Variables aleatorias continuas

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Vicente Molina Moreno
hace 6 años
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Variables aleatorias continuas jemplo: Con el in de realizar un control de calidad en una ábrica de baterías, se mide el tiempo de duración de baterías elegidas al azar y se deine la va : tiempo de

1 Variables aleatorias continuas jemplo: Con el in de realizar un control de calidad en una ábrica de baterías, se mide el tiempo de duración de baterías elegidas al azar y se deine la va : tiempo de duración de una batería La va es esencialmente continua tiempo, siendo su rango el intervalo real [0, pero supongamos que medimos la duración de la batería en días, es decir discretizamos el rango de la va y se convierte en N o N {0} Por tratarse de una va discreta, su unción de probabilidad puntual puede representarse mediante un histograma con área total igual a Si medimos la duración en horas, obtenemos un histograma con mayor número de intervalos de menor longitud cada uno, pero que sigue teniendo área total igual a Si continuamos aumentando la precisión de la medición minutos, segundos, décimas de segundo, etc, obtenemos como límite de los histogramas una curva suave, y la probabilidad de que la duración de la batería se encuentre entre dos valores a y b a < b estará dada por el área bajo la curva entre a y b Deinición: Una va es continua si eiste una unción : R R [0, llamada unción de densidad de la va tal que P n particular, si [ a, b] d, entonces R 5

2 P a b d y P a P a a 0 a R b a Propiedad: Para que una unción sea una unción de densidad, debe satisacer 0 d R Observación: Nota que no es una probabilidad, de hecho puede ser mayor que s simplemente el valor de una unción en un punto jemplo: Sea a 0 si en otro caso Otra orma de epresar la densidad es a I [ ], donde la unción I se deine como, I 0 si si a Calcular el valor de la constante a d a d a b Calcular P d a a 6 a 6 P d 6 d Deinición: La unción de distribución acumulada de una va continua con unción de densidad se deine para todo R, como F P t 5

3 jemplo: n el ejemplo anterior, obtengamos la unción de distribución acumulada de la va, P t Si < F 0 0, F t Si Si >, F t t 6 Resumiendo, t t F 6 si < si si > Observamos que se trata de una unción continua, no decreciente que toma valores entre 0 y Propiedades de la unción de distribución acumulada: Sea una va continua, i R, F 0, ii F es monótona no decreciente, es decir que si < F F [ ] iii F es continua en todo punto 5

4 iv lim F y lim F 0 - Observemos que las propiedades i, ii y iv ya las hemos demostrado en general al considerar las va discretas Respecto a la propiedad iii, en el caso discreto probamos que la unción de distribución es continua a derecha en todo punto, mientras que en este caso es continua en todo punto Proposición: Sean a y b tales que a b, entonces P a b P a < b P a < b P a < < b F b F a Dem: Resulta inmediatamente del hecho que, si es continua, P 0 Proposición: Si es una va continua con unción de densidad y unción de distribución acumulada F, entonces en todo punto donde F es derivable, ' F F Dem: Resulta del Teorema Fundamental del Cálculo Integral, y de la deinición de F Distribución Uniorme: Deinición: Se dice que tiene distribución Uniorme en el intervalo [, ], si su unción de densidad es I, [ ] es decir, la densidad es constante sobre el intervalo [, ] y 0 uera de él y son los parámetros de la distribución Notación: ~ U, 54

5 55 Función de distribución: Hallemos la unción de distribución acumulada de ~ U, Si < t F 0 0 Si t t F Si > t t F Resumiendo, > < F si si si 0

6 Percentiles de una distribución continua: Sea una va continua con unción de densidad y unción de distribución acumulada F y sea 0 < p <, el percentil 00 p-ésimo de la distribución de es el valor p tal que p F P t p p p jemplos: Sea con unción de densidad I [, ] Su unción de 6 distribución está dada por 0 F 6 si < si si > Obtengamos el 5-percentil de esta distribución p 05 uscamos 05 F tal que F / Sea ~ U, Su unción de distribución está dada por 56

7 0 F si < si si > Hallemos el 50-percentil de esta distribución p 050 uscamos 050 F tal que 050 F l 50-percentil se denomina mediana de la distribución speranza o valor esperado de una va continua: Deinición: Sea una va continua con unción de densidad, la esperanza o valor esperado de se deine como d siempre que d < Si esta integral es, la esperanza no puede deinirse y decimos que no eiste jemplo: Sea ~ U,, d d Proposición: Si la va continua tiene unción de densidad, entonces la esperanza de cualquier unción real h, está dada por h h d 57

8 si h d < Propiedad Linealidad: Si a y b son constantes reales, a b a b Dem: Sea h a b, entonces a b d a d b h d h d a b jemplo: Dos especies compiten en una región para controlar una limitada cantidad de cierto recurso sea : proporción del recurso controlada por la especie Supongamos que ~ U 0,, es decir 0 si si [ 0,] [ 0,] ste modelo de asignación de recursos se denomina broken stick o vara rota ya que es análogo a quebrar una vara en un punto aleatorio La especie que controla la mayoría del recurso, controla la cantidad Sea h ma, si 0 si < l valor esperado para la cantidad controldad por la especie que más controla es: h d ma, d d h d / 0 / / d d 0 / / 0 / Varianza de una va continua: Deinición: Sea una va continua con esperanza y densidad, la varianza de, que se denotará V, σ ó σ, es [ ] V σ d 58

9 59 y el desvío standard de, es V σ Proposición: V Dem: d d V d d d como queríamos demostrar jemplos: Sea ~ U,, hemos demostrado que, es decir el punto medio del intervalo Hallemos la varianza de Como V, necesitamos calcular - d d ntonces, V 4 Por lo tanto, V Propiedad de la varianza y del desvío standard: Sea una va continua con densidad,

10 V a b a V y σ a b a σ Dem: : Observemos que, en general, entonces, si h a b, h h V h d V a [ a b a b ] d [ a b a b] d b [ a a ] d a [ ] d a V, como queríamos demostrar Obviamente, σ a σ a b 60

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