Tema 4.- El espacio vectorial R n.

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1 Tema 4- El espacio vectorial R n Subespacios vectoriales de R n Bases de un subespacio Rango de una matriz 4 Bases de R n Cambios de base 5 Ejercicios En este tema estudiamos la estructura vectorial del espacio R n, de las n uplas ordenadas de números reales, es decir, la estructura relacionada con las operaciones suma (de vectores) y multiplicación de un número (real) por un vector El espacio R n es uno de los modelos para el estudio de los denominados espacios vectoriales (generales) Sin entrar en más detalles y definiciones, un espacio vectorial es un conjunto de elementos sobre el que hay definida una operación suma (de dichos elementos) y una operación producto de un número por uno de dichos elementos Por ejemplo, son espacios vectoriales: el conjunto de las matrices de unas dimensiones dadas, con la operación suma de matrices y producto de un escalar (real, complejo) por una matriz, el conjunto de todos los polinomios en una variable, con las operaciones suma de polinomios y producto de un escalar por un polinomio, el conjunto de todos los polinomios en una variable y con grado menor o igual que un cierto valor prefijado Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que Para finalizar, daremos la definición formal de base y consideraremos los resultados fundamentales asociados a dicho concepto Subespacios vectoriales de R n Los subespacios vectoriales de R n serán los subconjuntos de R n que se pueden caracterizar mediante ecuaciones lineales homogéneas (ecuaciones implícitas en las n variables dadas por las coordenadas de un vector genérico) Como ya hemos visto, cualquier conjunto de vectores descrito como el conjunto de todas las combinaciones lineales de ciertos vectores también puede caracterizarse mediante ecuaciones lineales homogéneas A la hora de manipular subespacios vectoriales recurriremos, de forma habitual, a su expresión mediante ecuaciones implícitas o a su expresión mediante ecuaciones paramétricas Una de las cuestiones que trataremos es el número mínimo de ecuaciones implícitas mediante las que se puede caracterizar un subespacio y el número mínimo de vectores que permiten generar dicho subespacio En el espacio tridimensional R, los subespacios vectoriales son, además del subespacio nulo {} y del total R, las rectas y los planos que pasan por el origen de coordenadas Recordemos que cualquier recta o plano se puede caracterizar mediante ecuaciones implícitas y mediante ecuaciones paramétricas En R, para caracterizar una recta que pasa por el origen de coordenadas necesitamos dos ecuaciones (no redundantes) o un vector, y para caracterizar un plano que pasa por el origen de coordenadas necesitamos una ecuación o dos vectores linealmente independientes (una base de dicho plano) Subespacios vectoriales Definición Se llama subespacio vectorial de R n a todo subconjunto no vacío S R n que verifica: () Si un vector está en S, también lo está cualquiera de sus múltiplos, es decir, v S = αv S, α R, () Si dos vectores están en S, también lo está la suma de ambos, es decir, v,v S = v +v S 79

2 La propiedad () nos dice que si tenemos un vector no nulo de un subespacio vectorial, la recta determinada por dicho vector está contenida en el subespacio La propiedad () nos dice que si tenemos dos vectores (no colineales) de un subespacio vectorial, el plano determinado por dichos vectores está contenido en el subespacio Las dos propiedades anteriores se pueden expresar de forma conjunta: Si dos vectores están en S, también lo está cualquiera de sus combinaciones lineales: { } v,v S = αv α,β R +βv S En particular el vector nulo pertenece a cualquier subespacio vectorial { } Obviamente S = y S = R n son subespacios vectoriales (a veces llamados subespacios triviales) En el espacio bidimensional, R, además de esos dos subespacios triviales, cualquier recta que pase por el origen es un subespacio vectorial Sin embargo, los vectores de posición determinados por los puntos de una parábola NO forman un subespacio vectorial } En el espacio tridimensional, R, además de los dos subespacios triviales ({ y R ), cualquier recta o plano que pase por el origen es un subespacio vectorial Ejercicio resuelto Encontrar unas ecuaciones implícitas del subespacio de R 4 E = Gen{(,,,) T,(,,,) T,(,,, ) T,(,,,) T,(,,, ) T } Dado un conjunto generador {v,v,v,v 4,v 5 } de un subespacio E R 4, encontrar las ecuaciones implícitas de E es hallar las condiciones que deben verificar las componentes de un vector de R 4, x = (x,x,x,x 4 ) T, para que pertenezca a E, es decir, para que se pueda escribir como combinación lineal del conjunto generador x = c v +c v + c v +c 4 v 4 +c 5 v 5, es decir, para que existan esos escalares c i, o lo que es equivalente, para que el sistema (v v v v 4 v 5 )c = x, con c = (c,c,c,c 4,c 5 ) T sea compatible Para exigir esto construimos la matriz ampliada (v v v v 4 v 5 x): x x x F F F F x 4 F F / F 4 +F es decir, el sistema es compatible cuando { x x / x / =, x 4 +x x =, x x x x x x 4 x x x x x / x / x 4 +x x { x +x x =, x x x 4 =, que son unas ecuaciones implícitas de E Observemos que podíamos haber buscado primero una base de E, aplicando eliminación gaussiana a la matriz (v v v v 4 v 5 ): F F F F F F / F 4 +F, de donde deducimos que E = Gen{v,v }, es decir, una base de E es B E = {v,v } Dada una base {v,v } de un subespacio E R 4, encontrar las ecuaciones implícitas de E es hallar las condiciones que deben verificar las componentes de un vector de R 4, x = (x,x,x,x 4 ) T, para que pertenezca a E, es decir, para que se pueda escribir como combinación lineal de los vectores de la base x = c v +c v, es decir, para que existan esos escalares c i, o lo que es equivalente, para que el sistema (v v )c = x, con c = (c,c ) T, 8

