OPERACIONES CON MATRICES

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1 Wlter Orlndo Gonles Ciedo TEM: OPERCIONES CON MTRICES Gonles Ciedo Wlter Orlndo CHICLYO PERÚ

2 Wlter Orlndo Gonles Ciedo CPÍTULO I MTRICES. Introduión Un empresrio tiene tres máquins que son empleds en l friión de utro produtos diferentes. El número de hors que d máquin es usd en l produión de un unidd de d uno de los utro produtos está ddo por: Prod Prod Prod Prod Mq Mq Mq sí, por ejemplo, en l produión de un unidd del produto l mquinri se us hor l máquin se us hors. este rreglo de l informión en fils olumns se le denomin mtri pr designrls se utilin letrs músuls (,, C, ). Si l rreglo nterior le llmmos mtri, tendrímos: Siendo un mtri de fils (horiontles) olumns (vertiles). Ls mtries preen por primer ve hi el ño, introduids por J.J. Slvester El desrrollo iniil de l teorí se dee l mtemátio W.R. Hmilton en En,. Cle introdue l notión mtriil omo un form revid de esriir un sistem de m euiones lineles on n inógnits. Ls mtries se utilin en el álulo numério, en l resoluión de sistems de euiones lineles, de ls euiones difereniles de ls derivds priles. demás de su utilidd pr el estudio de sistems de euiones lineles, ls mtries preen de form nturl en geometrí, estdísti, eonomí, informáti, físi, et...

3 Wlter Orlndo Gonles Ciedo L utiliión de mtries (rrs) onstitue tulmente un prte esenil de los lengujes de progrmión, que l morí de los dtos se introduen en los ordendores omo tls orgnids en fils olumns: hojs de álulo, ses de dtos, et.... Definiión: Un mtri es un rreglo retngulr de números en fils olumns, enerrdos entre orhetes o préntesis.. Orden de un Mtri: Dd un mtri se denomin orden de l mtri l produto indido del número de fils por el número de olumns. Considerndo l mtri nterior est serí de orden ( fils por olumns).. Mtri udrd: Se llm sí l mtri que tiene el mismo número de fils olumns. sí, es un mtri udrd de orden o simplemente diremos que tiene orden.. Elementos de un mtri: De mner generl un elemento ulquier de l mtri se represent medinte l notión ij donde los suíndies i, j nos indi l fil l olumn donde está uido el elemento en uestión. sí el elemento de l fil olumn de l mtri, serí: De igul mner, se tiene que Cuál será el elemento uido en l fil olumn de l mtri?. Form generl de un mtri: Generlindo l notión de un mtri de orden m n será: m m m n n n mn Considerándose el elemento genério ij est representión se podrí revir sí:

4 Wlter Orlndo Gonles Ciedo ( ) ij m n si el número de fils olumns está sorentendido o no tiene importni se esrie simplemente ( ). ij. iguldd de mtries: Dos mtries son igules si tienen el mismo orden los - elementos orrespondientes igules. Por ejemplo, ls mtries - / - son igules, pues: - / ) Son de igul orden ) Sus elementos orrespondientes son igules: / Ejeriio: Sen ls mtries Eplique su respuest / - /. Es? Soluión: Ls mtries no son igules, pues unque tienen el mismo orden no todos sus elementos orrespondientes son igules, por ejemplo,.. lgunos tipos de mtries H lguns mtries que preen freuentemente que según su form o sus elementos reien nomres diferentes:.. Mtri trnspuest Dd un mtri, se llm trnspuest de l mtri que se otiene mindo t ordendmente ls fils por ls olumns. Se represent por. Ejemplo. Se ), entones t ), entones t

5 Wlter Orlndo Gonles Ciedo.. Mtri nul. Si todos sus elementos son ero. Tmién se denomin mtri ero se denot por. m n Por ejemplo, l mtri serí l mtri:.. Mtri identidd. Es un mtri udrd que tiene todos sus elementos nulos eepto los de l digonl prinipl que son igules. Tmién se le denomin mtri unidd normlmente se le represent por l letr I, sí tenemos que l mtri identidd de orden se esrie de l siguiente form:.. Mtri eslr. I Es un mtri udrd que tiene todos sus elementos nulos eepto los de l digonl prinipl que son igules. Por ejemplo, l siguiente mtri es un mtri eslr:.. Mtri tringulr superior. En un mtri tringulr superior los elementos situdos por dejo de l digonl prinipl son eros. Son de l form: n n... mn ij si i j Ejemplo.

