ANTECEDENTES HISTÓRICOS

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2 ANTECEDENTES HISTÓRICOS INTRODUCCIÓN La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas. Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con continuidad. CIVILIZACIONES ANTIGUAS En este momento de la historia, la Civilización Egipcia, llevaba la pauta con el avance en sus conocimientos matemáticos. Según varios papiros escritos en esa época, los egipcios inventaron el primer sistema de numeración, basado en la implementación de jeroglíficos. El sistema de numeración egipcio, se basaba en sustituir los números clave (1, 10, ), con figuras (palos, lazos, figuras humanas...), los demás números eran escritos por la superposición de estas mismas figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta para lo que hoy conocemos como el sistema romano. Otras civilizaciones importantes en la historia, como la babilónica, crearon otros sistemas de numeración. En la Antigua Babilonia, la solución al problema de contar los objetos, se vio resuelto con la implementación de un método sexagesimal. Este método tenía la particularidad de escribir un mismo signo como la representación de varios números diferenciados por el enunciado del problema. Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un sistema decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas implementaron el número cero. Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema numérico, aún son utilizados actualmente. El avance algebraico de los egipcios, dio como resultado la resolución a ecuaciones de tipo. La correcta implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte de los Indios, aumentó el conocimiento matemático, y la creación de los números irracionales, a demás que ayudó a la resolución de sistemas de ecuaciones de la forma. En la Antigua Mesopotamia, se introduce el concepto de número inverso, a demás de las soluciones a distintos problemas logarítmicos, e incluso lograron la solución a sistemas de ecuaciones de la forma, y. Su avance fue tal que crearon algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones. Y en geometría, se cree que conocían el teorema de Pitágoras, aunque no como un teorema general. 2

3 China sin duda tubo que ver en gran medida en el avance matemático. Su aporte principal se basaba en la creación del "método del elemento celeste", desarrollado por Chou Shi Hié, con el cual era posible la resolución de raíces enteras y racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a 4 x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a o. RENACIMIENTO Y MATEMÁTICAS MODERNAS En relación con el análisis matemático en este siglo, se fundamento en un conjunto de procedimientos y métodos de solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo que se conoce como teoría de límites y de funciones, que fueron el tema central en este siglo. Bernard Bolzano, fue el pionero en el análisis de funciones, en sus trabajos estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de continuidad de funciones. Estudió profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo. También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método de acumulación de singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la función que no tiene derivada en ningún punto y conocida actualmente como función de Bolzano. Otro de los grandes avances obtenidos en esta época, fue la introducción de la variable compleja, con ella se pudieron resolver los cálculos de integrales, lo que ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja. Matemáticos como Laplace acudieron a la interpretación en variable compleja, con lo que fue desarrollando el método de resolución de ecuaciones lineales diferenciales. Ya en el siglo VII, es cuando se hacen populares la construcción de academias reconocidas en el ámbito de las matemáticas, como la Academia de Londres y París. En este siglo es cuando comienzan todas las disciplinas matemáticas actuales, como la geometría analítica, los métodos diferenciales e infinitesimales, y el cálculo de probabilidades. La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas; 3

4 búsqueda de tangentes. Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la mecánica, la astronomía y la física. En la resolución de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos científicos: KEPLER, GALILEO, CAVALIERI, TORRICELLI, PASCAL, WALIS, ROBERVAL, FERMAT, DESCARTES, BARROW, NEWTON, LEIBNIZ y EULER. El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vació ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño. En 1666, el científico inglés ISAAC NEWTON fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole. Isaac Newton ( ) Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático alemán GOTTFRIED LEIBNIZ realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. De igual forma, otros matemáticos destacan por haber hecho trabajos importantes relacionados con el cálculo diferencial, entre ellos sobresale PIERRE FERMAT, matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos acercándose así al descubrimiento del Cálculo diferencial. FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los Franceses, Alemanes y los Ingleses. Razón por la que las demostraciones de FERMAT se hayan perdido. NICOLAS ORESME, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente. JOHANNES KEPLER tiempo después, coincide con lo establecido por ORESME, conceptos que permitieron a FERMAT en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o su mínimo, es decir, la función es paralela al eje x donde la pendiente de la tangente es nula. 4

