FUNCIONS I FÓRMULES TRIGONOMÈTRIQUES

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1 FUNCIONS I FÓRMULES TRIGONOMÈTRIQUES Pàgina 8. Encara que el mètode per a resoldre les preguntes següents se sistematitza a la pàgina següent, pots resoldre-les ara: a) Quants radiants corresponen als 0 d una circumferència? b) Quants graus fa radiant? c) Quants graus mesura un angle de radiants? d) Quants radiants equivalen a 70? a) 0 b) 7 7',8" c) d) 0 Pàgina 9. Passa a radiants els angles següents: a) 0 b) 7 c) 90 d) 7 e) 00 f ) 00 Expressa el resultat en funció de i després en forma decimal. Per exemple: 0 0 rad rad 0, rad 80 a) 0 0 rad 0, rad b) 7 0 rad, rad c) 90 0 rad,7 rad d) 0 7, rad e) rad,9 rad f) 00 0 rad, rad Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

2 . Passa a graus els angles següents: a) rad b) 0,8 rad c) rad d) rad e), rad f) rad 0 0 a) ' 9," b) 0,8 7 ' 9,8" 0 c) 0 d) e), 00 ',8" f) 80. Completa la taula següent i afig-hi les raons trigonomètriques sinus, cosinus i tangent) de cadascun dels angles. Et serà útil per al proper apartat: GRAUS RADIANTS GRAUS RADIANTS 7 La tabla completa está en el siguiente apartado página siguiente) del libro de texto. Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera. Pàgina. Demostra la fórmula II. a partir de la fórmula: cos a + b) cos a cos b sin a sin b cos a b) cos a + b)) cos a cos b) sen a sen b) cos a cos b sen a sen b) cos a cos b + sen a sen b. Demostra la fórmula II. a partir de la fórmula: tg a + b) tg a + tg b tg a tg b tg a b) tg a + b)) tg a + tg b) tg a tg b) *) tg a + tg b) tg a tg b) tg a tg b + tg a tg b sen a) sen a *) Como 8 tg a) tg a cos a) cos a Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

3 UNITAT. Demostra la fórmula II. a partir de les fórmules següents: sin a b) sin a cos b cos a sin b cos a b) cos a cos b + sin a sin b sen a b) tg a b) cos a b) sen a cos b cos a sen b cos a cos b + sen a sen b sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos a cos b cos a cos b sen a sen b + cos a cos b cos a cos b *) Dividimos numerador y denominador por cos a cos b.. Si sin 0, i sin 7 0,, troba cos, tg, cos 7 i tg 7. Calcula, després, a partir d aquestes, les raons trigonomètriques de 9 i de, utilitzant les fórmules I) i II). sen 0, cos sen 0,0 0,98 0, tg 0, 0,98 sen 7 0, cos 7 sen 7 0, 0,8 0, tg 7 0,7 0, , luego: sen 9 sen + 7) sen cos 7 + cos sen 7 0, 0,8 + 0,98 0, 0,78 cos 9 cos + 7) cos cos 7 sen sen 7 0,98 0,8 0, 0, 0, tg + tg 7 0, + 0,7 tg 9 tg + 7), tg tg 7 0, 0,7 sen 9 Podría calcularse tg 9 cos 9 ). 7, luego: sen sen 7 ) sen 7 cos cos 7 sen 0, 0,98 0,8 0, 0,8 cos cos 7 ) cos 7 cos + sen 7 sen 0,8 0,98 + 0, 0, 0,90 tg 7 tg 0,7 0, tg tg 7 ) 0,78 + tg 7 tg + 0,7 0, *) tg a tg b + tg a tg b Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

4 . Demostra la igualtat següent: cos a + b) + cos a b) sin a + b) + sin a b) tg a cos a + b) + cos a b) sen a + b) + sen a b) cos a cos b sen a sen b + cos a cos b + sen a sen b sen a cos b + cos a sen b + sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos a sen a cos b sen a tg a. Demostra les tres fórmules III.), III.) i III.) fent a b en les fórmules I). sen a sen a + a) sen a cos a + cos a sen a sen a cos a cos a cos a + a) cos a cos a sen a sen a cos a sen a tg a tg a + a) tg a + tg a tg a tg a tg a tg a 7. Troba les raons trigonomètriques de 0 a partir de les de 0. sen 0 sen 0) sen 0 cos 0 cos 0 cos 0) cos 0 sen 0 ) ) tg 0 tg 0 tg 0) / / / tg 0 /) /9 / 8. Troba les raons trigonomètriques de 90 a partir de les de. sen 90 sen ) sen cos cos 90 cos ) cos sen ) ) 0 tg tg 90 tg ) 8 No existe. tg 9. Demostra que: sin a sin a sin a + sin a cos a + cos a sen a sen a sen a + sen a sen a sen a cos a sen a cos a) cos a sen a + sen a cos a sen a + cos a) + cos a Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

5 UNITAT Pàgina 0. Seguint les indicacions que es donen, demostra detalladament les fórmules IV., IV. i IV.. cos a cos ) cos sen Por la igualdad fundamental: cos a + sen a 8 cos a + sen a De aquí: a) Sumando ambas igualdades: + cos a cos a 8 cos a + cos a 8 cos a ± b) Restando las igualdades -ª -ª): cos a sen a 8 sen a cos a 8 sen a ± Por último: a a a + cos a cos a ± cos a tg a sen a/ cos a/ ± + cos a cos a + cos a. Sabent que cos 78 0,, calcula sin 78 i tg 78. Troba les raons trigonomètriques de 9 aplicant-hi les fórmules de l angle meitat. cos 78 0, sen 78 cos 78 0, 0,98 0,98 tg 78 0,,9 78 cos 78 0, sen 9 sen 0, 78 + cos , cos 9 cos 0,77 78 cos 78 0, tg 9 tg + cos , 0,8 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

