E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S. Indica, sin realizar la división, el tipo de expresión decimal de estos números.

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1 NÚMEROS REALES E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S. Indica, sin realizar la división, el tipo de expresión decimal de estos números. a) b) 9 6 c) 7 d) a) Periódico mixto c) 7 Periódico mixto 6 b) 9 Periódico puro d) 7 7 Decimal exacto 0. Señala cuáles de los siguientes números decimales no son periódicos. a), c), b),0 d) 8,6686 a) No es periódico. c) No es periódico. b) Sí es periódico. d) No es periódico.. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales. a) 0,67890 c) 8,000 b) 6,98977 d) 8 a) Irracional c) Racional b) Irracional d) Racional. El laboratorio de ciencias es una clase rectangular de 8 metros de largo por 7 de ancho. Indica alguna medida en la clase que no pueda expresarse mediante números racionales. La diagonal del rectángulo: d 7 8 m. Dado el número,67, escribe: a) Las mejores aproximaciones por defecto y por exceso, y los redondeos con una, dos y tres cifras decimales. b) Los errores absolutos y relativos asociados a los redondeos. Exceso, a) Con una cifra decimal: Defecto, Con tres cifras decimales: Redondeo, Exceso,6 Defecto,6 Redondeo,6 Con dos cifras decimales: Exceso,7 Defecto,6 Redondeo,6

2 0,0 b) E. abs. asociado a,:,,67 0,0 E. rel. asociado a,: 0,0007,67 0,007 E. abs. asociado a,6:,6,67 0,007 E. rel. asociado a,6: 8,88 0,67 0,000 E. abs. asociado a,6:,6,67 0,000 E. rel. asociado a,6:,6 0, Una buena aproximación al número es la fracción. Si una fuente circular mide metros de radio, 7 qué errores absoluto y relativo cometemos al medir su circunferencia tomando esta aproximación de? L r, 7,96 m Si aproximamos por, tenemos que L = 7,7 m. 7 0,0 Error absoluto: 7,960 7,7 0,0 Error relativo: 0,0008 7,960.7 Representa en la recta real estos números. a),, 7 y b), 0, y a) 0 7 b) 0 0 = 6,8 6 6, 6, 7 6, 6,8 6,9 6, 6,8 6,8 6,8 6,9

3 .8 Realiza las siguientes operaciones en donde aparecen valores absolutos. a) ( ) b) 7 a) () = = 0 b) Expresa de otras dos formas estos intervalos, e identifica cuáles son entornos. a) (, 9] b) x 9 c) [7, ] a) (, 9] x 9 No es un entorno. 9 b) x 9 (, 9) Es un entorno abierto. 9 c) [7, ] 7 x Es un entorno cerrado. 7.0 Calcula el radio y el centro de estos entornos. a) (, ) c) x 6 b) [, 7] d) x Sea a centro y r radio. a) (, ): a 0 r () 0 b) (, 7): a 7 6 r 7 () 8 c) x 6: a r 6 d) x : a r. Realiza estas operaciones expresando el resultado como una única potencia. a) d) 0 b) e) c) f) ( ) a) d) 0 b) e) c) f) ( ) 6

4 . Expresa en notación científica estas cantidades. a) Longitud de un paramecio: 0,000 0 metros b) Edad del universo: 000 millones de años a), 0 b), 0 0. Calcula: a),6 0, 0 c) (, 0 8 ) (, 0 7 ) b), 0 8 6, 0 7 d) (,6 0 7 ) : (8 0 ) a),6 0, 0, 0 b), 0 8 6, 0 7, 0 7 6, 0 7 0,6 0 7 c) (, 0 8 ) (, 0 7 ) 9, 0 d) (,6 0 7 ) : (8 0 ) 0,7 0,7 0. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales. a),, 0 b),,, 6 a),, 0 Reducimos a índice común los radicales: 0, 0, 0 Ordenamos de menor a mayor: b),,, 6 Reducimos a índice común los radicales: 6, 6 6, 6, 6 Ordenamos de menor a mayor: Indica cuántas raíces tienen los siguientes números y calcúlalas cuando sea posible. a) 0,9 b) 6 a) 0,9 Tiene dos raíces reales: 0,7 y 0,7. b) 6 Tiene una raíz real: 6. c) d) c) No tiene raíces reales. d) Tiene una raíz real:..6 De los siguientes pares de potencias, cuáles son equivalentes? a), 0 c) 7, 7 0 b) 8, 6 7 d) 0, 0 0, a), 0 Sí son equivalentes. c) 7, 7 Sí son equivalentes. b) 8, 6 7 No son equivalentes. d) 0, 0 0, Sí son equivalentes. 0 7

