APLICACIONES LINEALES.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "APLICACIONES LINEALES."

Transcripción

1 APLICACIONES LINEALES. INTODUCCIÓN: APLICACIONES ENTE CONJUNTOS. Ua aplicació etre dos cojutos A y B es ua regla que permite asigar a cada elemeto de A, uo de B. La aplicació del cojuto A e el cojuto B se idica mediate : A B o bie A B. El cojuto A se llama cojuto iicial, y el B cojuto ial. Si la aplicació asiga al elemeto a A el elemeto b B, diremos que b es la image de a, lo que se deota por (a) = b. La regla ha de estar iequívocamete deiida, de modo que para todos y cada uo de los elemetos de A, esté claro qué elemeto de B es su image. Clasiicació de las aplicacioes: Se dice que ua aplicació es iyectiva si o hay dos elemetos que tega imágees iguales. Ua aplicació iyectiva crea ua copia de A detro de B. Se dice que ua aplicació es suprayectiva (o sobreyectiva) si todos los elemetos del cojuto ial B ha sido utilizados. Se dice que ua aplicació es biyectiva si es a la vez iyectiva y suprayectiva. Ua aplicació biyectiva establece ua igualdad etre los cojutos A y B, pues a cada elemeto de A le correspode uo de B, y a cada elemeto de B, exactamete uo de A. Si es biyectiva existe su iversa, deotada 1 : A B, que deshace lo hecho por. Ejemplos: 1. La aplicació del cojuto de la població española mayor de edad e el cojuto de los úmeros aturales, que asiga a cada ciudadao su úmero de DNI. Es iyectiva, pues o hay dos persoas co el mismo DNI. No es suprayectiva, pues o todos los úmeros se utiliza.. La aplicació del cojuto de los úmeros reales e el cojuto de los reales positivos, + que asiga a cada úmero su cuadrado: x x No es iyectiva, pues hay úmeros co el mismo cuadrado (p.ej. y ). Es suprayectiva, pues todos los reales positivos so el cuadrado de algú úmero. E este capítulo deiiremos aplicacioes etre espacios vectoriales. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 1

2 APLICACIONES LINEALES. POPIEDADES Deiició: Aplicació lieal Dados dos espacios vectoriales V y W, y dada ua aplicació : V W, diremos que es lieal si coserva las combiacioes lieales, es decir: dada ua combiació lieal etre vectores de V, sus imágees e W veriica la misma combiació: si u = α v+ β w (e V) etoces u = α v + β w (e W) dode u, v, w so respectivamete las imágees de u, v, w. Esto se puede expresar tambié así: (1) (α v+ β w) = α (v) + β (w) para v, w V ( La image de ua combiació lieal, es la combiació lieal de las imágees. ) Tambié es equivalete a airmar que se coserva la suma y el producto por escalares: () (a) (v+ w) = (v) + (w) para v, w V (b) (α v) = α (v) para v V, α escalar. Por tato, a la hora de probar si ua aplicació es lieal, podemos utilizar idistitamete (1) o (). Las aplicacioes lieales tambié se puede llamar homomorismos. Puede tambié deiirse aplicacioes e subespacios vectoriales, pues éstos ucioa como espacios vectoriales. Por ejemplo, S={(α, α) : α } es u subespacio de y e él podemos deiir la aplicació lieal S ( α, α) ( α,4 α,5 α) Ejemplos. 1. Cosideremos la siguiete aplicació de e y veamos si es lieal: (x,y,z) (x, z) Vamos a comprobar que se cumple la airmació () aterior. (a): Veamos que (v+ w) = (v) + (w) para cualesquiera v, w : Sea dos vectores geéricos de, v=(a,b,c), w= (a, b, c ), etoces (v + w) = ( (a,b,c) + (a, b, c ) ) = (a+a, b+b, c+c ) = ( (a+a ), c+c ) (v) + (w) = (a,b,c) + (a,b,c ) = (a, c) + (a', c ) = ( a+a, c+c ) so iguales. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales

3 (b): Veamos que (α v) = α (v) para cualesquiera v Sea u vector geérico v=(a,b,c) de α (v) = α (a,b,c) = α (a, c) = (α a, α c) (α v) = (α (a,b,c)) = (α a, α b, α c) = (α a, α c), α escalar. y u escalar α, etoces: so iguales. Como (a) y (b) se cumple para vectores geéricos, cocluimos que la aplicació es lieal. 4. Veamos ahora la siguiete aplicació de e : g 4 (x,y) (x, y, x+y,1 ) Si ecotramos u caso cocreto e que o se cumpla (a) o (b), la aplicació ya o será lieal. E eecto, (1,0) (1,0,1,1) (,0) (,0,,1) Por tato g o es lieal. Al multiplicar u vector por, su image o ha quedado multiplicada por. Por su importacia o sigiicado geométrico, destacamos alguas aplicacioes lieales: 1. Aplicació idetidad: de u espacio vectorial e sí mismo. Asiga a cada vector el mismo vector. V u id V u. Aplicació ula: etre dos espacios vectoriales V y W, asiga a todo vector de V el vector cero de W. V W u 0. Giros: puede hacerse e el plao o el espacio ( ó ). Por ejemplo la siguiete aplicació e hace girar a todos los vectores del plao 45º e setido atihorario: (x,y) ( x- y, x+ y ) 4. elexioes o simetrías: e el espacio podemos relejar los vectores como e u espejo, respecto a u plao dado. E el plao podemos hacerlo respecto a ua recta. Por ejemplo, la siguiete aplicació es ua simetría e, respecto del plao XZ. (x,y,z) (x,- y,z) Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales

4 5. Homotecias: Multiplica los vectores por u cierto escalar (el mismo para todos los vectores). Si el escalar es mayor que 1, se trata de ua dilatació, mietras que si es meor que 1 se trata de ua cotracció. La siguiete homotecia puede represetar la dilatació del 1% de ua lámia de metal bajo el eecto del calor: (x,y) (1.01x, 1.01y) 6. Proyeccioes: So aplicacioes que lleva todos los vectores del espacio a u cierto plao, sobre el que proyectamos. La siguiete aplicació trasorma cualquier pieza tridimesioal e su vista e alzado (proyecció sobre el plao XZ). (x,y,z) (x,0,z) Propiedad: Si : V W es ua aplicació lieal, la image del vector cero de V siempre es el vector cero de W. Demostració: Deotemos por 0 V y 0 W el vector cero de V y de W respectivamete. Etoces, partiedo de cualquier vector v V, teemos: ( 0 V ) = ( v v) = (v) (v) = 0W Observació. Esta propiedad puede utilizarse para probar que ua aplicació o es lieal, pues si o cumple esta propiedad o podrá serlo. (Si la cumple, podrá ser lieal o o.) Teorema: Trasormació de subespacios. a) Ua aplicació lieal : V W trasorma subespacios de V e subespacios de W. Dado S u subespacio de V, su image se deota por (S). Es el subespacio de W ormado por las imágees de todos los vectores de S. b) El subespacio (S) tiee dimesió meor o igual que la dimesió de S. Además se tiee que si la aplicació es iyectiva, etoces se coserva las dimesioes, es decir, (S) tiee la misma dimesió que S. Observar el sigiicado geométrico de este teorema: ya que los subespacios de so rectas, plaos..., el apartado a) airma que éstos o puede trasormarse, por ua aplicació lieal, e líeas curvas o supericies curvas. El apartado b) sigiica que ua recta o puede, por ejemplo, trasormarse e u plao (la dimesió o puede aumetar). U plao podrá trasormarse e otro plao; e ua recta; o e u puto { 0 }. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 4

5 Teorema: image de u sistema geerador. Sea : V W lieal, y sea S u subespacio de V. Etoces, la image de u sistema geerador de S es u sistema geerador de (S). Es decir: si v 1,... v r geera S, etoces (v 1 ),..., (v r ) geera (S). Ejemplo. Usaremos el teorema aterior para calcular cuál es la image de u subespacio. Sea la aplicació lieal: (x,y,z) (x+y+z, x+y+6z ) Calculemos la image del subespacio S= {(α+β, α, α β) : α,β }. Para ello hallamos primero u sistema geerador de S, que es (1,1,1), (1,0, 1). La image de este sistema geerador es: (1,1,1) = (4,1) (1,0, 1) = ( 1, ) Por tato (S) será el subespacio de geerado por (4,1) y ( 1, ). Notar que estos o orma base de (S), pues o so idepedietes. Ua base de (S) podría ser (4,1), o bie (1,), por ejemplo. Teorema: image de cojutos depedietes e idepedietes. Sea : V W lieal. La image de u cojuto liealmete depediete es otro cojuto liealmete depediete. No está asegurado que la image de u cojuto idepediete siga siedo idepediete (esto sólo está asegurado si la aplicació es iyectiva). Observació. Si teemos e cueta que ua base es u sistema geerador liealmete idepediete, veremos que de los dos teoremas ateriores se desprede que ua base de S o tiee por qué trasormarse e ua base de (S). Sólo si es iyectiva está asegurado que sea así. NÚCLEO E IMAGEN. Observemos que determiados vectores de V puede teer como image el 0. Esto ocurre al meos co W 0V, pero tambié puede ocurrir co más vectores de V. Por ejemplo, e la aplicació el vector (0,0) tiee como image (x,y) (x-y, x-y ) (0,0), pero lo mismo le ocurre a (1,1), y tambié a todos los vectores de la orma (λ, λ). Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 5

6 Deiició: Núcleo. Se llama úcleo de al cojuto de los vectores de V cuya image es Ker() (del iglés kerel=úcleo). Es decir, Ker() = {v V : (v) = 0W } El úcleo podrá ser solamete { 0 }, o podrá ser u subespacio mayor. 0W. Se deota por Deiició: Subespacio image. Dada : V W lieal, se llama subespacio image de (o simplemete image de ) al cojuto de las imágees de todos los vectores de V. Se deota por Im(). Se puede deotar tambié por (V), pues es la image de todo el espacio iicial V. Segú el teorema de trasormació de subespacios, Im() es u subespacio de W, cuya dimesió es meor o igual que dim(v). La dimesió de Im() tambié ha de ser dim(w), pues está coteido e W. Además, si v 1,... v so u sistema geerador de V, etoces sus imágees (v 1 ),..., (v ) so u sistema geerador de Im(). Por tato, el úcleo es u subespacio de V, y la image lo es de W. Las dimesioes de ambos está relacioadas por la siguiete órmula: dode es la dimesió del espacio iicial V. dim( Im() ) + dim( Ker() ) = Ejemplos. 1) Calcular el úcleo y la image de la aplicació lieal (x,y,z) (x+y+z, x+y+6z ) Image: Partimos de u sistema geerador del espacio iicial, por ejemplo la base caóica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Sus imágees so: (1,0,0) = (1,) (0,1,0) = (1,) (0,0,1) = (,6) Por tato Im() está geerada por (1,), (1,), (,6). Elimiado los vectores que so combiació lieal de los demás, obteemos que ua base de Im() es { (1,) }. Así pues, la dimesió de Im() es 1. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 6