6 . Troba les raons trigonomètriques de 0 a partir de cos 0 0,. cos 0 0, 0 0, sen 0 sen 0, 0 + 0, cos 0 cos 0,8 0 0, tg 0 tg 0,77 + 0,. Troba les raons trigonomètriques de a partir de cos cos sen sen cos cos 90 0 tg tg + 0. Demostra que tg a sin a + sin a tg a. tg a sen a + sen a tg a cos a + sen a sen a cos a cos a) + sen a sen a + ) sen a ) sen a sen a tg a cos a cos a + cos a cos a cos a cos a cos a sin a sin a. Demostra que tg a. sin a + sin a sen a sen a sen a + sen a sen a sen a cos a sen a + sen a cos a sen a cos a) cos a tg a sen a + cos a) + cos a Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

7 UNITAT Pàgina. Per demostrar les fórmules V.) i V.), fes els passos següents: Expressa en funció de a i b : cos a + b)... cos a b)... Suma i resta com hem fet dalt i obtindràs dues expressions. Substituïx en les expressions anteriors: a + b A A + B A B 8 a b a b B cos a + b) cos a cos b sen a sen b cos a b) cos a cos b + sen a sen b Sumando 8 cos a + b) + cos a b) cos a cos b ) Restando 8 cos a + b) cos a b) sen a sen b ) a + b A A + B A B Llamando 8 a, b al resolver el sistema) a b B Luego, sustituyendo en ) y ), se obtiene: ) 8 cos A + cos B cos A + B A B cos ) 8 cos A cos B sen A + B A B sen 7. Transforma en producte i calcula: a) sin 7 sin b) cos 7 + cos c) cos 7 cos a) sen 7 sen cos sen cos sen b) cos 7 + cos cos cos cos cos c) cos 7 cos sen sen sen cos 0 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques 7

8 8. Expressa en forma de producte el numerador i el denominador d aquesta fracció i simplifica n el resultat: sin a + sin a cos a + cos a sen a + sen a cos a + cos a a + a a a sen cos sen a tg a a + a a a cos a cos cos Pàgina 7. Resol aquestes equacions: a) cos x + cos x 0 b) sin x 0 c) tg x tg x 0 d) sin x + cos x ± + 8 ± / 8 x a) cos x 0, x 00 8 x 80 Las tres soluciones son válidas se comprueba en la ecuación inicial). b) sen x 0 8 sen x 8 sen x ± ± Si sen x 8 x, x Si sen x 8 x, x Todas las soluciones son válidas. c) tg x tg x 0 8 tg x tg x ) 0 Todas las soluciones son válidas. d) sen x + cos x *) 8 cos x) + cos x * ) Como sen x + cos x 8 sen x cos x cos x + cos x 8 cos x cos x + 0 tg x 0 8 x 0, x 80 tg x 8 x, x ± 9 8 ± cos x / Entonces: Si cos x 8 x 0 Si cos x 8 x 0, x 0 00 Las tres soluciones son válidas. 8 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

9 UNITAT. Resol: a) cos x + cos x b) tg x + cos x 0 c) cos x/) cos x d) sin x cos x sin x 0 a) cos x + cos x 8 cos x sen x) + cos x 8 8 cos x cos x)) + cos x 8 cos x ) + cos x cos x + cos x ò 8 cos x + cos x 0 8 ± ± 0/ /8 0, 8 cos x Si cos x 0, 8 x 9',", x 9'," Si cos x 8 x 80 Al comprobar las soluciones, las tres son válidas. tg x b) tg x + cos x cos x 0 8 tg x tg x sen x/cos x 8 + cos x cos x 0 8 tg x sen x/cos x) 8 sen x cos x + cos x 0 8 sen x cos x + cos x cos x sen x) 0 8 cos x sen x 8 cos x sen x + cos x sen x) 0 8 cos x sen x + sen x sen x) 8 8 cos x + sen x sen x) cos x 0 + sen x sen ± + 8 / x 0 8 sen x Si cos x 0 8 x 90, x 70 Si sen x 8 x 0, x 0 0 Si sen x 8 x 90 x Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas. x + cos x c) cos cos x 8 cos x cos x cos x 8 cos x + cos x cos x + cos x + cos x 8 cos x + cos x 0 8 cos x cos x + ) 0 Si cos x 0 8 x 90, x 70 Si cos x 8 x 80 Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son: x 90 y x 80 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques 9

10 d) sen x cos x sen x 0 8 sen x cos x sen x) sen x cos x + sen x sen x) 0 8 sen x sen x) 0 Si sen x 0 8 x 0, x 80 Si sen x 8 sen x ± ò x 0, x 0, x 0, x 0 Comprobamos las soluciones y observamos que son válidas todas ellas.. Transforma en producte sin x sin x i resol després l equació sin x sin x 0. sen x sen x 0 8 cos x + x x x sen 0 8 cos x sen x cos x 0 sen x 0 Si cos x 0 8 Si sen x 0 ò x 0, x 80 Comprobamos que las seis soluciones son válidas.. Resol les equacions trigonomètriques següents: a) sin x) cos x + cos ) b) sin x + sin x 0 x 90 8 x x 70 8 x x x x x ) a) sen x) sen x cos x) cos sen x Entonces, la ecuación queda: sen x sen x 8 sen x 8 sen x Si sen x 8 x 7 rad, x rad Al comprobar vemos: 7 7 x 8 sen x) sen ) sen 7 cos x) cos ) cos cos 0 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

