Análisis de algoritmos

Transcripción

1 Tema 10: Algoritmos ávidos M. en C. Edgardo Adrián Franco Martínez edgardoadrianfrancom 1

2 Contenido Introducción Algoritmos ávidos Forma general de un algoritmo ávido Planteamiento de un algoritmo ávido Ejemplo Mínimo número de monedas 2

3 Introducción Los algoritmos ávidos o voraces (Greedy Algorithms) son algoritmos que toman decisiones de corto alcance, basadas en información inmediatamente disponible, sin importar consecuencias futuras. Suelen ser bastante simples y se emplean sobre todo para resolver problemas de optimización, como por ejemplo, encontrar la secuencia óptima para procesar un conjunto de tareas por un computador, hallar el camino mínimo de un grafo, etc. 3

4 Los algoritmos voraces también se caracterizan por la rapidez en que encuentran una solución (cuando la encuentran), la cual casi siempre no es la mejor. Normalmente son utilizados para resolver problemas en los que la velocidad de respuesta debe ser muy alta o en la que el árbol de decisiones de búsqueda es muy grande, no siendo posible analizar la totalidad de posibilidades. 4

5 La estrategia general de este tipo de algoritmos se basa en la construcción de una solución, la cual comienza sin elementos y cada vez que debe tomar algún tipo de decisión, lo hace con la información que tiene a primera mano, la cual de alguna manera le permita adicionar elementos y así avanzar hacia la solución total. Cada elemento o paso de la solución se adiciona al conjunto solución y así hasta llegar a la solución final o a un punto en el cual no puede seguir avanzando, lo cual indica que no encontró una solución al problema. 5

6 Habitualmente, los elementos que intervienen son: Un conjunto o lista de candidatos (tareas a procesar, vértices del grafo, etc.) Un conjunto de decisiones ya tomadas (candidatos ya escogidos). Una función que determina si un conjunto de candidatos es una solución al problema (aunque no tiene por qué ser la óptima). Para resolver el problema de optimización hay que encontrar un conjunto de candidatos que optimiza la función objetivo. Los algoritmos voraces proceden por pasos. 6

7 Algoritmos ávidos Un algoritmo voraz (también conocido como ávido, devorador o goloso) es aquel que, para resolver un determinado problema, sigue una heurística consistente en elegir la opción óptima en cada paso local con la esperanza de llegar a una solución general óptima. Este esquema algorítmico es el que menos dificultades plantea a la hora de diseñar y comprobar su funcionamiento. Normalmente se aplica a los problemas de optimización. 7

8 Dado un conjunto finito de entradas C, un algoritmo voraz devuelve un conjunto S (seleccionados) tal que S C y que además cumple con las restricciones del problema inicial. Cada conjunto S que satisfaga las restricciones se le suele denominar prometedor, y si este además logra que la función objetivo se minimice o maximice (según corresponda) diremos que S es una solución óptima. 8

9 Elementos de los que consta la técnica El conjunto C de candidatos, entradas del problema. Función solución, esta comprueba, en cada paso, si el subconjunto actual de candidatos elegidos forma una solución (no importa si es óptima o no lo es). Función de selección, informa de cuál es el elemento más prometedor para completar la solución. Éste no puede haber sido escogido con anterioridad. Cada elemento es considerado una sola vez. Luego, puede ser rechazado o aceptado y pertenecerá a C \ S. Función de factibilidad, informa si a partir de un conjunto se puede llegar a una solución. Lo aplicaremos al conjunto de seleccionados unido con el elemento más prometedor. Función objetivo, es aquella que queremos maximizar o minimizar, el núcleo del problema. 9

10 Forma general de un algoritmo ávido Función Ávido(C:conjunto):conjunto //C conjunto de candidatos S <= vacio //S conjunto en el que se construye la solución mientras solución(s) y C <> vacío hacer x <= el elemento de C que maximiza seleccionar(x) C <= C \ {x} si prometedor(s U {x}) entonces S <= S U {x} si solución(s) entonces devolver S si no devolver no hay solución Fin Ávido 10

