también lo hace la masa, pero el cociente permanece constante. m K, en donde K se conoce con el nombre de V V [m 3 ] m [kg]

Transcripción

1 Proporciones Proporción directa Dadas dos magnitudes físicas, si están relacionadas, de manera que se duplica una, entonces se duplicará la otra. Si se triplica una, la otra quedará multiplicada por tres. Es decir, entre ambas magnitudes hay una proporción directa. Por ejemplo, si medimos la masa de un bloque de hierro, tendrá cierto volumen, si se duplica la masa, entonces también se duplica el volumen. Ejemplo: Si el volumen es V 1 = 1m, tendrá una masa m 1 = 6kg; si V = m, por lo que m = 1kg; V = m, entonces m = 18kg; etc. Vemos que existe una proporcionalidad directa entre estos valores, dicho de otra manera la masa de un cuerpo es directamente proporcional a su volumen, lo dicho anteriormente, en símbolos será m V. es el símbolo que indica proporcionalidad. m1 m m Si hacemos el cociente entre... 6 kg/m, vemos que al variar el volumen, V1 V V también lo hace la masa, pero el cociente permanece constante. Luego, podemos escribir la siguiente relación constante de proporcionalidad. De manera que, m K, en donde K se conoce con el nombre de V m KV. Otra forma de analizar si existe una dependencia entre dos magnitudes es por el método gráfico. Para hacer un análisis gráfico de la relación entre m y V, primeramente reproduciremos en una tabla, los valores obtenidos al empezar a desarrollar el ejemplo. V [m ] 1 m [kg] Para dibujar la gráfica, primero que nada usaremos una escala adecuada para representar en el eje de las abscisas, los volúmenes y otra para representar en el eje de las ordenadas, las masas. Señalando los pares ordenados (1;6), (;1) y (;18) en el gráfico, determinamos los puntos, y C, veremos que se encuentran alineados, trazamos entonces la recta que pasa por el origen O de coordenados, ya que cuando V = 0 tendremos m = 0. Siempre que tengamos una magnitud que varía en proporción directa a otra, la gráfica será una recta que pasa por el origen, según se muestra en la figura 1.

2 m [kg] C 1 8 DV Dm 0 1 V [m ] Figura 1 Vimos que la constante de proporcionalidad K es una característica importante de la proporción directa. Veremos como obtener el valor de K a partir de la gráfica. Consideraremos dos puntos de la recta por ejemplo y, cuyo significado físico es (V ; m ) = (1;6) y (V ; m ) = (;1), por lo que vemos al pasar de a hay una variación de volumen y en consecuencia, una variación de la masa. Esta variación se representa con la letra griega delta mayúscula D, D V V V y D m m m. La pendiente o inclinación de la recta se saca haciendo el cociente entre Dm y D V. Para el ejemplo: Dm DV m V m V 1 6 kg 1 m 6 kg m, kg Como vimos anteriormente K 6, entonces, gráficamente, la inclinación o pendiente de la m recta es la constante de proporcionalidad. Si tomamos otros puntos de la recta esta constancia se mantiene. Físicamente esta relación es la densidad del material. Generalización: Consideremos dos magnitudes cualesquiera e Y, entonces: 1) Y es directamente proporcional a, Y o bien Y a, donde a es la constante de proporcionalidad. ) La gráfica de Y en función de es una recta que pasa por el origen. DY ) es la pendiente de la gráfica y su valor es igual a la constante de proporcionalidad a. D

3 Qué pasa si Y 0 cuando 0? También la gráfica es una recta, en donde Y, sólo que está corrida sobre el eje Y. La relación responderá a Y a b, siendo b la ordenada al origen, según se muestra en la figura. Y Figura Variación no lineal Una función es no lineal si la variable independiente tiene una variación proporcional al cuadrado o al cubo, en general a una potencia e-nésima. Ejemplo: El área de un círculo está dado por R siendo R el radio del mismo. Si R 1 = 1m, el área 1 =,1m ; si R = m, entonces = 1,56m ; si R = m, = 8,6m, etc. Se ve que al duplicar el radio, el área no se duplica sino que se vuelve cuatro veces mayor, al triplicarlo, el área es 9 veces más grande. Entonces la relación entre y R no es una proporción directa. Decimos que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su radio R. Como antes, otra manera de analizar si existe una dependencia entre dos magnitudes es realizando una representación gráfica, para lo cual, primero reproduciremos en la tabla, los valores dados anteriormente. R [m] 1 [m ],1 1,56 8,6