11 UNITAT Luego la solución es válida, pues: sen x) cos x) + cos + ) x 8 sen x) sen ) ) sen Luego también es válida esta solución, pues: sen x) cos x) + cos + ) Por tanto, las dos soluciones son válidas: x 7 rad y x rad b) sen x) cos x) cos ) cos ) cos ) sen cos x cos sen x cos x sen x Luego la ecuación queda: cos x sen x + sen x 0 8 cos x + sen x cos x + sen x 0 8 cos x sen x 8 x rad, x 7 rad Comprobamos que ninguna solución vale. Luego la ecuación no tiene solución.. Escriu, en radiants, l expressió general de tots els angles que verifiquen: a) tg x b) sin x cos x c) sin x d) sin x tg x a) x 0 + k 0 o bien x 00 + k 0 Las dos soluciones quedan recogidas en: x 0 + k 80 b) x + k rad con k é Z c) Si sen x 8 x + k rad Si sen x 8 x + k rad d) En ese caso debe ocurrir que: O bien sen x 0 8 x k rad O bien cos x 8 x k rad + k rad x con k é Z 8 x + k rad con k é Z 8 x k rad con k é Z Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

12 Pàgina EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS PER A PRACTICAR Graus i radiants Expressa en graus sexagesimals els angles següents donats en radiants: a) b) c) 7 9 d) e) f) Fes-ho mentalment tenint en compte que: radiants 80. a) 0 b) 0 c) 0 d) e) 0 f) 80 Expressa en graus sexagesimals els angles següents donats en radiants: a), b), c) d),7 0 0 a), 8 ' 7" b), 8 0' 7" 0 0 c) 8 8' " d),7 7 ' 8" Passa a radiants els angles següents donats en graus. Expressa ls en funció de i en forma decimal. a) 0 b) 08 c) d) 0 e) 70 f) Simplifica l expressió que hi obtens sense multiplicar per,... 0 a) ,7 rad a) 0 0,7 rad b) ,88 rad c), rad d) 0 0 0,9 rad e) 70,7 rad f) , rad Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

13 UNITAT Troba el resultat de les operacions següents sense utilitzar la calculadora: a) cos cos 0 + cos cos + cos b) tg + cos tg 0 + sin sin c) sin sin + sin sin Comprova el resultat obtingut utilitzant la calculadora. a) 0 + ) 0 + b) ) 0 c) ) + 0 Prova que: a) sin + cos + cos b) sin + sin sin a) sen + cos + cos + + ) + b) sen + sen sen + + Troba el valor exacte de cada una d aquestes expressions sense utilitzar la calculadora: a) sin + sin + sin b) cos cos 0 + cos cos 7 c) sin cos + tg + tg Comprova els resultats amb la calculadora. + a) b) c) ) ) ) Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

14 7 Troba el valor exacte d aquestes expressions sense utilitzar la calculadora: 7 a) sin + cos sin b) cos + tg tg c) cos + sin cos sin Comprova els resultats amb la calculadora. ) ) a) + b) c) En cada cas troba, en radiants, dos valors per l angle a tals que: a) sin a 0, b) cos a 0,8 c) tg a, d) sin a 0, a) a 0,; a,8 b) a 0,9; a, c) a 0,98; a, d) a 0,8; a,8 9 Indica, sense passar a graus, en quin quadrant es troba cadascun dels angles següents: a) rad b), rad c) rad Tin en compte que:,7;,;,7;,8 a). cuadrante b). er cuadrante c). cuadrante Fórmules trigonomètriques 0 Troba les raons trigonomètriques de l angle de 7 sabent que sen 7 sen 0 + ) sen 0 cos + cos 0 sen + + Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

15 UNITAT cos 7 cos 0 + ) cos 0 cos sen 0 sen tg 0 + tg / + + )/ tg 7 tg 0 + ) tg 0 tg / )/ + + ) NOTA: También podemos resolverlo como sigue: sen ) + + tg 7 cos Sabent que sin x i que < x <, calcula, sense trobar prèviament el valor de x: x a) sin x b) tg c) sin x + ) x d) cos x e) cos f)tg x + ) ) Calcula cos x i tg x i després aplica-hi les fórmules. cos x sen x 9 Negativo, por ser del. cuadrante). sen x tg x cos x a) sen x sen x cos x ) x cos x /) b) tg 9/ + cos x + /) / Signo positivo, pues si x é. cuadrante, entonces c) sen ) x + sen x cos + cos x sen + ) 0 x é. er cuadrante. Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

16 d) cos ) x cos x cos + sen x sen ) + 0 x *) + cos x / e) cos / 0 *) x Signo positivo, porque é. er cuadrante. 0 0 tg x + tg / tg x tg / / + /) / + / f) tg x + ) 7 Pàgina Troba les raons trigonomètriques de l angle de de dues formes, considerant: 0 a) 0 b) a) sen sen 0) sen cos 0 cos sen 0 0,889 cos cos 0) cos cos 0 + sen sen ,99 sen + tg cos + 8 0,799 0 cos 0 / b) sen sen 0, cos 0 + / + cos cos 0,998 0,889 tg 0, ,998 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

