Resumen de Álgebra. Matemáticas II. ÁLGEBRA

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1 Resumen de Álger. Mtemátics II. ÁLGEBRA.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS El método Guss consiste en convertir l mtriz socid un sistem de ecuciones en otr mtriz equivlente tringulr superior, hciendo ceros dejo de l digonl principl F i F j Pr ello se utilizn tres tipos de trnsformciones elementles: o Intercmir fils. o Sumr y/o restr fils. o Multiplicr fils por un número pr luego sumrls o restrls. Es importnte seguir un orden pr no estroper los ceros y conseguidos. Por ejemplo, en un primer pso se puede hcer ceros los términos 2 y 3, y en el siguiente, el término 32. Un vez conseguid l mtriz tringulr superior, se trnsform en ecución l tercer fil pr clculr z; después se sustituye este vlor en l ecución correspondiente l segund fil verigundo el vlor de y; y finlmente, se sustituyen mos vlores en l ecución socid l primer fil pr otener x. Con el método de Guss tmién se pueden discutir (clsificr) sistems de ecuciones, estudir el rngo de un mtriz o clculr su invers (método de Guss-Jordn); pero, en generl, result más cómodo utilizr determinntes. Método de Guss-Jordn.- Consiste en considerr l mtriz identidd, I, dosd l derech de l mtriz A y, medinte trnsformciones elementles, conseguir que l mtriz identidd quede situd l izquierd, oteniendo sí l mtriz invers dosd su derech:... d c e f g h i A I Trnsform ciones elementle s I A 2.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Normlmente se trt de resolver un prolem de enuncido con tres incógnits. Deemos definirls correctmente, plnter un sistem de tres ecuciones y resolverlo por el método de Guss o plicndo l regl de Crmer. Finlmente se interpret l solución otenid. En principio no procede plicr el T m de Rouché- Fröenius porque se supone que l solución es únic (comptile determindo). Otrs veces deemos plnter ecuciones que dependen de lgún prámetro; en estos csos sí es preciso estudir cuándo tienen solución.

2 Resumen de Álger. Mtemátics II. 3.- MATRICES QUE CONMUTAN El ejercicio suele consistir en clculr uno o más prámetros pr que el producto de dos mtrices A y B se conmuttivo. Pr resolverlo, clculmos ls mtrices AB y B A, e imponemos como condición que ms sen igules: A B B A. Igulndo término término, normlmente generremos un sistem de ecuciones, y resolviéndolo, conseguiremos l solución. 4.- GRANDES POTENCIAS DE UNA MATRIZ Dd un mtriz culquier, A, nos pueden pedir clculr: o Un grn potenci de es mtriz, por ejemplo, A 24. o Su n-ésim potenci, es decir, A n. En ms situciones deemos ir clculndo ls sucesivs potencis de A: A 2, A 3,... En el primer cso llegrá un momento en que volvmos otener A o l mtriz identidd, I, con lo que, plicndo l regl de l división y ls propieddes de ls potencis, result sencillo decidir cuál es l mtriz A 24. En el segundo cso deemos nlizr como vn evolucionndo los términos de ls sucesivs mtrices pr dejrlos en función de n, como término generl de un sucesión. 5.- USO DE MATRICES PARA PROBLEMAS DE ENUNCIADO Se trt de utilizr mtrices como form de representción de situciones de contexto rel, y hcer ls operciones decuds entre ells (sum, trnsposición, producto,...). Pr hcer ests operciones es imprescindile tener en cuent ls dimensiones de cd mtriz y los conceptos que representn cd un de ess dimensiones. 6.- CÁLCULO DE DETERMINANTES o Determinntes de orden tres (regl de Srrus): o Determinntes de orden superior tres. Conviene hcer ceros previmente, plicndo l siguiente propiedd de los determinntes: Si un fil (o column) le summos el producto de un prlel por un número, el determinnte no vrí. Después se desrroll por un fil o column. Por ejemplo: n n nn A A... A 2 2 n n 2

