Que es la Aritmetica?

Transcripción

1 Que es la Aritmetica? La Aritmética es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las estructuras numéricas elementales, asi como las propiedades de las operaciones y los números en si mismos en su concepto más profundo, construyendo lo que se conoce como teoria de números. Para ti es más sencillo encontrar la aritmética dentro de tu vida cuando: vas a la tienda a comprar algo, y te ves en la necesidad de calcular por medio de una resta, el cambio que dará el tendero. cuando estas a punto de a abordar el servicio público y cuentas rapidamente la cantidad de dinero necesaria para pagar el valor del pasaje. tambien cuando haces la cuenta o inventario de tus cosas. Se piensa que la Aritmetica nace con la necesidad de contar los objetos y animales que el ser humano primitiva poseia. DEFINICION DE ARITMETICA La Aritmética es la más antigua y simple de las ramas de la matemática en la que se han desarrollado las principales operaciones matemáticas conocidas por el hombre, a saber: Adición (Suma), Sustracción (Resta), Multiplicación y División. La aritmética se encarga de realizar con números y simbológica en conjunto con las operaciones antes mencionadas, el desarrollo de propiedades y habilidades las cuales pueden ser usadas en la vida cotidiana y materias de estudio que impliquen a la matemática como base fundamental de aprendizaje.

2 A partir de las 4 propiedades básicas, los aritméticos (Personas que durante toda la historia han dedicado su vida al estudio y desarrollo de más mecanismos de y sistemas de resolución para los números) se han encontrado con la difícil tarea de emprender la búsqueda de métodos para entender los números, y así, de esta manera, crear nuevas operaciones. La historia de la matemática, no enuncia el termino aritmancia en específico en sus inicios, sin embargo existen indícios que en algún momento de la cultura mesopotamica se configuró una simbología propia (Cuneiforme) para la resolución de cuentas e intercambios en cuestiones de dinero. Mas adelante, cuando el imperio Chino tomo forma hace 3000 años A.C. Se invento el abaco, el cual es el primer instrumento Mecánico para calcular, para contar y organizar, el mismo fue muy útil en la agricultura y la producción de comida.

3 La aritmética sirvió de base para los sistemas de potencias, Se llama potencia a una expresión de la forma a^n, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente. Es una manera muy útil de expresar número es grandes cantidades de una manera mas practica y simplificada. Tambien de la Aritmética surgieron mas símbolos y expresiones a fin de simplificar números, las mas conocidas son las raíces cúbicas y cuadradas, las cuales les dan a un numero una versión simplificada del mismo, son ideales para expresar números complicados de leer, al momento de resolver problemas matemáticos. Las fracciones y los porcentajes son tambien raíces surgidas directamente de los primeros símbolos aritméticos. Propiedades de las operaciones con números reales En las lecciones de aritmética de este curso veremos las propiedades que tienen las operaciones entre números naturales, enteros y racionales. Los números reales tienen en sus operaciones las mismas propiedades, y en esta lección haremos un resumen de ellas como una manera de concluir el estudio de la aritmética. Es conveniente señalar que lo importante de estas propiedades no es que usted las aprenda de memoria, sino que las pueda utilizar cuando sea necesario, por ejemplo para abreviar algunos cálculos o para despejar ecuaciones y que sepa también qué tipo de operaciones no se pueden hacer. En esta lección, lea las propiedades que se enuncian y siga los ejemplos. Los contenidos que aquí se abordan serán utilizados en las lecciones de la siguiente unidad, y siempre podrá usted regresar a esta lección para consultarlos. Propiedades de la suma

4 La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí. La suma tiene las siguientes propiedades: Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los sumandos no altera la suma". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así: a + b = b + a = 4.29, y también = ( 2.35) = 13.52, y también = Asociatividad. Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales, la asociatividad dice que: a + (b + c) = (a + b) + c ( ) = = 0.068, y también ( ) = = ( ) = ( 21.5) = 207.8, y también [ ( 223.6)] = = Como da igual en qué orden se efectúen las sumas, lo usual es prescindir de los paréntesis, y marcar sólo a + b + c. En nuestros ejemplos, tenemos entonces , o bien ( 223.6) , Las propiedades de la conmutatividad y la asociatividad son utilizadas cuando en una suma "acomodamos" los sumandos para facilitar el proceso. Por ejemplo, cuando compramos pan de dulce en una panadería, la dependienta va sumando los precios de las distintas piezas de tal modo que los resultados intermedios sean "cómodos".