5 ISAAC BARROW maestro de NEWTON, quien por medio del triangulo característico, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco. NEWTON concibió el método de las fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina momento de la cantidad fluente al arco mucho muy corto recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la razón del momento al tiempo correspondiente, es decir, la velocidad. Por lo tanto, fluente es la cantidad variable que se identifica como función ; fluxión es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como la derivada ; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se le llama momento que se identifica como la diferencial. El principio establece que: los momentos de las funciones son entre sí como sus derivadas. La concepción de LEIBNIZ se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el triángulo característico de BARROW, observando que el triángulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos dx, dy/dx, la palabra derivada y el nombre de ecuaciones diferenciales se deben a LEIBNIZ. AGUSTIN LÓUIS CAUCHY matemático francés, impulsor del cálculo diferencial e integral autor de la teoría de las funciones de las variables complejas, basándose para ello en el método de los límites; las definiciones de función de función y la de función compuesta, Gottfried Leibniz ( ) también se deben a CAUCHY. JACOBO BERNOULLI introduce la palabra función en el cálculo diferencial y la simbología f(x) se debe a LEONARD EULER; ambos matemáticos suizos. JOHN SIMON LHUILIER; el símbolo tiende a lo implantó J.G LEATHEM. Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo diferencial se deben a NEWTON y a LEIBNIZ; sin embargo, por más de 150 años el cálculo diferencial continúo basándose en el concepto de lo infinitesimal. En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño. 5

6 El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose en una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo; la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc. A NEWTON y a LEIBNIZ se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del cálculo diferencial, que se denomina: Problema de las Tangentes en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual. Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. Éste es el desarrollo que las matemáticas han obtenido desde que el hombre vio la necesidad de contar, hasta nuestros días. Actualmente gran cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas denominadas matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias actuales. EJERCICIOS: I.- Conteste las siguientes preguntas: 1.-Mencione el significado de la palabra cálculo. 2.- Que bases dieron origen al cálculo diferencial? 3.-Nombre de los fundadores del cálculo diferencial. 4.- Describa la aportación de GOTTFRIED LEIBNIZ al cálculo diferencial. 5.-Escriba los conceptos que estableció NICOLAS ORESME en el estudio de los máximos y mínimos. 6.-Escriba el estudio de ISAAC BARROW sobre el triángulo característico. 7.- Explique los razonamientos de ISAAC NEWTON sobre el método de las fluxiones. 6

7 NOTACIÓN Y DEFINICIÓN DE FUNCION El concepto de función es de suma importancia en la matemática, debido a esto vamos a estudiar este tema de una manera un poco detallada. Dos conjuntos de números, por ejemplo, pueden estar relacionados de varias maneras mediante alguna regla o fórmula determinada; empero nos interesa una forma particular de relación entre dichos conjuntos, la cual recibe el nombre de función. (A continuación, se observa la gráfica de una función f de dos variables independientes). Definición de función: Una función, denotada por f, es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos de tal forma que a cada elemento de un conjunto X se asocia un único elemento de otro conjunto Y. Al conjunto X se llama dominio de la función y al conjunto Y, contradominio o dominio de imágenes de la función. La notación utilizada para indicar que "f es una función de X en Y " es la siguiente: ƒ: X Y Si x X, el elemento de Y que le corresponda a x se llama imagen de x, se denota por ƒ (x) y se lee ƒ de x. Función de n variables independientes: Una función de ƒ de n variables es un conjunto de pares ordenados (P, w) en el cual dos pares ordenados diferentes no tienen el mismo primer elemento. P es un punto en el espacio numérico n dimensional y w es un # real. El conjunto de todos los valores posibles de P se llama dominio de ƒ y el conjunto de los posibles valores de w se llama contradominio, codominio o dominio de imágenes de ƒ. Una función de ƒ de n variable se puede definir con la siguiente ecuación: w = ƒ (x 1, x 2,.x n ). 7

8 Las variables x 1, x 2,.x n se conocen como variables independientes y w como variable dependiente. Gráfica de una función de n variables: Si ƒ es una función de n variables, entonces la gráfica de ƒ es el conjunto de todos los puntos (x 1, x 2,.x n, w ). FUNCIONES ALGEBRAICAS FUNCIONES Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f (x) = k. En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas. FUNCIÓN POLINOMIAL: El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales. Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado). FUNCIÓN LINEAL: La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los números reales. La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta. La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como por dos puntos diferentes, en el plano cartesiano, se puede trazar una sola línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean los interceptos con los ejes del plano. Como ya mencionamos antes, el intercepto 8

9 con el eje y, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x. FUNCIÓN CONSTANTE: Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0. La función constante se define como: El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el codominio es k. La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y = k. FUNCIÓN IDENTIDAD: La función identidad es una función lineal con a = 1 y b = 0. La función lineal se define por: El dominio y el codominio de la función identidad es el conjunto de los números reales. La función identidad biseca los cuadrantes I y III. Observe la siguiente gráfica: FUNCIÓN CUADRÁTICA: La forma general de una función cuadrática (función polinomial de segundo grado) es: 9

10 Para trazar la gráfica de una función cuadrática es conveniente construir una tabla de valores, con por lo menos cuatro valores, uno para el vértice, dos para los interceptos con el eje x y un cuarto para el intercepto con el eje y. FUNCIONES RACIONALES: Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. Ésto es, una función racional es de la forma: Donde P y Q son polinomios El dominio de la función polinomial consiste de todos los números reales, a excepción de aquellos para los cuales Q(x) = 0. A continuación de presenta un ejemplo demostrativo: 10

