Cálculo I. Índice Continuidad. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción Continuidad puntual Continuidad en un intervalo 8

Transcripción

1 2.4. Continuidad Julio C. Carrillo E. * Índice 1. Introducción 1 2. Continuidad puntual 2 3. Continuidad en un intervalo 8 4. Conclusiones 18 * Profesor Escuela de Matemáticas, UIS.

2 1. Introducción Las siguientes gráficas muestran algunos de los resultados que son posibles cuando se calcula lím f(x). En algunos otros caso se ha observado que lím f(x) =f(a). c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 1/18

3 2. Continuidad puntual Definición de continuidad puntual La figura anterior motiva la siguiente definición de continuidad de una función f en un número a. Definición 1 (de continuidad). Se dice que una función f es continua en un número a si 1.f(a) está definido; 2. lím f(x) existe; 3. lím f(x) =f(a). Si alguna de estas tres condiciones no se cumple se dice que f es discontinua en a. Ejemplo 1. Determine si cada una de las siguientes funciones es continua en a =1. 8 (a) f(x) = x3 1 < x 3 8 1, x 6= 1, < x 3 1, x 6= 1,, (b) g(x) = x 1 (c) h(x) = x 1 x 1 : : 2, x =1, 3, x =1. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 2/18

4 Discontinuidad removible e irremovible Supongamos que una función f es discontinua en x = a. Entonces pueden suceder que lím f(x) existe o no. Definición 2 (Discontinuidad removible). Sea f una función que es discontinua en un número real a. Si lím f(x) existe, se dice que f tiene una discontinuidad removible en x = a. En este caso, se puede redefinir f de forma que sea continua en x = a: 8 < f(x), x 6= a, g(x) = : lím f(x), x = a. lím f(x) existe, f(a) no existe lím f(x) existe, f(a) existe lím f(x) 6= f(a) c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 3/18

5 Ejemplo 2. La f(x) = x2 1 función es discontinua en x =1, pues f no está definida en x =1.Como x 1 f(x) =2, esta discontinuidad de f es removible. La función lím x!1 g(x) = es continua en x =2, y de hecho en todo los reales. 8 < x 2 1, x 6= 1, x 1 : 2, x =1, Definición 3 (Discontinuidad irremovible). Sea f una función que es discontinua en un número real a. Si lím f(x) no existe, se dice que f tiene una discontinuidad irremovible en x = a. Además, este tipo de discontinuidad se puede clasificar de una de los dos siguientes maneras. 1. Si lím f(x) no existe los límites laterales de f en x = a existen pero son distintos, se dice que f tiene una discontinuidad finita o una discontinuidad de salto en x = a. 2. Si lím f(x) no existe porque es un límite infinito (x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f), se dice que f tiene una discontinuidad infinita en x = a. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 4/18

6 lím f(x) no existe, lím lím f(x) 6= lím + f(x) f(x) no existe, f(x) =1 lím Álgebra de funciones continuas en un número Cuando dos funciones f y g son continuas en un número a, entonces se puede establecer la continuidad de la combinación de ellas en un número a de la siguiente manera. Teorema 1 (Álgebra de funciones continuas). Sean f y g funciones y sean a y c números reales. Si las funciones f y g son continuas en a entonces las funciones f(x)+g(x), cf(x), f(x)g(x) y f(x) (g(a) 6= 0) g(x) son continuas en a. Teorema 2 (Continuidad de la raíz n-ésima). Se considera la función f(x) = np x en donde n un número entero positivo. Si el número a está en el domino de f entonces f es continua en a. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 5/18

7 Además se tienen los siguientes dos resultados para la función compuesta. Teorema 3 (Límite de una función compuesta). Si lím g(x) =L y f es continua en L entonces lím (f(g(x)) = f lím g(x) = f(l). Teorema 4 (Continuidad de una función compuesta). Si la función g es continua en a y la función f es continua en g(a), entonces la función compuesta (f g)(x) =f(g(x)) es continua en a. Continuidad lateral Cuando se trata de establecer en algunos tipos particulares si función es o continua, algunas veces es útil considerar límites laterales. Teorema 5 (Continuidad y continuidad lateral). Sea f una función y a en el dominio de f. Entonces, f es continua en a si y sólo si 1. f es continua a la izquierda de a: lím f(x) =f(a), 2. f es continua a la derecha de a: lím f(x) =f(a)) + Corolario 1 (Discontinuidad y discontinuidad lateral). f es discontinua en a si y sólo si f no es continua a la izquierda o a la derecha de a. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 6/18