7 Núcleo: Hay que ecotrar los vectores cuya image es (0,0), es decir, los (x,y,z) tales que (x+y+z, x+y+6z) = (0,0) por tato x+y+z =0 sistema compatible idetermiado cuya solució geeral es: x+y+6z =0 (α, β, α β) : α, β Estos so todos los vectores que orma el úcleo, es decir Ker() = { (α, β, α β) : α,β } De esta expresió paramétrica podemos obteer ua base de Ker(): { (,0, 1), (0,, 1) } Por tato la dimesió del úcleo es. Observemos que se veriica la órmula: 1 + =. ) Calcular el úcleo y la image de la aplicació lieal (x,y) (x-y, -x-y ) Núcleo: Hay que ecotrar los vectores cuya image es (0,0), es decir, los (x,y) tales que (x+y, x y) = (0,0) x+y=0 x y = 0 por tato este sistema es compatible determiado y por tato su úica solució es x=0, y =0. Por ello el úico vector e Ker() es (0,0). Image: De la órmula dim( Im() ) + dim( Ker() ) = obteemos que dim( Im() ) =. Y como Im() está coteida e el espacio ial espacio. Por tato, Im() =., como dim( Ker() ) es cero,, si su dimesió es ha de ser todo el CLASIFICACIÓN DE APLICACIONES. Ua aplicació lieal : V W puede ser iyectiva, suprayectiva, igua de las dos cosas o ambas (y e ese caso es biyectiva). Veremos cómo esto se relacioa co el cálculo del úcleo e image. Suprayectividad: Im() es u subespacio de W, que puede ocupar todo W o o. Si existe elemetos de W que esté uera de Im(), éstos o será image de igú elemeto de V. Por tato, : V W será suprayectiva si Im() ocupa todo W: Im() = W. Para comprobar esto basta comparar las dimesioes: e eecto, como Im() siempre está coteido e W, cuado sus dimesioes coicida tedremos que Im() = W. Así pues, es suprayectiva cuado dim ( Im() ) = dim(w). Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 7

8 Iyectividad: E pricipio habría que comprobar si existe dos vectores de V cuyas imágees sea iguales. Pero esto viee acilitado por el siguiete resultado: Teorema. es iyectiva si y sólo si su úcleo es solamete {0 V }. Demostració: Si hay u vector v además de 0 V e el úcleo, ambos tiee la misma image 0 W, co lo que ya o sería iyectiva. Y por otra parte, si o es iyectiva etoces hay dos vectores u, v co imágees iguales, (u) = (v), y etoces tedremos (u) (v) = 0 (u v) = 0 así el vector u v está e el úcleo, luego éste ya o es {0 V } Gracias a esto, para comprobar la iyectividad basta calcular el úcleo. Tambié es suiciete coocer la dimesió, puesto que Ker() = { 0 V } es equivalete a que su dimesió sea 0. Así pues, es iyectiva cuado dim ( Ker() ) = 0. Ejemplos. 1) Cosideramos la aplicació del ejemplo 1) aterior (x,y,z) (x+y+z, x+y+6z ) Como ya hemos calculado el úcleo y la image, teemos: dim( Im() ) = 1 o es suprayectiva. dim ( Ker() ) = 0 o es iyectiva. ) Ejemplo ) aterior: (x,y) (x-y, -x-y ) dim( Im() ) = es suprayectiva. dim ( Ker() ) = 0 es iyectiva. Por tato es biyectiva. ) Ua aplicació : uca podrá ser iyectiva: pues como Im() está coteida e, su dimesió es y así dim( Im() ) + dim( Ker() ) = es imposible que dim( Ker() ) sea 0 Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 8

9 4) Ua aplicació : 4 uca podrá ser suprayectiva: dim( Im() ) + dim( Ker() ) = es imposible que dim( Im() ) sea ) Las aplicacioes destacadas que hemos señalado al pricipio del tema: - La idetidad es biyectiva. - La aplicació ula o es iyectiva i suprayectiva. - Los giros, simetrías y homotecias so biyectivas. - Las proyeccioes so suprayectivas pero o iyectivas. Observació. Cuado la aplicació es iyectiva, la órmula dim( Im() ) + dim( Ker() ) = idica que Im() tiee la misma dimesió,, que el espacio iicial. Así pues, dada : V W iyectiva, Im() es ua copia de V detro de W. Por ejemplo, dada la siguiete aplicació iyectiva, (x,y) (x+y, x-y, 0 ) el subespacio Im() está geerado por las imágees de la base caóica: (1,0)= (1,1,0) (0,1)=(1, 1,0). Como (1,1,0) y (1, 1,0) so liealmete idepedietes, Im() tiee dimesió. Así, Im() es u plao e y por tato ua copia del cojuto iicial detro de. MATIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL. Veremos que hay ua relació etre las matrices y las aplicacioes lieales, tato es así que cada matriz represeta ua aplicació, y cada aplicació se puede idetiicar co ua matriz. Para itroducir esto, partimos del cocepto de rago de ua aplicació. Deiició: ago de ua aplicació lieal. Se llama rago de ua aplicació lieal a la dimesió de su subespacio image. Se deota por rg(). Es decir: rg() = dim( Im() ). Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 9

10 Ejemplo. Calculemos el rago de la siguiete aplicació: Para ello hemos de hallar Im() y su dimesió. (x,y,z) (x+y+z, y+z) Partiedo de u sistema geerador de, (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) hallamos sus imágees, (1,0,0)=(,0) (0,1,0)=(,1) (0,0,1)=(1,1) Estos tres vectores de geera Im(), pero sólo dos de ellos so liealmete idepedietes, por lo que la dimesió de Im() es. Así pues, rg() =. Observació. E el ejemplo aterior, para calcular el rago de, hemos calculado el rago (es decir, el úmero de vectores idepedietes) de la amilia de vectores (,0), (,1), (1,1). Esto equivale, colocado estos vectores e columas, a calcular el rago de la matriz (e este caso rago ). Veremos que esta matriz cumple u papel importate respecto a la aplicació. Deiició: Matriz asociada a ua aplicació. Dada ua aplicació lieal : V W, se llama matriz asociada a (e bases caóicas) a la matriz que cotiee e sus columas las imágees de la base caóica de V. Propiedades. 1) La matriz de : m es de tamaño m x. ) Si A es la matriz asociada a, el rago de la aplicació (es decir, la dimesió del subespacio image) es el rago de A (que puede calcularse escaloado la matriz, etc). ) La matriz A asociada a puede utilizarse para calcular la image de cualquier vector. E eecto, si multiplicamos la matriz A por el vector v (e columa), obteemos el vector m (v) (tambié e columa). Ejemplo. Dada la aplicació (x,y) (x+y, x-y, 0) su matriz asociada será de tamaño x. A v = (v) Colocamos e las columas las imágees de la base caóica de : Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 10