5 Digamos que las piezas que tenemos en una charola cuestan $1.50, $0.70, $0.80, $1.30, $0.50 y $1.20. Una manera en que se puede efectuar la suma mentalmente es esta: = 6 Veamos otras propiedades de la suma: Elemento neutro. El número real 0 sumado a cualquier número lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces a + 0 = a = ( 56.41) = Elemento inverso. Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0: si a es un número real, entonces a + ( a) = 0 El inverso aditivo de es 87.36, porque ( 87.36) = 0 El inverso aditivo de 4.13 es 4.13, porque = 0 El inverso aditivo de es - porque + ( - ) = 0 La resta La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar; por ejemplo: = 6.4 Minuendo sustraendo resta

6 Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números. Las siguientes reglas pueden recordarle cómo es esto: Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo. Por ejemplo: = 17.5 Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo. Por ejemplo: = 17.5 Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos. Por ejemplo: = 39.3 Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo. Por ejemplo: = ( 11.2) = 17.5 Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo. Por ejemplo: 28.7 ( 11.2) = = ( 11.2) = = = 17.5 Observe que en el último ejemplo hicimos varias transformaciones. Al efectuar la conversión ( 11.2) = utilizamos el hecho de que restar un número negativo (-11.2) es lo mismo que sumar su positivo. Después consideramos la suma entre dos números, 28.7 y 11.2, y por la conmutatividad de la suma la expresamos como (- 28.7). Posteriormente utilizamos el hecho de que sumar un número negativo (-28.7) es lo mismo que restar su positivo, por lo que ( 28.7) = Finalmente, tenemos una resta en que el

7 minuendo y el sustraendo son positivos, así que efectuamos la resta y como 28.7 es mayor que 11.2 le ponemos al resultado signo negativo. Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene todas las propiedades de la suma. Por ejemplo, la resta no es una operación conmutativa: = 21.2, y ese resultado es distinto de = 21.2 Propiedades de la multiplicación La multiplicación de números reales es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos factores. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden multiplicar entre sí. Al efectuar multiplicaciones hay que tener cuidado con los signos: El producto de dos números de igual signo siempre es positivo; El producto de dos números de distinto signo siempre es negativo. La multiplicación tiene las siguientes propiedades: Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así: a x b = b x a 3.25 x 1.04 = 3.38, y también 1.04 x 3.25 = x ( 2.35) = , y también 2.35 x = Asociatividad. Si se tienen más de dos factores, da igual

8 cuál de las multiplicaciones se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales, la asociatividad dice que: a x (b x c) = (a x b) x c x (0.014 x 0.033) = x = , y también (0.021 x 0.014) x = x = x ( x 202.1) = x ( ) = , y también [ x ( 223.6)] x = x = Como en el caso de las sumas, da igual en qué orden se efectúen las multiplicaciones, y por eso lo usual es prescindir de los paréntesis. En nuestros ejemplos, tenemos entonces: x x 0.033, o bien x ( 223.6) x Cuando se usan letras, se marca sólo a x b x c, o bien, para evitar que el signo x se confunda con la letra x, se marca a b c, o bien se usa un punto en vez de la cruz: a b c. Es también común prescindir del signo x cuando se señalan productos con los números entre paréntesis: por ejemplo, en vez de escribir ( 5) x ( 3), podemos escribir ( 5)( 3), y en vez de escribir 3 x 4 podemos escribir 3(4). Es decir, cuando no se señala ninguna operación entre dos números, se efectúa una multiplicación. Otras propiedades de la multiplicación son: Elemento neutro. El número real 1 multiplicado a cualquier número lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces: a x 1 = a x 1 = x ( 56.41) = x 1 = 1 Elemento inverso. Todo número real distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, lo que quiere decir que si se multiplican el número y su inverso, el resultado es 1: si a es un número real distinto de cero, entonces a x = 1

9 Recuerde que escribir es lo mismo que escribir 1 a. El inverso multiplicativo de es, porque x = 1 El inverso multiplicativo de 4.13 es -, porque 4.13 x (- ) = 1 El inverso multiplicativo de es porque x = 1 El inverso multiplicativo de es 9, porque x 9 = 1 La división La división es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y el divisor. Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir; por ejemplo: = 0.6 dividendo divisor cociente La excepción es que el divisor no puede ser cero. Esto es, no se puede dividir entre cero. Observe que el dividendo sí puede ser cero, y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero. Por ejemplo, = 0 Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación: el cociente de dos números de igual signo siempre es positivo; el cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo.

10 Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la multiplicación. Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa: = 2.14, y ese resultado es distinto de La división no es tampoco una operación asociativa: (8 4) 2 = = = 1, mientras que 8 (4 2) = = = 4