6 Wlter Orlndo Gonles Ciedo.. Mtri tringulr inferior. En un mtri tringulr inferior los elementos situdos por enim de l digonl prinipl son eros. Son de l form:... m... m mn ij si i j Ejemplo: CPÍTULO II OPERCIONES CON MTRICES.. Introduión. Ls mtries preen por primer ve hi el ño, introduids por J.J. Slvester. El desrrollo iniil de l teorí de mtries se dee l mtemátio W.R. Hmilton en. En,. Cle introdue l notión mtriil omo un form revid de esriir un sistem de m euiones lineles on n inógnits. Ls mtries se utilin en el álulo numério, en l resoluión de sistems de euiones lineles, de ls euiones difereniles de ls derivds priles. demás de su utilidd pr el estudio de sistems de euiones lineles, ls mtries preen de form nturl en geometrí, estdísti, eonomí, informáti, físi, dministrión, en l teorí de ls omuniiones, et... L utiliión de mtries (rrs) onstitue tulmente un prte esenil de los lengujes de progrmión, que l morí de los dtos se introduen en los ordendores omo tls orgnids en fils olumns: hojs de álulo, ses de dtos... Multipliión de un mtri por un eslr: Se un eslr ( ) un mtri de orden m n. El produto del eslr por l mtri (denotdo omo ) es l mtri que se otiene l multiplir d uno de los elementos de por el eslr. Ejemplo: Se l mtri: - Entones el produto de l mtri por el eslr será: ij

7 Wlter Orlndo Gonles Ciedo -.. diión de mtries: Sen ( ) ( ) dos mtries de orden m n. Entones l sum de, ij ij denotd omo, es l mtri de orden m n que se otiene l sumr los elementos orrespondientes de. Ejemplo Clulr l mtri C+, si Soluión: - - C C - - C Not: L sum de dos mtries es posile sólo si ms mtries tienen el mismo orden. Por ejemplo, no es posile sumr ls mtries que no tienen el mismo orden. Ejemplo. Se;. Clulr + -. Soluión:

8 Wlter Orlndo Gonles Ciedo + Ejemplo. Si Qué vlor tom +; si l mtri, + es un mtri nul? Soluión: + +. De donde: Soluionndo el sistem nterior, se otiene:, ; por lo que: +. Ejemplo. Dds mtries ; hllr: p q D r s de mner que + D t u Soluión:

9 Wlter Orlndo Gonles Ciedo + D + - u t s r q p u t s r q p v t s r q p De l definiión de mtries igules, se tiene: v t s r q p de donde: v t s r q p. En onseueni: D Ejemplo Prátio. (Mtri de Costos de Suministros) Un ontrtist lul que los Costos en dólres) de dquirir trnsportr uniddes determinds de onreto, mder ero desde tres diferentes loliddes están ddos por ls siguientes Tls. Tl. Lolidd Conreto Mder ero Costos de mteril Costos de trnsporte Tl. Lolidd Conreto Mder ero Costos de mteril

10 Costos trnsporte de Wlter Orlndo Gonles Ciedo Tl. Lolidd C Conreto Mder ero Costos de mteril Costos de trnsporte. Determinr ls mtries de Costos de Suministros de ls loliddes, C.. Esri l mtri que represent los Costos Totles de mteril de trnsporte por uniddes de onreto, mder ero desde d un de ls tres loliddes. Soluión:.- Mtri de Costos de Suministros de l lolidd. Mtri de Costos de Suministros de l lolidd. Mtri de Costos de Suministros de l lolidd C. C. L mtri que represent los Costos Totles es l mtri sum + + C. + + C Propieddes de l sum de mtries.

