Álgebra Lineal Taller N o 2 con Matlab

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1 Álgebra Lineal Taller N o con Matlab Tema: Introducción a las transformaciones lineales. Determinantes. Valores y vectores propios de matrices de orden n:diagonaliación de matrices de orden n. plicación a sistemas de ecuaciones en diferencias. Ortogonalidad en R n : Proceso de Gram Schmidt y factoriación QR: Diagonaliación ortogonal. Diseñado por Rosa Franco rbeláe. Para los ejercicios,,, 4, 6 y 7, generar números aleatorios a; b; c; d; m; y n y utiliarlos para resolver cada uno de dichos ejercicios. En el ejercicio 5 de dan datos jos. Ejercicio onsidere la transformación lineal S : R! R 4 de nida por S Encuentre: a) La matri de S con respecto a las bases estándar de R y R 4. m b) La imagen del vector n bajo la transformación S. d c) La imagen del plano con ecuación y = nx + m bajo S. Ejercicio x y ax b + (a + ) y = cx + cy + (b + c) ay + b dx. bx + cy + d a) Sea P : R! R la transformación proyección sobre la recta con ecuaciones simétricas x a = y b = c : Encuentre la ley de asignación de P. b) Sea Q U : R! R la transformación proyección sobre el plano que pasa por el origen y tiene a= como vector normal el vector U = b :Encuentre la ley de asignación de Q U. c c) Halle la ley de asignación de la transformación R U : R! R ;que representa la re exión con respecto al plano que pasa por el origen y tiene como vector normal el vector U dado en b): d) Encuentre la matri de la transformación rotación por un ángulo de alrededor del eje y calcule la imagen del vector U dado en b) bajo dicha transformación. Ejercicio Para cada una de las siguientes transformaciones lineales determine si es invertible y, en caso a rmativo, encuentre la ley de asignación de su inversa. a) T x ax y = by + c b cy

2 b) T x y Ejercicio 4 Si = = a b c d b a d m c d n a d m a b ax + by + c d + my + nx (c d) + (a n) x + (b m) y, a) Encuentre el polinomio característico de : b) Encuentre los eigenvalores y los eigenespacios de : c) Determine si es similar a una matri diagonal. d) Existirá una base para R formada por vectores propios de?:en caso a rmativo, halle una de tales bases. e) Encuentre, si es posible, una matri invertible P y una matri diagonal D tales que = P DP f) Encuentre, si es posible, una matri ortogonal Q y una matri diagonal tales que = QQ T : Ejercicio 5 Un banco que tiene dos sucursales D y E en una ciudad, mantiene una política de rotación anual del personal, te tal forma que cada año las dos terceras partes del personal de la sucursal D se traslada a la sucursal E y la mitad de los empleados de la sucursal E se traslada a la sucursal D. Suponiendo que inicialmente se tenían 4 empleados en la sucursal D y 6 en la sucursal E, determine el número de empleados que habrá, a largo plao, en cada sucursal. Ejercicio 6 8 >< onsidere el espacio H = >: x y w R4 : ax + by + dw = ; dx c + aw = a) Halle una base para H? b) Exprese el complemento ortogonal de H mediante restricciones sobre las componentes de sus vectores. c) Si es la matri cuyas columnas son los elementos de la base ; en su orden, halle la factoriación QR de la matri : d) Halle una base ortonormal para H? : e) alcule la matri de proyección ortogonal sobre H: f) Encuentre las componentes ortogonales del vector e = sobre H y H? son respectivamente: g) alcule la distancia del vector e al subespacio H: a b c d 9 >= : >; Ejercicio 7 Dados los vectores v = a b ; v = b a ; v = a ab ; suponga que a a + b es la matri cuyos valores propios ( eigenvalores) son m y n y sus respectivos espacios propios

3 (eigenespacios) son: para m el espacio generado por v y para v y v : n el espacio generado por los vectores a) ompruebe que es diagonaliable ortogonalmente encuentre la descomposición espectral de la matri : b) Si h = a + b ; halle la proyección ortogonal del vector h sobre el espacio propio asociado a + 4 al valor propio n. c) alcule la matri. Solución con Matlab Generamos 6 números aleatorios enteros, mediante la instrucción: >> v= x(5*rand(,6)) v = 4 4 >> a=v(); b=v(); c=v(); d=v(4); m=v(5); n=v(6); Solución de ejercicio :. onsidereremos la transformación lineal S : R! R 4 de nida por ax b + (a + ) y x S y = cx + cy + (b + c) ay + b dx bx + cy + d a) La matri de S; con repecto a las bases estándar de R y R 4 es a a + b c c b + c d a b b c d y la calculamos así: >> =[a a+ -b; c *c b+c; -d -*a *b; -b c d] = Luego, la matri estándar de la transformación S es