11 (1,0)= (1,1,0) (0,1)=(1, 1,0). así obteemos la matriz A = Utilicemos la matriz para calcular la image del vector v=(,) = -1 por tato (v) = (5, 1,0) 0 (lo que puede comprobarse aplicado al vector v y obteiedo el mismo resultado). Observació. Dada ua aplicació lieal podemos calcular su matriz asociada; pero tambié al revés: dada cualquier matriz A de tamaño m x, podemos iterpretarla como la matriz de ua aplicació : m, puesto que co la matriz ya sabemos calcular las imágees y por tato está determiada la aplicació. Así pues, hay ua idetiicació etre aplicacioes lieales y matrices. Ecuació de ua aplicació lieal. a11 a1 Sea : m, co matriz asociada A =. am 1 a m Deotemos por (x 1,..., x ) u vector del cojuto iicial, y por (y 1,..., y m ) su image e m. Etoces teemos, segú lo aterior, a a 11 1 m 1 a a m x1 y1 = (ecuació matricial) x y m lo que tambié se puede escribir e orma o matricial, resultado y 1 = a 11 x a 1 x y m = a m1 x a m x Esta es la ecuació de, que es la expresió que permite calcular la image (y 1,..., y m ) a partir del vector (x 1,..., x ). Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 11

12 Ejemplo. E el ejemplo aterior, teemos dada por su matriz Si deotamos por (x 1, x, x ) los vectores del cojuto iicial y por (y 1, y ) sus imágees, la ecuació de será x 1 x x 1 = y1 es decir y y 1 = x 1+x +x y = x + x Cálculo del úcleo e image mediate la matriz asociada. Supogamos que teemos ua aplicació lieal : V W y su matriz asociada A. Núcleo: Los vectores del úcleo so los v tales que (v)= 0, es decir, A v= 0. Basta por tato platear el siguiete sistema homogéeo de ecuacioes: x1 A 0 = x 0 Si es compatible idetermiado, su solució se expresará mediate parámetros, y ésa será la orma paramétrica de Ker(). Si es compatible determiado etoces solamete tiee la solució ula, por lo que el úcleo estará ormado solamete por el vector 0, Ker() = { 0 }. Image: Las columas de A so las imágees de la base caóica, por tato so imágees de u sistema geerador del espacio iicial V. Así pues dichas columas so u sistema geerador de Im(). Por tato: Im() es el espacio geerado por las columas de A. Dichas columas o tiee por qué ormar ua base de Im(); para obteer ésta habrá que suprimir las columas que depeda liealmete de las demás (por ejemplo, escaloado la matriz y quedádoos co las columas pivotales). Ejemplo. Sea la aplicació dada por la matriz A= ; calcular bases de su úcleo e image. 1 1 Notemos que, ya que A es de tamaño x, la aplicació será :. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 1

13 1 0 1 x 0 Núcleo: esolvemos el sistema 0 y = 0, obteiedo la solució (λ, λ, λ), que 1 1 z 0 es la orma paramétrica de Ker(). Por tato ua base de Ker() es (1, 1,1). Image: Es el subespacio de geerado por las tres columas de la matriz A. Como A tiee rago, ua de las columas depede liealmete de las demás. Escaloado la matriz se ve que los pivotes queda e las columas 1ª y ª, por tato os quedamos co 1 0 las columas 0 y como base de Im(). 1 Fialmete podemos ver, como comprobació, que dim( Ker() ) + dim( Im() ) = 1 + =. MATIZ DE UNA APLICACIÓN EN DISTINTAS BASES. La matriz de ua aplicació que hemos cosiderado hasta ahora, es la matriz llamada estádar o e bases caóicas. Cuado o se airme lo cotrario se tratará de la matriz estádar. Ahora bie, si ijamos e los espacios iicial y ial otras bases, etoces podemos trabajar co coordeadas e dichas bases. Podemos etoces ecotrar ua expresió de adecuada a estas coordeadas. (Nota. A partir de aquí, coviee repasar el puto COODENADAS Y CAMBIOS DE BASE del tema Espacios Vectoriales). Deiició: Matriz de ua aplicació e bases cualesquiera. m Sea : ua aplicació lieal, y cosideremos e el espacio iicial ua cierta base B, y e el espacio ial otra base B. Etoces se deie la matriz de e bases B y B como la matriz M que cotiee e sus columas las imágees de los vectores de la base B, expresadas e coordeadas respecto de B. Ejemplo. Sea la aplicació (x,y) (x+y, x-y, 0) y cosideremos las bases siguietes: - E el espacio iicial la base B = { (1,1), (1, 1) } - E el espacio ial la base B = { (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) } Calculemos la matriz de e bases B y B. Para ello hallamos las imágees de la base B: Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 1