11 Forma general de un algoritmo ávido Para identificar si un problema es susceptible de ser resuelto por un algoritmo ávido se definen una serie de elementos que han de estar presentes en el problema: Un conjunto de candidatos, que corresponden a las n entradas del problema. Una función de selección que en cada momento determine el candidato idóneo para formar la solución de entre los que aún no han sido seleccionados ni rechazados. 11

12 Una función que compruebe si un cierto subconjunto de candidatos es prometedor. Entendemos por prometedor que sea posible seguir añadiendo candidatos y encontrar una solución. Una función objetivo que determine el valor de la solución hallada. Es la función que queremos maximizar o minimizar. Una función que compruebe si un subconjunto de estas entradas es solución al problema, sea óptima o no. 12

13 Planteamiento de un algoritmo ávido Para resolver el problema, un algoritmo ávido tratará de encontrar un subconjunto de candidatos tales que, cumpliendo las restricciones del problema, constituya la solución óptima. Para ello trabajará por etapas, tomando en cada una de ellas la decisión que le parece la mejor, sin considerar las consecuencias futuras, y por tanto escogerá de entre todos los candidatos el que produce un óptimo local para esa etapa, suponiendo que será a su vez óptimo global para el problema. Antes de añadir un candidato a la solución que está construyendo comprobará si es prometedora al añadirlo. En caso afirmativo lo incluirá en ella y en caso contrario descartará este candidato para siempre y no volverá a considerarlo. Cada vez que se incluye un candidato comprobará si el conjunto obtenido es solución. 13

14 Ejemplo: Mínimo número de monedas Se pide crear un algoritmo que permita a una máquina expendedora devolver el cambio mediante el menor número de monedas posible. 1. Considerando que el número de monedas es ilimitado. 2. Considerando que el número de monedas es limitado, es decir, se tiene un número concreto de monedas de cada tipo. 14

15 Candidato: conjunto finito de monedas de, por ejemplo, 1, 5, 10 y 25 unidades, con un número de monedas ilimitado o limitado. Solución: conjunto de monedas cuya suma es la cantidad a pagar. Prometedor: la suma de las monedas escogidas en un momento dado no supera la cantidad a pagar. Función de selección: la moneda de mayor valor en el conjunto de candidatos aún no considerados. Función objetivo: número de monedas utilizadas en la solución. 15

16 La estrategia a seguir consiste en escoger sucesivamente las monedas de valor mayor que no superen la cantidad de cambio a devolver. El buen funcionamiento del algoritmo depende de los tipos de monedas presentes en la entrada. Así, por ejemplo, si no hay monedas de valor menor que diez, no se podrá devolver un cambio menor que diez. Además, la limitación del número de monedas también influye en la optimalidad del algoritmo, el cual devuelve buenas soluciones bajo determinados conjuntos de datos, pero no siempre. Denominación de Monedas Si hay que devolver la cantidad 110, se tomaría primero una moneda de 50, quedando una cantidad restante de 60. Como 50 es aún menor que 60, se tomaría otra moneda de 50. Ahora la cantidad restante es 10, por tanto ya tenemos que devolver una moneda de 5, ya que 50 y 25 son mayores que 10, y por tanto se desechan. La cantidad a devolver ahora es 5. Se tomaría otra moneda de 5, terminando así el problema de forma correcta. Solución: Devolver dos monedas de 50 y dos de 5. 16

17 Algoritmo ávido: Monedas ilimitadas fun cambio (monedas_valor[1..n] de nat, importe: nat) dev cambio[1..n] de nat m := 1; mientras (importe > 0) and (m <= n) hacer si (monedas_valor[m] <= importe) entonces monedas[m] := monedas[m] 1; cambio[m] := cambio[m] + 1; importe := importe monedas_valor[m]; si no m := m + 1; fsi fmientras si importe > 0 entonces devolver Error ; fsi ffun 17

