Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Integrales de Contorno. Departamento de Matemáticas. Intro. Suma. c f (z) dz.

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1 Integrales ontorno Integrales ontorno MA3002

2 Integrales ontorno En esta lectura veremos la integral contorno o la integral compleja ĺınea. Recuer la integral ĺınea en dos variables: F dr = f (x(t), y(t)) r (t) dt Datos: 1) función en dos variables f (x, y) 2) urva en el dominio (x(t), y(t))

3 Integrales ontorno Eligiendo una partición la curva: Se construye una pared s el plano xy hasta la altura la función usando como referencia ; el área es una aproximación la integral ĺınea f (x, y) a lo largo.

4 Integrales ontorno una función sobre una curva Sea f (z) = u(x, y) + v(x, y) i una función finida en todos los puntos una curva suave finida por x = x(t) y y = y(t) a t b. Divídase en n subarcos acuerdo con la partición a = t 0 < t 1 < < t n = b [a, b]. Los puntos correspondientes la curva son z 0 = x(t 0 ) + y(t 0 ) i, z 1 = x(t 1 ) + y(t 1 ) i,..., z n = x(t n ) + y(t n ) i. Sea z k = z k z k 1 k = 1, 2..., n. Sea P el valor máximo z k. Sea zk = x k + y k i un punto en cada subarco. Genérese la suma n f (zk ) z k k=1

5 Integrales ontorno y (1 r) z(t i ) + r z(t i+1 ), 0 r 1 z(t i+1 ) = x(t i+1 ) + y(t i+1 ) i z i un r en [0, 1] z(t i ) = x(t i ) + y(t i ) i O x

6 Integrales ontorno Integral ontorno Sea f (z) una función variable compleja finida sobre una curva suave dada por x = x(t) y y = y(t) a t b. La integral contorno f (z) a lo largo la curva es f (z) dz = lim P 0 k=1 n f (zk ) z k omo resultado matemático, tal ĺımite existe si f (z) es continua en y amás es suave o suave por tramos (Se dice que dada por z(t) = x(t) + y(t) i es suave si x(t) y y(t) tienen rivadas continuas a t b, o al menos es suave por tramos).

7 Integrales ontorno Ejemplo onsiremos la función f (z) = z 2 = f (x + y i) = (x 2 y 2 ) + 2 x y i y la curva métrica con ecuaciones x = x(t) = t y y = y(t) = t 2 s t o = 0 y hasta t f = 1. 1 y 1 O 1 x 1 Dividamos el intervalo l tiempo [0, 1] usando tres puntos t o = 0, t 1 = 0.5 y t 2 = 1.0. Estos tiempos corresponn a los puntos z o = z(t = 0) = x(t = 0) + y(t = 0) i = 0

8 Integrales ontorno Teorema Si f (z) es continua en una curva suave dada por z(t) = x(t) + y(t) i a t b, entonces f (z) dz = b a f (z(t)) z (t) dt

9 Integrales ontorno Propiedas Suponga que f (z) y g(z) son continuas en un dominio y es una curva suave que está en tal dominio. Entonces k f (z) dz = k f (z) dz (f (z) + g(z)) dz = f (z) dz + g(z) dz f (z) dz = f (z) dz + f (z) dz, si es la unión 1 2 las curvas suaves 1 y 2 contenidas en el dominio. f (z) dz = f (z) dz, don representa la curva con orientación opuesta.

10 Integrales ontorno Determine z2 dz, don está dada por x(t) = t y y(t) = t 2 0 t 2. Aquí f (z) = f (x + y i) = (x + y i) 2 = (x 2 y 2 ) + 2 x y i. En este caso la curva tiene como gráfica: y O x Tenemos que x (t) = 1 y y (t) = 2 t. Por tanto, z2 dz = 2 ( 0 t 2 t t t 2 i ) (1 + 2 t i) dt = 2 ( 0 t 2 5 t t 3 i 2 t 5 i ) dt = ( 1 3 t3 t 5 + t 4 i 1 3 t6 i ) t=2 t=0 = i

11 Integrales ontorno Determine z2 dz, don es la unión las curvas 1 y 2 como se ilustra en la figura. 2 1 y 1 O La metrización 1 es x(t) = t y y(t) = 0 0 t 1 (Aquí x (t) = 1 y y (t) = 0); y la 2 es x(t) = 1 y y(t) = t 0 t 1 (Aquí x (t) = 0 y y (t) = 1). Así f (z) dz = 1 f (z) dz + 2 f (z) dz = 1 0 (t + 0 i)2 (1 + 0 i) dt (1 + t i)2 (0 + 1 i) dt = ( 1 3 t3) t=1 t=0 + ( 1 3 (1 + t i)3) t=1 t=0 = ( i) = i x

12 Integrales ontorno Si f (z) = (1 i) z, calcule: f (z) dz = f (z) dz Don la curva cerrada es la unión las curvas 1, 2, 3 y 4 como se ilustran en la figura. En la misma, en cada punto las flechas en rojo representan una versión a magnitud 0.25 el valor f (z) en el punto don inicia la flecha. y O x 1

13 Integrales ontorno álculos Vemos que f (z) = (1 i)(x + y i) = (x + y) + (x y) i. 1 se metriza como x(t) = t y y(t) = 0 0 t 3. Así x (t) = 1 y y (t) = 0: 3 f (z) dz = ((t + 0) + (t 0) i) (1 + 0 i) dt = i 2 se metriza como x(t) = 3 y y(t) = t 0 t 3. Así x (t) = 0 y y (t) = 1: 3 f (z) dz = ((3 + t) + (3 t) i) (0 + 1 i) dt = i 3 se metriza como x(t) = 3 t y y = 1/3 x + 2 y así y(t) = 3 1/3 t 0 t 3. Así x (t) = 1 y y (t) = 1/3: 3 f (z) dz = (((3 t) + (3 1/3 t)) + ((3 t) (3 1/3 t)) i) ( 1 1/3 i) dt = 13 i se metriza como x(t) = 0 y y(t) = 2 t 0 t 2. Así x (t) = 0 y y (t) = 1: 2 f (z) dz = ((0 + (2 t)) + (0 (2 t)) i) (0 1 i) dt = 2 2 i 4 0

14 Integrales ontorno Para hacer este problema en la TI primeramente limpiaremos las variables con las que trabajaremos, finiremos la función, construiremos la variable z metrizada y finiremos el integrando. La gran ventaja esto es que cada vez que cambiemos las funciones x(t) y y(t) el integrando se actualizará y no requeriremos recapturarlo. abe cir: yeeesssss!

15 Integrales ontorno alculemos ahora la integral contorno sobre cada una las curvas. Para ello, primero finiremos las ecuaciones métricas x y y y posteriormente integraremos. Recuer que cada vez que se fina x(t) y y(t) el integrando se actualiza! Esto no hubiera sido posible si las variables no hubieran estado limpias antes construir en integrando. El valor la integral buscada es la suma las integrales calculadas.

16 Integrales ontorno Qué pue representar el producto dos complejos? onsire dos vectores en el plano u =< a, b, 0 > y v =< c, d, 0 >. Suponga que u se convierte en el complejo z 1 = a + b i y que v se convierte en z 2 = c + d i. Si hacemos z 1 z 2 obtenemos: Por otro lado z 1 z 2 = (a c + b d) + (a d b c) i u v = a c + b d y u v =< 0, 0, a d b c >

17 Integrales ontorno Si f (z) es un flujo en plano complejo, en la integral f (z) dz = f (z) dz a la parte real se le llama la circulación f (z) a través ; y a la parte imaginaria se le llama el flujo neto f (z) a través.

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