11 EJERCICIOS: I.- CONTESTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS: 1.- Mencione la definición de función. 2.- Qué son las funciones algebraicas? 3.-Mencione la definición de función cuadrática. 4.- Mencione la definición de función identidad. 5.- A qué se le considera una función constante? 11

12 DOMINIO Y CONTRADOMINIO DE FUNCIONES DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio. Figura 1. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del condominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del condominio, sin importar si los elementos del condominio puedan estar relacionados con dos o más del condominio. Donde se dice que f: A B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B). Al definir la función como el conjunto de pares ordenados de números reales (x, y) tales que dos pares distintos no tienen el mismo primer elemento; al conjunto de todos los valores de los primeros elementos (x) de los pares ordenados, se le denomina DOMINIO DE LA FUNCIÓN y se denota por Df ; al conjunto de todos los valores de los segundos elementos (y) y de los pares ordenados, se le denomina RANGO DE LA FUNCIÓN y se denota por Rf. También la función se define como la relación entre dos variables, en donde la primera (y) depende de la otra variable (x); si a cada valor de x le corresponde un solo valor de y se establece que y es función de x ; así tenemos que x es la variable independiente y y es la variable dependiente o función. El dominio de una función puede describirse de manera explícita, o bien puede describirse implícitamente mediante una ecuación usada para definir la función. 12

13 El dominio implícito es el conjunto de todos los números reales para los que la ecuación está definida, en tanto que un dominio definido de manera explícita es aquel que se da con la función. Por ejemplo, el dominio de la función f (x) = x 1 es el conjunto de todos los valores que x 1 > 0, el cual es el intervalo [0, )], como se indica en la siguiente figura: A continuación se presenta un problema demostrativo de dominio y contradominio: 13

14 EJERCICIOS: I.- Sí f es una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y con regla de correspondencia f (x) = 3x² - 2x + 5, hallar: a) f (2) b) f (-2/3) c) f ( 2 ) d) f (x + h) e) f (a/5) II.- En los siguientes ejercicios, encuentre el dominio y rango de la función. 1.- h (x) = - x ƒ (x) = 1/x 3.- g (x) = x² g (x) = 2. x - 1 III.- En los ejercicios siguientes, trace una gráfica de la función y encuentre su dominio y su rango. Use un medio para construir gráficas con el fin de verificar la que usted obtuvo. 1.- ƒ (x) = 4 x 2.- h (x) = x g (x) = 4/x 4.- ƒ (x) = ½ x³

15 GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES MÁS COMUNES EN CÁLCULO La gráfica de función y = f (x) consta de todos los puntos (x, f (x)), donde x es en el dominio de f. En la figura de abajo observe que: x = distancia dirigida a partir del eje y f (x) = distancia dirigida a partir del eje x. Al trazar una recta vertical sobre la gráfica esta puede cortar a la función de x solo una vez. Esta observación proporciona una prueba visual conveniente (llamada prueba de la recta vertical) para las funciones de x. Por ejemplo, en la figura de abajo puede verse que la gráfica no define y como una función x, por que una recta vertical corta la gráfica dos veces, en tanto que en las graficas si definen y como una función de x. 15

16 En la figura de abajo se muestran las gráficas de ocho funciones básicas. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES Algunas familias de gráficas tienen la misma forma básica. Por ejemplo, compare la gráfica de y = x² con las de las otras cuatro funciones cuadráticas que se muestran en la siguiente figura: 16

17 Cada una de las gráficas de la figura anterior, son una transformación de la grafica de y = x². Los tres tipos básicos de transformaciones ilustrados por estas gráficas son desplazamientos verticales, horizontales y reflexiones. La notación de funciones se presta bien para describir las transformaciones de las gráficas en el plano. Por ejemplo, si f (x) = x² se considera como la función original de la figura anterior, las transformaciones mostradas pueden representarse por las ecuaciones siguientes: Y = f(x) + 2 y = f(x +2) Desplazamiento vertical hacia arriba en 2 unidades Desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 2 unidades y =- f(x) Reflexión con respecto al eje x. y =- f(x+3) + 1 Desplazamiento hacia la izquierda en 3 unidades, Reflexión respecto al eje x y desplazamiento hacia arriba en 1. Tipos básicos de transformaciones (c >0) Gráfica original: y = f(x) Desplazamiento horizontal c unidades hacia a la derecha: y =- f(x-c) Desplazamiento horizontal c unidades hacia a la izquierda: y =- f(x+c ) Desplazamiento vertical c unidades hacia abajo: y =- f(x ) -c Desplazamiento vertical c unidades hacia arriba: y =- f(x ) + c Reflexión (respecto al eje x): y =- f(x ) Reflexión (respecto al eje y): y = f-(x ) Reflexión (respecto al origen): y =- f(- x ) 17

