Simulación en seguros y finanzas Mtro. Víctor Hugo Ibarra Mercado

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1 Simulación en seguros y finanzas Mtro. Víctor Hugo Ibarra Mercado

2 La anterior, recuerdas? La normal y el movimiento browniano AHORA! EL MOVIMIENTO BROWNIANO y LAS OPCIONES

3 Si recuerdas la dinámica, denominada browniano geométrico, es la siguiente: ds t rs t dt S t dw En la que S t representa el precio del subyacente (por ejemplo el precio de una acción) en cualquier instante t. La tasa libre de riesgo r, para nosotros CETES 8. La volatilidad,, constante. Y W t, es un movimiento browniano estándar. t

4 Estás igual que yo? Entonces, revisa el marco teórico de Black y Scholes El original, para saber más: Black, F. y Scholes, M. (1973). The pricing of options & corporate liabilities enthe Journal of Political Economy. Vol.81, No. 3. (Mayo-Junio) p.p Hull, J. (011). Options, Futures, and Other Derivatives. EUA: Prentice Hall. Mikosch, T. (1998). Elementary Stochastic Calculus with finance in view. EUA: World Scientific. Luenberger, D. (013). Investment Science. EUA: Oxford Univesity Press.

5 Una gran ventaja es que esta EDE (ecuación diferencial estocástica) tiene solución analítica dada por: S t S 0 e 1 ( r ) t W t

6 Supón que t 1 < t, entonces ) 1 ( 0 W t t r t e S S y ) 1 ( 0 W t t r t e S S Si dividimos la segunda entre la primera y despejamos para el tiempo,

7 Se obtiene S t S t 1 e 1 ( r )( t t 1 ) ( W t W t 1 )

8 Esto nos permite simular la trayectoria de los precios de un subyacente si conocemos los parámetros: S 0, r,, y T Y nosotros decidimos un tamaño de paso t t 1

9 Es momento de hacer otra pausa, y revisar la forma como, en la actividad anterior, se simuló un browniano, en realidad, fue diferencia de brownianos

10 Contrato de compra (Call) El tenedor de este contrato tiene derecho a comprar 1000 acciones. El contrato sólo lo puede hacer efectivo dentro de un año. Cada acción la comprará en K=$110 (precio de ejercicio). Para tener este derecho, el día de hoy pagará la cantidad de $13,000.

11 Será justo? Me convendrá pagar esta cantidad? Qué hago? Si no compro y sube el precio Pero si compro y baja.!!??

12

13 10 Simulación de precios de una acción durante un año 100 Precio ($) Número de quincena S 0 = $100, K=$110, r = 4% anual, = 40% anual y T = 1 año. $109 Bajo este escenario, no conviene comprar el contrato call, pues pagaría $110 por algo que vale $109.

14 Precio ($) Simulación de precios de una acción durante un año Número de quincena S 0 = $100, K=$110, r = 4% anual, = 40% anual y T = 1 año. $158 Bajo este escenario, por supuesto que convendría tener el contrato call! Paga $110, por algo que vale $158.

15 10 Simulación de precios de una acción durante un año 100 Precio ($) Número de quincena $100 S 0 = $100, K=$110, r = 4% anual, = 40% anual y T = 1 año. Bajo este escenario, tampoco conviene comprar el contrato call. Pagaría $110 por algo que vale $100 en el mercado.

16 Qué hago?

17 El precio justo está dado por la expresión: rt E[ e ( S K) F ] T 0

18 La expresión anterior es la esperanza del pago al final de la vigencia del contrato traído a valor presente, si la información con que se cuenta es la que tenemos en el tiempo t=0. Es decir, a la hora de firmar y pagar el contrato.

19 La notación (S t K) +, significa máximo{ S t K, 0}.

20 Podemos utilizar el Método Monte Carlo para aproximar esta esperanza!

21 ACTIVIDAD El señor Billetes debe comprar dentro de un año 1000 acciones de la Siderúrgica, S. A. de C. V., el día de hoy se cotizan en $100 cada una. Él considera que tienen una tendencia a la alza, le ofrecen un contrato de compra, con precio de ejercicio de $107. Este precio, le parece bastante razonable y lo quiere asegurar, pero el contrato tiene una cláusula muy especial y se lo ofrecen en $8,000. Qué le sugerirías al señor Billetes? En realidad es un precio que le convenga? Por qué? Los detalles del contrato aparecen más adelante. Supón que la tasa libre de riesgo es 4% y la volatilidad 40%, ambas anuales.

22 Contrato de compra (Call) El tenedor de este contrato tiene derecho a comprar 1000 acciones de Siderúrgica, S.A. de C.V. El contrato sólo lo puede hacer efectivo dentro de un año. Cada acción la comprará en K=$107 (precio de ejercicio). Para tener este derecho, el día de hoy pagará la cantidad de $8,000. Si el precio de la acción de la Siderúrgica, en cualquier momento durante la vigencia del contrato rebasa el valor de $13, se pierde el derecho de la compra.

23 Si el derecho es a vender, el contrato se llama PUT. Aquí ya estamos trabajando en la llamada probabilidad de riesgo neutro (o neutral al riesgo).

24 Pseudoaleatorios Normales(0,1) Aunque entre paso y paso, hay más información que se aprendió, es para que visualices lo que hemos logrado. Opciones Opciones Opciones B r o w n i a n o

25 Y AHORA QUÉ SIGUE? OPCIONES Y?

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