11 Wlter Orlndo Gonles Ciedo Sen, C mtries del mismo orden umplen ls siguientes propieddes: un eslr ulquier. Entones se ) (Propiedd onmuttiv de l diión mtriil) ) ( C) ( ) C (Propiedd soitiv de l diión mtriil) ) ( ) (Propiedd distriutiv de l diión por un eslr).. Produto de dos mtries. Sen ( ij) m n ( ij) n r, el produto es otr mtri C ( ij) m r donde el elemento ij se otiene plindo l siguiente fórmul: donde ij i j i j i, i, in son los elementos de l fil i de l mtri los j, j,, nj son los elementos de l olumn j de l mtri in nj i m i m n n in mn n n j j nj r r nr i m i m j j ij mj r r ir mr Un proedimiento meánio pr lulr ij onsiste en usr un dedo de l mno iquierd pr señlr los elementos de l fil i de usr un dedo de l mno dereh pr reorrer los orrespondientes elementos de l j ésim olumn de, sí lulr l sum de los produtos medid que se vn por l fil i de l olumn j de. Ejemplo: Sen, hllr l mtri produto C si, Soluión: C

12 donde ª fil de por ª olumn de ª fil de por ª olumn de ª fil de por ª olumn de Wlter Orlndo Gonles Ciedo nuestr mtri produto v quedndo sí: C Luego, pr otener los elementos de l ª fil de l mtri C, se trj l ª fil de on d un de ls olumns de, es deir: ª fil de ª olumn de C Luego sigue ª fil de por ª olumn de ª fil de por ª olumn de sí hst otener todos los elementos de l mtri produto C: C Not: Dds dos mtries, el produto sólo se puede efetur si el número de olumns de es igul l número de fils de. En este so se die que ls mtries son onformes pr l multipliión.

13 Ejemplo : Si. Clulr Wlter Orlndo Gonles Ciedo Soluión: Verifimos que el número de olumns de l mtri es igul l número de fils de l mtri, luego, ls mtries son onformes pr l multipliión, entones Ejemplo. Sen ls mtries Soluión:... Clulr. Ejemplo. Si ( ) ; lulr el produto.

14 Wlter Orlndo Gonles Ciedo Resoluión... ( ) ( () )() () ( ( ) )( ) ( ) () ( )() ().. Propieddes del produto de mtries Sen ( ) un mtri de orden n m, ( ) un mtri de m p C ( ) ij un mtri de p q, entones se umplen ls siguientes propieddes: ) (C) ()C (Propiedd soitiv ) ) ( C) C (Propiedd distriutiv) ) ( )C C C (Propiedd distriutiv) ij ij Ejemplo. Sen ls mtries ompruee que. es diferente.. ( ). Clulr.. Soluión:. ( ). ( ) ( ) ( ) Conlusión. Ls mtries.. no son igules; primero porque tiene diferente orden segundo porque no tienen elementos igules.

15 Wlter Orlndo Gonles Ciedo Ejemplo. Sen ls mtries Compruee que. ; on lo que se oservrí que., no impli que, o. Soluión:. )() ( )() ( )() ( ) ( )() ( )() ( )() ( )() ( )() ( )() ( )() ( )() (. ; sin emrgo,. Ejemplo. Dds ls mtries:,, C Compruee que..c; pero C. Soluión:.

16 Wlter Orlndo Gonles Ciedo.C.. pliiones de l multipliión de mtries nálisis de preios de omestiles. Supong que se quiere omprr el osto totl de iertos omestiles. L siguiente tl que puede ser vist omo un mtri, d el osto en soles de un kilo de d uno do los produtos en tres supermerdos. Crne pn pps mnns fé Supermerdo Supermerdo Supermerdo Si se omprn kilos de rne, kilos de pn, kilos de pps, kilos de mnns kilos de fé, podremos representr ls ntiddes omprds por l mtri El osto totl está ddo por el produto Vemos que el osto totl en el supermerdo es S/.. más jo que en el supermerdo S/.. menor que en el supermerdo. unque este prolem se puede resolver sin mtries, ests rindn un form onveniente resumid de enunir resolver el prolem.