14 (1,1) = (,0,0) (1, 1) = (0,,0) Estas imágees, (,0,0) y (0,,0), e el espacio ial ha de expresarse e coordeadas respecto de la base B. Esto puede hacerse plateado sistemas o bie utilizado la matriz de cambio de base (ver Tema Espacios Vectoriales). Por ejemplo mediate sistemas: (,0,0) = α (1,0,0) + β (1,1,0) + γ (1,1,1) α=1, β=1, γ= 1, es decir, (1,1, 1) so las 1 coordeadas de (,0,0) e base B y por tato 1 es la primera columa de la matriz M. 1 (0,,0) = α (1,0,0) + β (1,1,0) + γ (1,1,1) α=1, β= 1, γ=1, es decir, (1, 1,1) so las 1 coordeadas de (,0,0) e base B y por tato 1 es la seguda columa de la matriz M Así teemos M = 1-1, la matriz de e bases B y B Propiedades. 1) La matriz de : e bases cualesquiera es de tamaño m x, al igual que la matriz estádar. ) El rago de la aplicació ( = dimesió del subespacio image) tambié puede calcularse mediate el rago de M, siedo M la matriz e bases cualesquiera. 4) La matriz M e bases B y B puede utilizarse para calcular imágees de vectores, cuado trabajamos co coordeadas e base B e el espacio iicial y co coordeadas e base B e el espacio ial. E eecto, si multiplicamos la matriz M por el vector v (e columa y expresado como m coordeadas e base B), obteemos el vector (v) (tambié e columa y expresado como coordeadas e base B ). Es decir, M x1 = x y y 1 m x1 siedo las coordeadas de v e base B, y siedo x image (v) expresada e base B. y y 1 m las coordeadas de su Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Liealess 14

15 Ejemplo. Cosideremos la aplicació del ejemplo aterior, y hallemos la (x,y) (x+y, x-y, 0) image del vector v=(5,). Vamos a hacerlo de dos maeras: e bases caóicas, y e las bases B y B deiidas ateriormete: - E el espacio iicial la base B = { (1,1), (1, 1) } - E el espacio ial la base B = { (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) } E bases caóicas: La image de (x,y) es simplemete (x+y, x-y, 0) por lo que (v)=(8,,0). E bases B y B : Las imágees puede calcularse mediate la matriz M que ya hemos hallado: M= Para ello expresamos v e base B: (4,) = α(1,1)+ β(1, 1) α=4, β=1, luego (4,1) so las coordeadas de v e base B. Multiplicado la matriz M por estas coordeadas e columa, obteemos = 5 - Así pues, la image de v es (5,, ) e coordeadas e base B. Veamos que esto coicide co la image (v)=(8,,0) obteida ates: Que las coordeadas de (v) e base B sea (5,, ) sigiica, por deiició de coordeadas, que: (v)= 5 (1,1,0) + (1,0,1) (0,1,1) = (8,,0), eectivamete. elació etre la matriz estádar y la matriz e otras bases. Sea : V W ua aplicació lieal co matriz asociada A e bases caóicas. Cosideremos otras bases, B base de V y B base de W. Cosideremos las siguietes matrices de cambio de base e cada espacio: E V: P es la matriz de cambio de la base B a la caóica, y P -1 de la caóica a B. E W: Q es la matriz de cambio de la base B a la caóica, y Q -1 de la caóica a B. Etoces se tiee la igualdad: M = Q 1 A P Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 15

16 Esto puede represetarse mediate el siguiete esquema: V b. caóica P -1 P A W b. caóica Q 1 Q base B M base B Tambié es posible cambiar de base sólo e el espacio iicial, o sólo e el espacio ial: 1) Aquí M es la matriz e la base caóica y B (es decir, sus columas cotiee las imágees de la base caóica, expresadas como coordeadas e B ). Etoces teemos: M = Q 1 A (Podemos cosiderar que P es la matriz idetidad) V b. caóica M A W b. caóica Q 1 base B Q V W ) Ahora M es la matriz e B y la base A caóica (es decir, sus columas b. caóica b. caóica cotiee las imágees de la base B, P -1 P expresadas como coordeadas e base caóica). M base B Etoces teemos: : M = A P Ejemplo: Dada la aplicació (x,y) (x+y, x-y, 0) (Podemos cosiderar que Q es la matriz idetidad) ya hemos calculado ateriormete la matriz e bases caóicas, que es A= y su matriz e bases B={(1,1),(1, 1)}, B ={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}, que es M = 1-1, -1 1 Los cambios de base so: 1 1 E el espacio iicial : el cambio de B a la base caóica es P= 1 1 (P se halla colocado e columas los vectores de B expresados e base caóica). El cambio iverso, de la base caóica a B será P 1. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 16

17 E el espacio ial : el cambio de B a la base caóica es Q= (Q se halla colocado e columas los vectores de B expresados e base caóica). El cambio iverso, de la base caóica a B será Q 1. Se cumplirá etoces que M = Q 1 A P. Así pues, tambié podríamos haber hallado M de la siguiete maera: M = Q 1 A P = = MATICES EQUIVALENTES. La equivalecia es ua relació etre matrices que se puede deiir de cuatro ormas dieretes: 1) Dos matrices A y B so equivaletes (se deota A ~ B) si so matrices de la misma aplicació lieal, e distitas bases. ) Dos matrices A y B so equivaletes si se puede pasar de ua a otra mediate operacioes elemetales por ilas y posiblemete tambié por columas (permutar líeas; multiplicar ua líea por u escalar o ulo; sumar a ua líea u múltiplo de otra) ) A y B so equivaletes si existe P, Q matrices cuadradas iversibles tales que B=PAQ. 4) Dos matrices so equivaletes si tiee la misma dimesió mx y el mismo rago Ejemplo. Dadas las matrices A= y B = , observamos que ambas tiee dimesió x4 y rago. Así, por la airmació 4) aterior, A y B so equivaletes. Esto sigiica, por ), que A se puede trasormar e B mediate operacioes elemetales por ilas y posiblemete tambié por columas. Tambié sigiica, por 1), que tato A como B so matrices de ua cierta aplicació lieal e 4 distitas bases. Esta aplicació deberá ser : (puesto que así su matriz será x4) y deberá ser rg()= ( es decir, dim(im())= ), puesto que así la matriz de tedrá rago. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 17

