CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO

2 . DEFINICION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO (MOMENTUM). Sea el flujo estacionario de un fluido incomprensible en un canal abierto, como muestra la figura. Aplicando la ecuación de balance de cantidad de movimiento proyectada según la dirección del flujo, se obtiene como fue presentado en el tema I la siguiente ecuación: d dt D v A v A v F P P W. sen F Total Taoa Tapa f donde y son los coeficientes de Boussinesq en ambas secciones; Ftotal las fuerzas externas actuantes sobre el volumen de control elegido; Ptapa y Ptapa son las resultantes de las presiones sobre las dos secciones; W.sen es la componente en la dirección del flujo del peso encerrado en el volumen de control; Ff es la fuerza total externa de fricción (tensión de corte) actuando a lo largo de la superficie de contacto entre el agua y el canal. Si se supone que: la pendiente del canal es pequeña o nula (canal de pendiente horizontal), entonces sen = 0 y cos =, distribución uniforme de las velocidades en la sección: = =, las secciones y están lo suficientemente próximas como para despreciar los efectos de la tensión de corte. La ecuación anterior se reduce a: UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

3 y. A y. A reordenando y. A y. A g. A g. A g. A g. A donde y marca la posición del baricentro de la sección medida desde la superficie libre. Es así que se define la función cantidad de movimiento específico o momentum o fuerza específica como: M y A g A. Obsérvese que esta función M tiene dimensiones L o sea de fuerza por unidad de peso. El valor de y para canales de sección rectangular es y/, en tanto para el caso de canales de sección trapezoidal la figura anexa facilita su cálculo: y my 6 my UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

4 . CURVA MOMENTUM - TIRANTE (M = M(y)) Para el caso particular de un canal rectangular la función cantidad de y q movimiento por unidad de ancho se puede escribir como: m gy La relación m = m (y), para una condición de caudal, es una curva con forma Se puede observar que esta curva presenta un extremo relativo (dm/dy = 0) cuando se verifica la condición q = g y, equivalente a la situación de flujo d m q crítico. Para dicha situación se cumple además que por lo que dy g y cr resulta que en la condición de flujo crítico esta función es mínima. Volviendo a la situación de un canal de sección cualquiera se puede demostrar que la función momentum (M) alcanza su valor mínimo para la condición de flujo crítico. Anulando entonces la derivada primera de M respecto a y (dm/dy = 0) se tiene dm da dya. dy ga dy dy Para el análisis del segundo término de la derecha dya se plantea que un cambio dy en la dy profundidad genera el correspondiente cambio d ya, el cual puede considerarse como y final. Afinal y. A donde el subíndice final indica las variables geométricas luego del incremento dy. El momento estático del área mojada respecto a la superficie libre luego del dy incremento dy queda yfinal. Afinal Ay dy B. dy. por lo cual UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

5 dy ya Ay dy B. ya d. Eliminando los términos de segundo orden (dy =0), se tiene que d ya A. dy. De esta forma, sustituyendo da/dy=b, v=/a y D=A/B, entonces queda: dm dy B ga A v Cuando dm/dy = 0 entonces se cumple que es la condición de flujo gd crítico (Fr = ). Es así que para un caudal determinado la función momentum, al igual que la energía específica, es mínima para la condición de flujo crítico. UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