18 Si consideramos además un numero de monedas de cada denominación no ilimitado deberemos ahora de considerar que sea posible tomar monedas de cada denominación para formar la solución Denominación de Monedas Monedas disponibles Si hay que devolver la cantidad 110 siguiendo el método del algoritmo voraz, se tomaría primero una moneda de 50, quedando una cantidad restante de 60. Como 50 es aún menor que 60, se tomaría otra moneda de 50. Ahora la cantidad restante es 10, por tanto ya tenemos que devolver una moneda de 5, ya que 50 y 25 son mayores que 10, y por tanto se desechan. La cantidad a devolver ahora es 5. Se tomaría otra moneda de 5, pero puesto que ya no nos queda ninguna, deberán devolverse 5 de valor 1, terminando así el problema de forma correcta. Solución: Devolver dos monedas de 50, una de 5 y cinco de 1. 18

19 Algoritmo ávido: Monedas limitadas fun cambio (monedas_valor[1..n] de nat, monedas[1..n] de nat, importe: nat) dev cambio[1..n] de nat m := 1; mientras (importe > 0) and (m <= n) hacer si (monedas_valor[m] <= importe) and (monedas[m] > 0) entonces monedas[m] := monedas[m] 1; cambio[m] := cambio[m] + 1; importe := importe monedas_valor[m]; si no m := m + 1; fsi fmientras si importe > 0 entonces devolver Error ; fsi ffun 19

20 Ejemplo: Algoritmos Greedy sobre grafos Árboles generadores minimales Problema Dado un grafo conexo G = (V, A) no dirigido y ponderado con pesos positivos, calcular un subgrafo conexo T G que conecte todos los vértices del grafo G y que la suma de los pesos de las aristas seleccionadas sea mínima. Solución Este subgrafo es necesariamente un árbol: árbol generador minimal o árbol de recubrimiento mínimo ( minimum spanning tree [MST]). 20

21 Aplicaciones Diseño de redes: redes telefónicas, eléctricas, hidráulicas, de ordenadores, de carreteras Construcción de redes de mínimo coste Refuerzo de líneas criticas Identificación de cuellos de botella Enrutamiento (evitar ciclos) Soluciones aproximadas para problemas NP. Algoritmos de agrupamiento (análisis de clúster) Algoritmos Greedy para resolver el problema: Algoritmo de Kruskal: Comenzando con T=, considerar las aristas en orden creciente de coste y añadir las aristas a T salvo que hacerlo suponga la creación de un ciclo. Algoritmo de Prim: Comenzando con un nodo raíz arbitrario s, hacer crecer el árbol T desde s hacia afuera. En cada paso, se añade al árbol T el nodo que tenga una arista de menor coste que lo conecte a otros nodos de T. Algoritmo de borrado inverso: Comenzando con T=A, considerar las aristas en orden decreciente de coste y eliminar las aristas de T salvo que eso desconectase T. 21

22 Ejemplo: Caminos mínimos Caminos mínimos Problema Dado un grafo G ponderado con pesos positivos, calcular el camino de menor peso existente entre un vértice s y otro vértice t. 22

23 Algoritmo de Dijkstra (1959) El algoritmo de Djikstra es un algoritmo muy único. Inicialmente, se utiliza un enfoque voraz para conseguir distancias iniciales a los nodos vecinos. Luego, en el siguiente paso, se comprueba si el valor calculado es el óptimo global a ese nodo o no. Si no, se comprueba todos los otros caminos y calcula la distancia óptima a ese nodo. Luego, basándose en los valores ya calculados de los nodos anteriores, se calcula el camino más corto para el nodo final. Por lo tanto, esto es una especie de un enfoque de programación dinámica. Así, Djikstra utiliza ambos enfoques y, por tanto, no puede ser completamente clasificada como "Greedy" o "DP". Es una mezcla de ambos y por lo tanto, es único. Siempre ha sido un tema debatido. Tal es la belleza del algoritmo. Dado un grafo G=(V,A) y un vértice s, encontrar el camino de costo mínimo para llegar desde s al resto de los vértices en el grafo. IDEA: Mantener el conjunto de nodos ya explorados para los cuales ya hemos determinado el camino más corto desde s 23