18 ANÁLISIS GRÁFICO DE LAS FUNCIONES LA GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN En 1637, el matemático francés Descartes revolucionó el estudio de las matemáticas al unir sus dos campos principales: el álgebra y la geometría. Con el plano coordenado o cartesiano, los conceptos de la geometría pudieron formularse analíticamente y los conceptos algebraicos pudieron contemplarse en forma gráfica. Es de tal magnitud el poder de este enfoque que en menos de un siglo, se había desarrollado gran parte del cálculo. El lector puede acrecentar su posibilidad de éxito en el cálculo al seguir el mismo enfoque, es decir, al contemplar el cálculo desde múltiples perspectivas gráfica, analítica y numéricamente- aumentará su comprensión de los conceptos centrales. Considere la ecuación 3x + y = 7. El punto (2,1) es un punto de solución de la ecuación porque ésta se satisface (es verdadera) cuando x se sustituye por 2 y, y por 1. Esta ecuación tiene muchas otras soluciones, como (1,4) y (0,7). Para hallar de manera sistemática otras soluciones, despeje y en la ecuación original. y = 7 3x Enfoque analítico Después construya una tabla de valores sustituyendo varios valores de x. Enfoque numérico En la tabla puede verse que (0,7), (1,4) (2,1), (3,-2) y (4, -5) son soluciones de la ecuación original 3x + y = 7. Como muchas ecuaciones, ésta tiene un número infinito de soluciones. El conjunto de todos los puntos solución es la gráfica de la ecuación, como se muestra en la figura de la izquierda P.1. 18

19 EJEMPLO 1 TRAZADO DE UNA GRÁFICA MEDIANTE LA SITUACIÓN DE PUNTOS Trace la gráfica de y = x² - 2. Solución: En primer lugar, construya una tabla de valores. Enseguida, grafique los puntos dados en la tabla. Por último, una los puntos con una curva suave, como se muestra en la figura de abajo P.2. Esta gráfica es una parábola. Una desventaja de situar puntos en una gráfica es que para obtener una idea acerca de la forma de ésta tal vez sea necesario situar muchos de ellos. Con sólo algunos puntos, podría representarse la gráfica de manera equivocada. Por ejemplo, suponga que, para trazar la gráfica de: y = 1/30 x (39 10x² + x⁴). Se grafican sólo cinco puntos: (-3, -3), (-1,-1), (0,0), (1,1) y (3,3), como se muestra en la figura P.3a. A partir de éstos cinco puntos, podría concluirse que la gráfica es una recta. Sin embargo, esto no es correcto. Al graficar varios puntos más, puede verse que la gráfica es más complicada, como se muestra en la figura P.3b. 19

20 INTERSECCIONES DE UNA GRÁFICA CON LOS EJES En especial son útiles dos tipos de puntos solución, los que tienen cero como su coordenada en x o los que tienen cero como su coordenada en y. Estos puntos se conocen como intersecciones con los ejes porque son aquellos en los que la gráfica se interfecta con el eje x o con el y. El punto (a, 0) es una intersección con el eje x de la gráfica de una ecuación si es un punto de solución de ésta. Para hallar las intersecciones de una gráfica con el eje x, haga y igual a cero y resuelva la ecuación para x. El punto (0. b) es una intersección con el eje y de la gráfica de una ecuación si es un punto de solución de ésta. Para hallar las intersecciones de una gráfica con el eje y, haga x igual a cero y resuelva la ecuación para y. Es posible que una gráfica no tenga intersecciones con los ejes, o bien, podría tener varias. Por ejemplo, considere las cuatro gráficas que se muestran en la figura P.5. 20

21 EJEMPLO 2 DETERMINACIÓN DE LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES X Y Y Encuentre las intersecciones con los ejes x y y de la gráfica de y = x³ - 4x. Solución: Para hallar las intersecciones con el eje x, haga y igual a cero y resuelva la ecuación para x. x³ - 4x = 0 Haga y igual a cero x (x 2) (x + 2) = 0 x = 0, 2 o -2 Factorice Resuelva para x Debido a que esta ecuación tiene tres soluciones, puede concluir que la gráfica tiene tres intersecciones con el eje x: (0,0), (2,0) y (-2, 0). Intersecciones con el eje x Para hallar las intersecciones con el eje y, haga x = 0. Si se hace esto, produce y=0. Por consiguiente, la intersección con el eje y es: (0,0) Intersección con el eje y SIMETRÍA DE UNA GRÁFICA Es útil saber que una gráfica tiene simetría antes de intentar trazarla porque ayuda a determinar un rectángulo de visión apropiado. Es posible usar los tres tipos siguientes de simetría para ayudar a trazar la gráfica de una ecuación. (Véase la figura P.7) 21