17 UNITAT Sabent que sin x / i que x és un angle del primer quadrant, calcula: a) sin x x b) tg c) cos 0 x) sen x cos x, tg x > 0 8 x é. er x cuadrante é. er cuadrante 8 sen x/ > 0 cos x/ > 0 tg x/ > 0 cos x sen x 9 / tg x / a) sen x sen x cos x x cos x / b) tg + cos x + / c) cos 0 x) cos 0 cos x + sen 0 sen x Si tg a / i 90 < a < 80, calcula: a) sin a b) cos < a < 80 8 Además, a tg a ) sen a > 0 cos a < 0 é. er cuadrante 9 tg a cos 9 a 8 cos a cos a sen a cos a a) sen a) ) sen cos a cos sen a 0 a ) Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques 7

18 b) cos ) 80 a cos 80 cos a + sen 80 sen a cos a + cos a + /) 0 0 Sabem que cos x i sin x < 0. Sense trobar el valor de x, calcula: a) sin x b) cos + x) c)cos x x d) tg e) sin x f)cos cos x / sen x < 0 8 x é. er x cuadrante ò é. cuadrante 9 a) sen x cos x 7 b) cos + x) cos cos x sen sen x cos x c) cos x cos x sen 9 7 x x cos x + / d) tg cos x / e) sen x) f) cos ) x sen cos x cos sen x cos x x x x cos cos + sen sen cos ) 8 7 x ) + cos x / 8 ) 8 8 Si cos 78 0, i sin 7 0,, calcula sin, cos i tg sen 78 cos 78 0, 0,98 cos 7 sen 7 0, 0,8 8 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

19 UNITAT Ahora, ya podemos calcular: sen sen 78 7) sen 78 cos 7 cos 78 sen 7 0,98 0,8 0, 0, 0, cos cos 78 7) cos 78 cos 7 + sen 78 sen 7 0, 0,8 + 0,98 0, 0,78 sen 0, tg 0,8877 cos 0,78 7 Si tg a + b) i tg a, troba tg b. tg a + b) tg a + tg b 8 + tg b 8 tg a tg b + tg b tg b + tg b 8 7 tg b 8 Luego: 8 tg b tg b tg b /7) /7 9 tg b /9 / Equacions trigonomètriques 8 Resol les equacions següents: a) cos x sin x + 0 b) sin x sin x 0 c) cos x cos x 0 b) i c) són equacions de n grau incompletes. a) cos x sen x + 0 cos x 8 cos x cos x 0 cos x 90 x 0 8 cos x 0 8 x 70 Al comprobarlas en la ecuación inicial, las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 x 70 + k 0 + k + k Lo que podemos expresar como: x 90 + k 80 + k Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques 9

20 b) sen x sen x ) sen x 0 8 x 0, x 80 sen x 8 x 90 Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son válidas. Luego: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 90 + k 0 + k O, de otra forma: x k k 80 x + k 90 + k 0 x así incluye las soluciones x y x anteriores) c) cos x cos x ) 0 8 cos x 0 8 x 90, x 70 8 cos x 8 x 0, x 0 Las cuatro soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 x 70 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k + k + k NOTA: Obsérvese que las dos primeras soluciones podrían escribirse como una sola de la siguiente forma: x 90 + k 80 + k 9 Resol: a) sin x cos x b) cos x sin x 0 c) cos x + sin x d) tg x tg x 0 a) cos x) cos x 8 cos x 8 cos x cos x 0 8 x 90 x 70 0 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

21 UNITAT Las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 + k x 70 + k 0 + k O, lo que es lo mismo: x 90 + k 80 + k b) sen x) sen x 0 8 sen x sen x 8 sen x ± Si sen x 8 x, x Si sen x 8 x, x Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Luego: x + k 0 + k x + k 0 + k x + k 0 + k x + k k O, lo que es lo mismo: x + k 90 + k c) sen x) + sen x 8 sen x + sen x 8 8 sen x sen x 0 8 ± + 8 ± 8 x 8 sen x 90 / 8 x 0, x 0 Las tres soluciones son válidas, es decir: x 90 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k k + k + k Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

22 d) tg x tg x ) 0 8 tg x 0 8 x 0, x 80 8 tg x 8 x 0, x 0 Comprobamos las posibles soluciones en la ecuación inicial y vemos que las cuatro son válidas. Entonces: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k Lo que podría expresarse con solo dos soluciones que englobaran las cuatro anteriores: x k 80 k y x 0 + k 80 + k 0 Resol les equacions següents: a) sin x + cos x ) ) b) sin x cos x 0 Desenvolupa sin x i trau-ne factor comú. c) cos x sin x + 0 Desenvolupa cos x i substituïx cos x sin x. d) sin + x sin x 0 a) sen cos x cos sen x + cos cos x + sen sen x ) cos x sen x + cos x + sen x cos x + cos x 8 cos x Comprobamos y vemos que: x 8 sen ) + cos ) sen ) + cos x / x / x 8 sen ) + cos ) ) ) sen + cos Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

23 UNITAT Son válidas las dos soluciones. Luego: x + k 0 + k 0 x + k 00 + k 0 b) sen x cos x cos x 0 8 cos x sen x cos x) 0 8 cos x 0 8 x 8 90, x 70 sen x cos x 8 x, x Comprobamos las soluciones. Todas son válidas: x 90 + k 0 x 70 + k 0 x + k 0 x + k 0 + k + k + k + k También podríamos expresarlas como: x 90 + k 80 x + k 80 + k + k c) cos x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x + sen x 0 8 ± 9 + ± 8 sen x / 8 x 0, x 0 8 Imposible, pues sen x Ì Comprobamos que las dos soluciones son válidas. Luego: x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k d) sen cos x + cos sen x sen x 0 cos x + sen x sen x 0 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