4 b) La imagen del vector m n bajo la transformación S está dada por d S m a a + b n = c c b + c m bd + am + n (a + ) d a b n = cm + cn + d (b + c) bd an dm d d b c d bm + cn + d >> *[m; n; d] Luego, S m n d = S 4 = c) La imagen del plano con ecuación y = nx + m; bajo la transformación S; es el conjunto de las imágenes de los vectores de la forma x y R tales que y = nx + m Es decir, de las imágenes de los vectores de la forma x nx + m ; con x; R: Dichos vectores son: a a + b c c b + c d a b b c d x nx + m y los podemos calcular así: >> syms x >> *[x; n*x+m*; ] *x+* *x+8* -6*x-9* 8*x+4* Luego el conjunto imagen del plano con ecuación y = x + 4 es 4

5 8 >< >: 9 8 x + x + 8 >= >< 6x 9 : x; R = gen >; >: 8x ; >= >; Solución de ejercicio : a) Sea P : R! R la transformación proyección sobre la recta con ecuaciones simétricas x a = : Entonces la ley de asignación de P está dada por y b = c P x y a= b c = a= b c T T x y a= b c a= b c = ax by + c 4 a + b + c a= b c alculamos esta expresión como sigue: >> syms x y >> p=(((/)*a*x-b*y+c*)/((/)*a^+b^+c^))*[a/; -b; c] p= /9*x-/9*y+/* -/9*x+/8*y-/6* /*x-/6*y+/* Luego, P x y = 9 x 9 y + 9 x + 8 y 6 x 6 y + b) Sea Q U : R! R la transformación proyección sobre el plano que pasa por el origen y tiene a= como vector normal el vector U = b c : Hallemos la ley de asignación de Q U. Q U x y = >> q=[x; y; ]-p q = 7/9*x+/9*y-/* 7/8*y+/9*x+/6* /*-/*x+/6*y x y P U x y = x y 9 x 9 y + 9 x + 8 y 6 x 6 y + Luego la ley de asignación de la transformación proyección sobre el plano con vector normal U es 5

6 Q U x y = 7 9 x + 9 y 9 x y + 6 x + 6 y + c) Halle la ley de asignación de la transformación R U : R! R ;que representa la re exión con respecto al plano que pasa por el origen y tiene como vector normal el vector U está dada por R U x y = Q U x y x y alculemos esta ley de asignación como sigue: >> r=*q-[x;y;] r = 5/9*x+/9*y-/* 8/9*y+/9*x+/* -/*x+/*y Luego, R U 5 x 9 x + 9 y y = 9 x y + x + y d) La matri de la transformación rotación por un ángulo de alrededor del eje está dada por p cos sen sen cos p = = = = = y la imagen de U bajo esta transformación es cos R (U) = sen a= sen cos b c = p p = = = = a= b c alculamos este producto así: >>format rat >> M=[cos(pi/) -sin(pi/) ; sin(pi/) cos(pi/) ; ] M = [ /, -sqrt(/4), ] [ sqrt(/4), /, ] [,, ] >> U=[a/; -b; c] U = - 6

7 >> M*U +/*^(/) ^(/)-/ Luego, R (U) = + = ^(=) ^(=) = = + p p T: Solución de ejercicio : a) La matri de la transformación de nida por T reamos esta matri: >> M=[-a ; b c; -c b] M = -4 - b c a c b x y = Determinamos si M es invertible, calculando su determinante: >> det(m) -4 ax by + c b cy es: omo detm 6= ; entonces M sí es invertible y por lo tanto, también es invertible la transformación La matri de T es M : alculamos la inversa de M : >>format rat >>inv(m) [ -/4,, ] [, /, -/] [, /, /] Luego, T x y = M x y = = = =4 = = 7 x y = 4 x y y +

8 b) La matri de la transformación T x y = n m d a b c a n b m c d ax + by + c d + my + nx (c d) + (a n) x + (b m) y De la forma de la matri se ve claramente que la tercera la es una combinación lineal de las otras dos y por lo tanto, es claro que dicha matri no es invertible, así que la transformación T no es invertible. on los datos generados creamos la matri M y luego calculamos su determinante, así: >> M=[a b c; n m d; *a-n *b-m *c-d] M = >> det(m) Lo que con rma que la matri M no es invertible y tampoco lo es la transformación T. Solución de ejercicio 4: Si = a b c d b a d m c d n a d m a b reamos la matri :, >> =[a b c d; b -a -d m; c -d -n a; d m a b] = alculamos el polinomio característico de : >> p=poly() p = Luego el polinomio característico de es b) Los valores propios ( eigenvalores) de son las raíces del polinomio característico y podemos hallarlas mediante la instrucción: >> v=roots(p) es 8