22 1.- Una gráfica es simétrica respecto al eje y siempre que (x, y) sea un punto de la gráfica, y (-x, y) también lo sea. Esto significa que la parte de la gráfica a la izquierda del eje y es una imagen especular de la parte a la derecha del mismo eje. 2.- Una gráfica es simétrica respecto al eje x siempre que (x, y) sea un punto de la gráfica, y (x, -y) también lo sea. Esto significa que la parte de la gráfica que está arriba del eje x es una imagen especular de la parte que está abajo del mismo eje. 3.- Una gráfica es simétrica respecto al origen siempre que (x, y) sea un punto de la gráfica, y (-x, -y) también lo sea. Esto significa que la gráfica permanece inalterada por una rotación de 180 alrededor del origen. La gráfica de un polinomio tiene simetría respecto al eje y y si cada uno de los términos tiene un exponente par (o es una constante). Por ejemplo, la gráfica de: y = 2x⁴ - x² + 2 Simetría respecto al eje y Tiene simetría respecto al eje y. De manera análoga, la gráfica de un polinomio tiene simetría respecto al origen si cada uno de los términos tiene un exponente impar. EJERCICIOS: Trace la grafica de la ecuación e identifique las intersecciones con los ejes. 1.- y = 3x y = x y = x x = y y = 1 x 6.- y = 6 x y = ( x+ 3) 8.- y = x x+ 2 22

23 OPERACIONES CON FUNCIONES Suma de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por: Resta de funciones Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función: Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo. Producto de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por: Cociente de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por: (La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.) Producto de un número por una función Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por: EJERCICIO: Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4. Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5. Resolución: La función f + g se define como: (f + g) (x) = f(x) + g(x) = x x - 4 = 5x

24 (f + g) (2) = = 7 (f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18 (f + g) (1/5) = 5 1/5-3 = -2 Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen del 2, Dadas las funciones f (x) = x 2-3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x). Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g. Resolución: Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado. Resolución: Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados. Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g. Resolución: 24

25 La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula. Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados. Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 f. Resolución: EJERCICIOS: 2 1. Dada f ( x) = 3x 2 y g( x) x resultante ( f + g ) Dada f ( x) = 3x 2 y g( x) x resultante ( f g ) Dada f ( x) = 3x y g( x) x ( f / g ) Dada f ( x) = 3x y g( x) x ( f * g ) Dada f ( x) = 3x 2 y g( x) x resultante ( f * g ). = + 4 ; hallar la ecuación para la función = + 4 ; hallar la ecuación para la función = ; hallar la ecuación para la función resultante = ; hallar la ecuación para la función resultante = + 4 ; hallar la ecuación para la función 25

26 NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE LÍMITES: El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito. Definición de límite Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado. Ejemplo: En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x): Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña así mismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). O sea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante. EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE La noción de límite es fundamental para el estudio del cálculo. Las breves descripciones de dos problemas clásicos del cálculo el problema de la recta tangente y el problema del área- que se presentan enseguida deben de darle cierta idea de cómo se usan los límites en esta disciplina. En el problema de la recta tangente, se da una función f y un punto P de su gráfica y se pide hallar una ecuación de la recta tangente a ésta en ese punto P, como se muestra en la figura de la izquierda. Excepto para los casos que comprenden una recta tangente vertical, el problema de 26

27 hallar la recta tangente en un punto P es equivalente a hallar la pendiente de esa recta en P. Usted puede obtener una aproximación de esta pendiente usando una recta que pase por el punto de tangencia y un segundo punto de la curva, como se muestra en la figura siguiente: Conforme el punto Q se aproxima al punto P, la pendiente de la recta secante tiende a la pendiente de la recta tangente, como se muestra en la figura (b). Cuando existe esa posición límite, se dice que la pendiente de la recta tangente es el límite de la pendiente de la recta secante. Esta recta se llama recta secante. Si P (c, f (c)) es el punto de tangencia y Es un segundo punto de la gráfica de f, la pendiente de la recta secante que pasa por estos dos puntos se expresa por EL PROBLEMA DEL ÁREA En el problema de la recta tangente se vio como puede aplicarse el proceso de hallar el límite a la pendiente de una recta con el fin de hallar la pendiente de una curva general. Un segundo problema clásico del cálculo es encontrar el área de una región plana acotada por las gráficas de funciones. Este problema también puede resolverse con el proceso de hallar el límite. En tal caso, este proceso se aplica al área de un rectángulo para hallar el área de una región general. 27

28 Como un ejemplo sencillo, considere la región limitada por la gráfica de la función y = f (x), el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, como se muestra en la figura 1.3 Es posible obtener una aproximación del área de la región con varias regiones rectangulares, como se muestra en la figura 1.4. A medida que se incrementa el número de rectángulos, la aproximación tiende a ser cada vez mejor debido a que la cantidad de área no cubierta por los rectángulos disminuye. La meta es determinar el límite de la suma de las áreas de los rectángulos conforme el número de rectángulos aumenta sin cota. INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES Suponga que se le pide trazar la gráfica de la función f dada por: 28

