Ejemplo: P(x) = 3x + 2 Polinomio de grado dos (función cuadrática) Ejemplo: P(x) = 2x 2 + 3x + 2

5 Indicar el grado e intercepto en y

6 Ceros de un polinomio Los ceros o las raíces de un polinomio son los valores de x tal que f(x) = 0. Si los ceros son reales, entonces coinciden con los interceptos en x de la función. Es posible encontrar los ceros de polinomios de grado mayor que 2 con técnicas que ya hemos estudiado en algunos casos.

7 Ceros de polinomios de grado mayor que 3 El método practicado anteriormente se puede aplicar a algunos polinomios de grado mayor que 3. Por ejemplo, consideremos f 5 ( x) 4x 14x 6x 4 3

8 f 5 ( x) 4x 14x 6x 4 3 Este es un polinomio de grado 5 y tiene 3 términos Todos los términos tienen un factor de x 3 en común. Todos los términos tienen un factor de 2 en común.

9 f 5 ( x) 4x 14x 6x 4 3 Se comienza la factorización removiendo el máximo común divisor, o sea el factor 2x 3. f (x) 2x 3 Luego, se factoriza la cuadrática que queda dentro de los paréntesis.

10 La factorización completa de f(x) es: f (x) 2x 3 Los ceros de la función se consiguen igualando cada factor a 0. Si los ceros son reales, entonces los ceros nos indican los interceptos en x de la gráfica.

11 Práctica 2 El método presentado anteriormente se puede aplicar para hallar los interceptos en x de la gráficas de las siguientes funciones: 4 a) g( x) x 3x 10x 5 b) h( x) x x 5 c) q( x) 3x 18x 24x

12 Soluciones Práctica 2 a) f(x) = x 2 (x 5)(x + 2) Los ceros son x = 0, x = 5, x = -2 Los interceptos en x son (0,0), (5,0) y (-2,0) b) h(x) = x 3 (x + 1) (x 1) Los ceros son x = 0, x = -1, x = 1 Los interceptos en x son (0,0), (-1,0) y (1,0) c) q(x) = 3x 3 (x + 2)(x + 4) Los ceros son x = 0, x = -2, x = -4 Los interceptos en x son (0,0), (-2,0) y (-4,0)

13 Gráfica de un polinomio de grado 0 Polinomio de grado cero (función constante) P(x) = 2 La gráfica de P(x) es una recta horizontal que pasa por (0,2).

14 Gráfica de un polinomio de grado 1 P(x) = 1 2x (función lineal) La gráfica de P(x) es una recta, con pendiente igual a?, intercepto en y en intercepto en x en??

15 Polinomios de grado > 1 La gráfica de un polinomio de grado mayor que 1 es siempre una curva suave y contínua. El comportamiento en los extremos de la gráfica es igual que el comportamiento del monomio Q(x)=a n x n. El comportamiento en los extremos es determinado por el grado, n, y el signo del coeficiente principal, a n.

16 Características de polinomios de grado 3; grado impar a > 0 a < 0 puntos de máximos o mínimos locales: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento; son NO MAS DE n 1, donde n es el grado del polinomio. interceptos en x: NO MAS DE n, donde n es el grado del polinomio. comportamiento en los extremos: Si a>0, la gráfica es creciente en ambos extremos. Si a <0, la gráfica es decreciente en ambos extremos.

17 Características de polinomios de grado 2; grado par puntos de máximos o mínimos locales: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento; son NO MAS DE n 1, donde n es el grado del polinomio. interceptos en x: son A LO MAS n, donde n es el grado del polinomio. comportamiento en los extremos: Si a>0, la gráfica es decreciente en el extremo izquierdo y creciente en el extremo derecho. Si a <0, la gráfica es creciente en el extremo izquierdo y decreciente en el extremo derecho.

18 Polinomios de grado > 2 Las gráficas de polinomios de grado mayor que 2 son siempre curvas suaves y contínuas. Ejemplo: Trace la gráfica del polinomio: Observaciones: 3 f ( x) x 7x 10x Es un polinomio de grado 3 que tiene 3 términos (le falta el término constante) Todos los términos tienen un factor de x en común. Intentamos factorizar para identificar puntos. 2

19 cont. Factorice el polinomio: 3 f ( x) x 7x 10x 2 Igualar cada factor a 0, resolver para x y determinar los puntos correspondientes : Para el intercepto en y, evaluamos: f(0).

20 Trace la gráfica: (cont.) 3 f ( x) x 7x 10x 2 grado 3; tiene 3 ceros o interceptos en x a = 1 > 0 extremo izquierdo: creciente extremos derecho: creciente

21 Multiplicidad Si o uno de los factores de f(x) es (x c) m y o la gráfica de f tiene un intercepto en x en c entonces c es un cero real de multiplicidad m, La gráfica de f muestra el siguiente comportamiento cerca de (c, 0) :

22 Multiplicidad (cont)

23 Trace la gráfica del polinomio: Qué sabemos? grado La ecuación ya está en forma factorizada y sus ceros son número de interceptos en x: número de máximos o mínimos: coeficiente principal: El intercepto en y es

24 Trace la gráfica (cont.):

25 Trace la gráfica del polinomio: g x = (x + 1)(x 1)(x + 3)(x 2) Qué sabemos? grado par; número de interceptos en x: número de puntos de retorno, a= 1; La ecuación está factorizada; los ceros son Los interceptos en x son: El intercepto en y es

26 Trace la gráfica del polinomio: g x = (x + 1)(x 1)(x + 3)(x 2)

27 Hallar una posible ecuación para la gráfica si f tiene 3 ceros de multiplicidad 1 y un cero de multiplicidad 2 Qué sabemos? grado es coeficiente principal es extremos Los interceptos en x son El intercepto en y es g x = k(x + 1) 2 (x 1)(x + 3)(x 2)

28 Hallar una posible ecuación para la gráfica (cont.) g x = k(x + 1) 2 (x 1)(x + 3)(x 2) El intercepto en y es Para obtener k, sustituir (0, -12) en la ecuación. -

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