Propiedades de la igualdad

Transcripción

1 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez Propiedadesdelaigualdad Por:SandraElviaPérez Imagina que tienes una balanza y quieres pesar un kilogramo de azúcar. De un lado de la balanza colocas un contrapeso que indique el peso deseado, es decir un kilogramo y en el otro lado irás vaciando azúcar hasta que la balanza quede nivelada. En el momento que la balanza quede nivelada puedes decir que los pesos son iguales. Figura1.Balanza. En matemáticas se puede decir que dos objetos son iguales si tienen el mismo valor y para indicarlo se utiliza el signo de igualdad " = ", en el ejemplo anterior la balanza representaría el símbolo de igualdad. Cuando tienes un símbolo de igualdad y una proposición matemática de cada lado de la igualdad a esta expresión se le llama ecuación. 1 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

2 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez Vealgunosejemplosdeecuaciones Ecuación x + 5 = 9 4 x = 6 8x + 3 = 11x x + 5x = 3x Proposición matemática Símbolo de igualdad x + 5 = 9 4 x = 6 Proposición matemática 8 x + 3 = 11x x + 5x = 3x Analiza la primera ecuación: x + 5 = 9 Esta expresión puede ser verdadera si el valor de x =, de esta forma: x + 5 = 9 () + 5 = 9 9 = 9 Como 9 es igual a 9 esta expresión es verdadera. Pero también puede ser falsa si x toma cualquier otro valor, por ejemplo: x = 4 x + 5 = 9 (4) + 5 = 9 13 = 9 Como 13 no es igual a 9 esta expresión es falsa Como viste en el ejemplo anterior la ecuación x + 5 = 9 puede ser falsa o verdadera. A este tipo de ecuaciones se les llama ecuaciones condicionales. El propósito de una ecuación es encontrar el valor o los valores que hacen verdadera la ecuación. A estos valores se les llaman soluciones de la ecuación y las soluciones de la ecuación forman el conjunto solución. Para el ejemplo anterior x + 5 = 9, sólo existe un valor que hace verdadera la ecuación. Por lo tanto, x = es la solución de la ecuación. Y su conjunto solución = { } UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

3 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez Veotroejemplo Si tienes la siguiente ecuación: x = 4 En este caso, hay dos valores que hacen verdadera la ecuación x = y x = x = 4 () = 4 y ( ) = 4 Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son x = y x = Y el conjunto solución = {,} Cuando una ecuación es verdadera para cualquier valor permitido de la ecuación se le llama ecuación identidad, es decir cualquier valor puede hacer verdadera la ecuación, siempre y cuando en las expresiones racionales el denominador no sean cero. Ejemplo x 4 = x + x Cualquier valor que se sustituya en la ecuación hace verdadera la ecuación excepto el, puesto que el hace 0 el denominador. x 4 x Puedes sustituir varios valores en = x + y comprobarlo: x = 3 x = 0 x =1 Valor a sustituir Valor sustituido Resultado ( 3) 4 = ( 3) + ( 3) (0) 4 = (0) + (0) (1) 4 = (1) + (1) 5 = = 3 = = 1 = 3 = 3 3 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

4 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez En este caso es complicado escribir todas las soluciones. Así que escribes el conjunto solución ={ x R x } Puede darse el caso que ningún valor pueda hacer verdadera a la ecuación, es decir no tenga solución. A este tipo de ecuaciones se les llama ecuaciones inconsistentes Se lee así: Todos los valores de x que pertenecen a los números reales excepto el. Cuando dos ecuaciones tienen el mismo conjunto solución se llaman ecuaciones equivalentes. Ejemplo 5 x 3 = x + 3 y 3 x = 6 Las dos ecuaciones son equivalentes puesto que el conjunto solución para ambas es el mismo. 5 x 3 = x + 3 solución x = 3 x = 6 solución x = 5 () 3 = () = = 7 3 x = 6 3 () = 6 6 = 6 Hasta el momento has visto que siempre que se establece una igualdad de expresiones matemáticas obtienes una ecuación y que estas ecuaciones pueden tener o no tener soluciones, pero para poder alcanzar las soluciones de las ecuaciones es necesario conocer las propiedades de la igualdad, las cuales se te muestran en la tabla 1. 4 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