29 Para todos los valores diferentes de x = 1, es posible aplicar técnicas estándar de trazado de curvas. Pero en x = 1 no resulta claro qué puede esperarse. Para formarse una idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x = 1, se pueden utilizar dos conjuntos de valores de x: uno que se aproxime a 1 desde la izquierda y el otro desde la derecha, como se muestra en la tabla: Cuando se traza la gráfica de la función, parece que la gráfica de f es una parábola que tiene una abertura en el punto (1,3), como se muestra en la figura 1.5. Aunque x no puede ser igual a 1, usted puede moverse arbitrariamente cerca de 1 y, como resultado, f (x) se mueve, también de modo arbitrario, cerca de 3. Si utiliza la notación de límites, se puede escribir Esto se lee como el límite de f (x), cuando x tiende a 1, es 3. Esta explicación conduce a una descripción informal de límite. Si f (x) se hace arbitrariamente cercana a un solo número L cuando x se aproxima a c desde cualquiera de los dos lados, el límite de f (x), cuando x tiende a c, es L. Este límite se escribe como: 29

30 Ejemplo 1 EVALUACIÓN NUMÉRICA DE UN LÍMITE Solución: En la tabla se listan los valores de f (x) para varios valores x cercanos a 0. A partir de los resultados que se muestran en la tabla, puede estimar el límite como 2. Este límite se esfuerza por la gráfica de f (véase la figura 1.6) En el ejemplo 1, observe que la función no está definida en x = 0 y, sin embargo, f (x) parece estar aproximándose a un límite cuando x tiende a 0. Ésto sucede a menudo y es importante darse cuenta de que la existencia o la 30

31 inexistencia de f (x) en x = c no tiene relación con la existencia del límite de f (x) cuando x tiende a c. Ejemplo 2 DETERMINACIÓN DE UN LÍMITE Encuentre el límite de f (x) cuando x tiende a 2 f se define como: Solución: Debido a que f (x) = 1 para todo x diferente de x = 2, puede concluir que el límite es 1, como se muestra en la figura 1.7. Por tanto, puede escribir El hecho de que f (2) = 0 no guarda relación con la existencia o el valor del límite cuando x tiende a 2. Por ejemplo, si la función se definiera como: el límite sería el mismo. 31

32 LÍMITES QUE NO EXISTEN En los tres ejemplos siguientes se examinarán algunos límites que no existen. Ejemplo 3 COMPORTAMIENTO QUE DIFIERE DESDE LA DERECHA Y DESDE LA IZQUIERDA. Demuestre que el límite no existe. Solución: Considere la gráfica de la función f (x) = x /x. En la figura 1.8 puede verse que, para los valores positivos de x: y, para los valores negativos de x: Ésto significa que no importa cuán cerca esté x de 0, habrá valores de x positivos negativos que producirán f (x) = 1 y f (x) = - 1. Específicamente, si (la letra griega delta minúscula) es un número positivo, entonces para los valores de x que satisface la desigualdad 0 < x <, usted puede clasificar los valores de x / x como sigue: Esto implica que el límite no existe. 32

33 Ejemplo 4 COMPORTAMIENTO NO ACOTADO Analice la existencia del límite Solución: Sea f (x) = 1/x². En la figura 1.9 puede ver que, cuando x tiende a 0 desde la derecha o desde la izquierda, f (x) crece sin cota. Esto significa que, al elegir x suficientemente cercano a 0, puede forzar a que f (x) sea tan grande como desee. Por ejemplo, f (x) será mayor que 100 si elige que x esté a menos de 1/10 de 0. Esto es, De manera análoga, puede forzar a que f (x) sea mayor que , como sigue: En virtud de que f (x) no se está aproximando a un número real L cuando x tiende a 0, puede concluir que el límite no existe. 33

34 Ejemplo 5 COMPORTAMIENTO OSCILATORIO Examine la existencia del límite Solución: Sea f (x) = sen (1/x). En la figura 1.10 puede ver que, cuando x tiende a 0, f (x) oscila entre -1 y 1. Por tanto, el límite no existe porque no importa cuán pequeño elija ; es posible elegir x 1 y x 2 a menos de unidades de 0 tales que sean (1/x 1 ) = 1 y sen (1/x 2 ) = -1, y como se indica en la tabla: Existen muchas otras funciones interesantes que tienen un comportamiento inusual en relación con el proceso de hallar el límite. Una que se cita con frecuencia es la función de Dirichlet: 34

35 CÁLCULO DE LÍMITE DE FUNCIONES PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.- Al explicar la definición de límite se utilizaron sin mención formal, algunas propiedades fundamentales de la noción de los límites; una relación de las mismas se presenta a continuación. 1.- Si c es una constante, el límite de de c cuando x tiende a a, es igual a c. 35

