Capítulo 6. Análisis de la covarianza ANÁLISIS DE LA COVARIANZA UNIFACTORIAL INTRODUCCIÓN

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1 Capítulo 6 Análisis de la covarianza INTRODUCCIÓN Es una combinación de dos técnicas: Análisis de la Varianza y Análisis de Regresión. En el Análisis de la Covarianza: F La variable respuesta es cuantitativa y F Las variables independientes son cualitativas y cuantitativas. ANÁLISIS DE LA COVARIANZA UNIFACTORIAL La variable respuesta (Y ) está relacionada con una variable cualitativa (τ) y una o más variables cuantitativas (X). La variable cualitativa (τ) recibe el nombre de factor La variable cuantitativa (X) recibe el nombre de covariable o variable concomitante. 59

2 60 Análisis de la covarianza EJEMPLO Una industria química prueba tres fórmulas diferentes de un pegamento industrial. Se sabe que la resistencia del pegamento (variable respuesta) está relacionada con el espesor de la capa adherente (covariable). Fórmulas del pegamento y x y x y x MODELO UNIFACTORIAL CON UNA COVARIABLE y ij = µ + τ i + β(x ij x.. )+u ij ; i =1,,I ; j =1,,n i τ i : El efecto producido por el tratamiento i ésimo β : El coeficiente de regresión lineal x ij : El valor de la covariable correspondiente a la observación y ij x.. : Lamediadelacovariable En un diseño completamente aleatorizado la suma total de cuadrados puede descomponerse en suma de cuadrados entre tratamientos y en suma de cuadrados residual. NOTACIÓN T yy = A yy + E yy ; T xx = A xx + E xx ; T xy = A xy + E xy Nota: Las expresiones de estas sumas de cuadrados y productos cruzados están dadas en el Apéndice.

3 Análisis de la covarianza 61 AJUSTE DEL MODELO T yy(aj) : Suma total de cuadrados de y ajustada por la covariable Entonces: T yy(aj) = T yy T 2 xy T xx T yy(aj) : es la variación debida al efecto del factor más el efecto residual. E yy(aj) : Suma de cuadrados de y dentro de los tratamientos ajustada por la covariable Entonces: E yy(aj) = E yy E2 xy E xx E yy(aj) : es la variación de y asociada al término del error. A yy(aj) : Suma de cuadrados entre tratamientos ajustada Entonces: A yy(aj) = T yy(aj) E yy(aj) A yy(aj) : es la variación entre los valores de la variable dependiente debida sólo al efecto del nivel del factor.

4 62 Análisis de la covarianza CONTRASTES DE HIPÓTESIS CONTRASTE DE LOS EFECTOS DEL FACTOR ½ H0 : τ i =0 i H 1 : τ i 6=0por lo menos para algún i Se contrasta mediante el valor experimental del estadístico F = A yy(aj)(i 1) E yy(aj) (N I 1) CONTRASTEDELCOEFICIENTEDEREGRESIÓN ½ H0 : β =0 H 1 : β 6= 0 El estadístico de contraste de la hipótesis nula está dado por: F = CMReg CME (aj) = E 2 xye xx E yy(aj) (N I 1) Tabla ANOVA. Diseño unifactorial con una covariable F.V. S. C. Grados C.M. F exp Exy 2 Regresión 1 CMReg = E2 xy CMReg E xx E xx Trat.(aj) A yy(aj) I 1 CMTr (aj) = A yy(aj) I 1 Error (aj) E yy(aj) N I 1 CME (aj) = E yy(aj) N I 1 Total T yy N 1 CME (aj) CMTr (aj) CME (aj)

5 Análisis de la covarianza 63 DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS CON UNA COVARIABLE y ij = µ + τ i + γ j + β(x ij x.. )+u ij ; i =1,...,I ; j =1,...,J τ i : Efecto producido por el nivel i ésimo del factor principal γ j : Efecto producido por el nivel j ésimo bloque Tabla ANOVA. Diseño en bloques aleatorizados con una covariable F.V. S. C. Grados C.M. F exp Bloque Tratamientos Error SCE I J CME = Total 2 Trat. mas error SCE 0 J(I 1) 1 SCE I J Trat. ajustados SC aj I 1 CM (aj) = SC (aj) I 1 CM (aj) CME S 0 xx = T xx + E xx ; S 0 xy = T xy + E xy ; S 0 yy = T yy + E yy SCE = E yy E2 xy S 0 2 ; SCE 0 = Syy 0 xy E xx Sxx 0 ; SC (aj) = SCE 0 SCE Nota: Las expresiones de estas sumas de cuadrados y productos cruzados están dadas en el Apéndice.

6 64 Análisis de la covarianza APÉNDICE MODELO UNIFACTORIAL CON UNA COVARIABLE T xx = X ij x 2 ij x2.. N T yy = X ij y 2 ij y2.. N T xy = P ij x ijy ij x..y.. N A xx = x 2 i. x2.. n i N A yy = yi. 2 y2.. n i N A xy = x..y.. n i N E xx = X ij x 2 ij X i x 2 i. n i E yy = X ij y 2 ij X i y 2 i. n i E xy = X ij x ij y ij X i n i

7 Análisis de la covarianza 65 MODELO EN BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS CON UNA COVARIABLE T xx = X ij x 2 ij x2.. T yy = X ij y 2 ij y2.. T xy = X ij x ij y ij x..y.. A xx = x 2 i. J x2.. A yy = y 2 i. J y2.. A xy = J x..y.. R xx = x 2.j I x2.. R yy = y 2.j I y2.. R xy = I x..y.. E xx = T xx A xx R xx E yy = T yy A yy R yy E xy = T xy A xy R xy Bibliografía utilizada: F Lara Porras A.M. (2000). Diseño estadístico de experimentos, análisis de la varianza y temas relacionados: tratamiento informático mediante SPSS. Ed.: Proyecto Sur. Temporalización: Una hora