24 cos x sen x 0 8 cos x sen x cos x sen x 8 x, x Al comprobar, podemos ver que ambas soluciones son válidas. Luego: x + k + k 0 x + k + k 0 Podemos agrupar las dos soluciones en: x + k + k 80 Resol aquestes equacions: a) sin x cos x + cos x 0 En fer sin x cos x, resulta una equació biquadrada. Fes cos x z i comprova si són vàlides les solucions que n obtens. b) sin x + sin x cos x cos x 0 Dividix entre cos x i obtindràs una equació amb tg x. c) cos x + cos x 0 d) tg x + cos x e) sin x + cos x 0 a) cos x) cos x + cos x 0 cos x cos x + cos x 0 cos x cos x cos x cos x + 0 Sea cos x z 8 cos x z Así: z ± 9 8 z z ± z 8 cos x ± z 8 cos x ± x 0 x 80 x, x x, x Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

25 UNITAT Comprobando las posibles soluciones, vemos que todas son válidas. Por tanto: x k 0 k x 80 + k 0 + k x + k 0 x + k 0 x + k 0 x + k k O, agrupando las soluciones: + k + k + k x k 80 k x + k 90 + k b) Dividiendo por cos x: sen x cos x + sen x cos x cos x 0 8 tg x + tg x 0 8 cos x cos x ± + 8 ± 7 8 tg x 8 8 Las cuatro soluciones son válidas: x '," + k 0 + k x '," + k 0 + k x + k 0 x + k 0 7 O, lo que es lo mismo: x '," + k 80 x + k 80 + k + k + k + k 8 x '," x '," 8 x x Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

26 c) + cos x + cos x cos x + cos x cos x 0 8 cos x 0 8 x 90, x 70 Las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 + k x 70 + k 0 + k Agrupando las soluciones: x 90 + k 80 + k cos x d) + cos x + cos x 8 cos x + + cos x cos x + cos x 8 8 cos x + cos x 8 cos x + cos x 0 8 ± + 8 ± 8 cos x Luego: x k 0 k cos x e) + cos x sen x cos x + cos x cos x) cos x + cos x + cos x 0 8 cos x cos x 0 8 cos x 0 8 x 8 cos x cos x ) , x 70 cos x / 8 x 0, x 00 Se comprueba que son válidas todas. Por tanto: x 90 + k 0 + k x 70 + k 0 + k x 0 + k 0 + k x 00 + k 0 + k Agrupando las soluciones quedaría: x 90 + k 80 x 0 + k 0 x 00 + k 0 + k + k + k 8 x 0 8 Imposible!, pues cos x Ì Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

27 UNITAT Identitats trigonomètriques Demostra que: sin a + b) sin a b) tg a + tg b tg a tg b Aplica les fórmules de sin a + b) i sin a b). Dividix el numerador i el denominador entre cos a cos b i simplifica. sen a + b) sen a b) sen a cos b + cos a sen b sen a cos b cos a sen b *) sen a cos b cos a sen b + cos a cos b cos a cos b sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos a cos b tg a + tg b tg a tg b *) Dividimos numerador y denominador entre cos a cos b. Prova que tg x cos x sin x tg x. Substituïx cos x + cos x. x + cos x Como cos ± 8 cos x + cos x Y sustituyendo en la expresión: tg x cos x sen x + cos x sen x sen x cos x sen x + cos x) sen x cos x cos x *) sen x [ + cos x cos x] sen x tg x cos x cos x *) Sacando factor común. Demostra que: cos x + ) cos x + ) cos x Desenvolupa i substituïx les raons de i. Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques 7

28 cos x + ) cos x + ) [ cos x cos sen x sen ] [ cos x cos sen x sen ] [ cos x) sen x) ] [ cos x) ) sen x) ] cos x sen x + cos x + sen x cos x Demostra que: cos a cos a b) + sin a sin a b) cos b Aplica les fórmules de la diferència d angles, simplifica i extrau-ne factor comú. cos a cos a b) + sen a sen a b) cos a cos a cos b + sen a sen b) + sen a sen a cos b cos a sen b) cos a cos b + cos a sen a sen b + sen a cos b sen a cos a sen b cos a cos b + sen a cos b *) cos b cos a + sen a) cos b cos b *) Extraemos factor común. Pàgina PER A RESOLDRE En una circumferència de cm de radi, un arc fa 0 cm. Troba n l angle central en graus i en radiants. 0 cm a cm Como la circunferencia completa 00, cm) son rad, entonces: 00, 8 a 0, rad 0 a 00, 0 a, 7 7' " 8 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

29 UNITAT 7 En una determinada circumferència, a un arc de cm de longitud li correspon un angle de, radiants. Quin és el radi d aquesta circumferència? cm, rad, rad rad cm 8 R,8 cm R cm, 8 Troba, en radiants, l angle comprés entre 0 i tal que les seues raons trigonomètriques coincidisquen amb les de. 0 < a < ò a 9 Demostra: cos a b) cos a + b) + tg a tg b tg a tg b cos a b) cos a + b) cos a cos b + sen a sen b cos a cos b sen a sen b *) cos a cos b sen a sen b + cos a cos b cos a cos b cos a cos b sen a sen b cos a cos b cos a cos b *) Dividimos numerador y denominador entre: cos a cos b + tg a tg b tg a tg b 0 Simplifica l expressió: Calcula n el valor per a a. sen a cos a sen a cos a sen a sin a cos a cos a sen a Por tanto, si a ò sen a cos a cos a sen a ) Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques 9