8 Ejemplo 3. Pruebe que la siguiente función es continua en x =2. ( x 3, x apple 2, f(x) = 3x 2 2x, x > 2. Solución. En este caso, f(2) = 2 3 =8. Además, como lím x!2 f(x) = lím x!2 x 3 =8=f(2), y lím f(x) = lím 2x) = =8=f(2) x!2 + x!2 +(3x2 entonces f es continua por la izquierda y por la derecha de 2. Porlotanto,f es continua en x =2. Ejercicio 1. Estudie las continuidades laterales y la continuidad de la siguiente función en x =2. 8 >< x 2, x < 2, f(x) = 5, x =2, >: x 3, x > 2. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 7/18

9 3. Continuidad en un intervalo Definición 4 (Continuidad en un intervalo). 1. Se dice que f es continua en el intervalo abierto (a, b) si f es continua en todo número real en el intervalo; es decir, si para todo c en (a, b) se cumple que lím f(x) =f(c). x!c 2. Se dice que f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si a) f es continua en el intervalo abierto (a, b); b) f es continua en los extremos del intervalo cerrado [a, b]: lím f(x) =f(a) y lím + x!b f(x) =f(b). Ejemplo 4. De los resultados de límite de la sección anterior se obtienen los siguientes resultados. 1. La función constante f(x) =c es continua en todo R: lím c = c para todo número real a. 2. La función f(x) =x es continua en todo R: lím x = a para todo número real a. 3. La función f(x) =x 2 es continua en todo R: lím x = a 2 para todo número real a. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 8/18

10 4. La función racional f(x) = 1 x a 6= 0. es continua en A = {x 2 R : x 6= 0}: lím 1 x = 1 a para todo número real Como consecuencia de estos teoremas de continuidad puntual, también se tiene los siguientes resultados. Teorema 6 (Continuidad en intervalos). Sean f y g funciones que son continuas en un intervalo I, que puede ser abierto o cerrado, y sea c un número real. Entonces, 1. las funciones f(x)+g(x), cf(x), f(x)g(x) son continuas en I; 2. si g(x) 6= 0para todo x en I entonces la función f(x) g(x) es continua en I. Teorema 7 (Continuidad de polinomios). Toda función polinomica p(x) es continua en todo R. Teorema 8 (Continuidad de funciones racionales). Toda función racional excepto en números en los que su denominador q(x) es cero. Ejemplo 5. Determine los número en los que la función f(x) = x3 +1 x 2 9 p(x) q(x) es continua. es continua excepto Solución. Como f es una función racional, su dominio es el conjunto de los números reales R excepto en los cuales x 2 9=(x 3)(x +3) = 0.Comox 2 9=0cuando x = ±3, el dominio de f es el conjunto de todos los reales excepto 3 y 3. Dado que f es una función racional, por el teorema anterior, f es continua en todo los números reales diferentes de 3 y 3. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 9/18

11 Ejemplo 6. Determine los números reales para los cuales la siguiente función es continua. ( 2x 3, x apple 1 f(x) = x 2, x > 1. Solución. Observe que el dominio de f es el conjunto de todos los número reales. Ahora, como las funciones cuyos valores son 2x 3 y x 2 son polinomios, ellas son continuas en todo número real. De esta manera, el único número en donde es cuestionable la continuidad de f es en x =1. 1. f(1) = 2(1) 3= 1; 2. lím x!1 3. Como lím x!1 f(x) = lím x!1 (2x 3) = 1 y lím f(x) = lím x2 =1. x!1 + x!1 + f(x) 6= lím f(x) entonces lím f(x) no existe. x!1 + x!1 Por lo tanto, la función f es discontinua en x =1.Porlotanto,f es continua en todo número real excepto en x =1. Es decir, f no es continua en todo su dominio. Teorema 9 (Continuidad de la raíz n-ésima). Si n es un número entero positivo y f(x) = np x entonces, 1. si n es impar, entonces f es continua en todo número real. 2. si n es par, entonces f es continua en todo número real positivo. Ejemplo 7. La función f(x) = p x es continua en [0, 1): 1. lím p x = p a para todo número real a>0; c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 10/18

