Movimiento Ondulatorio Ejercicios resueltos

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1 Moiiento Ondulatorio Ejercicio reuelto PAU CyL PM997 Ecuación de la onda y elongación de un punto en un intante Una arilla ujeta por un extreo ibra con una frecuencia de 400 Hz y con una aplitud de 0 -. La ibración e propaga en el aire a 40 /. Calcule: a) La ecuación de ee oiiento ondulatorio arónico. (,5 punto) b) La elongación que tendrá un punto que dite del origen 0,85 al cabo de de coenzar la ibración. (,5 punto) La frecuencia angular ω e: ω = π = π 400 Hz = 800 π rad/ 800 rad/ 40 El núero de onda e: = = = = = 40 / 7 - a) La ecuación que decribe el oiiento e: y (x, t) = A en (ωt - x) = 0-40 en (800 π t - π x) = 0 - en 40 π ( t - x) etro 7 7 b) Sutituyendo: en la ecuación general: y (0,85 ; ) = 0 - en 40 π ( - 7 0,85) = 0 - en 40 π 59,95 = 0 PAU CyL J998 Expreión general de una onda dada λ, A y. Una onda arónica en un hilo tiene una aplitud de 0,05, una longitud de onda de,4 y una elocidad de,5 /. Deterine: a) El período, la frecuencia y el núero de onda. ( punto) b) La función de onda, toando coo entido poitio del eje X el entido de propagación de la onda. ( punto),4 4 a) El período e: = = =,5 / 5 5 La frecuencia e: = = Hz 4 El núero de onda e: = =,4 5 = 6-5 b) La frecuencia angular e: ω = π = π rad/ 5 5 La ecuación pedida e: y (x, t) = A en (ω t - x) = 0,05 en ( π t - π x) 6 Operando: y (x, t) = 0,05 en 6 5 π ( 7 t - x) PAU CyL S998 Dada cierta condicione de, calcular aplitud Una onda traneral y inuoidal de la fora: y = A en (x + ωt), tiene una frecuencia de 50 Hz y e deplaza con una elocidad de 0, /. En el intante inicial la elocidad de la partícula ituada en el origen tiene un alor de 4 /. Se pide: a) Indique el entido de propagación de la onda a lo largo del eje X. (0,5 punto) b) Calcule la aplitud, el núero de onda y la frecuencia angular ω. (0,5 punto) a) La onda e propaga hacia el entido de la X negatia. b) La frecuencia angular e: ω = π = π 50 Hz = 00 π rad/ = 50 Hz El núero de onda e: = = =,5 0, / = La ecuación que decribe la perturbación e: y = A en (x + ωt) = A en (,5 π x - 00 π t) La elocidad de ibración de la partícula del edio e: -

2 Moiiento Ondulatorio Ejercicio reuelto = = A 00 π co (,5 x - 00 π t) A partir de la condicione de contorno: t = 0, x = 0 = A 00 π co 0 = 4 A = 0,07 =,7 PAU CyL J999 Dada onda calcular f, de propagación y ditancia un defae Cierta onda etá decrita por la ecuación: ψ (x, t) = 0,00 en (t - x/4), todo expreado en unidade del S.I. Deterine: a) La frecuencia de la onda y u elocidad de propagación. b) La ditancia entre do punto conecutio que ibran con una diferencia de fae de. Coparando la expreión dada con la ecuación general del oiiento ondulatorio: ψ x,t = A en (ω t x) ω = rad/ = π f f = 0,59 Hz = ¼ - = 8 π rad / La elocidad de propagación e: 4 / 4 A una ditancia de una longitud de onda le correponde una diferencia de fae de π rad (60º). º 8 60º PAU CyL J00 Dado, A y λ calcular y áxia Se genera en una cuerda una onda traneral cuya elocidad de propagación e de /, cuya aplitud e de y cuya longitud de onda e de 0,. Deterine: a) El núero de onda y la frecuencia. b) La elocidad áxia que pueden tener lo punto de la cuerda. Aplicando la definición de núero de onda,, y la relacione entre la contante del oiiento, reulta que: / 0 ; f 0HZ 0, 0, La ecuación general de un oiiento ondulatorio e: y x, t = A en (ω t x) Aplicando la definición de elocidad: x, t = = A ω co (ω t x) Y u alor áxio: áxio = A ω = A π f = π 0 Hz = 0,6 π / PAU CyL S00 Expreión general de una onda dada f, A y Una onda e propaga por una cuerda con una elocidad de 0 /, una aplitud de,5x0 - y una frecuencia de Hz. Calcule: a) El período y la longitud de onda. b) La ecuación del oiiento ondulatorio. a) Aplicando la relacione entre la ditinta contante del oiendo, e tiene: 0/ 0,05 ; f 0,5 f Hz f Hz La pulación o frecuencia angular e: ω = π f = π - = 40 π rad/ El núero de onda e: 4 rad/ 0,5 b) La ecuación general de un oiiento ondulatorio e: y x, t = A en (ω t x) y x,t =,5 0 - en (40 π rad/ t 4 π rad/ x) PAU CyL J0 Dada poición un intante, piden aplitud y ibración un punto Un extreo de una cuerda tena horizontal de de longitud etá oetido a un oiiento ocilatorio arónico. En el intante t = 4 la elongación de ete punto e de c. Se coprueba que la onda tarda en llegar de un extreo a otro de la cuerda y que la longitud de onda e de. Calcule: a) La aplitud del oiiento ondulatorio b) La elocidad de ibración en el punto edio de la cuerda para t =.