30 Prova que: sen a sen a sen a + sen a sin a sin a sin a + sin a tg sen a sen a cos a sen a cos a) sen a + sen a cos a sen a + cos a) cos a tg a + cos a a Simplifica: cos + a) cos a) cos a En desenvolupar el numerador obtindràs una diferència de quadrats. cos + a) cos a) cos a cos cos a sen sen a) cos cos a + sen sen a) cos a sen a cos cos a sen sen a) cos a sen a [ /) cos a /) sen a] / cos a / sen a cos a sen a cos a sen a cos a sen a cos a sen a Resol les equacions següents: a) cos x + sin x b) tg x tg x c) cos x cos x + cos x 0 d) sin x tg x x e) sin + cos x 0 f)sin x cos x sin x g) tg x + tg x ) a) cos x sen x + sen x 8 sen x sen x + sen x 8 8 sen x sen x ± sen x ± 8 x 90 / 8 x 0, x 0 0 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

31 UNITAT Las tres soluciones son válidas: x 90 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k + k b) tg x tg x 8 tg x tg x 8 tg x 8 tg x x 8 tg x ± 8 0, x 0 x 0, x 0 Las cuatro soluciones son válidas: x 0 + k 0 + k x 0 + k k x 0 + k 0 + k x 0 + k 0 + k Agrupando: x 0 + k 80 x 0 + k 80 + k + k c) cos x cos x sen x) + cos x cos x cos x + cos x) + cos x cos x cos x + cos x 0 8 cos x cos x + cos x ) cos x 0 8 x 90, x 70 ± + 8 ± cos x ±, 8 Imposible!, pues cos x 0, 8 x 8 ',", x 9 8' 8,9" Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

32 Las soluciones son todas válidas: x 90 + k 0 + k x 70 + k 0 + k x 8 '," + k 0 0,8 + k x 9 8' 8,9" + k 0, + k Agrupadas, serían: x 90 + k 80 + k x 8 '," + k 0 0,8 + k x 9 8' 8,9" + k 0, + k tg x d) sen x 8 sen x sen x tg x tg x 8 tg x sen 8 sen x sen x x sen x 8 cos x cos x 8 sen x cos x sen x sen x sen x cos x 8 8 sen x cos x sen x cos x) sen x cos x + cos x cos x) 0 8 sen x 0 8 x 0, x 80 8 cos ± + 8 x cos x 0 8 cos x 8 x 0 x / 8 x 0, x 0 Las cuatro soluciones son válidas. Luego: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 0 + k 0 + k x 0 + k 0 + k Que, agrupando soluciones, quedaría: x k 80 k x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

33 UNITAT cos x cos x e) + cos x 0 8 cos x) 8 8 cos x + cos x cos x) 8 cos x cos x 0 8 ± + 8 ± 8 cos x 8 x 0 / 8 x 0, x 0 Al comprobar, vemos que las tres soluciones son válidas: x k 0 k x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k f) sen x cos x cos x sen x 8 sen cos x sen x 8 8 sen x sen x) sen x 8 sen x sen x sen x 8 8 sen x 0 8 x 0, x 80 sen x 8 sen x ± 8 x 0, x 0 x 0, x 0 Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Damos las soluciones agrupando las dos primeras por un lado y el resto por otro: x k 80 k x 0 + k 90 + k g) tg /) + tg x + tg x + tg x 8 + tg x 8 tg /) tg x tg x 8 + tg x + tg x tg x tg x 8 tg x tg x tg x tg x ) 0 8 tg x 0 8 x 8 0, x 80 tg x 8 x 7 ',", x '," Las cuatro soluciones son válidas: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 7 '," + k 0 + k x '," + k k Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

34 O, lo que es lo mismo: x k 80 k x 7 '," + k 80 + k Resol les equacions següents: a) sin x sin x cos x sin x + sin x b) cos x + cos x sin x + sin x c) cos x + cos x d) sin x cos x sin x cos x Transforma les sumes o diferències de sinus i cosinus en productes. x + x x x a) cos sen cos x cos x sen x cos x 8 sen x 8 sen x 8 x 0, x 0 Comprobando, vemos que las dos soluciones son válidas. Luego: x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k sen x cos x sen x sen x) b) cos x cos x cos x cos x sen x cos x 8 8 sen x 8 sen x 8 cos x 8 x 0 8 x + k 0 x 0 8 x 7 + k 0 x 90 8 x 9 + k 0 x 0 8 x + k 0 + k + k + k 7 + k Al comprobar, vemos que todas las soluciones son válidas. Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