3 sea compatible Para exigir esto construimos la matriz ampliada (v v x): x x x x F F x x F F x x F F / F 4 +F x 4 x 4 x x x x x / x / x 4 +x x, es decir, el sistema es compatible cuando { x x / x / =, x 4 +x x =, { x +x x =, x x x 4 =, que son unas ecuaciones implícitas de E La garantía de que el resultado al que hemos llegado es correcto se obtiene comprobando que todos los vectores v i verifican todas las ecuaciones implícitas obtenidas Espacio nulo y espacio columna de una matriz Asociados a una matriz A,m n, A = [v v v n = hemos considerado los denominados a a a n a a a n a m a m a mn Espacio nulo de la matriz A, esto es, el conjunto de vectores reales x R n caracterizados por las ecuaciones implícitas a x +a x + +a n x n = a x +a x + +a n x n = Ax = a m x +a m x + +a mn x n = Espacio columna de la matriz A, subespacio generado por las columnas de A, esto es, el conjunto de vectores y que se pueden escribir como combinación lineal de dichas columnas y = α v +α v + +α n v n, caracterizado por las ecuaciones paramétricas y = α a +α a + +α n a n y = α a +α a + +α n a n, con α,α,,α n R y m = α a m +α a m + +α n a mn Resolviendo el sistema homogéneo Ax = podemos obtener los vectores del espacio nulo de A como el conjunto de vectores que se pueden expresar como combinación lineal (arbitraria) de determinados vectores, es decir, como el subespacio generado por ciertos vectores o como el espacio columna de la matriz que tiene a dichos vectores como vectores columna Por otra parte, puesto que el espacio columna de una matriz A está formado por los vectores y tales que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible, obteniendo las condiciones de compatibilidad de este sistema (en función del término independiente y), tendremos unas ecuaciones lineales homogéneas que permiten expresar el citado espacio columna como espacio nulo de otra matriz Por tanto, hablar de espacio nulo o espacio columna de una matriz (o subespacio generado por ciertos vectores) no es hablar de conjuntos de vectores con características distintas, sino que es hablar de un mismo tipo de conjunto de vectores, que son los denominados subespacios vectoriales, pero expresados en forma distinta: cuando uno de dichos conjuntos de vectores viene dado como espacio nulo de una matriz tenemos una descripción implícita (ecuaciones implícitas) de dicho conjunto (un vector está en el conjunto considerado si, y sólo si, sus coordenadas verifican el sistema homogéneo asociado a la matriz), 8

4 cuando uno de dichos conjuntos de vectores viene dado como espacio columna de una matriz tenemos una descripción paramétrica (ecuaciones paramétricas) de dicho conjunto (un vector está en el conjunto considerado si, y sólo si, puede expresarse como combinación lineal de determinados vectores) Entre las descripciones paramétricas de un subespacio vectorial unas serán mejores que otras en el sentido de que unas involucren menos vectores que otras Es decir, si tenemos el espacio columna de una cierta matriz A,m n, y los vectores columna de A son linealmente dependientes, suprimiendo vectores que sean combinación lineal de los que quedan, tendremos que el espacio columna de la matriz original también es el espacio columna de la matriz que resulta de la matriz anterior suprimiendo algunas columnas Si nos quedamos con un conjunto de vectores linealmente independiente, tendremos que dichos vectores generan el espacio columna de la matriz original y cada vector de dicho espacio se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores linealmente independientes obtenidos Dichos vectores constituyen lo que se denomina una base (es decir, un conjunto de vectores linealmente independiente que genera el subespacio) del subespacio vectorial considerado, el espacio columna de la matriz original Si en la representa-ción paramétrica eliminamos los parámetros, llegaremos a unas ecuaciones homogéneas que darán una descripción implícita del subespacio considerado De forma paralela, entre las descripciones implícitas de un subespacio vectorial también habrá unas mejores que otras, en el sentido de que una puede tener ecuaciones redundantes y otra no Si mediante operaciones fila reducimos una matriz A a forma escalonada y obtenemos la matriz U, las soluciones del sistema Ux = coinciden con las del sistema Ax =, es decir los espacios nulos de la matriz A y de la matriz U coinciden Si de la matriz U eliminamos las filas nulas, que proceden de ecuaciones originales redundantes en el sistema Ax =, tendremos un sistema de ecuaciones sin ecuaciones redundantes y cuyas soluciones forman el espacio nulo de la matriz A original Si resolvemos el sistema homogéneo tendremos una descripción paramétrica del conjunto solución, es decir, del subespacio dado Podemos caracterizar las matrices invertibles en términos de sus espacios nulo y columna Teorema- Consideremos una matriz cuadrada de orden n () La matriz A tiene inversa si, y sólo si, Col(A) = R n () La matriz A tiene inversa si, y sólo si, Nul(A) = {} Cuando se consideran las transformaciones lineales sin hacer referencia a la matriz asociada, se suele utilizar la siguiente terminología: Definición Consideremos una aplicación lineal T : R n R m () Se denomina núcleo de T y se denota por ker(t) al conjunto (subespacio) ker(t) = {x R n : T(x) = } () Se denomina conjunto o espacio imagen de T al conjunto de vectores de R m que tienen anti-imagen, es decir, Imagen(T) = T(R n ) = {T(x) : x R m } = {y R m : x R n,y = T(x)} Si consideramos la matriz A asociada a T, tenemos ker(t) = {x R n : Ax = } = Nul(A) Imagen(T) = T(R n ) = {Ax : x R m } = {y R m : x R n,y = Ax} = = {y R m : Ax = y es un SC} = Col(A) Ejemplo- Consideremos el espacio nulo de la matriz A = 4 5 es decir, estamos considerando el conjunto S de los vectores x R 4 cuyas coordenadas (x,x,x,x 4 ) verifican las ecuaciones (implícitas) x +x + x 4 = x + x x 4 = x +4x +x +5x 4 = Haciendo operaciones fila sobre la matriz A (que se corresponden con operaciones sobre las ecuaciones del sistema) tenemos A = F +F F F 6 8 U = F +F 6 8, 8

5 De hecho, refiriéndonos a la matriz original tenemos que F (A) = F (A) + F (A) Equivalentemente, la tercera ecuación del sistema original es combinación lineal de las dos primeras con lo cual si un vector es solución de las dos primeras también lo es de la tercera Resumiendo, tenemos que S = Nul(A) = Nul [ = Nul(U) = Nul [ 6 8 con lo cual nuestro conjunto S de vectores está caracterizado por las ecuaciones (no redundantes) } x x +x + x 4 = +x + x 4 = o por x 6x +x +8x 4 = + x +x 4 = Resolviendo el sistema Ux = tenemos = Variables libres x y x 4 Variables fijas x y x x = 6 ( x 8x 4 ) = x = x +x 4 = 6 ( x 8x 4 )+x 4 = x + x 4 x x x x 4 = x 6 +x 4 4 Por tanto, Nul(A) = Gen = Col v = ,v = = Col = Gen 6v = 6,v = 4 Los vectores {v,v } forman una base de S = Nul(A) Los vectores de Nul(A) son los que pueden expresarse como combinación lineal de v y v y, como consecuencia de la independencia lineal, cada vector de S sólo puede expresarse de una única forma como combinación lineal de v y v Los coeficientes que aparezcan en dicha combinación lineal son las coordenadas del vector de S respecto a la base {v,v } (de S) El vector v = [ está en S y sus coordenadas respecto a {v,v } son la solución de v = λv +µv es decir, λ = 8,µ = 6 (v = 8v 6v ) [ v = v v λ µ Ejemplo- Vamos a utilizar la misma matriz A del ejemplo anterior El espacio columna de dicha matriz es, por definición de espacio columna, el conjunto de vectores y que se pueden expresar como combinación lineal de las columnas de A, es decir los vectores y ( con coordenadas!) que se pueden expresar mediante y = y y = α +β +γ +δ y 4 5 para ciertos α,β,γ,δ R Esto es lo mismo que decir que el espacio columna está formado por los vectores y R para los que el sistema de ecuaciones Ax = y tiene solución En dicho caso, cada solución del sistema Ax = y nos daría una forma de expresar y como combinación lineal de las columnas de A Obtengamos, para un vector genérico, 8