18 COMPOSICIÓN DE APLICACIONES. Si teemos dos aplicacioes lieales : V W y g: W U, podemos deiir la aplicació compuesta h=g, cosistete e aplicar a cada vector y después g. h : V W U v (v) g( (v) ) La matriz de la aplicació compuesta se obtiee multiplicado las matrices de y de g. Si A es la matriz de y M es la matriz de g, etoces M A es la matriz de h. (E bases caóicas). Si se trata de otras bases se veriica ua relació similar. Supogamos que: - B es base de V, B ' lo es de W, y B '' lo es de U. - A es la matriz de e bases B y B ' - M es la matriz de g e bases B ' y B '' - Etoces el producto M A es la matriz de h e bases B y B ''. Ejemplo Sea las aplicacioes 4 y (x,y) (x, y, x+y, x-y ) g 4 (x,y,z,t) (x, x y, z+t) 1 0 La matriz de e base caóica es A= La matriz de g e base caóica es B= Por tato la aplicació compuesta h=g tiee como matriz e base caóica B A= = que es de dimesió x puesto que h comieza e y acaba e. Neila Campos ÁLGEBA LINEAL Aplicacioes Lieales 18

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio)

Más detalles

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,

Más detalles

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales Asigatura: Geometría I Grado e Matemáticas. Uiversidad de Graada Tema 2. Espacios vectoriales Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 14 de diciembre de 2012 Ídice 1. Espacio vectorial 2 2. Subespacio

Más detalles

Espacio vectorial ESPACIO VECTORIAL. 8.- Intersección y suma de subespacios vectoriales

Espacio vectorial ESPACIO VECTORIAL. 8.- Intersección y suma de subespacios vectoriales ESPACIO VECTORIAL.- Itroducció.- Espacio Vectorial.- Subespacios vectoriales 4.- Geeració de Subespacios vectoriales 5.- Depedecia e idepedecia lieal 6.- Espacios vectoriales de tipo fiito 7.- Cambio de

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

en. Intentemos definir algunas operaciones en

en. Intentemos definir algunas operaciones en OPERACIONES EN 8 E la secció aterior utilizamos fucioes de el primer couto y estudiar sus propiedades e Itetemos defiir alguas operacioes e Recordemos de cursos ateriores que tomamos al couto de los compleos

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL Ezequiel Uriel DEFINICIONES Matriz Ua matriz de orde o dimesió p- o ua matriz ( p)- es ua ordeació rectagular de elemetos dispuestos e filas y p columas de la siguiete forma:

Más detalles

Matemáticas I. Tema 2 E.I.I. Aplicaciones Lineales y Matrices. Curso 2012-2013

Matemáticas I. Tema 2 E.I.I. Aplicaciones Lineales y Matrices. Curso 2012-2013 Matemáticas I E.I.I Tema 2 Aplicacioes Lieales y Matrices Curso 202-203 Itroducció 2 Como requisitos previos para maejar todos lo que e este tema se itroduce se tiee que recordar de cursos ateriores los

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA

AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA FERNANDO LUIS GARCÍA ALONSO ANTONIO PÉREZ CARRIÓ JOSÉ ANTONIO REYES PERALES Profesores Titulares de la Escuela Politécica Superior de la Uiversidad de Alicate

Más detalles

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento. UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses

Más detalles

1.1. Campos Vectoriales.

1.1. Campos Vectoriales. 1.1. Campos Vectoriales. Las fucioes, ampliamete empleadas e la igeiería, para modelar matemáticamete y caracterizar magitudes físicas, y cuyo domiio podría ser multidimesioal, puede teer u rago uidimesioal

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones.

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones. MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 1 TEMA 28: Estudio global de ucioes Aplicacioes a la represetació gráica de ucioes Esquema: Autor: Atoio Pizarro Sácez 1 Itroducció 2 Domiio de deiició y recorrido

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

Gradiente, divergencia y rotacional

Gradiente, divergencia y rotacional Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para

Más detalles

Existencia. donde R(a) = {b B / (a, b) R} y R 1 denota la relación inversa de R. ({a} R(a)) y esta unión es disjunta entonces se tiene

Existencia. donde R(a) = {b B / (a, b) R} y R 1 denota la relación inversa de R. ({a} R(a)) y esta unión es disjunta entonces se tiene Existecia. El pricipio de los casilleros. Si queremos colocar 3 bolillas e cajas, es evidete que e algua caja deberemos colocar al meos dos bolillas. Lo mismo ocurre si e lugar de 3 bolillas tuviésemos

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

Problemas. 1. Un objeto está situado a 12 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es 6 cm. Hallar a que distancia se encuentra la imagen.

Problemas. 1. Un objeto está situado a 12 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es 6 cm. Hallar a que distancia se encuentra la imagen. Problemas. U objeto está situado a cm de u espejo cócavo cuyo radio de curvatura es 6 cm. Hallar a que distacia se ecuetra la image. Sabemos que la ocal de u espejo viee dada por r 3 cm Al ser el espejo

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p.

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p. Divisibilidad Matemática discreta Dados dos úmeros aturales a y b, escribiremos a b y leeremos a divide a b si existe u c N tal que ac = b. E este caso, decimos que a es u divisor de b o que b es divisible

Más detalles

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros

Más detalles

Sucesiones y ĺımite de sucesiones

Sucesiones y ĺımite de sucesiones Tema 3 Sucesioes y ĺımite de sucesioes Ídice del Tema Sucesioes........................................ 60 Progresioes....................................... 63 3 Covergecia......................................

