APLICACIONES DE LA DERIVADA

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1 º Bachillerato Trino Grau Fernández APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la rectatangente a la curva en 0. Ordenada del punto: (0) Pendiente de la recta: e e e (e ) (e ) Ecuación de la recta tangente: y - ( 0) y (0) e EJERCICIO : Escribe las ecuaciones de la rectas tangentes a la curva y 9 0 en 0. Ordenadas de los puntos: y 9 0 y y Hay dos puntos: (, ) y (, ) Pendientes de las rectas: 6y y ' 0 y' y' 6y y y', 6 6 Ecuaciones de las rectas tangentes: - En, 5 y y - En, 5 y y y', 6 6 y y EJERCICIO : Halla la ecuación de la rectatangente a la curva y en 0. Ordenada en el punto: y () 9 Pendiente de la recta: y y' ( ) 75 8 Ecuación de la recta tangente: y y ' y 75 8 ESTUDIO DE FUNCIONES EJERCICIO : Halla los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de la unción: ( ) ( ) 9 6 ( ) 9

2 º Bachillerato Trino Grau Fernández Signo de (): , es crecienteen, 0, ; es decreciente en 0,. Tiene un máimo en 0, y un mínimoen. EJERCICIO 5 : Halla los máimos, mínimos y puntos de inleión de la curva: () 5 ( ) Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convea. Primera derivada: () 0 ( ) 5 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Signo de (): es decreciente en, 0, ; es creciente en 0,,. Tiene un 5 máimoen, 6 Segunda derivada: y dos mínimos: 0, 0 y, 0. () 0 ( ) ( ) ' () (6 6 ) ' 0 Signo de '' (): , 0,79 () es cóncava en (; 0,) (0,79; ); es convea en (0,; 0,79). Tiene dos puntos de inleión: (0,; 0,) y (0,79; 0,). TEOREMAS EJERCICIO 6 : Comprueba que la unción () cumple las hipótes del teorema de Rolle en el intervalo [, ]. Dónde cumple la tes? La unción () es continua y derivable en todo R; por tanto, será continua en [, ] y derivable en (, ). Además : son iguales. Por tanto, se cumplen las hipótes del teorema de Rolle. Así, sabemos que eiste c (, ) tal que (c) 0. Veamos dónde se cumple la tes:() (c) c (, )

3 º Bachillerato Trino Grau Fernández EJERCICIO 7 : Calcula m y n para que la unción: m n cumpla las hipótes del teorema del valor medio en el intervalo [0, ]. Dónde cumple la tes? Continuidad en [0, ]: - Si, la unción es continua, pues está ormada por polinomios, que son unciones continuas. lím lím m m - En : lím lím n n Para que sea continua en, ha de ser m n m Derivabilidad en (0, ): 6 - Si, la unción es derivable, y su derivada es: n - Para que sea derivable en, han de coincidir las derivadas laterales: n Por tanto, () cumplirá las hipótes del teorema del valor medio en [0, ] : m n m n n 6 Este caso quedaría: Veamos dónde cumple la tes: () (0) c c 6c c 0, c 0 EJERCICIO 8 : Comprueba que la unción: 5 n satisace las hipótes del teorema del valor medio en el intervalo [0, ]. Dónde cumple la tes? Continuidad en [0, ]: - Si, la unción es continua, pues está ormada por polinomios, que son unciones continuas. lím lím lím - En : lím lím 5 es continua en. Por tanto, () es continua en [0, ]. Derivabilidad en (0, ): - Si, la unción es derivable, y su derivada es: - En, como ( ) ( ) =, también es derivable; y (). Por tanto, () es derivable en (0, ). Se cumplen las hipótes del teorema del valor medio en [0, ]; por tanto, eiste c (0, ) tal () (0) 7 8 que: c Veamos dónde se cumple la tes: c 0,

4 º Bachillerato Trino Grau Fernández EJERCICIO 9 : Calcula los valores de a, b y c para que la unción: a b c cumpla las hipótes del teorema de Rolle en el intervalo [, ]. Qué asegura el teorema en este caso? Continuidad en [, ]: - Si, la unción es continua, pues está ormada por polinomios, que son unciones continuas. lím lím a a - En : lím lím b c b c Para que sea continua en, ha de ser a b c. b c Derivabilidad en (, ): - Si, la unción es derivable, y su derivada es: a b a - En, han de ser iguales las derivadas laterales: b Además, debe ser () (); es decir: a b c a b c Uniendo las condiciones anteriores, tenemos que: a b a b c a b a 9 b c En este caso, el teorema de Rolle asegura que eiste c (, ) tal que (c) 0. EJERCICIO 0 : Comprueba que la unción () 6 7 cumple las hipótes del teorema del valor medio en el intervalo [, ]. Dónde cumple la tes? La unción () 6 7 es continua y derivable en R; por tanto, será continua en [, ] y derivable en (, ). Luego, cumple las hipótes del teorema del valor medio. () () Entonces, eiste c (, ) tal que: c ( ) Veamos cuál es el valor de c en el que se cumple la tes:() 6 6 (c) 6c 6 6c c. La tes se cumple en c, 6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIO : La suma de tres números potivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman 0. Halla los números que veriican estas condiciones y cuyo producto es máimo. Llamamos al primer número, y al segundo y z al tercero. Así, tenemos que: y z 60, y, z 0 y 60 z z y z 0 y 0 z y 60 z El producto de los tres números es: P y z z (60 z) z z (60 z) (z), z > 0 Buscamos z para que (z) sea máimo: (z) z (60 z) z () z (60 z z) z (60 z) 0z 6z

5 º Bachillerato Trino Grau Fernández 5 z 0 (no vale, pues ha de ser z 0). z 0 z 0 Veamos que en z 0 hay un máimo:'(z) 0 z ; '(0) 0 < 0 hay un máimo Por tanto, el producto es máimo para 0, y 0, z 0. EJERCICIO : Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 5 metros, determina razonadamente el que tiene área máima. Área 5, 0 5 Buscamos para que el área sea máima: (Como a la izquierda de y 0 a su derecha, en Por tanto, el área es máima cuando los dos catetos miden 5 (no vale) metros. 5 hay un máimo). EJERCICIO : Un móvil se desplaza según la unción: e (t) 600t 50t 5t 7t 5 t 6, que nos da el espacio en metros recorrido por el móvil en t minutos. Determina a cuántos metros de la salida está el punto en el que alcanza la máima velocidad. La unción que nos da la velocidad es la derivada de e (t): e' (t) t 60t 5t t 5 v (t) Para obtener el máimo de la velocidad, derivamos v (t): v' (t) 900t 80t 50t 60t 60t (5 t 9t t ) 60t (t ) (t ) (t 5) v' (t) 0 t 0, t, t, t 5 Obtenemos el valor de v (t) en estos puntos:v (0) 600, v () 7, v () 9, v (5) 5 Por tanto, la máima velocidad se alcanza en el minuto t 5 y el espacio recorrido es e (5) 000 m.

6 EJERCICIO : Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El pastizal debe tener m para producir suiciente orraje para su ganado. Qué dimenones tendrá el terreno rectangular de orma que utilice la mínima cantidad de valla, el lado que da al río no neceta ser vallado? Aplicaciones de la derivada º Bachillerato Trino Grau Fernández 6 Área y m y Cantidad de valla necesaria: y, 0 Buscamos > 0 que haga () mínima: (no vale) 00 Veamos que en 00 hay un mínimo: ' ; ' 00 0 hay un mínimo Por tanto, han de ser: 00 m, y 600 m EJERCICIO 5 : Entre todos los triángulos rectángulos de área 5 cm, determina las longitudes de los lados del que tiene la hipotenusa mínima. Área y 0 Hipotenusa y 0 y, 0 00 Buscamos el valor de > 0 que hace mínima la unción: 00 Derivamos: (Como 0 a la izquiera de 0 y 0 a su derecha, en 0 hay un 00 0 mínimo). y 0 Por tanto, los catetos miden 0 cm cada uno; y la hipotenusa medirá 0 cm.