6 y R las condiciones de compatibilidad del sistema Ax = y, reduciendo la matriz ampliada del sistema [A y a forma escalonada Haciendo las mismas operaciones fila que hemos hecho cuando hemos obtenido el espacio nulo tenemos [A y = y F +F y y 6 8 y +y 4 5 y F +F 6 8 y +y F F U = - y 6 8 y +y y y y Por tanto, el sistema Ax = y es compatible (determinado o indeterminado) y y y = Es decir, el espacio columna de A está formado por los vectores y R cuyas coordenadas verifican la ecuación (lineal homogénea) y y y = Se trata, por tanto, de un plano (en R ) que pasa por el origen de coordenadas Además, teniendo la forma escalonada U que hemos obtenido, puesto que: Las columnas y de U son linealmente independientes y Las columnas y 4 son combinación lineal de las columnas y, lo mismo sucede con las columnas correspondientes de la matriz A con lo cual, el espacio columna de A (generado por las 4 columnas) coincide con el espacio generado por las columnas y de A ( no de U!) Los vectores dados por las columnas y de A forman una base de Col(A) puesto que son linealmente independientes y generan dicho espacio Si denotamos por v,v,v y v 4 a los vectores columna de A, cada vector y Col(A) se puede expresar de infinitas formas distintas como combinación lineal de v,v,v y v 4 puesto que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible (puesto que y Col(A)) indeterminado (puesto que hay variables libres) Sin embargo, dicho vector y Col(A) sólo puede expresarse de una única forma como combinación lineal de v y v puesto que el sistema de ecuaciones v [ v λ µ = tendrá solución única Para discutir, y resolver, este sistema basta con suprimir las columnas y 4 de la reducción que hemos hecho del sistema Ax = y con lo cual tenemos y y - y 6 y +y 4 y y y y La solución única (λ,µ) de este sistema (compatible cuando y R ) nos dará los coeficientes para los cuales se verifica y = λv +µv Estos coeficientes (λ,µ) (únicos para cada vector y Col(A)) se denominan coordenadas de y respecto de la base {v,v } Por ejemplo, las coordenadas del vector y = y y y ( Col(A) puesto que y y y = = ) respecto a la base {v,v } de Col(A) vienen dadas por la solución del sistema [ v v λ = - [ µ 6 4 λ = µ = [ 4 6 Ejercicio resuelto Dada la matriz A = 4 a, a R, encontrar, según los valores del parámetro a, unas ecuaciones implícitas del espacio columna de A, Col(A) Para a =, escribir razonadamente, si es que existe, una matriz C, 4 5, tal que Col(C) = Col(A) 84

7 Si llamamos v i a las columnas de A, A = [v v v, entonces su espacio columna, Col(A) = Gen{v,v,v }, que está contenido en R 4 Dadounconjuntogenerador{v,v,v }de un subespacioe R 4, encontrarlasecuacionesimplícitasdee eshallar las condiciones que deben verificar las componentes de un vector de R 4, x = (x,x,x,x 4 ) T, para que pertenezca a E, es decir, para que se pueda escribir como combinación lineal del conjunto generador, x = c v + c v + c v, es decir, para que existan esos escalares c i, o lo que es equivalente, para que el sistema (v v v )c = x, con c = (c,c,c ) T sea compatible Para exigir esto construimos la matriz ampliada (v v v x): x x x 4 x F F x 4 x F +F F 4 +F a x 4 a x 4 x F F x F 4 F x +x +x F 4 F a 4 x 4 +x x es decir, si a 4 aparecen tres pivotes y el sistema es compatible cuando x +x +x = x x x +x a x 4 +x x x a 4 x 4 +x x x +x +x (si a 4, Col(A) R 4 tiene una sola ecuación implícita pues al ser las tres columnas linealmente independientes, dim(col(a)) = ) Sin embargo, si a = 4, sólo aparecen dos pivotes(sólo hay dos columnas linealmente independientes, con lo que dim(col(a)) = y ese subespacio tendrá dos ecuaciones implícitas) y, por tanto, el sistema es compatible cuando { x +x +x =, x x x 4 =, que son unas ecuaciones implícitas de Col(A) cuando a = 4 La garantía de que el resultado al que hemos llegado es correcto se tiene comprobando que todos los vectores v i verifican todas las ecuaciones implícitas obtenidas (una en el caso a 4 y dos cuando a = 4) Nos piden después que, para a =, encontremos si es posible alguna matriz C, 4 5, tal que Col(C) = Col(A) Es decir, C = [u u u u 4 u 5 y como los u i R 4, entonces Col(C) R 4 con lo que sí puede darse Col(C) = Col(A) (Si C no tuviera 4 filas, entonces los u i / R 4 y no existiría C tal que Col(C) = Col(A)) Para escribir una matriz C, 4 5, cuyo espacio columna coincida con Col(A) basta con que sus cinco columnas sean combinación lineal de v, v y v (columnas de A) y que tres de ellas sean linealmente independientes (pues las tres columnas de A lo son para a = ) Por ejemplo, nos sirven las matrices siguientes (por comodidad repetimos las tres primeras columnas de A, aunque basta con que las cinco columnas verifiquen la ecuación implícita de Col(A), x +x +x =, y que haya tres linealmente independientes): 4, , 4 4, 4, 7 Observemosque paralasmatrices B = [v v v v v, B = [v v v v v v, B = [v v v v v 4v 5v, se verifica Col(B i ) Col(A) pero no se da la igualdad Col(B i ) = Col(A) (que es lo que nos pide el enunciado; por tanto, tres columnas deben ser linealmente independientes) ya que dim(col(b )) =, dim(col(b )) = dim(col(b )) =, mientras que dim(col(a)) = Ejercicio resuelto Dada la matriz B = b, b R, encontrar, según los valores del parámetro b, un conjunto generador linealmente independiente del espacio nulo de B, Nul(B),, 85