36 CÁLCULO DEL LÍMITE DE FUNCIONES Existen varios casos para calcular el límite de una función; en los ejemplos anteriores se ha aplicado el primer caso que establece: CASO I.- Sí la función dada, está totalmente simplificada, se sustituye directamente el valor a que tiende la variable independiente en la función, dando ligar al límite buscado. Al ir aplicando las propiedades de los límites en la determinación del límite de funciones se ha observado que al sustituir directamente la variable independiente de la función, por el valor a que tiende dicha variable, se encuentra el límite de la función. EJEMPLOS: 36

37 FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (0 / 0) Al calcular el límite de un cociente, se ha observado que: a).- Sí el numerador y el denominador tienen límite distinto de cero, el límite del cociente es igual al cociente de los límites. b).- Sí el límite del numerador es cero y el del denominador es diferente de cero, el límite del cociente es igual a cero. c).- Sí el límite del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, el cociente no tiene límite y se establece que tiende a más o menos infinito ( ± ), según el caso. d).- Sí los límites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se tiene la forma (0 / 0), que se denomina indeterminada ya que cualquier valor numérico que se ponga como cociente cumple con la condición de que multiplicado por el divisor da lugar al dividendo. La indeterminación se puede eliminar mediante operaciones algebraicas sencillas, por ejemplo: 37

38 De este ejemplo se obtiene: CASO III.- Para calcular el límite de una función dada, es necesario simplificarla mediante la racionalización del numerador o del denominador, antes de sustituir el valor de la variable independiente directamente en la expresión, ya que el no hacerlo, da lugar a la indeterminación (0, 0) EJEMPLOS: Uno de los límites más importantes en el estudio del cálculo diferencial para cualquier función se determina por la fórmula: 38

39 EJEMPLOS: 39

40 INFINITO EN LÍMITES Sí el valor de una función llega a crecer sin límite cuando x tiende a a, se establece que la función se hace infinita, es decir: Sí la función crece sin límite POSITIVAMENTE cuando la variable tiende a a, la función se hace infinita positivamente; si la función decrece sin límite negativamente, cuando la variable tiende a a, la función se hace infinita negativamente, es decir: EJEMPLO: Sí una función tiende hacia un límite cuando la variable independiente tiende a infinito, es decir: De lo anterior se concluye en que existen ciertos límites que generalmente se presentan cuando la variable x tiende a cero ó al infinito, los cuales se enuncian a continuación: 40

41 FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO ( / ) Estas formas se presentan al hacer que la variable x tienda al infinito en el cociente de polinomios, por ejemplo. a).- Sí el numerador tiende a infinito y el denominador tiene límite, el cociente tiende a infinito. b).- Sí el numerador tiene límite y el denominador tiende a infinito, el cociente tiende a cero. c).- Sí los límites del numerador y del denominador son ambos iguales a infinito, se tiene la forma indeterminada ( / ). La indeterminación se puede eliminar dividiendo ambos términos por la variable de máxima potencia que interviene en la expresión; por ejemplo: Lo anterior da lugar: Cuando se desea obtener el límite de un cociente de polinomios y sí la variable independiente tiende a infinito, es este caso es necesario dividir el numerador y denominador por la variable de mayor exponente que entra en el cociente, antes de sustituir directamente el valor a que tiende dicha variable. EJEMPLOS: 41

42 EJERCICIOS: CÁLCULO DE LÍMITE DE FUNCIONES I.- Calcule el límite de funciones de los siguientes ejercicios: 1.- lím (x + 3) x 2 2.-lím (2x + 5) x lím (1/2x 1) x lím (2/3x + 9) x lím 3 x lím (-1) x lím x 2 x lím x 3 x lím (x² + 1) x 1 FORMA INDETERMINADA (0/0) II.- Resuelva los siguientes ejercicios de acuerdo a la forma indeterminada (0/0). 1.- lím x - 5 x 5 x² lím 2 - x x 2 x² lím x² + x - 6 x -3 x² lím x² - 5x + 4 x 4 x² - 2x lím x x 0 x 42

43 6.- lím 2 + x 2 x 0 x 7.-lím x + 5 x 4 x - 4 FORMA INDETERMINADA ( / ) III.- Resuelva los siguientes límites que presentan la forma indeterminada de ( / ). 1.- lím 2t³ - 3t² + 4 t 5t t² - 7t³ 2.- lím 7 3x² x 5x + 9x² 3.- lím 6x + 2 x 3x lím 8x³ - 3x² + 1 x 4x³ + 5x lím. 2x² + 3. x 4 + x 5x² 6.- lím 4x + 2 x 8x

44 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN CRITERIOS DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: Si una cualesquiera de estas condiciones no se satisfacen la función es discontinua para el valor de x=a. Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial. Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)). Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito. 44