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIERA

TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIERA TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIEA 1. AUMENTOS Y DISMINUCIONES POCENTUALES Si expresamos u porcetaje % como u úmero decimal: tato por uo: r = 23 23% = 0, 23 obteemos el Para calcular el porcetaje % de ua catidad

Más detalles

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a) Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio

Más detalles

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida. UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida. Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació,

Más detalles

MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009

MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1 MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1. Nocioes básicas De ició: Sea (; F; P ) u espacio de probabilidad y T 6= ; y sea (F t ) t2t ua ltració e F. Ua familia fx t g t2t de v.a. reales de idas sobre

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 013 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea R la regió factible defiida por las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. (0 5 putos) Razoe si el puto (4 5,1 55) perteece

Más detalles

Soluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I

Soluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I Ecoometría I. Solucioes Hoja 2 Carlos Velasco. MEI UC3M. 2007/08 Solucioes Hoja de Ejercicios 2 Ecoometría I 1. Al pregutar el saldo Z (e miles de euros) de su cueta de ahorro cojuta a u matrimoio madrileño

Más detalles

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada

Más detalles

UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES

UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD 1.- INTRODUCCIÓN.... 1 2.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES... 2 3.- CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS.... 2 4.- EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA... 2 5.- RESOLUCIÓN

Más detalles

Estimación puntual y por intervalos de confianza

Estimación puntual y por intervalos de confianza Ídice 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.1 6.1 Itroducció.......................................... 6.1 6. Estimador........................................... 6. 6.3 Método de costrucció

Más detalles

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación)

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación) Aputes: Matemáticas Fiacieras 1. Lecció 11 - Operacioes Fiacieras a largo plazo - Préstamos (Cotiuació) 1.1. Préstamo: Método de cuotas de amortizació costates E este caso se verifica A 1 = A 2 = = A =

Más detalles

La volatilidad implícita

La volatilidad implícita La volatilidad implícita Los mercados de opcioes ha evolucioado bastate desde los años setetas, época e la que ue publicada la órmula de Black Scholes (BS). Dicha órmula quedó ta arraigada e la mete de

Más detalles

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida CADENAS DE MARKOV Itroducció U proceso o sucesió de evetos que se desarrolla e el tiempo e el cual el resultado e cualquier etapa cotiee algú elemeto que depede del azar se deomia proceso aleatorio o proceso

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

16 Distribución Muestral de la Proporción

16 Distribución Muestral de la Proporción 16 Distribució Muestral de la Proporció 16.1 INTRODUCCIÓN E el capítulo aterior hemos estudiado cómo se distribuye la variable aleatoria media aritmética de valores idepedietes. A esta distribució la hemos

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos OpeStax-CNX module: m12830 1 Aálisis e el Domiio del Tiempo para Sistemas Discretos Do Johso Traslated By: Erika Jackso Fara Meza Based o Discrete-Time Systems i the Time-Domai by Do Johso This work is

Más detalles

CUADERNO VII FORMAS CANONICAS DE LOS ENDOMORFISMOS

CUADERNO VII FORMAS CANONICAS DE LOS ENDOMORFISMOS 1 CUADERNO VII FORMAS CANONICAS DE LOS ENDOMORFISMOS Miguel A. Saiz, Joa Serarols, Aa M. Pérez Dep. de Iformática y Matemática Aplicada Uiversidad de Giroa RESUMEN: La matriz asociada a u edomorfismo f

Más detalles

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción CAPÍTULO SEIS LA TRANSFORMADA Z 6. Itroducció E el Capítulo 5 se itrodujo la trasformada de Laplace. E este capítulo presetamos la trasformada Z, que es la cotraparte e tiempo discreto de la trasformada

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009 1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN APUNTES CURSO: ALGEBRA SUPERIOR INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Medoza Primavera 2009 2

Más detalles

DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO

DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO Coteido: Resume ejecutivo I. Los estadígraos e la ormació de portaolios de activos iacieros II. Portaolios

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA . DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN. TEMA 3.- OPEACIÓN FINANCIEA Se deomia operació fiaciera a todo itercambio o simultáeo de capitales fiacieros pactado etre dos agetes, siempre que se verifique la equivalecia,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió

Más detalles

LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI

LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI La sorpredete sucesió de Fiboacci LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI La sorpredete sucesió de Fiboacci debe su ombre a Leoardo de Pisa (.70-.40), más coocido por Fiboacci (hijo de Boaccio). A pesar

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS) Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico

Más detalles

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante,

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante, 883 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Métodos uméricos de u paso El objetivo de este capítulo es itroducir los métodos uméricos de resolució

Más detalles

Teoría Combinatoria. Capítulo 2. 2.1. Dos Principios Básicos.

Teoría Combinatoria. Capítulo 2. 2.1. Dos Principios Básicos. Capítulo 2 Teoría Combiatoria La Teoría Combiatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las formas de cotar Aparte del iterés que tiee e sí misma, la combiatoria tiee aplicacioes

Más detalles

11. TRANSFORMADOR IDEAL

11. TRANSFORMADOR IDEAL . TAFOMADO DEA.. TODUCCÓ Cuado el flujo magético producido por ua bobia alcaza ua seguda bobia se dice que existe etre las dos bobias u acople magético, ya que el campo magético variable que llega a la

Más detalles

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Dibuje el recito

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA

NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA José Luis Soto Muguía Departameto de Matemáticas Uiversidad de Soora. INTRODUCCIÓN. Desde los primeros años de la escuela, el estudiate se efreta e matemáticas

Más detalles

Análisis de Señales y Sistemas Digitales. Concepto Algoritmo Implementación

Análisis de Señales y Sistemas Digitales. Concepto Algoritmo Implementación Aálisis de Señales y Sistemas Digitales FFT Cocepto Algoritmo Implemetació 2010 FFT Trasformada Rápida de Fourier Cocepto La trasformada rápida de fourier (FFT) es u algoritmo que permite él cálculo eficiete

