PROYECCIONES DINÁMICAS DE POBLACIONES FEMENINAS POR GRUPOS ETÁREOS

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1 INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 5: 07 3 (2005) ISSN PROYECCIONES DINÁMICAS DE POBLACIONES FEMENINAS POR GRUPOS ETÁREOS RESUMEN Evelyn Álvarez Serra* y Mayra Alfaro Mednacel** *Unversdad Prvada Bolvana, ** Unversdad Mayor de San Smón En el presente trabajo se propone un modelo matemátco dnámco para estmar el comportamento de poblacones en el tempo tomando en cuenta la estructura de edades. Se dscretza la ecuacón dferencal en dervadas parcales que se obtene como modelo, utlzando el Método Numérco de Líneas. Para su desarrollo computaconal, se utlzó el códgo DASSL y datos de los censos de Bolva de 992 y 200, se comparó los resultados obtendos numércamente con los datos reales. Con el modelo propuesto, se realzaron proyeccones del comportamento de la poblacón femenna; se observó una tendenca al crecmento en general y, en partcular, la establdad en la cantdad de ndvduos con edades entre 70 y 75 años. Palabras clave: Poblacones, Ecuacones Dferencales Algebracas, Modelos Matemátcos, Método Numérco de Líneas.. INTRODUCCIÓN Durante la década de los 60s y 70s se creía que una tasa alta de fertldad mpedía el desarrollo en un país, pues famlas con muchos hjos tenían que nvertr más dnero en educacón y salud, por lo tanto, era dfícl la acumulacón de rquezas materales. Pero en los 80s esta vsón cambó. Bajo la nvestgacón empírca, los economstas aseguraron que lo que mpulsaba al crecmento económco era el captal humano con la nnovacón tecnológca y que el crecmento de la poblacón no afectaba realmente mucho en la economía. En estos últmos años, se llegó a la conclusón de que la estructura de poblacón afecta a la economía en una forma dferente. Las personas vven más tempo y dsmnuye la mortaldad nfantl, por lo que la tendenca es de tener menos hjos, lo que lleva, eventualmente, a que por un lado los padres tengan más dnero para nvertr en su salud y educacón, las mujeres puedan salr a trabajar y por ende se mejora gualmente la fuerza de trabajo. Esta tendenca da lugar a que la edad promedo de la poblacón crezca y la razón entre poblacón productva y dependente tambén aumente, sendo necesaro un cambo en las polítcas de benestar socal. Además de estas consderacones, un goberno necesta saber cómo mplementar planes de desarrollo. Saber cuántas guarderías se necesta construr, cuántos colegos y qué tpos de empleos serán necesaros, cuántos doctores y profesores entrenar y qué tanto de mpuestos se debe recaudar para satsfacer las necesdades socales de la poblacón. En Bolva, por ejemplo, es necesaro estmar cuántas personas mayores de 65 años habrá en los próxmos años para destnar el dnero necesaro para el Bonosol. Los estudos actuales del Insttuto Naconal de Estadístca (INE) con respecto al comportamento de poblacones en Bolva, están basados en nterpolacones y regresones de datos obtendos en los censos realzados desde 952 hasta el 200[5]. Sn embargo, es posble elaborar y estudar modelos de poblacones que se expresan a través de ecuacones dferencales en dervadas parcales, los cuales han sdo poco utlzados en general, a causa de la complejdad en la utlzacón de los datos exstentes de los censos aplcados a dferentes poblacones, además de su solucón numérca puesto que se hace mposble resolver estas ecuacones de manera exacta. En este trabajo se presenta una nueva forma de proyectar el comportamento de poblacones en el tempo por grupos etáreos, a través de ecuacones dferencales parcales, mejorando de alguna manera las proyeccones estadístcas que se hacen comúnmente. Además, se analza la solucón numérca del modelo con los datos UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No 5: 07 3 (2005) 07

2 ÁLVAREZ Y ALFARO hstórcos exstentes en el INE de Bolva y se valda, fnalmente, los resultados obtendos con el censo del OBTENCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO Para la obtencón del modelo se defnen dos varables ndependentes: edad (z) y tempo (, además de una φ z,t que representa el número de ndvduos de edad z en el nstante t. funcón contnua ( ) Por lo tanto, para conocer el número de personas N( que exsten en una poblacón con edades entre a y b en un tempo t cualquera, basta con ntegrar: b N( = φ( z, dz a 0 < [ a, b] < 5 Para el total de la poblacón se tomará a = 0 y b = 5, consderando b la edad máxma. 5 0 ( ) N ( φ z, t dz total = S se consdera ncalmente que no exste nmgracón n emgracón, la salda de los ndvduos de la poblacón depende de la mortaldad, o sea, de la cantdad de personas de edad z que mueren en un tempo t, d(z,. Luego, el número de muertes en el nstante t entre las edades z y z 2 será: z2 = z ( ) M ( d z, t dz Para la obtencón de un prmer modelo se utlza la ecuacón de contnudad. Consderando que la undad de tempo se toma en años: Tasa de de Cambo = Cantdad de de Indvduos ndvduos Indvduos de que Cumplen Edad z Cantdad de ndvduos que cumplen la edad z Pasan la Edad z Tasa de = - que pasan la edad z 2 - Muertes muertes 2 z2 z2 φ( z, dz = φ( z, φ( z2, d( z, dz t. () z z Utlzando el teorema fundamental del cálculo y transformacones algebracas, se obtene: t z2 z2 z2 z φ( z, dz= φ( z, dz d( z, dz. z z z Esta últma ecuacón da lugar a la ecuacón dferencal a dervadas parcales sguente: φ t, +, +, = 0 z ( z φ( z d( z (2) S se defne µ ( z, como la razón entre las personas que mueren con respecto a la cantdad total de personas de edad z (w =5): 08 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 5: 07 3 (2005)

3 PROYECCIONES DINÁMICAS DE POBLACIONES d( z, µ ( z, =, 0 z w y 0 t (3) φ( z, y reemplazando en la ecuacón ( 2), se tene el prmer modelo: φ( z, + φ ( z, + µ ( z, φ( z, = 0 t z φ (5, = 0 CF φφ (0, = B( CF ( z,0) = C( z) CI (4) La funcón C(z) representa la cantdad de personas con edad z en el momento de empezar el proceso, t = 0, que puede ser por ejemplo el año en que se realzó un censo. Para el cálculo de B(, el número de nños que nacen en el momento, se necesta conocer la cantdad de nños que nacen dependendo del tempo. Esta funcón es más complcada, se puede pensar en una funcón de fertldad, dependendo de la edad de la madre y del padre. Sn embargo, ambos padres no necesaramente tenen la msma edad, por esta razón sólo se analzará la funcón φ ( z, como la cantdad de mujeres úncamente, al gual que el resto de las funcones del modelo. El modelo supone gualmente que las personas no vven más de 5 años. Entonces, la funcón de fertldad femenna será: = b B( m( z, φ z, t dz a con m(z, el número de hjas nacdas de madres de edad z en el tempo t y [a; b] el ntervalo donde se consdera la fertldad de la mujer. Para el estudo de la poblacón bolvana, sería mportante nclur en el modelo la varable emgracón, debdo a la stuacón económca actual. Por lo tanto, s se consdera E(z, como el número de personas de edad z que emgran del país, y ξ ( z, como la tasa entonces: ( ) y el modelo se convertría en : E( z, ξ ( z, = φ ( z, φ( z, + φ ( z, + [ µ ( z, + ξ( z, ] φ( z, = 0 t z φ (5, = 0 b φ(0, m( z, φ( z, = a φ ( z,0) = C( z) (5) 3. PARÁMETROS DEL MODELO De acuerdo al modelo presentado en la ecuacón (5), para su aplcacón se necestaría conocer la mortaldad, la emgracón y la fecunddad en funcón de las edades y del tempo. Los datos de fertldad y la mortaldad de las mujeres se pueden obtener de los datos estmados por el INE [5], pero no se dspone de datos sufcentes sobre la mgracón nternaconal. Debdo a esta falta de datos, se puede aplcar solamente el modelo (4) donde no se consdera mgracón n emgracón. UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No 5: 07 3 (2005) 09

4 ÁLVAREZ Y ALFARO 3. Funcón de Fertldad Para determnar la estructura de la fecunddad se analzaron las fuentes dsponbles [5] a partr de 975, tomando las fertldades en 7 grupos a partr de los 5 años (5-9, 20-24, 25-29, 30-34, 35-39, 40-44, 45-50), Fgura. En los prmeros 4 grupos, la fertldad van en aumento pero a partr de los 35 años dsmnuye. Después de los 50 años y antes de los 5 años, se consdera que la fertldad es nula. La fertldad es una funcón que, además de la edad, dependen del tempo ya que las mujeres tenden a tener famlas más pequeñas en cada generacón. Así, para el período se determnó la estructura de fecunddad como promedo de las estructuras observadas en el censo 992 y en la Encuesta de Salud ENDSA 994 [5], mentras que para las estmacones se obtuveron promedando las estructuras del Censo 200 y de la Encuesta de Salud ENDSA 998 [5]. Para los sguentes qunquenos, , , etc., se nterpoló en funcón de los nveles de la tasa global de fecunddad correspondente a cada uno de ellos. Las tasas globales de fecunddad en el período fueron estmadas utlzando la proyeccón de curva logístca: k2 TGF ( = k + a+ bt + e con k 2 asíntota superor (7 hjos) y k asíntota nferor (.7 hjos) y a, b parámetros de la funcón. En la Fgura se muestra la tasa de fecunddad por grupos de edades desde 975, con ntervalos de tempo de 5 años. Fgura - Tasa de fecunddad por grupos de edades desde 975, con ntervalos de tempo de 5 años. 3.2 Funcón de Mortaldad Para la funcón de mortaldad, se dscretzó la poblacón en edades 0,, 5, 0, 5, 20,...., 75, 80, 5 y la estmacón consta de dos análss: mortaldad en los prmeros años de vda (0-5) y mortaldad adulta. Los datos utlzados fueron obtendos de la msma forma que los de fertldad, al gual que las proyeccones de los años y para las edades ntermedas se realzaron nterpolacones con cerchas cúbcas. 0 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 5: 07 3 (2005)

5 PROYECCIONES DINÁMICAS DE POBLACIONES 3.3 Poblacón Incal La funcón C (z) representa la cantdad de ndvduos de edad z en el tempo 0. Para este estudo se consdera el año 992 como el momento ncal, t = 0, debdo a que el censo efectuado ese año es consderado como el prmero más completo realzado en Bolva. 4. DISCRETIZACIÓN DEL MODELO Para resolver numércamente el modelo (3) se debe tomar en cuenta los datos dsponbles, además de la estructura de la condcón de frontera, sobre todo en z = 0, donde se necesta calcular una ntegral en z. Sn embargo, s se dscretza esta varable, la ntegral se converte en una sumatora exacta. Un método clásco que permte dscretzar las edades sería el de dferencas fntas; no obstante, producto del cambo brusco en los datos de las mortaldades, la ecuacón que resulta del modelo se puede convertr en una ecuacón dferencal rígda (stff), hacendo que el método en dferenca no sea numércamente estable e mposbltando la solucón numérca del problema. No obstante, el Método de Líneas (MOL) [],[3] permte dscretzar solamente la edad, obtenéndose un problema de Ecuacones Dferencales Algebracas (EDA) con valor ncal que sólo depende del tempo, o sea: En el esquema (6), la funcón ( ( ( ( φ φ+ φ + + µ ( φ( = 0 t> 0 = 5, 0, 5,..., 80 t 2 z φ0( = m ( φ ( Z t> 0, Z = 5 φ (0) = C = 0, 5, 0, 5,..., 80 φ5 ( = 0 t> 0 φ representa la cantdad de ndvduos de edad en funcón del tempo t; µ ( y m ( representan la mortaldad y fertldad en el momento t para ndvduos de edad y C el total de ndvduos de edad en t = 0 (992). Para la solucón numérca del Sstema de Ecuacón Dferencal Algebraca (6) se utlzaron las Fórmulas en Dferencas Haca Atrás (Backward Dfference Formula, BDF), una de las herramentas numércas más fuertes para resolver EDA. El análss teórco de la convergenca de las BDFs aplcadas a las EDAs, la manera en que se mplementan los métodos de multpasos del predctor-corrector, así como las estrategas de seleccón automátca del paso y del orden del método, están documentadas en las referencas [], [2] y [4]. (6) 5. APLICACIÓN NUMÉRICA Para obtener la solucón numérca del modelo, se realzó un programa en FORTRAN 90. Consderando el año 992 como el nco del proceso, condcón ncal, se ntrodujeron los datos del INE explcados en la seccón 3 y se resolvó un sstema dferencal algebraco de 9 ecuacones a valor ncal con el códgo DASSL. Este es un software lbre, dseñado por L. Petzold en 982 en FORTRAN 77, que resuelve numércamente sstemas de ecuacones dferencales algebracas mplíctas y explíctas de índce 0 o de valor ncal, tomando una seleccón automátca del paso según la toleranca del error prefjada, que en este caso se tomó gual a 0-5. Para la valdacón del modelo se compararon los resultados numércos obtendos en el trabajo como estmacón de la cantdad de poblacón femenna de Bolva y su estructura de edad para el año 200, con los UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No 5: 07 3 (2005)

