Polinomios. Taller de Álgebra I. Verano 2017

Transcripción

1 Polinomios Taller de Álgebra I Verano 2017

2 Polinomios En esta clase vamos a trabajar con polinomios. Para hacer las cosas fáciles, trabajaremos en R[x]. Es decir, en Float[x]. Hay muchas maneras de representar polinomios. Una de ellas es a partir de monomios (ax n ), sumas y productos de polinomios. Es decir, data Polinomio = Mono Float Integer Suma Polinomio Polinomio Producto Polinomio Polinomio En realidad, con monomios y sumas alcanza, pero también será cómodo tener productos. Ejercicio Cómo se representan los siguientes polinomios? 3x x + 7. (x 2 + 2)(x + 3).

3 Evaluación de polinomios Una operación útil es poder evaluar un polinomio para algún valor numérico. Ejercicio Escribir eval :: Polinomio -> Float -> Float que dado un polinomio p y un Float z devuelva p(z). eval :: Polinomio -> Float -> Float eval ( Mono a n) z = a * z^n eval ( Suma p q) z = ( eval p z) + ( eval q z) eval ( Producto p q) z = ( eval p z) * ( eval q z)

4 Coeficientes Como toda la información de un polinomio está en los coeficientes, queremos poder calcular los coeficientes de un polinomio. Los coeficientes los podemos poner en una lista, empezando por el de grado 0, luego el de grado 1, etc. Por ejemplo coeficientes de 7: [7], coeficientes de 2x + 7: [7,2], coeficientes de 3x 3 + 2x 2 1: [-1,0,2,3], coeficientes de n i=0 a i x i : [a 0,...,a n]. coeficientes de 0: [] Hacemos parte de la definición, dejamos el resto como ejercicio. coefs :: Polinomio -> [ Float ] coefs ( Mono a 0) = [ a] coefs ( Mono a n) = 0 : coefs ( Mono a (n -1) ) coefs ( Suma p q) = sumalistas ( coefs p) ( coefs q) coefs ( Producto p q) = productolistas ( coefs p) ( coefs q)

5 Coeficientes Ayuda para pensar productolistas. Dados p = (a 0 + a 1x + a 2x a nx n ) y q = (b 0 + b 1x + + b mx m ), podemos reescribir el producto de la siguiente forma. p q = (a 0 + a 1x + a 2x a nx n )q (1) Por eso, es (a 0 + x (a 1 + a 2x + + a nx n 1 ) q = (a 0 + x p)q = a 0 q + x p q (2) }{{} p a 0 q }{{} cte*lista + Desplazar los coeficientes de la recursión {}}{ x p q }{{} recursión! productolistas :: [ Float ] -> [ Float ] -> [ Float ] productolistas ( caso ) ( base ) =... productolistas ( a0: p) q = sumalistas ( ctelista a0 q) ( desplazar ( productolistas p q)) Ejercicios Completar el caso base y definir las fuciones ctelista y desplazar. (3)

6 La clase Num La clase Num es la de los tipos numéricos. Más precisamente, son los tipos para los que se puede sumar, multiplicar, restar. En términos matemáticos, son los anillos. Observación: x y = x + ( y), así que para restar alcanza con saber sumar y tener opuestos. ejercicio Definir opuesto :: Polinomio -> Polinomio. Así como la clase Show es la de los tipos que tienen definida la función show, la clase Num es la de los que tienen (+), (*), negate, signum, abs. La función abs normalmente es el valor absoluto (o distancia al 0). La función signum es el signo. Se espera que x abs(x) signum(x) = x. Hay formas de definir estas funciones para polinomios y que tengan sentido, pero por ahora las dejamos indefinidas. Por último, para que un tipo forme parte de la clase Num debe, en cierto modo, contener a los números enteros. Es decir, debe tener definida una función que permita covertir un Integer al tipo de dato en cuestión.

7 La clase Num La función f : Z A para un tipo de la clase Num se llama frominteger. Con lo anterior, instance Num Polinomio where p + q = Suma p q p * q = Producto p q negate p = opuesto p abs p = undefined signum p = undefined frominteger n = Mono ( frominteger n) 0 Se puede también hacer un buen show :: Polinomio -> String (queda como ejercicio). instance Show Polinomio where show p =...

8 Algunos ejemplos p = Suma ( Mono 1 0) ( Mono 2 1) q = ( Mono 2 0) + ( Mono ( -3) 1) + ( Mono 1 2) x = Mono 1 1 *Main > p 1.0 * x^ * x^1 *Main > q 2.0 * x^ * x^ * x^2 *Main > p + q 3.0 * x^ * x^ * x^2 *Main > p * q 2.0 * x^ * x^ * x^ * x^3 *Main > q^3 8.0 * x^ * x^ * x^ * x^ * x^ * x^ * x^6 *Main > product [x+1, x+2, x +3] 6.0 * x^ * x^ * x^ * x^3

9 Más operaciones con polinomios Veamos cómo calcular el grado de un polinomio. En principio es sencillo, la única dificultad son los términos cuyo coeficiente es 0: gr(1 + x + 2x 2 ) = gr(1 + x + 2x 2 + 0x 3 ) = 2 Algo que se puede hacer es limpiar estos términos. Si miramos los coeficientes, son todos los ceros que haya al final de la lista de coeficientes. quitaceros :: [ Float ] -> [ Float ] quitaceros [] = [] quitaceros xs last xs == 0 = quitaceros ( init xs) otherwise = xs Con esta función, el grado está ahí nomás: grado :: Polinomio -> Int grado p = length ( quitaceros ( coefs p)) - 1

10 Más operaciones con polinomios También podemos derivar. derivada :: Polinomio -> Polinomio derivada ( Mono a 0) = Mono 0 0 derivada ( Mono a n) = Mono ( a * ( frominteger n)) (n -1) derivada ( Suma p q) = derivada p + derivada q derivada ( Producto p q) = ( derivada p) * q + p * ( derivada q) p = 2 + 3* x - 4* x^4 * Main > derivada p 3.0 * x^ * x^3

11 Ejercicios Programar show :: Polinomio -> String Agregar el tipo polinomio a la clase Eq programando (==) :: Polinomio -> Polinomio -> Bool. Programar coeficienteprincipal :: Polinomio -> Float Programar concoeficientes :: [Float] -> Polinomio, que dada la lista de los coeficientes de un polinomio devuelva un Polinomio con esos coeficientes. Programar poliraices:: [Float] -> Polinomio, que dada una lista de números devuelva un Polinomio que los tenga como raices. Programar interpolador :: [Punto] -> Polinomio, que dada una lista de puntos en el plano devuelva un Polinomio cuyo gráfico pase por estos puntos.