12 2. lím x!0 p x =0. Ejemplo 8. La función f(x) = 3p x es continua en todo número real x: lím 3 p x = 3p a para todo número real a. Teorema 10 (Continuidad de seno y de coseno). Las funciones f(x) =senx y f(x) =cosx son continuas en todo número real. Demostración. Se debe demostrar que, para cualquier número real a, lím sen x =sena, lím cos x =cosa. Únicamente se prueba el primer resultado. Primero, recordemos la identidad trigonométrica sen(x + h) =senx cos h +cosx sen h. Segundo, consideremos x = a +(x a). Entonces, lím sen x =límsen(a +(x a)) =lím(sen a cos(x a)+cosasen(x a)) =senalímcos(x a)+cosa lím sen(x a) =sena cos 0 + cos a sen 0 =sena. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 11/18

13 Entonces, lo cual demuestra el resultado. lím sen x =sena, A partir de ello se puede establecer la continuidad de las otras funciones trigonométricas función pues tan x = sen x cos x, cos x cot x = sen x, sec x = 1 cos x, csc x = 1 sec x. Por ejemplo, la función tan x es el cociente de las funciones continuas sen x y cos x. Porlotanto,tan x es continua para todos los números reales x en donde es diferente de cero. Así que, tan x es continua para todos los número reales x 6= k 2, donde k es un número entero cualquiera. Ejercicio 2. Para las funciones tan x, cot x, sec x y csc x encontrar todos los x para los cuales estas funciones son discontinuas. Teorema 11 (Continuidad de la composición en intervalos). Sean I, J intervalos de números reales y sean f y g funciones tales que f es continua en I y g es en J. Sif(I) J entonces las función g f es continua en I. Ejemplo 9. Determine si la función f(x) = p x 2 +1es continua en su dominio. Solución. La función de valores x 2 +1 es continua en todo número real x por ser una función polinómica. Como además la función de valores p x es continua para todo x 0 y además x para todo c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 12/18

14 número real x entonces por el teorema de la composición anterior se sigue que la función f(x) es continua en todo número real x. Teorema 12 (Continuidad de la función inversa). Si f es una función continua y uno a uno en el intervalo [a, b] entonces la función f 1 es continua ya sea sobre el intervalo [f(a),f(b)] osobre[f(b),f(a)]. h Ejemplo 10. La función f(x) =senx es continua y uno a uno en el intervalo 2, i. Entonces la 2 función f 1 (x) =sen 1 x es continua en el intervalo cerrado f( /2),f( /2)] = [ 1, 1]. Teoremas de funciones continuas en intervalos cerrados Las funciones que son continuas en intervalos cerrados tienen un número muy importante de propiedades que no tienen las funciones continuas en general. Teorema 13 (del valor intermedio). Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b] y tal que f(a) 6= f(b). SiN es cualquier número entre f(a) y f(b) entonces existe por lo menos un número c entre a y b tal que f(c) =N. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 13/18

15 El teorema del valor intermedio afirma que si la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) toma todos los valores entre f(a) y f(b) conforme x toma todos los valores entre a y b. Ejercicio 3. Muestre que las siguientes funciones no cumplen con las condiciones del teorema del valor intermedio para funciones continuas. ( 1.f(x) = 2 x 1, 0 apple x apple 2, 2 apple x apple 5. 2.f(x) = x 4 x 2, 2 <xapple3. Ejemplo 11. La función polinomica f(x) =x 2 x 5 es continua en el intervalo [ 1, 4] y f( 1) = 3, f(4) = 7. El teorema del valor medio para funciones continuas garantiza que para cualquier número real N para el cual 3 apple N apple 7 hay un número real c, 1 apple c apple 4, el cual es solución para la ecuación f(c) =N; es decir, que c 2 c 5=N para c en [ 1, 4]. Específicamente,siseescogeN =1, entonces c 2 c =5=1. Esta ecuación es equivalente a c 2 c 6=(c 3)(c +2)=0. De lo cual se sigue que c =3o c = 2, perosoloc =3está entre 1 y 4. Porlotanto,f(c) =1solamente para c =3. Una aplicación importante del teorema del valor intermedio se da en la obtención de los ceros o raíces de una función. Corolario 2 (Existencia de raíces o ceros de funciones). Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b] ytalquef(a) y f(b) tiene signos opuestos. Entonces existe por lo menos un número c entre a y b tal que f(c) =0. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 14/18