35 UNITAT c) sen x cos x cos x 8 tg x sen x sen x sen x tg x 8 Ambas soluciones son válidas. Luego: x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k d) sen x sen x cos x cos x 8 8 cos x sen x sen x sen x 8 dividimos entre sen x) sen x 8 cos x sen x 8 8 tg x 8 cos x x 8 x 7, + k 0 8 x 8 x 7, + k 0 x 7 8 x 7, + k 0 x 9 8 x 7, + k 0 x 0 x 0 Podemos comprobar que las cuatro soluciones son válidas. Agrupándolas: x 7, + k 90 a) Demostra que: sin x sin x cos x sin x b) Resol l equació sin x sin x 0. a) Fes sin x sin x + x) i desenvolupa. b) Substituïx sin x pel resultat anterior. a) sen x sen x + x) sen x cos x + cos x sen x sen x cos x cos x + cos x sen x) sen x sen x cos x + sen x cos x sen x sen x cos x sen x b) sen x sen x 0 8 por el resultado del apartado anterior: sen x cos x sen x sen x 0 8 sen x sen x) sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x 0 8 sen x sen x ) 0 8 sen x 0 8 x 0, x 0 8 sen x ±/ 8 x 0, x 0, x 0, x 0 Todas las soluciones son válidas y se pueden expresar como: x k 80 k x 0 + k 80 /) + k x 0 + k 80 /) + k Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

36 Demostra les igualtats següents: a) cos a + b) cos a b) cos a sin b b) sin a + b sin a b sin a sin b ) ) c) cos a b cos a + b ) ) sin a sin b a) cos a + b) cos a b) cos a cos b sen a sen b) cos a cos b + sen a sen b) cos a cos b sen a sen b cos a sen b) cos a) sen b cos a cos a sen b sen b + cos a sen b cos a sen b b) El primer miembro de la igualdad es una diferencia de cuadrados, luego podemos factorizarlo como una suma por una diferencia: [ ) sen a + b + sen a b )] [ ) sen a + b sen a b )] *) a b [ sen cos ] [ cos sen ] cos a + cos b + cos a cos b cos a) + cos b) + cos a) cos b) a cos a) cos b) sen a sen b sen a sen b b *) Transformamos la suma y la diferencia en productos, teniendo en cuenta que: a + b + a b a y a + b a b b c) Procedemos de manera análoga al apartado anterior, pero ahora: a b + a + b a y a b a + b b a b cos ) cos ) a b [ cos ) + cos )] [ cos ) cos )] a b a + b a + b a b a b [ cos cos ] [ sen sen ] [ cos cos ] [ sen sen ] a a + b b a b Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

37 UNITAT + cos a + cos b cos a cos b cos a) cos b) sen a sen b sen a sen b NOTA: También podríamos haberlo resuelto aplicando el apartado anterior como sigue: a b cos ) cos ) sen ) + sen ) a + b sen ) sen ) *) *) Por el apartado b). a + b a b a b sen a sen b 7 Simplifica: sin a cos a cos a sin a sen a cos a sen a) cos a sen a cos a sen a cos a sen a sen a cos a sen a cos a sen a sen a cos a + sen a) sen a a + b 8 Resol els sistemes següents donant les solucions corresponents al primer quadrant: x + y 0 a) sin x sin y sin x + cos y b) cos x sin y Fes cos y sin y i cos x sin x. sin x + cos y c) x + y 90 a) De la segunda ecuación: x + y x y cos sen Como: x + y 0 8 cos 0 sen x y x y 8 sen 8 8 sen x y x y x y 0 Así: x + y 0 x y 0 x 80 8 x 90 8 y 0 Luego la solución es: 90, 0) Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques 7

38 b) Como cos y sen y cos x sen x El sistema queda: sen x + sen y sen x sen y 8 Sumando ambas igualdades) 8 sen y 0 8 sen y 0 8 y 0 Sustituyendo en la segunda ecuación por ejemplo) del sistema inicial, se obtiene: sen x sen y 0 sen x sen y 0 cos x 0 8 cos x Luego la solución es: 0, 0) cos x 8 x 0 cos x 8 x 80 é.º cuadrante c) x + y 90 8 complementarios 8 sen x cos y Sustituyendo en la primera ecuación del sistema: cos y + cos y 8 cos y 8 cos y 8 y x 90 y Luego la solución es: 0, 0) 9 Justifica que per a qualsevol angle a es verifica: cos a sin a + cos a ) Desarrollamos la primera parte de la igualdad: cos a) cos cos a + sen sen a ) cos a + sen a) cos a + sen a) cos a + sen a) cos a + sen a 0 Expressa sin a i cos a en funció de sin a i cos a. sen a sen a) sen a cos a sen a cos a cos a sen a) sen a cos a sen a cos a) cos a cos a) cos a sen a cos a sen a) sen a cos a) cos a + sen a cos a sen a sen a cos a cos a + sen a sen a cos a 8 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

39 UNITAT Pàgina QÜESTIONS TEÒRIQUES Quina relació hi ha entre les raons trigonomètriques dels angles que fan / i / radiants? + 8 son suplementarios, luego: sen sen ) sen cos cos ; tg tg Relaciona aquestes expressions amb les raons trigonomètriques de l angle a: a) sin a); cos a); tg a) b) sin + a); cos + a); tg + a) c) sin a); cos a); tg a) sen a) sen a a) 8 tg a) tg a cos a) cos a sen + a) sen a b) cos + a) cos a 8 tg + a) tg a sen a) sen a c) 8 tg a) tg a cos a) cos a Expressa Ax) en funció de sin x i cos x: a) Ax) sin x) sin x) b) Ax) cos x) + cos + x) c) Ax) sin + x) + cos x) a) A x) sen x) sen x) sen x sen x sen x b) A x) cos x) + cos + x) cos x + cos x) 0 c) A x) sen + x) + cos x) sen x + cos x Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques 9