3 Resumen de Álger. Mtemátics II. 7.- RANGO DE UNA MATRIZ El rngo de un mtriz es el número de fils (o columns) linelmente independientes. Coincide con el máximo orden de sus menores no nulos. Pr clculrlo se puede comenzr detectndo un menor de orden dos no nulo e ir mpliándolo órdenes myores hst decidir el rngo. Tmién coincide con el número de fils (o columns) distints de cero trs plicr el método de Guss. Es un ejercicio típico estudir el rngo de un mtriz dependiendo de los diferentes vlores que tome un prámetro. 8.- DISCUSIÓN DE SISTEMAS Se trt de discutir (clsificr) y/o resolver un sistem de ecuciones lineles dependiendo de los vlores que tome un prámetro. Se procede de l siguiente form:.- Se tom l mtriz (A B) formd por l mtriz de coeficientes A y l mtriz de términos independientes B. Se estudi el rngo de l mtriz A en los diferentes csos y se compr con el rngo de l mtriz AB. 2.- Se plic el T m de Rouché-Fröenius (comprción de rngos): o Si rngo (A) = rngo (AB) = nº de incógnits SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. (Solución únic: los plnos se cortn en un punto). o Si rngo (A) = rngo (AB) < nº de incógnits SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO. (Infinits soluciones: los plnos cortn en un rect o coinciden). o Si rngo (A) rngo (AB) SISTEMA INCOMPATIBLE. (No tiene solución, los plnos no tienen ningún punto en común). Si el sistem es homogéneo (tods ls ecuciones están igulds cero), no se utiliz l column B, y se plic: o Si rngo (A) = nº de incógnits SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO (Solución trivil: x y z ). o Si rngo (A) < nº de incógnits SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (Infinits soluciones). 9.- REGLA DE CRAMER L solución de un sistem de ecuciones comptile y determindo es: donde x Ax Ay Az ; y ; z A A A A x es l mtriz que result de sustituir en A l column de coeficientes de x por l de términos independientes. Y, nálogmente, A y y ; A z se otienen sustituyendo en A l column de los coeficientes de l incógnit correspondiente por l column de términos independientes. 3

4 Resumen de Álger. Mtemátics II. Tmién se puede utilizr l regl de Crmer pr resolver sistems comptiles indetermindos de l siguiente form: Se AB, l mtriz socid l sistem de ecuciones 2 3 AB A En este cso rn (A) = rn (AB) = 2 < nº de incógnits = 3. Utilizmos un menor de 2 orden dos distinto de cero, por ejemplo, 2 22 ; entonces desprecimos l tercer fil (ecución) pues no form prte del menor; llmmos z λ, y formmos l mtriz socid un nuevo sistem de dos ecuciones con dos incógnits: A que podremos resolver plicndo l regl de Crmer. λ λ.- CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES Pr que un mtriz cudrd, A, teng invers, A -, es necesrio que su determinnte se distinto de cero; en este cso se dice que A es regulr y: A A A 2 3 A A A A A A A A con i j A ( ) α ij ij Trspuest de l mtriz de djuntos.- ECUACIONES MATRICIALES Consiste en resolver ecuciones cuy incógnit es un mtriz X. Pr conseguirlo utilizmos l mtriz invers y tenemos en cuent que el producto de mtrices no es conmuttivo (se multiplicn mos miemros por l derech o mos miemros por l izquierd, según interese):. A X = B A - A X = A - B I d X = A - B X = A - B 2. X A = B X A A - = B A - X I d = B A - X = B A FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES Culquier sistem de ecuciones lineles se puede expresr como ecución mtricil: x y z x x y z y x y z z y resolverse como tl, emplendo l mtriz invers de A. " " " A X B 4

5 Resumen de Álger. Mtemátics II. INFORMACIÓN DE LA UNIVERSIDAD: Principles contenidos que se tendrán en cuent en l elorción de ls Prues de Acceso l Universidd pr los estudintes provenientes del Bchillerto LOE. Mtemátics II. Curso 29-2 De cuerdo con el Decreto 67/28, de 9 de junio, por el que se estlece el currículo del Bchillerto pr l Comunidd de Mdrid, pulicdo en el B.O.C.M. con fech 27 de junio de 28, pr elorr ls Prues de Acceso l Universidd se tendrán en cuent los siguientes contenidos: ÁLGEBRA. Ls mtrices como herrmients pr representr dtos estructurdos en tls y grfos. Trspuest de un mtriz. Sim de mtrices. Producto de un número rel por un mtriz. Producto de mtrices. Potencis de un mtriz cudrd. Propieddes de ls operciones con mtrices. (Se pretende que el estudinte se cpz de relizr con corrección mnipulciones lgerics con mtrices, unque no se exigirá l demostrción de ls propieddes). 2. Determinntes. Definición y propieddes. Cálculo de determinntes de orden dos y tres, utilizndo l regl de Srrus. Propieddes elementles de los determinntes. Aplicción l desrrollo de determinntes de orden superior. (No se exigirá l demostrción de ls propieddes). 3. Mtrices inverss. Cálculo de l invers de un mtriz cudrd de orden no superior tres. Estudio de l invers de un mtriz dependiente de un prámetro. Ecuciones mtriciles. 4. Rngo de un mtriz. Estudio del rngo de un mtriz que depende como máximo de un prámetro. 5. Sistems de ecuciones lineles. Representción en form mtricil. Resolución de sistems comptiles. Discusión de ls soluciones de sistems lineles dependientes de prámetros. Sistems homogéneos. (Los sistems lineles tendrán como máximo cutro ecuciones y cutro incógnits y dependerán lo sumo de un prámetro). 6. Plntemiento y resolución de prolems cuy solución puede otenerse prtir de un sistem linel de, como máximo, tres ecuciones con tres incógnits. 5

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