16 Como en general no es posible encontrar de manera los valores de c que satisfacen la ecuación f(c) =0, una aplicación apropiada y reiterada de este teorema permite diseñar una estrategia para obtener soluciones aproximadas c de esta. Esta estrategia se llama método de la bisección y consiste en lo siguiente: 1. Se verifica que f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b]; 2. A continuación se verifica que f(a)f(b) < 0; 3. Se calcula el punto medio m del intervalo [a, b], m = a + b, y se evalúa f(m); 2 4. Si f(m) =0, ya hemos encontrado la raíz buscada: c = m. En caso de que no lo sea, f(m) 6= 0, entonces m es una aproximación de c. Al fin de mejorar la estimación que hace m de c se verifica si f(m) tiene signo opuesto con f(a) oconf(b); 5. Se redefine el intervalo [a, b] como el intervalo [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo de f; 6. Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 15/18

17 7. Sean m i y m i+1 dos aproximaciones sucesivas de c. El procedimiento anterior se para cuando m i+1 m i < 0,5 10 k, donde se supone que las aproximaciones de c se obtienen con una precisión de k dígitos exactos o cifras decimales. Cuando esto suceda, m i+1 será una aproximación de c en [a, b] que es precisa hasta en k dígitos exactos. Como al inspeccionar la siguiente figura se observa que el error en una aproximación a una raíz de f en un intervalo es menor que la mitad de la longitud del intervalo, es posible detener el proceso cuando error = m i+1 m i < long. del intervalo 2 < 0,5 10 k. Ejemplo 12. Sea f(x) =x 6 3x 1. Muestre que f tiene una raíz en el intervalo cerrado [1, 2] y aproxime esta raíz hasta dos cifras decimales. Solución. La función f es continua en el intervalo [1, 2] y además f(1) = 3 < 0 y f(2) = 57 > 0. Por el corolario del teorema del valor intermedio, la función f tiene por lo menso una raíz c en el intervalo c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 16/18

18 (1, 2). Como se pide que la aproximación de c tenga dos dígitos exactos, en este caso la tolerancia =0, =0,005. Por lo tanto, el aproximación de c se para cuando error < long. intervalo 2 < 0,005. Una primera aproximación de c en [1, 2] es el punto medio de éste intervalo: m 1 = = 3 2 =1,5, error = = 1 2 =0,5. Como f(m 1 )=f( 3 2 ) > 0 y f(1) < 0, la raíz de f está en el intervalo [1, 3 2 ]. Una segunda aproximación de c es el punto medio del intervalo [1, 3 2 ]: m 2 = = 5 4 =1,25, error = = 1 4 =0,25. Ejercicio: continuar con los cálculo hasta que el error sea menor que 0,005. Se encuentra que esta estimación es 1, Porlotanto,1,30 es una aproximación de la raíz de f en el intervalo [1, 2] que es precisa hasta dos cifras decimales. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 17/18

19 4. Conclusiones lím f(x) no existe 8 >< lím f(x) =±1 o lím f(x) =±1 =) ± lím f(x) 6= lím f(x) =) >: + 8 f(a) existe, lím f(x) =f(a) =) f es continua en a f tiene una discontinuidad de salto infinito en a (disc. irremovible) f tiene una discontinuidad de salto finito en a (disc. irremovible) lím f(x) existe >< f(a) existe, lím f(x) 6= f(a) =) f es discontinua en a (disc. removible) >: f(a) no existe =) f es discontinua en a (disc. removible) c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 18/18