6 . FUERZA SOBRE UN OBSTÁCULO. Considérese el caso en el cual existe un canal de pendiente horizontal, con un obstáculo localizado entre dos secciones cualquiera, tal como muestra la siguiente figura. En esta figura la sección del canal se ha supuesto rectangular, aunque la conclusión es válida para cualquiera sea la forma de la sección. A partir de la aplicación de la ecuación de balance de cantidad de movimiento, para el caso de flujo estacionario y fluido incompresible con distribución uniforme de velocidades en la sección, la fuerza ejercida por el flujo sobre dicho obstáculo vale: F / = M M, orientada en la dirección del flujo.. RESALTO HIDRÁULICO. El resalto hidráulico es la configuración de flujo que se forma siempre que exista un cambio de régimen de flujo supercrítico a flujo subcrítico. En esta transición de régimen existe una brusca discontinuidad en la superficie libre, que crece rápidamente, se forman ondas, ocurren intensos procesos de mezcla, ingresa aire y una gran cantidad de energía usualmente es disipada por efecto de la turbulencia. De hecho el resalto hidráulico justamente es utilizado para disipar energía, mezclar productos químicos o funcionar como dispositivo de aireación. El flujo en el interior de un resalto hidráulico es un caso de flujo rápidamente variado, donde pierde total validez la hipótesis de distribución hidrostática de presiones. No obstante, a los efectos de poder simplemente calcular la relación entre tirante y velocidad que cumplen las secciones ubicadas inmediatamente aguas arriba y aguas abajo del resalto, las herramientas a aplicar son básicamente las que se mostraron anteriormente. La hipótesis principal es que en las secciones inmediatas aguas arriba y aguas abajo del resalto la distribución de velocidades en la sección corresponde a la UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

7 de un flujo con líneas de corriente paralelas, donde es válida por tanto una distribución hidrostática de presiones. Dado que la disipación de energía que se produce en el seno del resalto no se conoce a priori, no es posible utilizar la ecuación de energía para determinar una relación entre las variables del flujo a la entrada y salida del resalto. Por otra parte, dado que la longitud del resalto usualmente es muy corta, las fuerzas de corte resultantes de la acción sobre las paredes del canal son pequeñas en comparación con los esfuerzos de presión, por lo que pueden despreciarse. De esta forma el resalto hidráulico resulta un caso particular de la situación presentada en el punto anterior, para canal horizontal, en la cual no existe obstáculo. La relación que cumplen entonces la sección inicial y final del resalto es: M = M. Los tirantes de entrada y salida del resalto (supercrítico y subcrítico respectivamente), que verifican la igualdad de momentum entre sí, se denominan tirantes conjugados. La notación habitual para los tirantes conjugados es ( y, y* ). Recuérdese que los tirantes que verifican la igualdad de energía específica entre sí se denominan tirantes alternos ( y, yalt ). Para el caso particular de canal rectangular, esta igualdad de funciones momentum se puede rescribir como: y y 8. Fr Existen formulaciones empíricas que permiten estimar la longitud del resalto para diversos tipos de geometría del canal y pendiente de fondo. Por ejemplo para el caso de canal rectangular horizontal se ha encontrado que puede expresarse la longitud del resalto en función de las características del flujo supercrítico a la entrada: L 9.75 y Fr. 0. A los efectos del resto del curso la longitud del resalto se supondrá despreciable. El lector interesado puede encontrar mayor material al respecto en algunos capítulos de la bibliografía del curso (French; Chaudhry) y/o en manuales de obras hidráulicas. La pérdida de energía, o de carga en un canal horizontal, vale E = E E. y y E 4 y Para el caso particular de canal rectangular esta pérdida es: y. UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

8 4. CASO FLUJO DIVIDIDO Una sección con flujo dividido es aquella que tiene parte de la sección por la cual efectivamente sale el flujo y otra parte en la cual se tiene agua virtualmente en reposo. Para la aplicación de la ecuación de cantidad de movimiento al caso de una sección con flujo dividido, la función momentum (M) debe considerar que su componente debido a la presión comprende toda la sección, en tanto su componente debido al flujo comprende solamente la parte de la sección por la cual efectivamente existe flujo. Obsérvese que también al momento de evaluar la carga hidráulica en la sección (H), o la energía (E), la componente cinética debe considerar la sección por la cual efectivamente existe flujo, en tanto la componente de presión contempla que existe distribución hidrostática de presiones en toda la sección. 4. RESALTO AHOGADO. El resalto ahogado, o sumergido, ocurre por ejemplo cuando el tirante en la sección de salida del resalto es mayor que el tirante conjugado del tirante con que sale de la compuerta (en la sección de entrada del resalto). En la sección el flujo existe solamente a través de la salida de la compuerta, mientras que en la misma sección existe una parte de flujo casi en situación de reposo (sin componente de velocidad longitudinal). Para su cálculo se utiliza la ecuación de balance de energía y de cantidad de movimiento considerando la existencia de flujo dividido. UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