4 Para dibujar la gráfica, primero que nada usaremos, como antes, una escala adecuada para representar en el eje de las abscisas, los radios y otra para representar en el eje de las ordenadas, las áreas. Señalando los pares ordenados (1;,1), (;1,56) y (;8,6) en el gráfico, determinamos los puntos, y C, los unimos trazando la curva correspondiente, esa curva recibe el nombre de parábola, la cual pasa por el origen O de coordenados, lo que ocurre cuando R = 0; entonces = 0, según se muestra en la figura. V [m ] 8 C L [m] Figura Generalización: Consideremos dos magnitudes cualesquiera e Y, entonces: 1) Y es proporcional al cuadrado de, simbólicamente, Y. ) Y a, donde a es la constante de proporcionalidad entre Y y. ) La gráfica de Y en función de es una curva que pasa por el origen, llamada parábola. ) Si Y es proporcional al cubo de, Y, es decir Y a, la gráfica es una curva con las ramas más cerradas que en el caso anterior. 5) Podemos generalizar para una potencia n, entonces, Y es proporcional a n n, Y, es decir n Y a, la gráfica es una curva con las ramas más cerradas, (se cierra más, a mayor n).

5 Relación inversa partir de una situación práctica llegaremos a definir que es una relación inversa. Si una persona realiza un viaje en automóvil, entre el punto de partida y el punto de llegada hay 180km. Si v es la velocidad del automóvil y t el tiempo transcurrido durante el viaje, es fácil concluir en que, si v 1 = 0km/h, el tiempo t 1 = 6h; si v = 60km/h, entonces t = h; si v = 90km/h], t = h, etc. Se ve que al duplicar la velocidad, el valor del tiempo queda reducido a la mitad, al triplicar la velocidad, el tiempo queda dividido por. Vemos que no hay una dependencia lineal entre v y t, tampoco varía en forma cuadrática como vimos en otros casos, o con la potencia de v. En este caso, decimos que el tiempo de viaje t entre el punto de partida y el de llegada es inversamente proporcional a la velocidad v. Como vimos, otra manera de analizar que tipo de dependencia existe entre dos magnitudes es realizando una representación gráfica, primero reproduciremos en la tabla, los valores obtenidos anteriormente. v [km/h] t [h] 6 Como siempre, para hacer la gráfica, primero usaremos una escala adecuada para representar en el eje de las abscisas, las velocidades y otra para representar los tiempos en el eje de las ordenadas. Señalando los pares ordenados (0;6), (60;) y (90;) en el gráfico, determinamos los puntos, y C, una vez unidos obtenemos una curva que recibe el nombre de hipérbola (según se muestra en la figura ). Esta curva se caracteriza porque no pasa por el origen, ya que si v = 0; entonces t, así mismo, cuando v es muy grande; es decir, v, el tiempo t es muy pequeño, o sea, que t 0, pero nunca llega a ser cero. Se dice que la curva es asintótica al eje de las velocidades y al eje de los tiempos. t [h] C v [km/h] Figura