8 El espacio nulo de B está formado por los vectores x R 4 tales que Bx = Nos piden que encontremos un conjunto generador linealmente independiente (una base) de dicho espacio nulo, en función del parámetro b Para ello basta con resolver el sistema Bx = (homogéneo, de tres ecuaciones y cuatro incógnitas): b F F b Entonces, cuando b =, la matriz que representa al sistema es F b F b (b ) con lo que tomando x,x 4 como variables libres (al ser las columnas tercera y cuarta columnas no pivote) obtenemos x x,x 4 R / / x = (x +x 4 ) x = x x x 4 = x x x = x x = x / +x / 4, 4 x 4 con lo que Nul(B) = Gen / /, / / = Gen y una base de Nul(B), para b =, es {(,,,) T,(,,,) T } Conviene comprobar que estos vectores verifican el sistema Bx = Si b, la matriz que representa el sistema (hemos dividido la tercera fila por b ) es con lo que, tomando x 4 como variable libre (al ser la cuarta columna no pivote), obtenemos x 4 R x x = x 4 x = (x x = x +x 4 ) = x = x 4 Nul(B) = Gen x = x x x 4 = x 4 x 4 y una base de Nul(B), para b, es {(,,,) T } Conviene comprobar que este vector verifica el sistema Bx = Ejercicio resuelto [ Dada la matriz A =, escribir, si es posible, dos matrices cuadradas de orden y dos matrices 4 4 cuyo espacio columna coincida con el espacio nulo de A, Nul(A) Vamos a calcular, en primer lugar el espacio nulo de A, Nul(A), es decir vamos a encontrar los vectores x tales que Ax = Puesto que A es una matriz, para que se pueda hacer el producto Ax, debe verificarse que x R Así, Ax = nos proporciona las ecuaciones implícitas de Nul(A): Nul(A) { x +x +x = x 4x x =, Nul(A) = Gen v =,v = Por tanto, una base de Nul(A) es {v,v } Para escribir matrices cuyo espacio columna coincida con Nul(A) basta con que sus tres columnas sean combinación lineal de v y v (o, equivalentemente, que verifiquen su ecuación implícita x +x +x = ) y que dos sean linealmente independientes:,,,, 4 4, 86

9 Observemosque parala matrizb = [v v v se verificacol(b) Nul(A) perono se da la igualdadcol(b) = Nul(A) (que es lo que nos pide el enunciado) Por tanto, dos columnas deben ser linealmente independientes Si las matrices son 4, se aplica el mismo razonamiento sobre las cuatro columnas: todas deben ser combinación lineal de v y v y, simultáneamente, dos deben ser linealmente independientes:, 4 4, 7 7,, Bases de un subespacio Definición Dado un subespacio S de R n distinto del subespacio nulo S {}, se dice que un conjunto de vectores {v,v,,v r } de S es una base de S si: (a) {v,v,,v r } es linealmente independiente, (b) {v,v,,v r } genera S, S = Gen {v,v,,v r } Las anteriores condiciones se pueden expresar de forma matricial: Si denotamos por A a la matriz cuyas columnas son los vectores dados A = v v vr las columnas de A forman una base de un subespacio vectorial S si: (a) El sistema homogéneo Ax = tiene solución única (condición equivalente a que los vectores sean linealmente independientes) y (b) S = Col(A), es decir S está formado por los vectores y R m para los que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible Ejemplo Los vectores canónicos de R n, e = forman una base de R n Los vectores también forman una base de R n,e =,,e n = {e,e +e,,e +e + +e n } Definición/Teorema (Coordenadas respecto de una base) Dada una base {v,v,,v r } de un subespacio vectorial S, cada vector v de S se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de la base dada, v = c v +c v + +c r v r Los coeficientes que aparecen en dicha expresión (c,,c r ) se denominan coordenadas de v respecto a la base dada B = {v,v,,v r } y se suelen denotar por [v B = Definición/Teorema Consideremos un subespacio vectorial S de R m distinto del subespacio nulo S {} Se verifican: c c r 87

10 (a) S tiene base (b) Todas las bases de S tienen el mismo número de elementos Al número de elementos de una base de S se le denomina dimensión de S Por definición, la dimensión del subespacio formado por el vector nulo es cero Si, al igual que antes, denotamos por A a la matriz cuyas columnas son los vectores dados A = v v vr, para cada vector v (vector columna) de S se verifica que para algún vector de coeficientes c v = Ac Teorema (El Teorema de la Base) Consideremos un subespacio vectorial S de R m de dimensión p (p m) y un conjunto de vectores {u,,u q } S (a) Si {u,,u q } generan S, entonces q p Además, q = p {u,,u q } es una base de S (b) Si {u,,u q } es linealmente independiente, entonces q p Además, q = p {u,,u q } es una base de S En particular, si tenemos un conjunto de n vectores de R m : Si n > m, los n vectores no pueden ser linealmente independientes, Si m > n, los n vectores no pueden generar R m Rango de una matriz Definición Dada una matriz A, m n, se llama rango de A a la dimensión de su espacio columna, es decir, a la dimensión del subespacio vectorial (de R m ) Col(A) = {combinaciones lineales de las columnas de A} = {Ax : x R n } = {y R m : Ax = y es compatible} Teniendo en cuenta la relación entre la dimensión del espacio columna de A y la reducción de A a forma escalonada tenemos que rango(a) = número de pivotes de A Para una matriz cuadrada A de orden n, teniendo en cuenta los resultados sobre la existencia de la inversa obtenemos que: A tiene inversa rango(a) = n Teorema Consideremos una matriz A, m n Se verifican: (a) rango(a) = rango(a T ) Es decir, la dimensión del subespacio vectorial (de R n ) generado por las m filas de A coincide con la dimensión del espacio columna de A (subespacio vectorial de R m generado por las n columnas de A): dim(col(a)) = dim ( Col(A T ) ) Es decir, si por un lado reducimos la matriz A a forma escalonada por filas (mediante operaciones fila) y por otro reducimos a forma escalonada por columnas (mediante operaciones columna), el número de pivotes que se tienen en ambas reducciones es el mismo 88