17 Wlter Orlndo Gonles Ciedo Interés ompuesto nulmente. Supóngse que queremos lulr l ntidd de dinero que se tiene l o de n ños si invertimos $ un interés ompuesto nul del,, %. Si olomos $P durnte un ño un interés r, entones el vlor que se otiene l finl del ño es: El produto: Cpitl. finl. P. d l ntidd que se tiene l invertir US$ por un ño los intereses de, % respetivmente. En generl, el monto l finl de n ños está ddo por n. El proeso de lulr, progrmrse en un omputdor. rp n ( rp) (),, es un proeso itertivo que puede Ejemplo Prátio. (Comerio Internionl) El Comerio entre tres píses I, II III durnte (en millones de dólres Estdounidenses) está ddo por l mtri ( ij ) ; en donde el elemento ij represent ls eportiones del pís i hi el pís j. El omerio entre estos tres mismos píses durnte el ño (en millones de dólres estdounidenses) está ddo por l mtri. Soluión:. Eplique el signifido de los de ls mtries.. Esri un mtri que represente el Comerio Totl entre los píses en el período de los ños,.. Si en, dólr estdounidense equivlí dólres de Hong Kong, esri l mtri que represent el omerio totl durnte los ños en dólres de Hong Kong.. Los de l mtri, orresponden los elementos:,. uos signifidos son: signifi; eportión del pís I hi el pís I (surdo, ningún pís eport hi su mismo pís), de igul mner pr los elementos. nálog epliión mereen los elementos de l mtri.. L mtri que represent el Comerio Internionl totl en los ños, es l mtri sum +.

18 Wlter Orlndo Gonles Ciedo + +. L mtri que represent el Comerio totl durnte los dos ños en dólres Hong Kong, es l mtri.( + )..( + ). () () () () () () Ejemplo Prátio. (Gsto en omprs) L señor Pepit h relido omprs en el merdo Modelo de Chilo, ls ules se detlln en l siguiente tl. Tl. Produtos Cntidd Costo por unidd en soles Nrnjs Kgrs., rro Kgrs., Lehe trros, Pollo Kgrs., Soluión:. Esri ls ntiddes en un mtri de orden.. Esri los Costos de ls uniddes en un mtri de orden.. Compruee que el gsto relido por l señor Pepit es el produto de ls mtries;, uo orden es.. L mtri de ls ntiddes es l mtri, ( )

19 Wlter Orlndo Gonles Ciedo. L mtri de los Costos de ls uniddes, es l mtri,,,,,. El gsto relido por l señor Pepit será el produto de l mtri por l mtri. Vemos:,. ( ),,, (,,,,) (,) El gsto efetudo por l señor Pepit es S/., utoevluión I. Responde on V o F, según se el so. ( ) Pr sumr dos mtries, ests deen tener el mismo orden. ( ) L sum de mtries es onmuttiv. ( ) L sum de mtries es soitiv. ( ) Pr multiplir dos mtries, el número de olumns de l primer mtri (), dee ser igul l número de fils de l segund mtri (). ( ) L multipliión de mtries es soitiv. ( ) Si,., entones, ó. ( ) L multipliión de mtries es onmuttiv. ( ) En mtries siempre se umple: Si,..C, entones C. II. Efetú ls operiones que se indin ontinuión

20 Wlter Orlndo Gonles Ciedo III. Clulr el vlor de ls vriles, pr que ls igulddes se umpln. t v.. w u.. u v w t w v.. w v u v u v.. v u w t IV. (Mtries de Produión) Un empres produe tres tmños de ints mgnetofónis en dos liddes diferentes. L produión (en miles de ints) en su plnt de Chilpito está dd por l siguiente tl. Tl Nº Tmño Tmño Tmño Clidd Clidd