Más detalles

En esta parte se presentan diversas técnicas para contar los elementos de un conjunto. Paralelamente a la descripción de técnicas usuales de

En esta parte se presentan diversas técnicas para contar los elementos de un conjunto. Paralelamente a la descripción de técnicas usuales de 25 Parte I Eumeració E esta parte se preseta diversas técicas para cotar los elemetos de u cojuto. Paralelamete a la descripció de técicas usuales de eumeració, se preseta tambié problemas clásicos de

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se

Más detalles

4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES

4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES 4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES Dr. http://math.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ 41 4.1 Espacio Muestral y Evetos 4.1.1 1 Experimetos Aleatorios y Espacios

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 03 MODELO (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO (A) ( 5 putos) U fabricate elabora

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A =

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A = IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y -1 3 0 - z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos)

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+ IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 009 (MODELO 3) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea la igualdad A X + B = A, dode

Más detalles

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro)

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) (PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS Defiició: U feómeo o experiecia se dice aleatorio cuado al repetirlo e codicioes aálogas o se puede predecir el

Más detalles

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

Desigualdades. José H. Nieto (jhnieto@yahoo.com)

Desigualdades. José H. Nieto (jhnieto@yahoo.com) Desigualdades José H. Nieto jhieto@yahoo.com). Itroducció Las desigualdades juega u rol fudametal e matemática. Existe libros completos dedicados a su estudio, y e las competecias iteracioales de problemas

Más detalles

OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con

OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con Curso -3 OBJETIVOS Objetivos Geerales Itroducir el cálculo de fucioes de ua variable como fudameto del aálisis ecoómico margial y los problemas de optimizació. Matemáticas Empresariales Doble Grado e ADE

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 1) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Más detalles

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS PROFESORES: MARIN JAIMES CARLOS JAVIER SARMIENTO LUIS JAIME UNIDAD 3: EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EL VALOR PRESENTE NETO VPN Es ua

Más detalles

Media aritmética, media geométrica y otras medias Desigualdades Korovkin

Media aritmética, media geométrica y otras medias Desigualdades Korovkin Media aritmética, media geométrica y otras medias Desigualdades Korovki Media geométrica y media aritmética Si,,, so úmeros positivos, los úmeros + + + a = g = formados a base de ellos, se deomia, respectivamete,

Más detalles

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 375 REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 376 Revisió de alguos idicadores para medir desigualdad Medidas de Desigualdad Para medir el grado de desigualdad e la

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL ) MEDIA ARITMÉTICA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL Las medidas de tedecia cetral so medidas represetativas que como su ombre lo idica, tiede a ubicarse hacia el cetro del cojuto de datos, es decir,

Más detalles

7 Energía electrostática Félix Redondo Quintela y Roberto Carlos Redondo Melchor Universidad de Salamanca

7 Energía electrostática Félix Redondo Quintela y Roberto Carlos Redondo Melchor Universidad de Salamanca 7 Eergía electrostática Félix Redodo Quitela y Roberto Carlos Redodo Melchor Uiersidad de alamaca Eergía electrostática de ua distribució de carga eléctrica Hasta ahora hemos supuesto distribucioes de

Más detalles

8 Funciones, límites y continuidad

8 Funciones, límites y continuidad Solucioario 8 Fucioes, límites y cotiuidad ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Copia y completa la siguiete tabla, epresado de varias formas los cojutos uméricos propuestos. Gráfica Itervalo Desigualdad Valor absoluto

Más detalles

Probabilidad con técnicas de conteo

Probabilidad con técnicas de conteo UNIA 3 Probabilidad co técicas de coteo Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: distiguirá y utilizará las reglas de multiplicació y de suma para el cálculo de la catidad de arreglos co y si orde explicará

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 007-008 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN A

Más detalles

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza.

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza. Tema 9. Iferecia Estadística. Itervalos de cofiaza. Idice 1. Itroducció.... 2 2. Itervalo de cofiaza para media poblacioal. Tamaño de la muestra.... 2 2.1. Itervalo de cofiaza... 2 2.2. Tamaño de la muestra...

Más detalles

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B Métodos Estadísticos de la Igeiería Tema 9: Iferecia Estadística, Estimació de Parámetros Grupo B Área de Estadística e Ivestigació Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragó Abril 200 Coteidos...............................................................

Más detalles

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN

Más detalles

14. FORMAS CUADRÁTICAS BINARIAS Y GRUPOS DE CLASES

14. FORMAS CUADRÁTICAS BINARIAS Y GRUPOS DE CLASES 4. 4. Ecuació Pell. Itroducció y orige E su obra A Dictioary of Mathematics Origially, el profesor de la Uiversidad de Oford Christopher Clapham, defie a la Ecuació Pell como ua ecuació diofática de la

Más detalles

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera Cálculo para la igeiería Tomo II Salvador Vera 9 de eero de 5 ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 998-4. Ídice geeral 7. Series Numéricas 7.. El sigo del sumatorio: Sigma Σ... 7... Propiedades

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)

Más detalles

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES Las medidas de PML a ser implemetadas, se recomieda e base a las opcioes de PML calificadas como ecoómicamete factibles.

Más detalles

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de

Más detalles

3.1. FUNCIÓN VECTORIAL 3.2. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 3.1. 3.3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

3.1. FUNCIÓN VECTORIAL 3.2. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 3.1. 3.3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN .1. FUNCIÓN VECTORIAL.. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR.1... DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.. ESCALAR...4. CONJUNTO DE NIVEL.4..5. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.6. CONTINUIDAD.7. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Más detalles

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco MEDIDAS DE RESUMEN Jorge Galbiati Riesco Las medidas de resume sirve para describir e forma resumida u cojuto de datos que costituye ua muestra tomada de algua població. Podemos distiguir cuatro grupos

Más detalles