9 5. EJEMPLO DE APLICACIÓN DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO. En la situación de la figura se presenta una condición de flujo saliendo de una compuerta de fondo, en la que se produce un resalto libre inmediatamente a la salida de la compuerta. La relación que verifican los caudales conjugados y e y es la igualdad de cantidad de movimiento, que implica una diferencia de energía entre ellos. Dada la hipótesis de conservación de energía en la compuerta, los tirantes alternos y e y verifican la igualdad de energía específica. A su vez esto implica que existe una diferencia de momentum entre ambas secciones, que es compensada por la fuerza que ejerce la compuerta ( F = M ). Ejemplo : Por un canal rectangular de ancho b = 5 metros, circula un caudal de 7 m /s. En punto del canal se ubica una compuerta de fondo ideal de abertura desconocida y se conoce que inmediatamente aguas debajo de la misma se produce un resalto hidráulico libre. Por condiciones hidráulicas del canal se conoce el tirante aguas abajo del resalto y el mismo es de,8 m. Se pide calcular la fuerza sobre la compuerta. Solución: Teniendo en cuenta que se trata de un resalto libre y que el mismo se produce a la salida de la compuerta, la abertura de la misma se calcula de la siguiente manera: M M ga ya ga ya UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

10 Como se poseen los datos de aguas abajo, entonces M se puede calcular de la siguiente manera: 7 5,8 M 6, m 9,8 5,8 Sustituyendo: 7,5 y 7 9,8 5 y 6,y 4, y 4,954 7,5 y y 6, Esta ecuación de tercer grado posee tres soluciones, las cuales son: y y y,8m 0,m 0 Por lo tanto la abertura de la compuerta es y = 0, m. Para hallar el tirante aguas arriba de la compuerta se plantea la conservación de energía a través de la misma, teniendo en cuenta que el comportamiento de la misma es ideal. E E y, 9m ga Resolviendo nuevamente la ecuación de tercer grado, se obtienen las siguientes soluciones: y y y,877m 0,m 0 Por lo tanto el tirante aguas arriba de la compuerta es y =,88m A partir de los valores calculados de y e y se calculan la cantidad de movimiento aguas arriba y aguas abajo de la compuerta: M M M 9,06m 6,m Con lo cual la fuerza sobre la compuerta es la siguiente: UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

11 M M kn F 6. Ejemplo : En el mismo canal del ejemplo, manteniéndose el caudal circulante y el tirante aguas abajo, la nueva abertura de la compuerta es de 0,55 m, en consecuencia se produce un resalto ahogado aguas debajo de la misma. Se pide calcular la nueva fuerza sobre la compuerta. Solución: Al aumentar la abertura de la compuerta respecto a la situación anterior (manteniéndose el caudal), esto provoca que el resalto se ahogue, por lo tanto el balance de cantidad de movimiento para el calculo del tirante de agua quieta queda de la siguiente manera: M M ga ya * gba ga ya donde se ha diferenciado el tirante de agua quieta, y, de la abertura de la compuerta a. Resolviendo la ecuación de segundo grado anterior se obtiene y = 0,98m Para hallar el tirante aguas arriba de la compuerta se plantea la conservación de energía a través de la misma, teniendo en cuenta que el comportamiento de la misma es ideal: E E y y y ga ga g( b. a) Resolviendo la ecuación de tercer grado se obtiene: y =,45m Con lo cual la fuerza sobre la compuerta es la siguiente: M M 9, kn F. UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez