Análisis de Señales en Geofísica. 1 Clase Señales y Sistemas

Transcripción

1 Aálisis de Señales e Geofísica 1 Clase Señales y Sistemas Facultad de Ciecias Astroómicas y Geofísicas, Uiversidad Nacioal de La Plata, Argetia

2 Señales Defiició: Llamaremos señal a cualquier observable que e su variació espacial, temporal o respecto de cualquier otra catidad, sea capaz de coteer o trasportar iformació. E geeral e este curso, cosideraremos que las señales varía respecto de ua úica variable idepediete y que esa variable idepediete es geéricamete el tiempo. Señales y Sistemas 2

3 Señales Clasificació: Aalógicas: defiidas e u domiio cotiuo. Discretas: defiidas e istates regularmete dispuestos. Digitales: discretas co amplitudes cuatizadas. Señales y Sistemas 3

4 Señales Clasificació por su aturaleza estadística: Determiísticas: es posible predecirlas a partir de valores pasados. Ejemplo: U si Iovativas, aleatorias o estocásticas: o es posible predecir sus valores futuros. Ejemplo: La bolsa de valores. t t2t tt t 2cos t U au U a Señales y Sistemas 4 t

5 Coversor Aalógico/Digital Defiició: El coversor A/D es u dispositivo electróico que os permite digitalizar señales aalógicas. X t A/D X t X Frecuetemete las señales digitales proviee del muestreo o digitalizació de señales aalógicas. El itervalo de muestreo puede variar ampliamete, desde ua muestra por día o meos, hasta más de diez milloes de muestras por segudo. t Señales y Sistemas 5

6 Muestreo y Aliasig Cosideremos ua familia de expoeciales complejas: f e t i t it cos si t Discreticémosla tomado muestras equidistates: f f e it t Señales y Sistemas 6

7 Muestreo y Aliasig Veamos qué sucede co las señales discretizadas cuado comparamos diferetes miembros de la familia co distitos valores de frecuecias que difiere e múltiplos de: 2 m m 1, 2,3, t Podemos ver que al discretizar estos miembros diferetes toma los mismos valores: 2 2 i m t 2 m i mt t t t it it f e e e e f Señales y Sistemas 7

8 Aliasig Cualquier señal arbitraria puede ser sitetizada como la suma de expoeciales complejas, es decir que las coclusioes a las que lleguemos para expoeciales complejas tambié será válidas para cualquier señal arbitraria. La frecuecia de ua señal discretizada se correspoderá co la frecuecia de la señal aalógica que le dio orige, hasta la frecuecia, a partir de esta frecuecia la señal t discretizada tedrá el aspecto de ua señal de frecuecia mucho más baja que la frecuecia de la señal aalógica origial. Esta eergía de baja frecuecia aparete presete e la señal discretizada, que o se ecuetra e la señal origial, es u alias de la alta frecuecia sí presete e la señal aalógica. Este feómeo es coocido co el ombre de aliasig. Señales y Sistemas 8

9 Aliasig E la figura (a) podemos ver la señal de frecuecia, e la figura (b) podemos ver 2 la señal de frecuecia m, y e la figura (c) podemos ver las fucioes aalógicas t (a) y (b) superpuestas, co las posicioes de las muestras tomadas idicadas. Señales y Sistemas 9

10 Frecuecia de Muestreo Defiició: Se deomia frecuecia de muestreo (samplig) a la catidad de muestras que tomamos por uidad de tiempo, es decir: 1 f S t La frecuecia agular de muestreo estará dada por: 2 S 2 fs t La frecuecia agular digital de muestreo estará dada por: t 2 S S Señales y Sistemas 10

11 Frecuecia de Nyquist Defiició: Se defie a la frecuecia de Nyquist como: 1 fn 2 t La frecuecia agular de Nyquist estará dada por: N 2 fn t La frecuecia agular digital de Nyquist estará dada por: N t N Esta frecuecia de Nyquist es de fudametal importacia, ya que os dice cual es la frecuecia máxima que puede estar presete e la señal aalógica si que se produzca aliasig e la señal discretizada. Señales y Sistemas 11

12 Sistemas Defiició: U sistema es cualquier etidad capaz de geerar, medir o modificar ua señal. Los sistemas puede ser clasificados como aalógicos, digitales, determiísticos o iovativos segú geere, mida o modifique señales aalógicas, digitales, determiísticas o iovativas. Señales y Sistemas 12

13 Sistemas Propiedades: Existe cico propiedades de los sistemas que so de particular importacia para uestro estudio: Liealidad Ivariaza Estabilidad Causalidad Ivertibilidad Las últimas tres propiedades tambié puede ser aplicadas a señales. Señales y Sistemas 13

14 Liealidad Es la propiedad de u sistema que os permite decir que el efecto de la suma escalada de las causas es igual a la suma escalada de los efectos idividuales. Para verlo co más claridad cosideremos el siguiete sistema: x S x y S x La operació que aplica el sistema sobre la señal de etrada para geerar la señal de salida está defiida por el operador S{ }. Señales y Sistemas 14

15 Liealidad Dadas las señales a y b y los escalares y, defiimos las siguietes operacioes: a ( a, a, a, ) ( a, a, a, ) a b ( a b, a b, a b, ) Ahora podemos expresar matemáticamete el cocepto de liealidad del siguiete modo: S a b S a S b La propiedad de liealidad expresada por esta ecuació ivolucra a su vez las propiedades de superposició y la de proporcioalidad. Señales y Sistemas 15

16 Liealidad Se defie a la secuecia impulso uitario como: 1 si 0 0 si 0 A lo largo de este curso os referiremos idistitamete a secuecias como a señales digitales. Podemos descompoer ua señal x de impulsos uitarios retardados, es decir: x x k k k Señales y Sistemas 16 como ua suma escalada Cuado o le poemos límites a las sumatorias o a las itegrales sigifica que se extiede desde hasta.

17 Liealidad Apliquemos a la descomposició aterior el operador S Señales y Sistemas 17, teemos: y S x S xk k k Aplicado la propiedad de superposició de los sistemas lieales: Aplicado la propiedad de proporcioalidad, obteemos: Vemos que S k excita co u impulso uitario retardado. y y S x k k k x S k k k es la respuesta del sistema lieal cuado se lo

18 Ivariaza Temporal La propiedad de ivariaza temporal de los sistemas, implica que la respuesta del sistema a u impulso uitario retardado es igual a la respuesta retardada de u impulso uitario o retardado. Es decir que ate ua misma excitació retardada el sistema os dará la misma respuesta pero retardada. Si h S es la respuesta impulsiva del sistema, etoces si el sistema es ivariate, se verifica que: h S k k Señales y Sistemas 18

19 Producto de Covolució Combiado las propiedades de liealidad e ivariaza temporal obteemos fialmete: y x S x h k k k k k k Esta ecuació defie lo que se cooce como producto de covolució y simbólicamete se escribe así: y x * h U sistema lieal e ivariate queda perfectamete defiido por su respuesta impulsiva. La operació que vicula la salida co la etrada del sistema es el producto de covolució de la etrada por la respuesta impulsiva del sistema. Señales y Sistemas 19

20 Estabilidad Se dice que u sistema digital es estable si y solo si su respuesta impulsiva es absolutamete sumable: h Señales y Sistemas 20

21 Causalidad Es la propiedad de aquellos sistemas que o os etrega ua señal e la salida ates de ser excitados e su etrada. Esto implica que su respuesta impulsiva debe ser: h 0 para todo 0 Señales y Sistemas 21

22 Ivertibilidad U sistema es ivertible si es posible expresar la etrada e fució de la salida: x S y 1 Si el sistema ivertible es lieal e ivariate, podemos expresarlo de esta maera: x h * y h * h * x 1 1 Es decir que el sistema lieal e ivariate será ivertible, si existe la respuesta impulsiva del sistema iverso h cumplir: h * h 1 Señales y Sistemas 22 1, la cual deberá

23 Sistemas MA, AR y ARMA La forma más geeral de vicular la etrada y la salida de los sistemas lieales e ivariates (SLI) es por medio del producto de covolució co la respuesta impulsiva del sistema, si embargo o es la úica maera de hacerlo. Existe otras formas de establecer este vículo como por ejemplo mediate la retroalimetació o feedback. U sistema retroalimetado o recursivo es aquel e el cual la salida se realimeta e la etrada del sistema. Segú este criterio de retroalimetació es posible clasificar a los sistemas lieales e ivariates e: movig average o promedio móvil (MA), autoregressive o autorregresivos (AR) y e autoregressive-movig average o autorregresivo-promedio móvil (ARMA). Señales y Sistemas 23

24 Sistema Movig Average (MA) E estos sistemas o hay retroalimetació, las muestras de salida se obtiee como ua suma escalada o promedio pesado de ciertas muestras de etrada, es decir: y a x a x a x a x N N ax N k k k 0 E este caso teemos u sistema movig average de orde N y lo idicaremos de esta forma MA(N). Señales y Sistemas 24

25 Sistema Autoregressive (AR) E estos sistemas cada muestra de salida se obtiee como ua suma escalada de la muestra actual de etrada y de ciertas muestras de salida pasadas, es decir: y x b y b y b y b y x M M M by k k k 1 E este caso teemos u sistema autoregressive de orde M y lo idicaremos de esta forma AR(M). Señales y Sistemas 25

26 Sistema ARMA E los sistemas autoregressive-movig average cada muestra de salida se obtiee como ua suma escalada de ciertas muestras de etrada y de ciertas muestras de salida pasadas, es decir: y a0x a1x 1 an xn b1 y 1 b2 y2 bm ym N M y a x b y j j k k j0 k1 E este caso teemos u sistema autoregressive-movig average de orde M,N y lo idicaremos de esta forma ARMA(M,N). Señales y Sistemas 26

27 Bibliografía: Karl, Joh H. (1989), A itroductio to Digital Sigal Processig, Academic Press, Chapter Oe. Señales y Sistemas 27