9 v = Luego los valores propios, aproximados, de son: , 7.54, ,.4 hora, para hallar los espacios propios (eigenespacios), correspondientes a cada valor propio, procedemos como sigue: >> null(-v()*eye(4), r ) >> null(-v()*eye(4), r ) >> null(-v()*eye(4), r ) Empty matrix: 4-by- >> null(-v(4)*eye(4), r ) omo podemos observar, para el tercer valor propio aproximado nos da como respuesta matri vacía, no encuentra un vector propio aproximado, pero veamos que ocurre con el valor propio exacto: Los valores propios exactos podemos calcularlos con la instrucción: >>format long >> eig()

10 >> null(-( )*eye(4), r ) Luego hemos encontrado un vector propio ( aproximado) para cada valor propio y como los cuatro valores propios son diferentes, sabemos que cada espacio propio es el generado por el respectivo valor propio. Veri cación para el valor propio v(): >> * [.98; -.597; -.49;.] >> ans./ De donde se puede observar que :98 :597 :49 : = 8:9555 :98 :597 :49 : c) sí es similar a una matri diagonal, ya que es de orden 4 y posee cuatro valores propios diferentes. d) omo es similar a una matri diagonal, sí existe una base para R 4 formada por vectores propios de : Para hallar una de tales bases, basta con unir bases de los diferentes espacios propios (una base por cada espacio propio). Luego, una base para R 4 formada por vectores propios de es 8 >< >: :98 :597 :49 : ; :85 :88 :6696 : ; :88 6:8575 7:679 : ; :966 :57 :56 : : e) omo es similar a una matri diagonal, sí existe una matri invertible P y una matri diagonal D tales que = P DP : La matri P, podemos formarla con los vectores de la base hallada en d) colocados como sus columnas. 9 >= >; P = :9 8 : 8 5 : 8 8 :96 6 : 59 7 :8 8 6: :57 : 49 : : 67 9 :5 6 : : : : y D = 8:9555 7:54 :8959 :4

11 f) Una manera de encontrar Q y ; directamente ( tomando = L) es mediante la instrucción: >> [Q,L]=eig(, nobalance ) Q = L = Observamos que en la diagonal de la matri L aparecen los valores propios de (en diferente orden al del literal b)): omo la matri es simétrica, la matri Q aquí obtenida es una matri ortogonal formada por vectores propios de : Veri cación: Veamos primero que efectivamente la matri Q es ortogonal calculando QQ T ; así: >> Q*transpose(Q) hora comprobemos que = QLQ T ; mediante la instrucción: >> Q*L*transpose(Q) Solución de ejercicio 5: onsideremos las siguientes incógnitas: x k = # de empleados que laboran en la sucursal D en el k-ésimo año. y k = # de empleados que laboran en la sucursal E en el k-ésimo año. Según la información dada, las siguientes ecuaciones relacionan la distribución de los empleados en las dos sucursales, correspondiente al año k+ con la correspondietne al k-ésimo año: x k+ = x k + y k y k+ = x k + y k con x = 4 y = 6

12 xk Sea u k = la distribución de los empleados en el k-ésimo año, entonces se tiene u y k+ = u k k con = 4 y u = 6 Hemos modelado el problema mediante un proceso fu n g n= gobernado por la ecuación en diferencias u k+ = u k. para determinar u k ; para cada k N [ fg ; empecemos por averiguar si la matri es diagonaliable: >>format rat >> eig(, nobalance ) -/6 >> null(+(/6)*eye(), r ) - >> null(-eye(), r ) /4 Luego los valores propios de son = 6 y = y los respectivos espacios propios son E = gen y E = gen 4 : Por lo tanto la matri es diagonaliable como =4 =6 P P = ; con P = y = : omo consecuencia, la solución de la ecuación en diferencias u k+ = u k está dada por xk u k = = c y k + c k k 4 ; k f; ; ; :::g c donde es la única solución del sistema P c = u : c Resolvemos este sistema mediante la instrucción: P = >> h=[4; 6]; >> Pnh 6 Luego, u k = xk y k K = K 4 ; k f; ; ; :::g

13 De donde se deduce que para k f; ; ; :::g se tiene: x k = ( =6) K + 45 y k = ( =6) K + 6 Por lo tanto, a largo plao, el número de empleados en la sucursal D será 45 y en la sucursal E será 6. Solución de ejercicio 6: 8 9 x >< onsideremos el espacio H = y >= >: R4 : ax + by + dw = ; dx c + aw = : >; 8 w a d 4 >< a) Una base para H? es = b >: ; c >= >< = >; >: ; >= : >; d a 4 b) Para expresar el complemento ortogonal de H mediante restricciones sobre las componentes de sus vectores, hallemos primero una base de H.para luego encontrar las restricciones, teniendo en cuenta que un vector pertenece a H? si y sólo si dicho vector es ortogonal a cada vector de una base de H: a b d H es el espacio nulo de la matri = : creamos esta matri y hallamos su d c a espacio nulo: >>format rat >> =[a b d; d -c a] = 4-4 >> null(, r ) [, -5/7] [, 6/7] [, ] [, ] Luego, una base para el H es: 8 >< >: ; 5=7 6=7 9 >= >;

