f(t)dt para todo x [a, b].
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- Fernando Calderón Montero
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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. L integrl lnz todo su poder undo se li on l derivd. Esto ourre en el Teorem Fundmentl del Cálulo. Funiones definids trvés de l integrl. Dd un funión f : [, b] R integrble, sbemos que pr todo x [, b] existe l integrl f. Esto nos d pie pr definir l funión f(t)dt pr todo x [, b]. (Observemos que hemos ñdido un nuev notión dt pr distingir l vrible de l funión f, en este so t, de l vrible x de l funión F ). Figur. Definiión de un funión trvés de l integrl. Observión.. L funión F verifi que F () = y F (b) = b f. L integrl tiene un poder regulrizión de ls funiones. Así tenemos Teorem.. Se un funión f : [, b] R integrble. L funión f(t)dt es ontinu en el intervlo [, b] Demostrión: Se [, b]. Por ser f integrble está otd, sí se M > un ot de l funión (es deir f(x) M pr todo x [, b]). Entones F ( + h) F () = f f
2 2 C. RUIZ = f + f f = f h M h. Lo que prueb que lím h F ( + h) = F (), sí F es ontinu en Ejemplo.. Considermos l funión f(t) = 5, si t [, 2 ] 3, si t ( 2, ] 5, si t (, 2] Figur 2. Funión integrble no ontinu. Cómo es l funión F? Demostrión: Si x [, 2 ], entones f(t)dt = 5 dt = 5 x, donde l integrl l hemos luldo hyndo el áre de un retngulo. Si x ( 2, ], entones f(t)dt = 2 x 5 dt dt = 6 5 (x 2 ) +, 2 donde l integrl l hemos luldo hyndo el áre de dos retángulos. Si x (, 2], se proede omo ntes y se lleg que 5 x, si x [, 2 ] 6 5 (x 2 ) +, si t ( 2, ] 3 7 (x ) +, si t (, 2] Si representmos F tenemos un funión ontinu.
3 APUNTES MMI 3 Figur 3. Gráfi de F. (Teorem Fundmentl del Cálulo). Si l funión f le pedimos que se ontinu, entones result que l funión F es derivble. Teorem. 2. (Teorem Fundmentl del Cálulo). Se un funión f : [, b] R ontinu. L funión f(t)dt es derivble en todo [, b] y demás F () = f(). Demostrión: Si = o = b hy que lulr derivds lterles (ejeriio). Se (, b). Tenemos que ver, por definiión de derivd, si existe Ahor si h >, tenemos que Sen y lím h F ( + h) F (). h F ( + h) F () = Así por ls propieddes de l integrl f(t)dt. m h = ínf{f(t) : t [, + h] }, M h = sup{f(t) : t [, + h] }, de lo que se sigue que hm h m h f(t)dt hm h, F ( + h) F () h M h.
4 4 C. RUIZ Como f es ontinu en, si h entones se tiene que m h f() y M h f(). Por tnto F ( + h) F () lím = f(). h + h Luego l derivd por l dereh de F en es F ( + ) = f(). De form similr se ve que l derivd por l izquierd F ( ) = f(). Lo que prueb el resultdo Observión. 2. Result que el Teorem Fundmentl del Cálulo es un Regl de Derivión: f(t)dt, f ontinu F (x) = f(x). Pero no solo es un regl de derivión. Es muho más. Por ejemplo un modo de lulr integrles (y por tnto áres) omo vemos ontinuión. Pero es más, un modo de definir ls funiones trnsendente: ln x, e x, os x...et omo veremos en los Apéndies que siguen este rtíulo. Y muhs más pliiones que tiene l integrl, lguns de ls uáles iremos señlndo en los rtíulos siguientes. Corolrio.. (Regl de Brrow). Si f es un funión ontinu sobre [, b] y existe un funión g de modo que g = f en todo [, b], entones b f(t)dt = g(b) g(). Demostrión: Se f(t)dt. Por el Teorem nterior F = f. Luego F y g tienen l mism derivd, entones existe un onstnte K de modo que g(x) + K (lo uál es un onseueni del Teorem del Vlor Medio que vimos en su momento). Como F () =, se sigue que K = g() y sí g(b) g() = F (b) = b f(t)dt Lo que nos die este Corolrio es que si enontrmos un funión g uy derivd se f, entones l integrl de f se onsigue evlundo g en dos puntos. Por tnto el problem de lulr integrles se redue l problem de lulr primitivs (es deir enontrr funiones uy derivd se un funión dd). El álulo de primitivs será nuestro siguiente objetivo.
5 Ejemplo. 2. Vmos lulr x5 dx. APUNTES MMI 5 Demostrión: Se puede intentr lulr lím n n n i= ( i n )5. Este es el mino que hst hor onoemos. Ahor bien, es fáil ver que g(x) = x6 6 verifi que g (x) = x 5 y por tnto l regl de Brrow nos die que x 5 dx = = 6 Vemos que en unto podemos enontrr un primitiv de un funión entones es muy senillo lulr su integrl. Cundo prendmos lulr primitivs volveremos l álulo de integrles. Ejeriio.. Considermos l funión ln(x+) x + t 2 dt. Nos piden su 2 derivd. Demostrión: L funión f(t) = + t 2 tiene por dominio todo R y llí es ontinu. Luego es integrble en ulquier intervlo errdo de l ret. Ahor, el dominio de F será {x > }, pr que teng sentido el logritmo. ln(x+) x 2 + t 2 dt = x 2 + t 2 dt + 2 ln(x+) = + t 2 dt + sin más que plir ls regls de l integrl. ln(x+) + t 2 dt, + t 2 dt Ahor derivmos teniendo en uent: l regl de l sum, el Teorem Fundmentl del Cálulo y l Regl de l Cden. F (x) = + (ln(x + )) 2 x + 2x + (x 2 ) 2 Ejeriio. 2. Sen f, g : [, b] R dos funiones ontinus de modo que b f = b g. Hy que probr que existe [, b] de modo que F()=g(). Demostrión: Esto reuerd un Teorem de Vlor Medio. Vemos que es sí. Sen f(t)dt y G(x) = g(t)dt. Ests funiones son ontinus en [, b] y derivbles en todo (, b). Se l funión F G que es ontinu en [, b] y derivble en todo (, b). Además
6 6 C. RUIZ F G() = y tmbién, por hipótesis, F G(b) =. Así podemos plir el Teorem de Rolle y existe (, b) de modo que = (F G) () = f() g(), usndo l regl de derivión pr F y G. Despejndo se tiene lo que se pide Referenis Deprtmento de Análisis Mtemátio, Fultd de Mtemátis, Universidd Complutense, 284 Mdrid, Spin E-mil ddress: Cesr Ruiz@mt.um.es
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