6 ÁLVAREZ Y ALFARO datos del Censo reportados por el INE en el msmo año. La comparacón numérca y las curvas correspondentes aparecen en la Fgura 2. Edad Estmacón Real Error Relatvo x 04 Cantdad Edad Edad Fgura 2 - Comparacón de datos estmados con los reales del año 200. La curva de la Fgura 2 marcada con el símbolo + representa los valores reales y la curva marcada con el símbolo los estmados en el trabajo Proyeccones obtendas Edad Año 2002 Año 202 Año 2032 Año Fgura 3 - Proyeccones calculadas de la poblacón femenna bolvana por grupos etáreos. 2 UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No. 5: 07 3 (2005)

7 PROYECCIONES DINÁMICAS DE POBLACIONES A pesar de ser el modelo matemátco un problema mal planteado por el cambo brusco de las mortaldades y que los datos de fertldad y mortaldad manejados son aproxmacones, se puede afrmar que el resultado de la valdacón es postva ya que la solucón numérca converge con una toleranca de 0-5 y el error relatvo de los valores calculados con respecto los datos reales oscla entre 0.0 y 0.5. En la Fgura 3 se presenta los valores numércos y los gráfcos correspondentes de las proyeccones de la poblacón femenna bolvana por grupos etáreos. Ésta fue calculada utlzando el modelo propuesto en el presente artículo para los años 2002, 202, 2032 y Se puede observar el crecmento general de la poblacón, además del comportamento estable en la cantdad de ndvduos entre los 70 y 75 años de edad en cada proyeccón. 6. CONCLUSIONES La realzacón de un censo de poblacón es un evento sumamente costoso pero, por otro lado, conocer las característcas de la poblacón de un país se hace mprescndble. Por este motvo se buscan dferentes modelos para su estmacón. Los más desarrollados a nvel mundal son del tpo estadístco. En este trabajo se presenta un modelo matemátco de forma dferencal que permte estmar la estructura de la poblacón prefjando de antemano el error cometdo. En partcular, para obtener proyeccones futuras sólo se necestan parámetros de fertldad, mortaldad y la cantdad de poblacones femennas totales que se extraen de un censo ya realzado, sendo esto una ventaja consderable con respecto a métodos estadístcos, basados en regresones por ejemplo. Se utlzaron esquemas numércos novedosos como el Método de Líneas, combnado con un método efcente para resolver ecuacones dferencales algebracas, resultando ser una técnca muy útl y orgnal, en partcular para problemas numércamente nestables. Medante el modelo y el software desarrollado es posble obtener estmacones hasta el 2050, con posbldades de aumentar los años de estmacón s se conoceran extrapolacones de datos de mortaldad y fertldad para años posterores. 7. REFERENCIAS [] K. E. Brenam, S. L. Campbell and L. Petzold, Numercal soluton of ntal value problems of dfferental-algebrac equatons, Elsever Publs., (989). [2] L. R. Petzold, A descrpton of DASSL, a dfferental/algebrac solver, SANDIA Report, SAND , (982). [3] E. Grepentrog and R. März, Dfferental-Algebrac Equatons and ther Numercal Treatment, Teubner, Lepzg, (986). [4] Hndmarsh, LSODE and LSODI, Two ntal value ordnary dfferental equaton solvers, ACM SIGNUM Newsletter, 5, (980), pp. 0-. [5] INE, CEPAL, Fondo de Poblacón de las Nacones Undas. Bolva: Estmacones y Proyeccones de poblacones, , La Paz Bolva, sere OI, No. 202, (2002). UPB - INVESTIGACIÓN & DESARROLLO, No 5: 07 3 (2005) 3