11 (b) Teorema del rango dim(col(a))+dim(nul(a)) = n (c) En términos de la reducción por filas de A a forma escalonada, el Teorema del rango se puede expresar mediante: (número de pivotes) + (número de variables libres) = n Si consideramos la transformación lineal T : R n R m, asociada a una matriz real A,m n, el espacio imagen de la transformación es el espacio columna de la matriz A, Imagen(T) = T(R n ) = {T(x) R m : x R n } = = {y R m : y = T(x) para algún x R n } = Col(A) Se trata, por tanto, de un subespacio vectorial de R m cuya dimensión es rango(a) La imagen, mediante T, de cualquier subespacio vectorial S de R n será un subespacio vectorial T(S) de R m contenido en el espacio imagen (columna) y por tanto la dimensión de dicho subespacio T(S) será menor o igual que el rango de A (y menor o igual que la dimensión del subespacio S original) Por otra parte, si consideramos un subespacio vectorial H de R m, el conjunto de los vectores x R n cuyos transformados T(x) = Ax pertenecen a H forman un subespacio vectorial de R n En particular, si H es el subespacio nulo de R m, es decir, H = {} R m entonces, obtenemos el núcleo de la transformación T o lo que es lo mismo, el espacio nulo de A, ker(t) = {x R n : T(x) = } = {x R n : Ax = } = Nul(A) Ejercicio resuelto Considera la transformación lineal T que verifica, T T = =, T = (a) Calcula la matriz A tal que T(x) = Ax para todo x R (b) Calcula unas ecuaciones implícitas del espacio columna de A (c) Calcula un conjunto linealmente independiente de vectores S que genere el subespacio nulo de A (a) La aplicación lineal T : R R 4 tiene asociada, respecto de las bases canónicas, la matriz A en cuyas columnas aparecen los transformados de la base canónica del espacio de partida, es decir, A = [T(e ) T(e ) T(e ) Unaposibilidadesplantearelsistemadeecuacionesvectoriales,donde,porcomodidadllamamosa = (,,,) T, b = (,,, ) T, c = (, 4,,5) T, T([,, T ) = T(e +e ) = T(e )+T(e ) = a T([,, T ) = T(e +e ) = T(e )+T(e ) = b T([,, T ) = T(e +e ) = T(e )+T(e ) = c 4 5 T(e ) = a b = (,,, )T T(e ) = b T(e ) = (, 5,,4) T T(e ) = c T(e ) = (,,,) T que en este caso se resuelve trivialmente (en general, lo resolveremos mediante eliminación de Gauss) Por tanto, A = [T(e ) T(e ) T(e ) = 5 4 Antes de seguir, podemos asegurarnos de que la matriz encontrada es la correcta comprobando que A[,, T = (,,,) T, A[,, T = (,,, ) T A[,, T = (, 4,,5) T Otra forma de encontrar A es escribir matricialmente las igualdades que nos dan: A =,A =,A = 4 A = 5 4 5, 89

12 de donde deducimos A = 4 5 = 4 5 = 5 4 La matriz inversa que aparece la hemos calculado aplicando el método de Gauss Jordan: (b) Puesto que Col(A) = Gen 5 4,,, dado un conjunto generador {v,v,v } del subespacio Col(A) R 4, encontrar las ecuaciones implícitas de Col(A) es hallarlascondicionesquedeben verificarlascomponentesdeunvectorder 4,x = (x,x,x,x 4 ) T,paraquepertenezca a Col(A), es decir, para que se pueda escribir como combinación lineal del conjunto generador x = c v +c v +c v, es decir, para que existan esos escalares c i, o lo que es equivalente, para que el sistema (v v v )c = x, con c = (c,c,c ) T sea compatible Para exigir esto construimos la matriz ampliada (v v v x): x 5 x x 4 x 4 x 9 x 5x x +x 9 x 4 +4x es decir, las coordenadas de los vectores que pertenezcan a Col(A) deben verificar x +x =, x x x 4 = x 9 x 5x x +x x 4 x +x Merece la pena emplear unos segundos, para estar seguros de que el resultado obtenido es correcto, en comprobar que los tres vectores que generan el espacio columna verifican todas (dos en nuestro caso) las ecuaciones obtenidas Observemos que dim(col(a)) = (pues la tercera columna de A es combinación lineal de las dos primeras) y al estar ese subespacio en R 4 lo definen dos ecuaciones implícitas (c) El espacio nulo de A está formado por los vectores x R tales que Ax = Al aplicar el método de eliminación para resolverlo vamos a obtener el mismo resultado (en las tres primeras columnas) que el conseguido al buscar las ecuaciones implícitas en el apartado anterior: , { x = x +x = x +x = x, x = x, con lo que Nul(A) = Gen{v = (,,) T }, es decir, S = Es fácil comprobar que v verifica Av =, es decir, que pertenece a Nul(A) Además, sabiendo que, en nuestro caso, T está definida en R, la igualdad nos permitía saber, antes de comenzar este apartado, que dim(col(a))+dim(nul(a)) = dim(nul(a)) = dim(col(a)) = = 9

13 4 Bases de R n Cambios de base 4 Bases de R n Todas las bases de R n están formadas por n vectores Puesto que en ese caso tendremos n vectores linealmente independientes con n coordenadas cada uno, la matriz cuadrada formada por dichos vectores como vectores columna tiene inversa (y los vectores columna de dicha matriz inversa formarán otra base de R n ) Por otra parte, también los vectores fila de las dos matrices citadas serán una base de R n Para comprobar si n vectores forman una base de R n bastará con reducir a forma escalonada la matriz formada por dichos vectores como vectores columna y comprobar si se obtienen n pivotes Notemos que, el orden de los vectores no influye en si éstos forman base o no Ejemplo Siendo e,e,,e n los vectores de la base canónica de R n, los vectores e,e +e,e +e +e,,e +e + +e n forman una base de R n y para calcular las coordenadas de un vector genérico x R n respecto de esta base basta con resolver el sistema (con término independiente x) α α α n = x x x n Resolvemos el sistema x x x n x x x x x n x n x n Por tanto, las coordenadas de x respecto a la base dada son α x x α x x = α n x n x n α n x n 4 Cambios de base Dada una base B = {v,v,,v n } de R n, las coordenadas de un vector x R n respecto a dicha base son los coeficientes (únicos) α,α,,α n para los cuales se verifica Dadas dos bases α v +α v + +α n v n = x con x = x x x n v v vn α α α n = x = las coordenadas de xrespecto de la base canónica U = {u,u,,u n } y B = {v,v,,v n } de R n se trata de hallar la relación entre las coordenadas de un vector x R n respecto de ambas bases Hallemos primero, la relación entre las coordenadas del vector x en la base U y la base canónica C Las coordenadas de un vector x x x n 9

14 x R n respecto a U vienen dadas por un vector [x U que verifica que x α x α La matriz x = x n, [x U = α n x = α u +α u + +α n u n x x x n = u u un u u un que relaciona las coordenadas de un mismo vector x respecto a la base canónica con las coordenadas del mismo vector x respecto a la base U se denomina matriz del cambio de base U C de U a la base canónica C = {e,e,,e n } y se denota por P C U = Puesto que la igualdad ( ) es equivalente a ( la matriz P C U α α α n = α α u u un, x = [x C = P [x U C U u u un x x x n ( [x U = ) es la matriz del cambio de base C U con lo cual ( P U C = De forma análoga, si consideramos ahora las bases de R n, P C U ) B = {v,v,,v n } y U = {u,u,,u n } P C U α n ) [x C podríamos obtener las matrices de cambio de base B U y U B de la misma forma que lo que acabamos de hacer si conociéramos las coordenadas de los vectores de una base respecto a la otra Si, en cambio, conocemos las coordenadas de los vectores de ambas bases respecto, por ejemplo, a la base canónica, tenemos un planteamiento similar Denotemos las coordenadas de un vector genérico x R n respecto de ambas bases B y U mediante [x B = α α n, [x U = Tenemos entonces que x = α v + +α n v n = β u + +β n u n y expresando estas igualdades en forma matricial tenemos que x α β x = = v v v n = u u u n x es decir, siendo B la matriz cuyas columnas son los vectores de la base B en la base canónica y siendo U la matriz cuyas columnas son los vectores de la base U en la base canónica, se verifica que α n x = B[x B = U[x U β β n β n ( ) 9

15 Por tanto, [x B = B U[x U = P B U = B U, [x U = U B[x B = P U B = U B Ejemplos () Vamos a calcular las matrices de cambio de base entre la base canónica de R y la base { B = v = [ T,v = [ T,v = [ T} Siendo las coordenadas de un vector genérico x R respecto a B y respecto a la base canónica α x [x B = α, x = x, α x respectivamente, se verifica que x = α v +α v +α v x x x = v v v α α α Por tanto, la matriz P = v v v = (cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base B respecto a la base C es la matriz cambio de base B C puesto que Puesto que la inversa P verifica x = [x C = P[x B, x R [x B = P [x C, x R dicha matriz es la del cambio de base C B Resumiendo, P = P =, P C B B C = P = 6 6 P C B del () Calculemos las matrices de cambio de base entre las bases B = v =,v = U = u =,u =,v = y,u = Denotemos las coordenadas de un vector genérico x R respecto de ambas bases B y U mediante [x B = α α, [x U = β β α β Tenemos entonces que x = α v + α v + α v = β u + β u + β u Escribiendo estas igualdades en forma matricial x x = α α = β β x α β 9

16 obtenemos y, por tanto, P B U = = 6 α α α = = 6 β β β 6 Análogamente podríamos obtener P U B = P B U = Ejercicio resuelto {( ) ( )} {( ) ( )} 5 4 Dadas las bases de R, B =, y B =,, encontrar, con la ayuda de la matriz correspondiente, las coordenadas en la base B del vector v cuyas coordenadas en la base B son [v B = (,) B Sabemos que dada una base de R, B = {v,v }, la matriz P B = [v v relaciona las coordenadas que un vector v tiene en la base canónica, [v BC, y las que tiene en la base B, [v B, de forma que [v BC = P B [v B Análogamente, dada una base B = {u,u }, la matriz P B = [u u relaciona las coordenadas que un vector v tiene en la base canónica, [v BC, y las que tiene en la base B, [v B, de forma que [v BC = P B [v B Combinando ambas expresiones obtenemos { [vb = P P B [v B = P B [v B B P B [v B = P B B [v B, [v B = P B P B [v B = P B B [v B Como el enunciado nos da [v B, usaremos [v B = P B P B [v B Puesto que [ [ [ 5 4 P B =, P B = P 4 B P B = [ 5 = [ [ [ [ obtenemos [v B = P 4 B P B [v B = = Es fácil comprobar que el resultado es correcto Teniendo en cuenta las coordenadas obtenidas en ambas bases v = v +v = 4u u con lo que debe ser cierto [ [ [ [ = 4 De aquí deducimos además (sin más que sumar los vectores) que, en la base canónica, v = ( 8,) T Ejercicio resuelto Consideremos una transformación lineal f : R R Hallar la matriz A que representa a f cuando se trabaja con la base canónica B = {e,e,e }, sabiendo que A es simétrica, que f(e ) = e +e, f(e +e +e ) = (e +e +e ) y que f(e ) pertenece al subespacio E de ecuación x z = 94

17 La aplicación lineal dada f : R R tiene asociada, respecto de las bases canónicas, la matriz A en cuyas columnas aparecen los transformados de la base canónica del espacio de partida, es decir, A = [f(e ) f(e ) f(e ) = a b c a b c a b c Al ser A simétrica, A T = A, debe ser b = a, c = a y c = b, con lo que A = a a a a b b Puesto que a b c f(e ) = Ae = e +e = (,,) T la matriz A será A = b b b c Puesto que f(e ) pertenece al subespacio E de ecuación x z =, los elementos de la segunda columna de A deben verificar dicha ecuación, es decir, b =, con lo que b = y tenemos A = b c Finalmente, usando f(e +e +e ) = f(e )+f(e )+f(e ) = (,,) T, obtenemos que la tercera columna de A debe verificar f(e ) = (,,) T f(e ) f(e ) = (,,) T (,,) T (,b,) T = (, b,) T Por tanto, debe ser (,,c ) T = (, b,) T, con lo que b =, c =, y la matriz pedida es A = Es recomendable emplear un minuto en comprobar que la matriz calculada satisface todas las condiciones del enunciado, es decir, que no nos hemos equivocado al calcularla 5 Ejercicios Ejercicio Determinar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R y R, respectivamente: {[ } x (a) H = R y : x,y (b) H = x y R : x+y = z Ejercicio Sea E el conjunto de vectores de R 4 cuyas dos primeras coordenadas suman cero (a) Probar que E es un subespacio vectorial de R 4 (b) Calcular un sistema generador linealmente independiente para dicho subespacio (c) Hallar unas ecuaciones implícitas del subespacio E Ejercicio Probar que el espacio nulo y columna de una matriz A de orden m n son subespacios vectoriales de R n y R m respectivamente Ejercicio 4 Dados la matriz A y el vector b por A =, b = 95

18 (a) Determinar si el vector b pertenece al espacio columna de la matriz A (b) Obtener los vectores pertenecientes al espacio nulo de la matriz A Ejercicio 5 Sean las matrices A, B y el vector b dados por A =, B =, b = (a) Determinar unas ecuaciones implícitas y paramétricas del espacio columna de las matrices A y B (b) Determinar unas ecuaciones implícitas linealmente independientes y unas ecuaciones paramétricas del espacio nulo de A y B (c) Hallar un sistema generador linealmente independiente para el espacio nulo y columna de dichas matrices (d) Razonar si el vector b pertenece al espacio nulo de la matriz A Y al espacio nulo de la matriz B? Ejercicio 6 (a) Determinar el rango de las siguientes matrices: A =, B = (b) Sea A una matriz 5 cuyo rango es Determinar la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales, Col(A), Nul(A), Col(A T ) y Nul(A T ) Ejercicio 7 Siendo e,e,e los vectores de la base canónica de R y sabiendo que los vectores de la base B verifican e = u + u + u, e = u u + u,e = u + u + u, señalar la relación correcta entre las siguientes (considerando a los vectores como vectores-columna) (a) [e e e = [u u u (b) [u u u = = 9 (c) [u u u = = 9 Ejercicio 8 Consideremos la base B = {(,) T,(, ) T } de R R 4 : (a) Obtener, en dicha base, las ecuaciones implícitas y las paramétricas de los subespacios que, en la base canónica, vienen definidos mediante E x +x =, F x x =, G = Gen{(,) T }, H = Gen{(,) T } (b) Obtener, en la base canónica, las ecuaciones implícitas y las paramétricas de los subespacios que, en la base B, vienen definidos mediante E y +5y =, F y =, G = Gen{(,) T B}, H = Gen{(,4) T B} 96

19 Tema 5- Ortogonalidad Mínimos cuadrados Producto escalar Norma, distancia, ángulos y ortogonalidad El complemento ortogonal de un subespacio Bases ortonormales de un subespacio Matrices ortogonales 4 Proyección ortogonal sobre un subespacio El teorema de la mejor aproximación 5 El método de Gram-Schmidt 6 Problemas de mínimos cuadrados Ecuaciones normales de Gauss 7 Ajuste de curvas, regresión lineal 8 Ejercicios EnestetemaestudiamoslaestructuramétricadelosespaciosR n,esdecir,lascuestionesrelacionadascondistancias y ángulos Al contrario de lo que sucede con el estudio de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el álgebra de matrices, etc, el hecho de considerar aquí vectores reales es esencial Para poder considerar conceptos métricos en C n, es decir, con vectores de coordenadas complejas, habría que considerar la definición apropiada (coherente) de producto escalar de vectores complejos, que se suele denominar producto hermítico Al aplicar dicha definición a vectores reales nos daría la definición usual que vemos a continuación y que los alumnos conocen en dimensión y en dimensión Finalmente, estudiaremos el problema del ajuste por mínimos cuadrados, de gran interés en las aplicaciones Producto escalar Norma, distancia, ángulos y ortogonalidad Definición (Producto escalar, norma, ortogonalidad) Consideremos dos vectores x,y R n Se denomina Producto escalar de dos vectores x,y R n al número real x y = x T y = y T x = x y +x y + +x n y n R Se denomina Norma de un vector x R n al número real no-negativo x = x + + x n = x x Se denomina Distancia entre dos vectores x,y R n al número real no-negativo Ortogonalidad d(x,y) = x y (a) Se dice que dos vectores x,y R n son ortogonales (x y) si x y = (b) Se dice que un conjunto de vectores {v,,v m } de R n es un conjunto ortogonal si cada uno de los vectores v k es ortogonal a todos los demás, v k v j =, j k (c) Se dice que un conjunto de vectores {v,,v m } de R n es un conjunto ortonormal si es un conjunto ortogonal y cada uno de los vectores v k tiene norma igual a, v k v j =, j k; v = = v m = Las propiedades del producto escalar, la norma, la distancia y la ortogonalidad son conocidas por el alumno para vectores en R y en R En los espacios R n, las propiedades son esencialmente las mismas Notemos que si considerásemos dichos conceptos de forma independiente de un sistema de referencia, en cada uno de ellos aparecen involucrados uno o dos vectores Algunas de las propiedades del producto escalar pueden obtenerse directamente del hecho de que el producto escalar de dos vectores puede expresarse como un producto matricial, vector-fila por vector-columna x y = [x, x,,x n y y n = x T y = y T x = [y, y,,y n x x n = y x 97

20 Propiedades Sean x,y R n,α R () x = x = () αx = α x () Desigualdad triangular: x+y x + y, ( x y x + y ) () Desigualdad de Cauchy-Schwartz: x y x y (4) Teorema de Pitágoras: x y x+y = x + y El ángulo (los ángulos) determinado por dos vectores no-nulos x,y R n puede caracterizarse (definirse) mediante la igualdad x y = x y cos(θ) El complemento ortogonal de un subespacio Definición (El complemento ortogonal de un subespacio) Dado un subespacio vectorial S de R n se denomina complemento ortogonal de S al conjunto S = {v R n : v u, u S} Es decir, S está formado por todos los{ vectores que son ortogonales a todos los vectores de S Por tanto, el complemento ortogonal del subespacio nulo } es R n puesto que cualquier vector es ortogonal al vector nulo Por otra parte, el complemento ortogonal del espacio total R n es el subespacio nulo, puesto que el vector nulo (de R n ) es el único que es ortogonal a todos los vectores de R n Ejemplos A la hora de trabajar con el complemento ortogonal de un subespacio es conveniente tener presente cómo se puede caracterizar, el complemento ortogonal de un subespacio, cuando el subespacio viene dado en forma paramétrica o cuando viene dado en forma implícita En R, un subespacio vectorial de dimensión es una recta que pasa por el origen y su complemento ortogonal será (como es natural) la recta que pasa por el origen (es un subespacio vectorial) y es perpendicular a la recta dada En R, un subespacio vectorial de dimensión es una recta que pasa por el origen Su complemento ortogonal será el plano que pasa por el origen (es un subespacio vectorial) y es perpendicular a la recta dada Un subespacio vectorial de dimensión es un plano que pasa por el origen Su complemento ortogonal será la recta que pasa por el origen (es un subespacio vectorial) y es perpendicular al plano dado () Consideremos un subespacio de dimensión en R, dado en forma paramétrica, es decir, una recta que pasa por el origen de coordenadas, dada por un vector dirección v Por ejemplo, para v = [, T S = Gen {v } = {αv : α R} { x = α x = α, su complemento ortogonal estará formado por los vectores v = [x,x T R que son ortogonales a todos los vectores de la forma αv,α R v S (αv ) v =, α R v v = x x = Es decir, el complemento ortogonals está formado por todos los vectores v = [x,x T R cuyas coordenadas verifican la ecuación x x =, con lo cual S es un subespacio vectorial (de dimensión ) que viene dado en forma implícita y los coeficientes de la ecuación implícita son las coordenadas del vector dirección de S Si hubiéramos considerado otro vector dirección de S (que será un múltiplo no-nulo de v ), habríamos obtenido una ecuación equivalente () Si consideramos un subespacio vectorial S de dimensión en R n, es decir una recta que pasa por el origen, generada por un vector no-nulo v R n S = Gen v = a a n, 98

21 su complemento ortogonal estará formado por los vectores v = [x,,x n T R n cuyas coordenadas verifican la ecuación v v = a x + +a n x n =, con lo cual S es un subespacio vectorial (de dimensión n ) que viene dado mediante una ecuación implícita y los coeficientes de dicha ecuación son las coordenadas del vector dirección de S Teorema Dado un subespacio vectorial S de R n se verifica: () S es un subespacio vectorial de R n () ( S ) = S () Se verifica la siguiente relación entre S y S (a) S S = {} Por tanto, todo vector v de R n se puede expresar de forma única como suma de un vector de S y un vector de S (Esto será consecuencia del teorema de (b) S +S = R n la proyección ortogonal que veremos más adelante) (5) Si S = Gen {v,,v p }, entonces v S v v,,v v p Ejemplo Antes hemos obtenido el complemento ortogonal de un subespacio de R n de dimensión, que era un subespacio vectorial de dimensión n (estos subespacios se suelen denominar hiperplanos) Las propiedades anteriores permiten obtener fácilmente el complemento ortogonal de un subespacio, de dimensión n, cuya ecuación implícita es W a x + +a n x n = Como hemos visto antes, W = S, siendo S = Gen a a n, tenemos que W = ( S ) = S Es decir, de manera inmediata obtenemos, W, en forma paramétrica El hecho de expresar el complemento ortogonal de una u otra forma paramétrica/implícita dependiendo de como venga expresado el subespacio vectorial: S en forma paramétrica S en forma implícita S en forma implícita S en forma paramétrica queda reflejado con el siguiente Teorema Teorema (Los cuatro subespacios asociados a una matriz) Sea A una matriz real m n Se verifica: [Col(A) = Nul(A T ), [Nul(A) = Col(A T ) El espacio Col(A T ) se suele denominar espacio fila de la matriz A Notemos que en lo que se refiere a las dimensiones de los complementos ortogonales tenemos ( dim [Col(A) ) = dim ( Nul(A T ) ) = m pivotes de A T = m rango(a) = m dim (Col(A)) Puesto que cualquier subespacio vectorial se puede expresar como el espacio columna de una matriz tenemos que para cualquier subespacio vectorial S de R m, se verifica dim ( S ) = m dim(s) 99

22 Bases ortonormales de un subespacio Matrices ortogonales Proposición Si {u,u,,u r } es un conjunto de vectores no-nulos ortogonales dos a dos, entonces son linealmente independientes Demostración- Si tenemos una combinación lineal de los vectores dados igual al vector nulo α u +α u + +α pu p = ( ) al multiplicar escalarmente por el vector u tenemos Desarrollando el primer miembro de la igualdad (α u +α u + +α pu p) u = u = α u u +α u u + +α pu p u = [ = α u +α + +α p = usando la condición de ortogonalidad puesto que u De manera análoga, al multiplicar escalarmente la igualdad ( ) por un vector se obtiene u k, k =,,,p, [ α +α + +α k u k + +α n = puesto que u k = = α = α k = Por tanto, la única combinación lineal que es igual al vector nulo es la combinación lineal idénticamente nula (todos los coeficientes son nulos) Es decir, los vectores dados son linealmente independientes Proposición Sea {u,u,,u r } una base ortogonal de un subespacio S de R n Entonces: Las coordenadas de un vector u S respecto de dicha base vienen dadas por u u k, es decir, se verifica que u k u = u u u u + + u u r u r u r La expresión anterior se suele denominar desarrollo de Fourier de v respecto a la base {u,u,,u r } Antes de pasar a estudiar la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio, vamos a considerar las propiedades de las matrices cuyas columnas son ortonormales En particular, vamos a considerar las matrices cuadradas cuyas columnas son ortonormales Cuando se tiene un conjunto ortogonal de vectores no-nulos y se normalizan (se divide cada uno por su norma), obtenemos un conjunto ortonormal de vectores que formarán una base ortonormal del subespacio vectorial que generan En términos de computación numérica, las matrices cuyas columnas son ortonormales juegan un papel importante por ser matrices que transmiten los errores de redondeo de manera controlada Proposición Sea U = [u,,u n una matriz real m n () U tiene columnas ortonormales U T U = I () Si U tiene columnas ortonormales, la transformación lineal asociada conserva ángulos y distancias, es decir (a) Ux = x, x R n (b) (Ux) (Uy) = x y, x,y R n y en particular, (c) Ux Uy x y U : x R n y = Ux R m Un caso particularmente importante lo constituyen las matrices cuadradas con columnas ortonormales Definición (Matriz ortogonal) Se denomina matriz ortogonal a toda matriz Q real cuadrada no-singular cuya inversa coincide con su traspuesta, Q = Q T

23 Proposición Se verifica: () Si Q es ortogonal = det(q) = ± () Q es ortogonal Q T es ortogonal () Si Q y Q son ortogonales, entonces Q Q es ortogonal Proposición Sea Q una matriz real cuadrada n n Son equivalentes: () Q es una matriz ortogonal () Las n columnas de Q son ortonormales (y por tanto forman una base ortonormal de R n ) () Las n filas de Q son ortonormales (y por tanto forman una base ortonormal de R n ) 4 Proyección ortogonal sobre un subespacio El teorema de la mejor aproximación Si consideramos el subespacio vectorial S, de dimensión uno (una recta), generado por un vector, u, no-nulo, S = Gen {u }, la proyección ortogonal de un vector v R n sobre S será el vector u = αu S que verifica que v u = v αu es ortogonal a S, es decir, tenemos que determinar α con la condición que v αu sea ortogonal a u, (v αu ) u = v u α u = α = v u u = u = proy S (v) = v u u u Para un subespacio de dimensión arbitraria puede darse una expresión de la proyección ortogonal de un vector sobre dicho subespacio cuando disponemos de una base ortogonal de dicho subespacio Considerando una base ortonormal puede darse una expresión cómoda de la matriz de la proyección ortogonal Teorema (de la descomposición ortogonal) Sea S un subespacio vectorial de R n Dado cualquier vector v R n existe un único vector u S (llamado proyección ortogonal de v sobre S) tal que v u S De hecho, si {u,u,,u r } es una base ortogonal de S, entonces la proyección ortogonal de v sobre S es u := proy S (v) = v u u u + + v u r u r u r, y la proyección ortogonal de v sobre S es w = v u Notemos que: Cada sumando de la expresión v u u u + + v u r u r u r nos da la proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio generado por el correspondiente vector u k El vector u = proy S (v) verifica que u v Corolario (Matriz de una proyección ortogonal) Sea S un subespacio vectorial de R n (a) Si {u,u,,u r } es una base ortonormal de S, la proyeción ortogonal de un vector v R n sobre S es u := proy S (v) = (v u )u + +(v u r )u r

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