3 Moiiento Ondulatorio Ejercicio reuelto CUIDADO falta un dato para calcular el defae. Del dato del tiepo que tarda el oiiento en recorrer la cuerda e deduce que la elocidad de propagación del oiiento por la cuerda e: 0 / El núero de onda e: Y la frecuencia angular e: = λ f = ω = = π - 0 / = rad/ La ecuación general de un oiiento ondulatorio que e propaga por una cuerda e: y x, t = A en (ω t - x + φ 0 ) Sutituyendo en eta ecuación la condicione iniciale, reulta que: y x = 0, t = 4 = c = A en ( rad/ 4 - π φ 0 ) Por lo que no falta una ecuación para calcular la fae inicial. Suponiendo que la fae inicial e igual a cero, φ 0, reulta que: y x = 0, t = 4 = c = A en ( rad/ 4 ) A =, c La ecuación general del oiiento e: y x, t =, c en ( rad/ Y la expreión de la elocidad de ibración e: x, t = =, c rad/ co ( rad/ t - π - x) = = 48,8 c/ co ( rad/ t - π - x) Y la elocidad de ibración del punto edio x =,5 en el intante pedido e: x=,5 ; t = = 48,8 c/ co ( rad/ - π -,5 ) = 4,9 c/ t - π - x) PAU CyL S0 Dado ecuación general piden, ibración y Δφ para Una onda traneral e propaga egún la ecuación: y = 4 en π [(t/4) + (x/,8)] (en unidade SI) Deterine: a) La elocidad de propagación de la onda y la elocidad de ibración áxia de un punto alcanzado por la onda. b) La diferencia de fae, en un intante dado, de do punto eparado en la dirección de aance de la onda. a) Reecribiendo la ecuación de la onda dada y coparándola con la expreión general, e tiene: y, t x 4 en t x unidade SI ; y x,t = A en (ω t x) rad/ ; La elocidad de propagación e: Aplicando la definición de elocidad de ibración: = 4 en t x en Su alor áxio e: áxio = π / t x 0,45/ b) A una ditancia de λ le correponde una diferencia de fae de π rad. La longitud de onda e: ;,8 La diferencia de fae pedida e: Δφ = rad,8 / rad 0 9 rad