21 Wlter Orlndo Gonles Ciedo L produión (en miles de ints) en su plnt uid en l rreter Lmeque, está dd por l siguiente tl. Tmño Tmño Tmño Clidd Clidd. Determine ls mtries de produión de ints mgnetofónis pr d un de ls plnts de est empres.. Esri un mtri que represente l produión totl de ints en ms plnts.. El dueño de l empres plne rir un terer plnt en l iudd de Piur, l ul tendrí un ve medi l pidd de l plnt de l que está uid en l rreter Lmeque. Esri l mtri que representrí l produión de est nuev plnt. d. Cuál será l produión totl de ls tres plnts? V. (Mtries de produión) Un frinte de ptos, los produe en olor negro, lno fé, pr niños, dms lleros. L pidd de produión (en miles de pres) en l plnt de El Porvenir, está dd por l siguiente tl. Homres Mujeres Niños Negro Gris Cfé L produión en l plnt de Río Seo, está dd por l siguiente tl. Homres Mujeres Niños Negro Gris Cfé. Determine ls mtries de produión pr d un de ls plnts.. Clule l mtri de produión totl de ls dos plnts.. Si l produión de El Porvenir se inrement en un % l de Río seo en un %, Cuál es l mtri de produión de l nuev produión totl? VI. (Eologí) En un eosistem, ierts espeies proveen de omid otrs. El elemento C ij de l mtri de onsumo es igul l número de uniddes de l espeie j onsumids dirimente por un individuo de l espeie i. Constru l mtri C (C ij ) pr el siguiente eosistem simple que onsiste en tres espeies.. Cd espeie onsume en promedio unidd de d un de ls otrs espeies.. L espeie onsume un unidd de l espeie ; l espeie onsume ½ unidd de d un de ls espeies ; l espeie onsume uniddes de l espeie.. L espeie onsume uniddes de l espeie ; l espeie onsume unidd de l espeie ; l espeie no onsume de ningun de ls otrs espeies.

22 Wlter Orlndo Gonles Ciedo VII. Si es un mtri de orden, es de orden ; C es de orden D es de orden ; lule los órdenes de los siguientes produtos de mtries C....D.. C..D.. C.. VIII. Relir ls operiones que ontinuión se indin... ) (.. ) ( IX. Esri un mtri de orden, lule: +..I, donde I. X. Esri un mtri de orden, lule: -. +.I, donde I. XI. Esri un mtri de orden, ompruee si: +. + ( + ). XII. Esri un mtri de orden, ompruee si: - ( + ).( ).

23 Wlter Orlndo Gonles Ciedo XIII. Sen ls mtries; p q,. Clulr p q pr que: ) (+) ) - ( + ).( ) Ejeriios Propuestos ) Si ls mtries son igules determine e. ) ) ) Sen - ; -. Clulr ) +, ) - ) Sen ls mtries:, - -, I Hlle ls mtries ) + ) - ) ++I ) Sen ls mtries, C Compror que: ) ++ ) +(+C)(+)+C ) Si - - Clule. De uerdo l resultdo que se puede deir del produto de mtries on respeto l le onmuttiv? ) Sen - - produto? Eplique su respuest Clule. Está definido el ) Efetúe el álulo que se indi:

24 Wlter Orlndo Gonles Ciedo ) ) ) - ) Hlle un mtri tl que d ) Verifique l le soitiv de l multipliión on ls mtries: -, - - ) L siguiente tl d el osto en entvos de un lt de vegetles en tres diferentes supermerdos. C - lverjs fríjol mí Supermerdo Supermerdo Supermerdo Si un omprdor ompr lts de lverjs, de fríjol de mí enuentre el osto totl en d uno de los supermerdos por medio de multipliión de mtries. ) rri, en el ejemplo de interés ompuesto nulmente enuentre el monto l finl del terero urto ño de un inversión de $ l interés de,, %, respetivmente. Respuest los ejeriios propuestos : ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). Como se puede oservr, por tnto l - multipliión de mtries no es onmuttiv. - ), el produto no está definido pues el número de olumns de no es igul l número de fils de.