5 .7 Expresa los siguientes radicales como potencias y, si es posible, simplifícalas. a) 6 c) 9 b) 7 d) a) c) b) 7 d) Escribe tres potencias equivalentes a: a) b) 7 a), 6, 0 b) 7 7 0, 7, Expresa como radicales estas potencias. a) 6 c) 8 b) d) 00 a) c) 8 8 b) 6 d) Los lados de tres cuadrados miden, respectivamente,, 6 y metros. Ordénalos de menor a mayor según sus correspondientes áreas. Reduciendo los exponentes de las potencias a común denominador:,, 8. Entonces: 6 8. Haz las siguientes operaciones. a) 6 8 c) b) 8 : d) 0 : a) 6 8 c) 9 b) 8 : d) 0 : 6 0 : 6 0,8 8

6 . Realiza las operaciones siguientes. a) 0 9 : c) b) d) 7 a) 0 9 : 0 : 9 0 c) b) d) Simplifica extrayendo factores. a) 80 c) 7 b) 6 d) 000 a) 80 6 c) 7 b) 6 d) Introduce los factores enteros en los radicales. a) c) 0 b) 7 d) a) 0 c) b) d) 0. Opera y simplifica. a) b) c) 6 8 a) b) c)

7 .6 Racionaliza las siguientes expresiones. a) c) 7 b) d) a) b). 8 6 c) d) Racionaliza y simplifica. a) b) c) a) b) 9 c).8 Calcula los siguientes logaritmos. a) En base de, 6, 6, 6,, b) En base de 7, 9,,,, 9 a) log log log 6 log log 6 6 log 6 8 b) log 7 log log 9 log 9 log log 0 0

8 .9 Usando la definición de logaritmo, halla x. a) log x 6 b) log x c) log 7 x a) log x 6 x 6 x 6 x 6 b) log x x x x c) log 7 x 7 x x 7.0 Sin calculadora, halla la primera cifra de los logaritmos decimales de 00; 8; 0; 0,; ; ; 0,00; 7 y 0,0000. log 00,... log 8,... log no existe. log 0,00,... log 0,... log 7 0,8,... log 0, 0,,... log 0,000 0,... log,.... Sabiendo que log 0,7, calcula: a) log 0, c) log 00 b) log d) log a) log 0, log log log log 000 0,7, 0, b) log log 0 log0 log 0,7 0, c) log 00 log ( 00) log log 00 0,7,7 d) log log log 0,7, 0,6v. Mediante un cambio de base y la calculadora, halla: a) log 0 d) log 0, b) log e) log c) log 0, 0 f) log 7 60 a) log 0 lo g 0,768 log b) log lo g,686 log log 0 c) log 0, 0,9 l og 0, log d) log 0, 0,00 lo g 0, e) log lo g,797 log f) log 7 60 lo g 60,0 log 7

9 . Toma logaritmos en estas expresiones. a) A 0 0bc d y z b) B x 0 a) A 0 0b d c log A log 00bc log d log 00 log b log c y z b) B x log B log x y log 0 z 0 log x log y log 0 log z log d. Toma antilogaritmos en estas expresiones. a) log A log b log c b) log B log x log y log z Tomando antilogaritmos se tiene que: a) A b c 00 b) B x y z R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S. Demuestra la igualdad siguiente, siendo n cualquier número natural n n Para n es cierta. Veamos que si se cumple para un valor n, también se cumple para el siguiente, n. Deberíamos obtener n n n ( 8... n ) n ( n ) n n n, n como queríamos demostrar.

10 .6 Demuestra la igualdad siguiente, siendo n cualquier número natural.... n (n ) n n Para n es cierta. Suponemos que es cierta para n y comprobamos que lo es para n. Deberíamos obtener n. n... n (n ) (n ) (n ) n n n n (n ) (n ) n (n ) (n ) (n ) (n ) (n ) n (n ) n ( n ) (n ) (n ) ( n ) n n Por tanto, la igualdad es cierta. A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Números reales y aproximaciones.7 Indica qué tipo de expresión decimal tienen los siguientes números. 7 a) c) b) d) 7 a) 0, Decimal exacto 0 8 b) 0,7 v Decimal periódico puro c) 0,6 Decimal periódico mixto 8 d) 0,78 w Decimal periódico mixto