5 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez PROPIEDADES DE LA IGUALDAD PROPIEDAD EXPLICACIÓN EJEMPLOS Reflexiva Para todo se tiene a = a a R La propiedad reflexiva indica que todo número real es igual a sí mismo. a) 5 = 5 b) x + 3 = x + 3 c) 4x + 5x + 3 = 4x + 5x + 3 Simétrica Para todo se tiene a y b R Si a = b entonces b = a La propiedad simétrica indica que si se tiene una igualdad, ésta se conserva si es leída de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. a) Si x = 3 entonces 3 = x 1 b) Si x = x entonces 1 x = x c) Si x y = ( x + y)( x y) entonces ( x + y)( x y) = x y Transitiva Para todo a, b y c R Si a = b y b = c entonces a = c Para aplicar esta propiedad es necesario tener tres elementos. Uno que es común en las dos igualdades y que por conclusión hace que los otros dos elementos sean iguales. a) Si x = a y y = a entonces x = y b) Si a a =1 a a = a = a y entonces a 0 =1 Para todo a, b y c R Esta propiedad indica que se puede sumar el mismo número (sea a) = 8 5 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

6 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez Aditiva Si a = b Entonces positivo o negativo) a ambos miembros de la igualdad sin que ésta se altere. Si en ambos miembros sumamos = 8 + a + c = b + c La igualdad no se altera 10 = 10 Multiplicativa Para todo a, b y c R Si a = b Entonces a c = b c Esta propiedad indica que se pueden multiplicar ambos miembros de la igualdad por el mismo número real sin que se altere. a) + 5 = 3+ 4 si ambos miembros los multiplicamos por 3 ( + 5)( 3) = ( 3+ 4)( 3) ( 7 )( 3) = ( 7)( 3) 1 = 1 Tabla1.Propiedadesdelaigualdad. Para encontrar la solución de una ecuación debes realizar un proceso conocido como despeje, el cual implica dejar la variable que quieres encontrar de un solo lado de la expresión, utilizando las propiedades de la igualdad. Este proceso se lleva a cabo a través de la transformación de las ecuaciones que quieres despejar en ecuaciones equivalentes más simples, hasta obtener la variable totalmente despejada. Supón que tienes la siguiente ecuación y quieres encontrar su solución: x + 4 = 6 Para encontrar el valor de x que hace verdadera la expresión, es necesario despejar la variable, es decir, dejar de un solo lado de la igualdad la variable x, para hacerlo en este caso utilizas la propiedad aditiva. Sumas de los dos lados de la expresión 4 : x = 6 4 Al simplificar las expresiones: x + 0 = x = 6 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

7 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez Si quieres comprobar que x = es la solución, lo puedes sustituir en la ecuación original y comprobar que es una igualdad. x + 4 = 6 Si = ( ) + 4 = 6 6 = 6 Veotroejemplo x Entonces: Encuentra el valor de x en 6 x 4 = 0 Sumas de los dos lados de la expresión 4 : 6x = x = 4 La propiedad de la multiplicación de la igualdad establece que puedes multiplicar ambos lados de la ecuación por el mismo número sin cambiar la solución. Como la división está definida en términos de la multiplicación, entonces puedes dividir ambos miembros de la ecuación por el mismo número, siempre y cuando sea distinto de cero. x = 4 Es la solución a la ecuación. 7 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