6 Generalización: Consideremos dos magnitudes cualesquiera e Y, entonces: 1 1) Y es proporcional a la inversa de, Y. 1 a ) Y a, donde a es la constante de proporcionalidad entre Y y. ) La gráfica de Y en función de es una curva asintótica a los ejes, y se conoce como hipérbola. a ) Si Y es inversamente proporcional al cuadrado de, Y, es decir Y, la gráfica es una curva es una hipérbola con menos pendiente (la asíntota al eje Y es más vertical ). ibliografía consultada: Física General eatriz lbarenga ntonio Máximo Editorial Harla Situaciones conceptuales para responder en casa después de leer y entender el teórico y después venir a consulta: 1) Como se sabe, el volumen de una pelota de goma es mayor, cuanto mayor sea el radio. l medir los valores de V y R para diversas pelotas encontramos que: R [cm] V [dm ] 10, 0, 0 11 a) Si el radio de una pelota se duplica, también se duplica su volumen? b) Y si el radio se triplica, el volumen también se triplicará? c) Entonces, podemos decir que V R? ) Una persona comprobó que entre dos magnitudes e Y existe la siguiente relación matemática: Y. a) Podemos decir que Y? b) Si el valor de pasara de = a = 10 (o sea el valor de se multiplicara por 5), por qué factor quedaría multiplicado el valor de Y? c) Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad a entre Y y? d) Cuál es la forma del gráfico -Y? e) Cuál es el valor de la pendiente de la gráfica? ) Se comprobó que entre dos magnitudes e Y existe la siguiente relación matemática: Y. a) Cómo se denomina este tipo de relación entre e Y? b) Cuál es el valor de Y cuando 0? c) Si trazáramos el gráfico -Y, cuál sería su forma? d) En qué punto cortaría esta gráfica al eje de ordenadas? e) Cuál es el valor de la pendiente de la gráfica?

7 ) La relación matemática entre dos magnitudes e Y es: Y. a) Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad a entre Y y? b) Si el valor de se multiplicara por 5, cuántas veces se volvería mayor el valor de Y? c) Considerando la relación matemática anterior completar una tabla, considerando que los valores de son 0; 1; ; ;. d) Qué tipo de gráfica debería dar en función de la forma de la relación matemática? e) Trazar el gráfico -Y 5) Observando la siguiente tabla: Y a) Cuando se duplica el valor de (es decir, de = 1 a = ) entre cuánto queda dividido el valor de Y? b) Y cuando se triplica el valor de qué ocurre con el valor de Y? c) Qué tipo de relación existe entre e Y? En base a esta relación, completar los valores que faltan de la tabla. d) Con los datos de la tabla, trazar el gráfico -Y. e) Cómo se llama la curva que se obtuvo al hacer la representación gráfica? 6) Suponga que entre dos magnitudes e Y existe la siguiente relación matemática Y 0,1. a) Si el valor de fuese multiplicado por cierto número, por cuál factor quedaría multiplicado el valor de Y? b) Considerando la relación matemática anterior completar una tabla, considerando que los valores de son 0; 1; ; ;. c) Prediga qué tipo de gráfica debería dar en función de la forma de la relación matemática, ahora, con los valores de la tabla generada en el ítem b), trace el gráfico -Y. 7) Suponer que la cisterna del abasto de agua de una casa es cúbica y tiene un volumen de 700 litros. Si el depósito fuese sustituido por otro, también cúbico, con una arista tres veces más chica, entonces: a) Cuántas veces menor el volumen de la nueva cisterna? b) Cuántos litros de agua se podrían almacenar? 8) Un medicamento debe administrarse a un enfermo en dosis de 8 gotas a la vez, empleando un cuentagotas. Como no se dispone de él, se usa otro que deja salir gotas con un diámetro dos veces mayor. En este caso, cuántas gotas deben administrarse? 9) El alcance de una estación de TV está relacionado con la altura h de la antena de la emisora, por una ecuación cuya forma aproximada es Y x10 h (con y h medidas en metros). a) Cuando la altura de la antena se duplica, cuántas veces se vuelve mayor el alcance de la emisora? b) Cuántas veces más alta debería estar para que el alcance de la estación se duplicara? c) Usando la relación matemática entre y h, complete la tabla considerando que los valores de son 0; ; 9; 16; 5. d) Trace el diagrama en función de h.

8 10) Escriba la relación matemática entre Y y para los gráficos (a) y (b) de la Figura 5. Y Y (a) Figura 5 (b)