4 Moiiento Ondulatorio Ejercicio reuelto PAU CyL S0 Defae entre extreo de una cuerda Se zarandea uno de lo extreo de una cuerda de 8 de longitud, generándoe una perturbación ondulatoria que tarda en llegar al otro extreo. La longitud de onda ide 65 c. Deterine: a) La frecuencia del oiiento ondulatorio. b) La diferencia de fae (en grado exageiale) entre lo do extreo libre de la cuerda. x 8 8 La elocidad con la que e propaga la perturbación e: / t Aplicando la relación entre la frecuencia y la longitud de onda reulta que: 8/ / = λ f f = = 4,0Hz λ 0,65 Do eleento e la cuerda eparado por una ditancia igual a la longitud de onda le correponde una diferencia de fae de π rad = 60º. Por tanto: 8 Δφ = 60º, 60º = 60º + 0, 60º 0,65 Por lo que la diferencia de fae e equialente a 0, 60º = º PAU CyL J04 Dada onda expreione de y,, a en poición e intante Una onda e propaga por una cuerda egún la ecuación: y = 0, co ( t 0, x) (S.I.). Calcule: a) La longitud de onda y la elocidad de propagación ( punto). b) El etado de ibración, elocidad y aceleración de una partícula ituada en x = 0, en el intante t = 0,5 ( punto). a) Coparando la expreión de la onda con la expreión general: y x, t = A co (ω t x) e tiene para la longitud de onda que: 0, 0, Y la elocidad de propagación e: f rad/ / 0, b) Sutituyendo en la ecuación de la onda e tiene que la elongación de la partícula en ee intante e: y x, t = 0, co ( t 0, x) y = 0, co ( 0,5 0, 0,) = 0, Aplicando la definición de elocidad de ibración: x, t = = - 0, en ( t 0, x) = - 0,4 en ( 0,5 0, 0,) = - 0, / Aplicando la definición de aceleración de ibración: d a x, t = = - 0,4 co ( t 0, x) = - 0,8 co ( 0,5 0, 0,) = - 0,446 / PAU CyL S05 Definir y exprear y ibración, de cuál depende E Defina la elocidad de ibración y la elocidad de propagación de una onda inuoidal (pto). Dé u expreione en función de lo paráetro que aparecen en la ecuación de onda (0,5pto). De cuál de la do y de qué fora depende la energía tranportada por la onda? (0,5 punto) a) La ecuación de onda de una onda arónica unidienional e: y x,t = A en (ω t x) Donde ω e la pulación o frecuencia angular y el núero de onda. La elocidad de propagación de la onda recibe, a enudo, el nobre de elocidad de fae, porque repreenta la elocidad con que e traladan etado de ibración idéntico por el edio. Se puede exprear en función de la pulación del oiiento ibratorio, ω, y del núero de onda,. = f = = La elocidad de propagación o elocidad de fae no e debe confundir con la elocidad de ibración de la partícula, que e obtiene deriando la elongación en la ecuación de onda:

5 Moiiento Ondulatorio Ejercicio reuelto ibración = A co( t x) 0 b) La energía tranportada depende de la elocidad de ibración de la partícula del edio. A edida que la onda e propagan por un edio aterial, la perturbación alcanza a la partícula y la oete a un oiiento ibratorio arónico. La energía ecánica de cada partícula e la ua de la energía cinética, aociada a u elocidad de ibración, y de la energía potencial elática, debido a la acción de la fuerza recuperadora elática, y que depende de u elongación, y, repecto de la poición de equilibrio. E = ibración + K y Si una partícula e encuentra en el centro de la ocilación, entonce u energía cinética e áxia y u energía potencial e cero; y i e encuentra en uno de lo extreo de la ibración entonce la energía cinética e ínia y la potencial áxia. Por lo que la energía ecánica de cada partícula e puede exprear con la ecuacione: E = áxia = K A Para un oiiento ibratorio arónico: K = ω, y ω = π f, por lo que operando en la ecuación anterior, reulta que: E = K A = ω A = π f A La energía que tranporta una onda arónica e función del cuadrado de la frecuencia, del cuadrado de la aplitud de la onda y de la aa de la partícula que ibran. PAU CyL J06 Ecribir ecuación dado: A, f,,piden elocidad áxia ibración a) Ecriba la ecuación de una onda que e propaga en una cuerda (en entido negatio del eje X) y que tiene la iguiente caracterítica: 0,5 de aplitud, 50 Hz de frecuencia, 0 / de elocidad de propagación y la elongación inicial en el origen e nula (,5 punto). b) Deterine la áxia elocidad traneral de un punto de la cuerda (,5 punto). Si la onda e propaga hacia la izquierda y en el intante inicial la elongación del origen e igual a cero, entonce la ecuación general e: y x,t = A en (ω t + x) La aplitud e: A = 0,5 La frecuencia angular e: ω = π f = π 50 Hz = 500 π rad/ 50 Hz El núero de onda e:,5 0 / f La ecuación pedida e: y x,t = 0,5 en (500 π rad/ t +,5 π - x) x,t b) La expreión de la elocidad de ibración e: x,t A co( t x) Y u alor áxio e: áxia = A ω = 0,5 500 π rad/ = 50 π / PAU CyL S06 A una playa llegan 5 ola por inuto y e obera que tardan 5 inuto en llegar dede un barco anclado en el ar a 600 de la playa. a) oando coo origen de coordenada un punto de la playa, ecriba la ecuación de onda, en el itea internacional de unidade, i la aplitud de la ola e de 50 c. (,5 punto). Conidere fae inicial nula. b) Si obre el agua a una ditancia 00 de la playa exite una boya, que ube y baja egún paan la ola, calcule u elocidad en cualquier intante de tiepo Cual e u elocidad áxia? (,5 punto). CyL eptiebre 06 problea Se upondrá que la ola del ar e coportan coo un oiiento ondulatorio De lo dato iniciale e deducen lo alore de la frecuencia y de la elocidad de propagación.