8 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez En ocasiones, es necesario dejar de un solo lado de la ecuación la variable para despejarla. 5x + 8 = 4x Sumas 8 en ambos lados de la ecuación: 5 x = 4x 8 5x = 4x 10 Sumas 4x en ambos lados de la ecuación: 5x 4x = 4x 10 4x x = 10 En otras ocasiones es necesario hacer algunas operaciones antes de despejar la variable. x + 3( x ) = ( x 6) Realiza las operaciones: x + 3x 6 = x 1 Simplificas términos semejantes: 5x 6 = x 1 Sumas 6 en ambos lados de la ecuación: 5 x = x Sumas 5x = x 6 x en ambos lados de la ecuación: 5x x = x 6 x 8 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

9 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez 3x = 6 Divides entre 3 en ambos lados de la ecuación: 3x 6 = 3 3 x = Observa qué sucede cuando hay denominadores: x + 3 3x 1 = 4 Se determina el mínimo común denominador entre y 4, en este caso es 4. Multiplicas en ambos lados de la ecuación por 4: x + 3 3x 1 4 = 4 4 x = 7 Aplicas las propiedades de la igualdad y simplificas: ( x + 3) = 3x 1 x + 6 = 3x 1 x = 3x 1 6 x = 3x 7 x 3x = 3x 7 3x x = 7 1( x ) = 1( 7) 9 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

10 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez Hasta el momento has analizado sólo ecuaciones condicionales, pero recuerda que también existen ecuaciones identidad y ecuaciones inconsistentes. Observa cómo se analizan cada una de ellas. Considera la siguiente ecuación: 5 x 3 = x + 3( x + 1) Realiza las operaciones y aplica las propiedades de la igualdad para despejar la variable: 5 x 3 = x + 3x x 3 = 5x x 3+ 3 = 5x x = 5x + 6 5x 5x = 5x + 6 5x 0 = 6 Veelotrocaso Considera la siguiente ecuación: 3x = 6( x + 3) 3( x + 1) 17 Observaquelavariabledesapareceyquelaproposición esunaproposiciónfalsa,porlotantolaecuaciónes inconsistente,estoesquenotienesolución. Realizas las operaciones y aplicas las propiedades de la igualdad para despejar la variable: 3x = 6x x x = 3x 3 x + = 3x + 3 x = 3x 3x 3x = 3x 3x 0 = 0 10 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

11 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez Nota que la variable desaparece y que la proposición 0 = 0 es una proposición verdadera, por lo tanto la ecuación es identidad, esto es que tiene infinitas soluciones. Toma en cuenta que la idea principal para realizar un despeje es colocar las variables de un solo lado de la ecuación aplicando las propiedades de la igualdad. Sin embargo, tal vez recuerdes que alguna vez te dijeron que para poder despejar tienes que pasar una variable con la operación contraria a la que se está realizando. Este tipo de afirmaciones están basadas en las propiedades de la igualdad. Vealgunosejemplos Ecuación Operación Propiedad de la igualdad x + 3 = 5 Si está sumando pasa restando x = 5 3 x = Aditiva x = 5 3 x = 5 3 x = x 3 = 5 Si está restando pasa sumando x = x = 8 x = 3 Si está multiplicando pasa dividiendo 3 x = Aditiva x 3+ 3 = x = x = 8 Multiplicativa 1 1 (x) = (3) x 3 = 3 x = x = 3 Si está dividiendo pasa multiplicando x = x = 6 ( 3)( ) Multiplicativa x = (3) x = ( 3) x = 6 Tabla.Ejemplosdevariable con la operación contraria a la que se está realizando. 11 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

12 FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez Para despejar puedes utilizar la forma que te parezca más sencilla, sin embargo es importante que tengas en cuenta que todas las operaciones están basadas en las propiedades de la igualdad. Practica los despejes realizando los ejercicios y la tarea. Bibliografía Allen,A.(004).ÁlgebraIntermedia(6ª.ed.).México:PrenticeHall. Baldor,A.(1988).Álgebra(1ªed.).México:PublicacionesCultural. Barnett,R.,Ziegler,M.&Byleen,K.(000).Álgebra(6ª.ed.).México:McGraw- Hill. Bello,I.(1999).ÁlgebraElemental(1ª.ed.).México:InternacionalThomson Editores. 1 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.