40 Fes, amb la calculadora, una taula de valors de la funció y cos x, donant a x valors compresos entre 0 i radiants i representa-la gràficament. x y cos x PER A APROFUNDIR-HI Representa les funcions: a) y cos x + ) b) y sin x + ) c) y cos x d) y sin x ) ) a) b) Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

41 UNITAT c) d) Resol els sistemes següents donant les solucions corresponents al primer quadrant: sin x + sin y sin x + cos y / cos x + y) / a) b) c) cos x + cos y cos x sin y / sin x y) / a) Despejando en la segunda ecuación: cos x cos y *) Como sen x cos x entonces: sen x cos y) cos y + cos y cos y cos y Y, sustituyendo en la primera ecuación, se tiene: sen x + sen y 8 cos y cos y + sen y 8 8 sen y cos y cos y Elevamos al cuadrado: sen y + cos y cos y) cos y cos y) sen y + cos y cos y cos y cos y) cos y cos y cos y) + cos y) cos y cos y) Simplificamos y volvemos a elevar al cuadrado: + cos y) cos y cos y) cos y + cos y cos y cos y 8 8 cos ± y cos y cos y 8 y 0 8 Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

42 Sustituyendo en *), se tiene: cos x 8 x 0 b) sen x + cos y cos x sen y Sumando: c) sen x + cos x + cos y sen y 8 + cos y sen y 8 8 cos y 8 cos y 8 cos y 8 y Solo consideramos las soluciones del primer cuadrante). Sustituyendo en la primera ecuación: sen x + cos y 8 sen x sen x 8 sen x 8 sen x ± Nos quedamos con la solución positiva, por tratarse del primer cuadrante. Así: sen x 8 x 0 Luego la solución es: 0, ) Como x, y é. er cuadrante y además cos x + y) > 0 sen x y) > 0 8 x + y é. er cuadrante x y é. er cuadrante Teniendo esto en cuenta: cos x + y) 8 x + y 0 sen x y) 8 x y 0 Sumamos ambas ecuaciones) x 90 8 x Sustituyendo en la primera ecuación y despejando: y 0 x 0 La solución es, por tanto:, ) Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

43 UNITAT 7 Demostra que: tg x/ tg x/ tg x/ a) sin x b) cos x c) tg x + tg x/ + tg x/ tg x/ a) Desarrollamos y operamos en el segundo miembro de la igualdad: tg x/) + tg x/) cos x cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x cos x + cos x cos x + cos x) + cos x + cos x cos x + cos x) + cos x) cos x) + cos x cos x sen x sen x cos x + cos x + cos x tg + cos x cos x b) x/) + cos x cos x + tg x/) cos x + + cos x + cos x + cos x + cos x cos x cos x tg x/) + cos x + cos x c) tg x/) + cos x + cos x cos x + cos x + cos x cos x + cos x + cos x cos x cos x cos x + cos x + cos x cos x + cos x) cos x + cos x + cos x) cos x) cos x cos x sen x sen x tg x cos x cos x cos x Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

44 AUTOAVALUACIÓ. Expressa en graus: rad, rad, rad. rad rad 0 rad ' 0''. Expressa en radiants donant-ne el resultat en funció de i com a nombre decimal: a) 0 b) c) 0 a) 0 rad,0 rad b) rad,9 rad c) 0 rad,7 rad. En una circumferència de cm de diàmetre dibuixem un angle de rad. Quina longitud tindrà l arc corresponent? 8 cm l 8 cm. Associa a aquest gràfic una de les expressions següents i digues quin n és el període: a) y cos x b) y cos x c) y cos x 7 Completa aquests punts perquè pertanyen al gràfic: /,...), /,...), /,...). La gráfica corresponde a la b) y cos x. Su periodo es. Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

45 UNITAT ) ) ), 8 y cos 8,, 8 y cos 8,, 8 y cos 0 8, 0 ) ) ) ). Si cos a i a<, troba: a a) sin a b) cos + a) c) tg d) sin a ) cos a a < 8 sen a 8 sen a ) a) sen a sen a cos a ) ) 8 b) cos + a) cos a a cos a /) c) tg + cos a + /) ) d) sen a sen cos a cos sen a Demostra cadascuna d aquestes igualtats: tg a a) tg a tg a b) sin a + b) sin a b) sin a sin b sen a cos a sen a sen a cos a cos a a) tg a cos a cos a sen a sen a cos a ) tg a tg a b) sen a + b) sen a b) sen a cos b + cos a sen b) sen a cos b cos a sen b) sen a cos b cos a sen b sen a sen b) sen a) sen b sen a sen a sen b sen b + sen a sen b sen a sen b Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

46 7. Resol: a) cos x cos + x b) tg x cos x sin x ) ) a) cos x cos + x cos x sen x sen x) 8 sen x sen x + sen x 0 sen x + sen x 0 8 sen x sen x + ) 0 sen x 0 sen x x 0 x 80 x 0 x 0 Soluciones: x 0k; x k; x 0 + 0k; x 0 + 0k, b) tg x cos x + cos x sen x 8 tg x sen x 8 8 tg x + tg x cos x sen x 8 sen x 8 tg x + cos x sen x 8 cos x x 8 tg x + 0k x + 0k 8. Simplifica: sin 0 + sin 0 sin a a) b) + tg cos 0 + cos 0 cos a sen cos sen 0 + sen 0 sen a) tg cos 0 + cos cos cos cos sen b) + tg a sen cos a sen + ) a a a ) cos a ) cos a + cos a cos a + cos a sen a sen a cos a sen a a ) Unitat. Funcions i fórmules trigonomètriques

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