25 Wlter Orlndo Gonles Ciedo ),,, d ) ( )C (C ) ) Los ostos en d uno de los supermerdos son los siguientes: Supermerdo :. Supermerdo :. Supermerdo :. ) ) monto l finl del terer ño: ) monto l finl del urto ño: CPÍTULO III DETERMINNTES E INVERS DE UN MTRIZ. Determinnte de un mtri El determinnte es un funión que plid un mtri udrd sign est un vlor numério. Dd un mtri udrd su determinnte se denot omo: se lee determinnte de. det() ó - Por ejemplo: ) Se det(), esto es, el determinnte de l mtri es igul. es igul -. ) Se -, esto es, el determinnte de l mtri - Como se puede ver en los ejemplos nteriores el determinnte de un mtri es un vlor numério únio soido es mtri.

26 Wlter Orlndo Gonles Ciedo.. Determinnte de un mtri de orden Se l mtri, entones: Ejemplo: Clulr el determinnte de Soluión. -. Luego, det(). Not: Oserve l difereni de ls notiones, pr denotr l mtri se emplen orhetes o préntesis; mientrs que pr denotr su determinnte se emplen rrs... Determinnte de un mtri de orden Se l mtri, entones Ejemplo. Se -, lule. - Soluión. ( ) (-- ) - ( - ) - ( ) Luego:.

27 Wlter Orlndo Gonles Ciedo ontinuión se muestr un rtifiio pr evlur determinntes de mtries de orden º Sumr los produtos indidos por ls flehs que se iniin on írulos lnos (flehs desendentes) º Restr los produtos indidos por ls flehs que se iniin on írulos negros. Ejemplo. Hlle el determinnte de Soluión. De uerdo l rtifiio - usndo el rtifiio. - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luego,. Determinnte de un mtri de orden n ntes de psr definir los determinntes de orden los oneptos de menores oftores de un mtri... Menor omplementrio Considérese l mtri de orden n n es neesrio estudir l mtri udrd se orden que se otiene de eliminr l fil l olumn de se le llm menor del elemento se denot omo M, sí M de igul form se otienen los menores omplementrios orrespondientes los elementos M, M Osérvese que M se otiene l eliminr l ª fil l ª olumn de l mtri que M se otiene eliminndo l ª fil ª olumn de.

28 Wlter Orlndo Gonles Ciedo Definiión. Sen un mtri de orden n n M ij l mtri de orden (n-) otenid l eliminr de su i ésim fil j ésim olumn. M ij se le llmrá menor del elemento ij de l mtri... Coftores El oftor del elemento ij de l mtri, el ul se denot por ij se define omo ij ( ) i j M ij es deir, el oftor del elemento ij de l mtri se otiene lulndo el i j determinnte de M ij multipliándolo por ( ). Osérvese que ij es positivo si i j es pr es negtivo en so ontrrio. Ejemplo. Clulr, de l mtri del ejemplo nterior. Soluión ( ) - ( ) (-) -. Cálulo de determinntes por oftores. El determinnte de un mtri es igul l sum de los produtos otenidos de multiplir los elementos de ulquier fil por sus respetivos oftores. Es deir, det() i i ii ii inin l epresión que pree l ldo dereho del signo igul se le llm desrrollo medinte oftores. Ejemplo. Clulr el determinnte por epnsión lo lrgo de l primer fil de Soluión. - - (-) M (-) M (-) M ( )

29 Wlter Orlndo Gonles Ciedo (-) (-) (-) Ejemplo. Clule el determinnte de l mtri, si - Soluión: Desrrollndo lo lrgo de l ª fil, - - () () Osérvese que l seleionr fils on el mor número de eros se horr trjo que h que lulr menos determinntes.. Inverss Determinntes.. Mtri invers Se un mtri udrd, se define l mtri invers de l denotmos por l mtri udrd del mismo orden tl que - I. - Ejemplo. Se umple que - se , entones se

30 Wlter Orlndo Gonles Ciedo Es deir: - I Donde: I es l mtri identidd de orden. Un mtri udrd tiene invers, es deir es invertile, sí sólo sí su determinnte es diferente de ero. Es deir, si un mtri udrd es invertile, entones det(). ntes de emper lulr inverss medinte determinntes, es neesrio definir l djunt de un mtri... djunt de un mtri. Se un mtri udrd de orden n se l mtri de oftores de, entones n n n n nn (Reuérdese que un oftor es un número.) Se llm djunt de l mtri, se denot por de oftores ; es deir dj t n n dj, l trnspuest de su mtri (Reuérdese que l mtri trnspuest de se otiene intermindo tods ls fils por ls olumns). n n nn Ejemplo. Clule l djunt de l mtri - Soluión:

31 Por tnto, l mtri de oftores será: Wlter Orlndo Gonles Ciedo trnsponiendo, se otiene l djunt de l mtri : dj.. Cálulo de l invers de un mtri t Método de djuntos: Se un mtri invertile, entones l mtri invers Ejemplo. - dj det() - está dd por: Se -, determine si es invertile lule su invers, si eiste. Soluión: Como, es deir su determinnte es diferente de ero, entones es invertile. Del ejemplo nterior, se tiene que l mtri de oftores es igul : de donde: / / / / / / Comproión, se dee umplir que - I, en efeto:

32 Wlter Orlndo Gonles Ciedo / / / - / / / I Método de Guss: Este método onsiste en relir operiones elementles, es deir: n I n OE I n Vemos un ejemplo. Ejemplo: Clulr l invers de Soluión: Lo hremos primero por el método lásio o método de djuntos, el que viene indido por l definiión: l trspuest de l djunt dividid por el determinnte. Primero, lulmos el determinnte; si el determinnte es nulo, no eiste mtri invers; si no es nulo, seguimos: Clulmos hor l mtri djunt, sustituendo d elemento por su djunto; lulmos primero los djuntos: ( ) ( ) ( ) ( ) Luego: formmos l mtri djunt: d Y finlmente hemos l invers, trsponiendo l mtri djunt dividid por el determinnte: d t hor lo hemos por el método de Guss:

33 Wlter Orlndo Gonles Ciedo Tenemos: Es onveniente, se hg por el método que se hg, ompror l invers (multiplid por l diret tiene que dr l identidd). Es deir: Entones:. I n utoevluión I. Responde on V o F, según se el so. ( ) El determinnte de un mtri udrd es un número. ( ) El número de oftores o djuntos de un mtri de orden n, es igul n. ( ) Un mtri udrd tiene invers sólo undo su determinnte es igul. ( ) Si es un mtri udrd que posee invers entones se umple l ondiión siguiente: - Identidd. ( ) L mtri no tiene invers; porque su determinnte es igul. ( ) El elemento se ui en l segund olumn en l terer fil. ( ) Si un mtri tiene fils olumns, entones tiene oftores. ij II. Determinr los vlores de los siguientes determinntes

34 Wlter Orlndo Gonles Ciedo III. Clulr ls inverss de ls siguientes mtries, si ls tuviern IV. Responde on V o F, según se el so.

35 Wlter Orlndo Gonles Ciedo ( ) Un mtri de orden mn, tiene m fils n olumns. ( ) El elemento ij se enuentr uido en l olumn i en l fil j. ( ) L mtri es de orden. ( ) Si l mtri vlor de es son igules, entones el ( ) Un mtri de orden nn se llm udrd. ( ) L mtri nul es quell que tiene m.n elementos diferentes de. ( ) Si,, D son del mismo orden, entones siempre es posile determinr un mtri D, tl que : + D. V. Determin l mtri ( ij) ; uos elementos ij ; ; undo i j undo i j. VI. VII. us un ejemplo de dos mtries de orden que poseen invers; pero su sum: + no pose. Efetú ls siguientes operiones indids VIII. Si,, nli si se umple l difereni de udrdos. Es deir: ( )( + ) ; donde:.. XI. Si,, verifi que se umple: ()

36 Wlter Orlndo Gonles Ciedo XI. Determinr l mtri de los djuntos de ls siguientes mtries XII. Clulr ls mtries inverss de ls mtries del ejeriio XI nterior. XIII. (Vlorión de Inventrios) Un omerinte de televisores olor tiene televisores de pulgds, de, de de. Los televisores de pulgds se venden en US$ d uno, los de en US$ d uno, los de en US$ d uno los de se venden en US$ d uno. Eprese el preio de vent totl de su eisteni de televisores omo el produto de mtries.. Mtries sistems de euiones lineles. Sistem de euiones on dos vriles Considérese el siguiente sistem de dos euiones lineles: l representión mtriil de este sistem es X donde:, es l mtri de oefiientes

