ÁLGEBRA VECTORIAL MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES:

Transcripción

1 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES: Una magnitud es escalar cuando el conjunto de sus valores se puede poner en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los números reales o una parte del mismo. Ejemplos: masa, longitud, tiempo, densidad, volumen (se representan como segmentos sobre una misma recta) 1

2 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES: Una magnitud es vectorial cuando el conjunto de sus valores se puede poner en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los segmentos orientados que parten del mismo origen Ejemplos: velocidad, fuerza, aceleración, cantidad de movimiento, intensidad de una corriente. 2

3 VECTORES: Vector es todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determina se llama ORIGEN y el segundo, EXTREMO del vector. La recta que contiene al vector determina la DIRECCIÓN y la orientación sobre la recta, definida por origen y extremo, determina el SENTIDO. 3

4 VECTORES: MÓDULO: Es la longitud del segmento orientado que define el vector. VECTOR NULO: Es el que tiene módulo cero, su dirección y sentido no están definidos, coincide su origen con su extremo y se representa con un punto. 4

5 VECTORES: IGUALDAD DE VECTORES: Dos vectores son iguales o equipolentes cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. 5

6 PROPIEDADES: La igualdad de vectores es una relación de equivalencia, pues cumple que es: Reflexiva Simétrica Transitiva De esta manera cada vector y todos sus equipolentes tendrán un solo representante como vector de origen O. 6

7 VECTORES EN R 2 Consideremos el espacio de dimensión 2 siendo R 1, R 2, O, P R 2 y R 1 R 2 vector, entonces: Se llaman componentes de un vector a la proyección de R 1 R 2 vector sobre cada uno de sus ejes, o sea x 1 e y 1. v = OP=(x 1,y 1 ) Ejemplo: Determinar R 1 R 2 vector, siendo los puntos de R 2 : R 1 =(3,4) y R 2 =(6,5) (1-1 VectorAB.ggb) 7

8 VECTORES EN R 2 MÓDULO DE OP : ÁNGULOS DIRECTORES: Ángulos que forma el vector con el semieje positivo de x y el semieje positivo de y. Están comprendidos entre 0º y 180º Cosenos directores: Son los cosenos de los ángulos directores: Propiedad: (Demostrarla) 8

9 VECTORES EN R 2 SUMA DE VECTORES EN R 2 : PROPIEDADES:(1-1-2 suma.ggb) Ley de cierre: Asociativa: Conmutativa: r r a,b R, r a + r b = r b + a 2 r Existencia del elemento neutro: Existencia del elemento opuesto: 9

10 VECTORES EN R 2 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR: Sea es un vector que tiene la misma dirección que tiene el vector a, el mismo sentido si k>0,sentido opuesto si k< 0 o el vector nulo si k=0. Además verifica que (1-2 vector por escalar.ggb) 10

11 VECTORES EN R 2 PROPIEDADES: se cumple: Asociativa: (k 1. k 2 ). a = k 1. (k 2. a ) Distributiva con respecto a la suma de vectores: k.(a + b)= k.a+k.b Distributiva con respecto la suma de escalares: (k 1 + k 2 ). a = k 1.a + k 2.a 1. a=a 0. a=0 11

12 VECTORES EN R 2 VERSORES FUNDAMENTALES: Se llaman versores fundamentales de R 2 y se los simboliza i y j a los vectores: i = (1,0) j = (0,1) Todo vector a = (a 1,a 2 ) puede ser escrito de la forma: a= a 1.i +a 2. j que se llama expresión canónica del vector. (1-3 Variación.ggb) 12

13 VECTORES EN R 3 Dado el vector de R 3 : a = (a 1, a 2, a 3 ) z Generalizamos los conceptos Cosenos directores: α a γ β a 3 x a 2 a 1 y PROPIEDAD: 13

14 VECTORES EN R 3 MÓDULO DE UN VECTOR EN R 3 : Si a=(a 1, a 2, a 3 ) entonces VECTOR DADO POR DOS PUNTOS: Si A (a 1, a 2, a 3 ) y B (b 1,b 2,b 3 ) entonces AB= B A = (b 1 -a 1, b 2 -a 2, b 3 -a 3 ) Ejemplo: Si A (-1,2,5), B (0,-1,1) determinar: a) b) el ángulo que el vector forma con el eje z. c) Graficar 14

15 VECTORES EN R 3 SUMA DE VECTORES EN R 3 : Sean a, b R 3 b=(b 1,b 2,b 3 ) entonces tal que a=( a 1, a 2, a 3 ) y c = a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) Se cumplen las mismas propiedades que en R 2. Ejemplo: Si A (0,1,3), B (-1,1,1) determinar: a) BA b) BA + u, siendo u = ( 0, 3, 0) c) Graficar (1-4 R3 operaciones vectores. ggb) 15

16 VECTORES EN R 3 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Si k R y a R 3 con a = ( a 1, a 2, a 3 ) entonces k. a = ( k.a 1, k.a 2, k.a 3 ) tal que: Dirección: tiene la misma dirección que tiene el vector a Sentido: el mismo sentido si k>0, sentido opuesto si k< 0 (o el vector nulo si k=0) Módulo: 16

17 VECTORES EN R 3 EXPRESIÓN CANÓNICA DE UN VECTOR: Si a = ( a 1, a 2, a 3 ) entonces se puede expresar de la forma a = a 1.i + a 2.j + a 3.k siendo los versores fundamentales: i, j, k (1-4 R3 operaciones vectores. ggb) 17