6 Moiiento Ondulatorio Ejercicio reuelto f 5 ola 0,5Hz 60 ; 600 / 5in 60/in a) La frecuencia angular y el núero de onda on: 0,5 rad/ ω = π f = π 0,5 Hz = 0,5 π rad/; 0,5 / La expreión de la ecuación de onda, uponiendo que e propagan hacia la derecha del oberador, e: y x,t = A co (ω t x) = 0,50 co (0,5 π rad/ t 0,5 π - x) b) La expreión general de la elocidad de ibración de la partícula del edio e: x,t = = - 0,5 π / en (0,5 π rad/ t 0,5 π - x) Y la elocidad del punto x = 00 e: x=00, t = - 0,5 π / en (0,5 π rad/ t 0,5 π - 00 ) x=00, t = - 0,5 π / en (0,5 π rad/ t 75 π) Su alor áxio e: áxio = 0,5 π / PAU CyL S06 Dicuta razonadaente cóo ariarán, en un oiiento ondulatorio, la iguiente agnitude cuando auentao la frecuencia de la onda: a) Período (0, 5 punto); b) Aplitud (0,5 punto); c) Velocidad de propagación (0,5 punto); d) Longitud de onda (0,5 punto). CyL eptiebre 06 cuetión Para deterinar la ariación de la agnitude hay que exprearla en función de la frecuencia y coniderar al reto de la ariable contante. a) El período e la inera de la frecuencia: = /f Al auentar la frecuencia diinuye el período en la ia proporción. b) La aplitud del oiiento e independiente de la frecuencia. c) La elocidad de propagación e la caracterítica del fenóeno fíico y del edio tranior, por lo que no e odifica al odificar la frecuencia del fenóeno. d) Coo la elocidad de propagación e una caracterítica del edio tranior. De la ecuación: = λ f, e deduce que al auentar la frecuencia, debe diinuir la longitud de onda en la ia proporción. PAU CyL J07 ecuación de onda y elocidad con dado extraído de gráfica En la figura e repreenta la ariación de la poición, y, de un punto de una cuerda ibrante en función del tiepo, t, y de u ditancia, x, al origen, repectiaente. a) Deduzca la ecuación de onda (,5 punto). b) Deterine la elocidad de propagación de la onda y la elocidad de ibración de un punto de la cuerda (,5 punto). a) De la repreentacione gráfica e deduce que la onda e propaga hacia la derecha y que la contante del oiiento on:

7 Moiiento Ondulatorio Ejercicio reuelto rad A = 0, c; = 8 ; λ = 4 ; 0,5 ; 0,5 8 4 y x,t = A en (ω t x) = 0, 0 - en (0,5 π - t 0,5 π - x) b) La elocidad de propagación de la onda e una cantidad que depende del edio de traniión. 0,5 0,5 0,5 La elocidad de ibración depende de la poición del punto a lo largo de la cuerda. ibración = π co ((0,5 π - t 0,5 π - x) PAU CyL S08 expreione ecuación onda Ecriba la expreión ateática de una onda arónica unidienional coo una función de x (ditancia) y t (tiepo) y que contenga la agnitude indicada en cada uno de lo iguiente apartado: a) Frecuencia angular ω y elocidad de propagación ( punto).b) Período y longitud de onda λ. ( punto). La expreión general de una onda arónica e: y x, t = A en (ω t x) Coo: ; y x,t A en t x A en ; t x, la expreione pedida on: ; y x, t A en t x A en t x PAU CyL J09 definicione agnitude oiiento ondulatorio Defina la iguiente agnitude que caracterizan un oiiento ondulatorio: aplitud; frecuencia; longitud de onda; núero de onda (, punto). Indique en cada cao la unidade correpondiente en el S.. (0, 8 punto). Aplitud, e deigna con la letra A, y e la áxia eparación de la partícula de la poición central o de equilibrio, u unidad en el SI e el etro. Frecuencia, e deigna con la letra ν, y e el núero de ece que la onda e reproduce en la unidad de tiepo. La frecuencia coincide con el núero de pulo que e producen en la unidad de tiepo y e ide en el SI en hercio (Hz). La frecuencia e una propiedad caracterítica del foco eior de onda. Longitud de onda, e denota con la letra λ, y e la ditancia entre do punto conecutio que e encuentren en la ia poición relatia repecto de u poición central o de equilibrio. La longitud de onda e tabién la ditancia que ocupa una onda copleta y e ide en el SI en etro. Núero de onda, e repreenta con la letra, y e la cantidad de onda copleta contenida en una longitud de π etro. Su unidad en el SI e -. PAU CyL J09 dado A, f y ecuación onda onora Un foco onoro eite una onda arónica de aplitud 7 Pa y frecuencia Hz. La onda e propaga en la dirección negatia del eje X a una elocidad de 40 /. Si en el intante t = 0, la preión en el foco e nula, deterine: a) La ecuación de la onda onora ( punto). b) La preión en el intante t = en un punto ituado a,5 del foco (punto). a) La frecuencia angular y el núero de onda de la perturbación on: f Hz ω = π f = π Hz = 440 π rad/; ; 40/ f,

8 Moiiento Ondulatorio Ejercicio reuelto Coo en el intante inicial la preión del foco e nula, e ua para la decripción del fenóeno la función eno. Y coo la perturbación e propaga a lo largo de la parte negatia del eje X, la ecuación de la de la onda e: p x,t = p 0 en (ω t + x) = 7 Pa en (440 π rad/ t +, π - x) b) Sutituyendo la paición y el intante en la ecuación de onda, reulta que: p x,t = 7 Pa en (440 π rad/ +, π -,5 ) = -, Pa PAU CyL S09 dado poición, elocidad y aceleración Por una cuerda tena ituada obre el eje x e tranite una onda con una elocidad de 8 /. La ecuación de dicha onda iene dada por: y(x, t) = 0, en(4π t + x) (unidade SI). a) Deterine el alor de y el entido de oiiento de la onda. Calcule el periodo y la longitud de onda y reecriba la ecuación de onda en función de eto paráetro (,5 punto). b) Deterine la poición, elocidad y aceleración de un punto de la cuerda correpondiente a x=40 c en el intante t= (,5 punto). a) La ecuación general de una onda cuando e propaga iguiendo el entido negatio del eje X e: y(x, t) = A en (ω t + x) De donde e deduce que la frecuencia angular e : ω = 4 π rad/. La elocidad de propagación de dicha onda e: 4 rad/ Por lo que el alor del núero de onda e: 8/ El período del oiiento e: Aplicando la definición de núero de onda: 4 rad / Aplicando la relacione: y, e tiene que la ecuación de una onda que e propaga egún el entido negatio del eje X, e puede ecribir coo: y(x, t) = A en (ω t + x) = A en Y para la onda dada: y(x, t) = 0, en t x = A en 0,5 0,5 t x en unidade SI 0,5 4 b) Conocido el alor de, la ecuación de la onda e, el alor de la elongación en una poición y en un intante deterinado e calcula utituyendo en la citada ecuación. y(x, t) = 0, en (4 π t + 0,5 π x) = 0, en [0,5 π (8 t + x)] y(x=0,4, t= ) = 0, en [0,5 π (8 + 0,4)] = 0,76 Aplicando la definición de elocidad: (x, t) (x,t) = = 0, 4 π co [0,5 π (8 t + x)] = 0,8 π co [0,5 π (8 t + x)] (x=0,4, t=) = 0,8 π co [0,5 π (8 + 0,4)] =,0 / Aplicando la definición de aceleración: d(x, t) a (x,t) = = - 0,8 0,5 π en [0,5 π (8 t + x)] = - 0,4 π en [0,5 π (8 t + x)] a (x=0,4, t=) = - 0,4 π en [0,5 π (8 + 0,4)] = -, / t x 4

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