37 Wlter Orlndo Gonles Ciedo X, es l mtri de ls vriles, es l mtri de ls onstntes. Si det(), entones, el vlor de l vrile se otiene sí: s Osérvese que (determinnte on respeto ) se otiene reemplndo l primer olumn de l mtri por l mtri, sistem. s det() es el determinnte del Pr lulr el vlor de l vrile se otiene primero el determinnte on respeto ( ) remplndo l segund olumn de l mtri de oefiientes por l mtri. Luego se divide este determinnte entre el determinnte del sistem: s Ejemplo: Resolver el sistem Soluión: L representión mtriil del sistem es: Entones:

38 Wlter Orlndo Gonles Ciedo Luego,,.. Sistem de euiones on tres vriles Consideremos el siguiente sistem de tres euiones lineles on tres inógnits: Este sistem se esrie en form mtriil omo sigue: de donde:, s s s Luego,,. Oserve que,, se otienen reemplndo suesivmente l ª, ª ª olumn de l mtri de oefiientes por l mtri de ls onstntes:

39 ) Clule el determinnte que se indi Ejeriios Propuestos Wlter Orlndo Gonles Ciedo ) ) ) d) e) f) ) Clule los siguientes determinntes de un mtri de orden. ) ) ) d) e) ) Un mtri udrd en l ul tods ls omponentes que están por enim de l digonl prinipl son eros se llm mtri tringulr inferior. ) Demuestre que el determinnte de l mtri tringulr inferior orden es el produto de los elementos de su digonl prinipl. ) plique el resultdo nterior pr lulr el determinnte de l mtri tringulr inferior d e f de ) Un mtri udrd en l ul todos los elementos que quedn por dejo de l digonl prinipl son eros se llm mtri tringulr superior. ) Muestre que el determinnte de un mtri de un mtri tringulr superior d e de orden es el produto de los elementos de su digonl prinipl. f ) plindo el resultdo de l prte ), enuentre el determinnte de l mtri tringulr superior

40 Wlter Orlndo Gonles Ciedo ) Clule los determinntes de ls siguientes mtries, plindo desrrollo medinte oftores. (Reuerde que lo más reomendle es trjr on l fil que onteng l mor ntidd posile de eros) ) ) ) C d) - - D ) En los prolems que siguen determine si l mtri dd es invertile. En so firmtivo lule l invers. ) ) ) d) e) ) Pr qué vlores de l mtri no es invertile? ) Qué vlores de hen que l mtri no teng invers? ) En los prolems siguientes eprese el sistem en l form X. ) )

41 Wlter Orlndo Gonles Ciedo ) d) ) En los prolems siguientes resuelv el sistem usndo determinntes ) ) ) d) e) f) f) g) Respuest los ejeriios propuestos. ) ) ) - e) - ) ) ) e) ) ) ) ) ) ) ) - ) d) - ) ).... ) no es invertile ) d) no es invertile e) ) Pr ) No eiste invers si es ulquier número rel.

42 Wlter Orlndo Gonles Ciedo iliogrfí Espino Rmos. ( ). Vetores Mtries. Editoril Serviios Gráfios JJ. Perú. Frnis G. Flore. ( ). Fundmentos de lger Linel pliiones. Editoril Prentie Hll. Méio. Frnk res. ( ). Mtries Determinntes. Editoril M - Grw - Hill. Méio. Howrd. ( ). Introduión l Álger Linel. Editoril Limus. Méio. Honh f. ( ). Álger de Mtries. Editoril Trills. Méio. Kurosh. G. (). lger Superior. Editoril Mir. Mosú. Mltsev. I. (). Fundmentos de lger Linel. Editoril Mir. Mosú. Sl R. Césr. Mtries. Editoril Góme. Perú. Stnle I. Grossmn. ( ). lger Linel. Editoril M - Grw Hill. Méio.