11 .8 Copia y completa la tabla escribiendo estos números en todos los conjuntos numéricos a los que puedan pertenecer. ; ;,...;, ; ;0,6v Naturales (N) Enteros (Z) Racionales (Q) Reales (R) Naturales (N) Enteros (Z) Racionales (Q) ; ;, ; 0,6v Reales (R) Todos.9 La relación entre la diagonal de un pentágono regular y su lado se llama número de oro o áureo, y se designa por. Su valor es = =,68 Es irracional? Por qué? Calcula una aproximación por defecto con un error menor que una centésima. Sí es irracional, ya que al ser irracional, entonces también lo es. l d =,6.0 Qué errores absoluto y relativo se cometen cuando se aproxima,9 por,6? Error absoluto,9,6 0,0008 Error relativo 0, ,000, 6. Cuántos números reales existen comprendidos entre,87 6 y,87 7? Escribe tres de ellos. Existen infinitos números reales entre ambos, por ejemplo:,87 6 ;,87 6 ;, Indica si los siguientes números son racionales o irracionales. a), c), b) 0, d) 8, a) Racional c) Irracional b) Irracional d) Racional

12 . Rellena los recuadros vacíos con o según sea necesario en cada caso. a) 6 0, c), b),7 0 d), a) 6 0, c), b),7 0 d), Ordena de menor a mayor y representa gráficamente los siguientes números reales. ; ; ; ;,; 0,67 v 0 Necesitamos tener la aproximación decimal de cada uno de los números:,9...,7... 0, ,6, 0,67v 0 Utilizando la aproximación decimal anterior, representamos gráficamente los números:, π 0 0,67 0. Realiza las siguientes operaciones. a) 7 c) 9 b) 8 d) 9 : a) 7 c) 9 9 b) 8 d) 9 : 6 Intervalos, semirrectas y entornos.6 Expresa mediante desigualdades y también gráficamente en la recta real los siguientes intervalos y semirrectas. a) [, ) c) (, ) b) (, 0] d) [, 8] a) [, ) x b) (, 0] x 0 c) (, ) x d) [, 8] x

13 .7 Señala si las siguientes igualdades son verdaderas o no. a) E [, ] [, ] c) E (, ) (, 0) b) E (0, ) [, ] d) E (, ) (, ] a) Verdadera c) Falsa b) Falsa d) Falsa.8 Representa en la recta real el intervalo A [, ] y la semirrecta B (, ). Existe algún intervalo de puntos común a ambos? En caso afirmativo, hállalo. 0 6 Sí existe intervalo común a ambos: (, ]. 0 6 Potencias de exponente entero. Notación científica.9 Escribe los siguientes números como potencias cuya base sea un número primo. a) 8,,, 0, 0 b) 6,, 6, 8, a) 8 ; ; ; 0 0 ; 0 7 b) 6 ; 7 ; 6 8 ; 8 ;.0 Haz estas operaciones con potencias. a) : () b) 9 8 c) a) : () b) 9 8 c). Escribe en notación científica los números: a) c) b) 0, d) 0, Cuál tiene un orden de magnitud superior? a),8 0 c) 8, 0 b), d), 0 Tiene mayor orden de magnitud el c. 6

14 Radicales. Potencias de exponente fraccionario. Ordena de mayor a menor estos radicales. a), 0, 6 b),, a) 0 6 b). Calcula el valor de las siguientes potencias. a) c) 6 0, b) d) 7 0,... a) c) 6 0, b) 9 d) 7 0,.... Efectúa las siguientes operaciones. a) 8 7 e) 8 : b) 00 c) 9 f) : 6 g) 8 d) 87 : 08 h) 6 a) b) : 00 6 : c) d) 87 : 08 6 e) 8 : f) : 6 g) 8 h) 6 Radicales semejantes. Racionalización. Opera y simplifica. a) 0 80 c) 7 80 b) 6 0 d) 8 7 a) 9 c) 8 6 b) d) 7

15 .6 Racionaliza las siguientes expresiones. a) b) c) e) 8 d) 7 f) a) c) b) 9 d) 7 e) f) 6 Logaritmo de un número. Propiedades.7 Calcula los siguientes logaritmos. a) log log 79 log b) log log 6 log c) log 8 log log 0 00 d) log log 7 log a) log log 79 6 log b) log log 6 log c) log 8 log log 0 00 d) log log log Encuentra el valor de x. a) log x c) log x 8 6 b) log x d) log 7 x a) x c) x b) x d) x 8