14 De donde se deduce que 8 >< H? = >: x y w R4 : = ; 5x + 6y + 7w = c) Si es la matri cuyas columnas son los elementos de la base ; en su orden, Entonces = T ; hallamos su factoriación QR; mediante las siguientes instrucciones: 9 >= >; >> =transpose() = 4-4 >>format short >> [Q R]=qr(,) Q = R = Veri quemos que las columnas de Q son ortogonales: >> transpose(q)*q.. hora comprobemos que efectivamente = QR: >> Q*R Luego, la factoriación QR de la matri es = :879 :4 :8 :796 :464 :64 4:586 :868 4:5774 d) Una base ortonormal para H? está formada por los vectores que aparecen como columnas de Q, esa base es 8> 9 :879 :4 < :8 >: ; :796 >= >; :464 :64 4

15 e) La matri de proyección ortogonal sobre H es P = I 4 P ; donde P es la matri de proyección sobre H?, es decir, P = QQ T ; siendo Q una matri cuyas columnas forman una base ortonormal para H? : alculamos P y P; así: >> P=Q*transpose(Q) P = >> P=eye(4)-P P = Luego, la matri de proyección ortogonal sobre H es P = f) Las componentes ortogonales del vector e = :7 :77 :8 :77 :7 :88 :8 :88 :4455 a b c sobre H y H? son respectivamente la d proyección de e sobre H y la proyección de e sobre H? ; es decir, P e y P e. Las calculamos como sigue: >> e=[a; b; -c; d] e = 4 - >> P*e. -.. >> P*e

16 y Por lo tanto, las componentes ortogonales del vector e sobre H y H? son respectivamente 4 : g) La distancia del vector e al subespacio H es la magnitud de la proyección de e sobre H? >>norm(p*e) sqrt() >> norm(p*e) Luego, dicha distancia es p 4:586: Solución de ejercicio 7: reamos los vectores v = así: >> v=[a;b;-a] v = 4-4 >> v=[-b;a;] v = - 4 >> v=[a^; a*b;a^+b^] v = a b a ; v = b a ; v = a ab a + b ; hora, suponiendo que es la matri cuyos valores propios ( eigenvalores) son m y n y sus respectivos espacios propios (eigenespacios) son: para m el espacio generado por v y para n el espacio generado por los vectores v y v ; procedemos a resolver lo propuesto en cada literal: a) omprobamos que es diagonaliable ortogonalmente, veri cando que sus espacios propios son mutuamente ortogonales y la suma de sus dimensiones es igual al orden de la matri : veamos si v y v son L.I.: 6

17 >> N=[v v] N = >> rref(n) Luego v y v sí son L.I. hora veri quemos ortogonalidad: >> dot(v,v) >> dot(v,v) Luego, cada vector del espacio propio asociado al valor propio m es ortogonal a todos los vectores propios asociados al valor propio n; es decir, los espacio propios de son mutuamente ortogonales. De lo anterior se concluye que la matri es diagonaliable ortogonalmente. Para encontrar la descomposición espectral de la matri necesitamos hallar las matrices de proyección ortognal sobre sus diferentes espacios propios: La matri de proyección ortogonal sobre el espacio propio de valor propio m es P = v v T = vvt kv k I v kv k v kv k T = v :v ; y la matri de proyección ortognal sobre el espacio propio de valor propio n es P = P : Las hallamos así: >>format rat >> P=v*transpose(v))/dot(v,v) P = [ 6/, 4/, -6/] [ 4/, /, -4/] [ -6/, -4/, 6/] >> P=eye()-P P= [ 7/, -4/, 6/] [ -4/, /, 4/] [ 6/, 4/, 7/] Luego, la descomposición espectral de es: = mp np =

18 b) Si h = a + b ; la proyección ortogonal del vector h sobre el espacio propio asociado al a + 4 valor propio n es ( n) veces la proyección de h sobre dicho espacio, es decir, P h: Hallémosla: >>format rat >>P*[a+;b-;a+4] / -5/ 8/ Luego dicha proyección es 5 8 c) alculamos la matri aprovechando su descomposición espectral así: >> m*p-n*p [ /, 8/, -/] [ 8/, -9/, -8/] [ -/, -8/, /] Luego, =

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n. Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular

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