45 T E O R E M A S D E C O N T I N U I D A D Noción de continuidad de una función: una función es continua si su gráfica presenta la ausencia de vacíos o saltos, es decir, que se traza sin despegar el lápiz del papel. Una función es continua en un intervalo abierto o cerrado, cuando es continua en todos sus puntos, es decir, es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio de definición; toda función polinomial es función continua, también lo son expresiones como e x, Sen x y Cos x. Una función es continua sobre un intervalo cerrado (a,b) si: 1. f(x) es continua por la derecha en a. 2. f(x) es continua en cada punto del intervalo abierto (a,b). 3. f(x) es continua por la izquierda en b. Propiedades de las funciones continuas. Si f(x) y g(x) son continuas para x=a, las funciones siguientes son también continuas en a. 1. f(x) +- g(x). 2. c f(x), donde c es una constante arbritraria. 3. f(x) * g(x). 4. f(x) / g(x). siempre que g(a) 0 5. f (g(x)), suponiendo que f(x) es continúa en g(x). 45

46 La continuidad de una función la podemos identificar de dos formas: gráficamente, la gráfica de la función debe ser ininterrumpida, es decir, sin despegar el lápiz; y otra forma es verificando que se cumplan las tres condiciones para la continuidad de funciones. EJERCICIO: ESTUDIO DE LA DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN RESOLUCIÓN: Para probar la discontinuidad de la función en x 0 = 3 hay que ver cuál de las tres condiciones de continuidad no se cumple. En este caso es la primera, ya que no existe el límite de la función cuando x tiende a 3; los límites laterales no coinciden: Por lo tanto, la función es discontinua en x 0 = 3 RESOLUCIÓN: En este caso existe el límite de la función cuando x tiende a 3, y es 1; los dos límites laterales coinciden: Sin embargo, la función no está definida en x 0 = 3; no existe f (3). Por tanto, la función es discontinua en x 0 = 3. 46

47 RESOLUCIÓN: Existe el límite de la función cuando x tiende a 2, ya que los dos límites laterales coinciden: La función está definida para x = 2 y vale 5: f (2) = 5. Sin embargo, el valor del límite de la función cuando x 2 no coincide con f (2): Por tanto, la función es discontinua en x 0 = 2 EJERCICIOS: I.- Determine si la función es continua o discontinua. 1.- f (x) = 4x² + 8x f (x) = 1. x f (x) = x - 5. x² f (x) = x² x f (x) = x + 4. x² + x

48 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos que comienzan a estudiar la derivada de una función es la comprensión de su significado geométrico. Mientras que el cálculo de derivadas les suele resultar sencillo e incluso atractivo, la aplicación de la interpretación geométrica de la derivada en un punto se convierte en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que en muchos casos no han conseguido adquirir el concepto con claridad. La derivada como pendiente de una curva: La pendiente de una recta que pasa por dos puntos cualesquiera M(x 1, y 1 ) y N (x 2, y 2 ) se determina por: M = tg θ = Δy/Δx = y 2 y 1 / x 2 x 1. La pendiente de una recta es constante en cualquiera de sus puntos que la constituyen, es decir, tiene la misma pendiente en M que en N. Para una curva que no es recta, la pendiente no es constante en ningún punto de la curva, es decir, la pendiente varia de un punto a otro punto. La pendiente de la curva la podemos calcular con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. La pendiente de la curva f(x) es la misma pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente de la recta tangente es el valor límite de las pendientes de las rectas secantes, cuando N tiende a M. La pendiente de la recta secante por M y N es: M sec = Δy/Δx = (f(x + Δx) f(x))/ Δx. Cuando N tiende a M, es decir, Δx 0, la pendiente de la recta tangente es: M tg = lim Δy/Δx = lim (f(x + Δx) f(x))/ Δx. Δx 0 Δx 0 La pendiente de una curva en un punto: En un punto de coordenadas ( x, f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en dicho punto y se determina por: M = lim Δy/Δx = lim (f(x + Δx) f(x))/ Δx. Δx 0 Δx 0 48

49 Suponiendo que el límite existe, este límite nos permite definir la derivada, como un elemento fundamental del cálculo diferencial. El valor de la derivada de una función en un punto p(x, y), se representa geométricamente por la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. La derivada de una función en una variable, es el límite del cociente del incremento de la función al incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero. Si este límite existe se establece que f(x) es diferenciable o que tiene derivada. M = tg θ = Δy/Δx = y 2 y 1 / x 2 x 1 Pendiente de la tangente. M = lim Δy/Δx = lim (f(x + Δx) f(x))/ Δx Δx 0 Δx 0 Notación de la derivada: la derivada de f(x), se representa utilizando el símbolo f (x) o el símbolo dy/dx. A continuación algunas formas de representar la derivada: F (x) = dy/dx = y =d(f(x))/dx = Dx f(x). 49