Álgebra Lineal. Sesión de Prácticas 4: Aplicaciones Lineales I. Primero Grado Ingeniería Informática. Departamento de Matemática Aplicada

Transcripción

1 Álgebra Lineal Sesión de Prácticas 4: Aplicaciones Lineales I Primero Grado Ingeniería Informática Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Informática 1 / 9

2 Aplicaciones lineales Una aplicación f : K n K m es lineal si: f (v + w) = f (v) + f (w), v, w K n. f (λ v) = λ f (v), λ K, v K n. Con SAGE: f(x,y,z)=[2*x-3*y,z-x,0] x1,y1,z1,x2,y2,z2,a= var ( x1,y1,z1,x2,y2,z2,a ) f(x1+x2,y1+y2,z1+z2)==f(x1,y1,z1)+f(x2,y2,z2) True f(a*x1,a*y1,a*z1)==a*f(x1,y1,z1) True 2 / 9

3 Aplicaciones lineales Una aplicación f : K n K m es lineal si: f (v + w) = f (v) + f (w), v, w K n. f (λ v) = λ f (v), λ K, v K n. Con SAGE: f(x,y,z)=[2*x-3*y,z-x,0] x1,y1,z1,x2,y2,z2,a= var ( x1,y1,z1,x2,y2,z2,a ) f(x1+x2,y1+y2,z1+z2)==f(x1,y1,z1)+f(x2,y2,z2) True f(a*x1,a*y1,a*z1)==a*f(x1,y1,z1) True 2 / 9

4 Aplicaciones lineales Una aplicación f : K n K m es lineal si: f (v + w) = f (v) + f (w), v, w K n. f (λ v) = λ f (v), λ K, v K n. Con SAGE: f(x,y,z)=[2*x-3*y,z-x,0] x1,y1,z1,x2,y2,z2,a= var ( x1,y1,z1,x2,y2,z2,a ) f(x1+x2,y1+y2,z1+z2)==f(x1,y1,z1)+f(x2,y2,z2) True f(a*x1,a*y1,a*z1)==a*f(x1,y1,z1) True 2 / 9

5 Aplicaciones lineales con SAGE Ejemplo: f : Q 3 Q 4, f (x, y, z) = (3x + 2y z, x z, 2x + 6y 4z, x + y 2z). x,y,z = var ( x,y,z ) f_simb (x,y,z)=[3*x+2*y-z,x-z,2*x+6*y-4*z,x+y-2*z] f= linear_transformation (QQ^3,QQ^4, f_simb ) Matriz asociada a f : M=f. matrix ( side = right );M 3 / 9

6 Imagen y preimagen de un vector # Imagen del vector (3,2, 2) u= vector (QQ,[3,2,2]) f(u) # Preimagen del vector (-4,0,0,1) v= vector (QQ,[-4,0,0,1]) f. preimage_ representative ( v) 4 / 9

7 Otras formas de expresar una aplicación lineal Queremos encontrar otras formas de expresar una aplicación lineal de K n en K m. 1. A partir de una matriz M M m n (K). M= matrix (QQ,[[2,1,1],[-4,2,3]]) f= linear_transformation (QQ^3,QQ^2,M, side = right ) u= vector (QQ,[2,-3,9]) f(u) f. matrix ( side = right ) f. domain () f. codomain () 2. Dando las imágenes de los vectores de la base canónica de K n. U=QQ^3 V=QQ^4 v1= vector (QQ,[-1,4,2,2]) v2= vector (QQ,[5,3,1,3]) v3= vector (QQ,[2,6,-1,0]) f= linear_transformation (U,V,[v1,v2,v3]) 5 / 9

8 Otras formas de expresar una aplicación lineal Queremos encontrar otras formas de expresar una aplicación lineal de K n en K m. 1. A partir de una matriz M M m n (K). M= matrix (QQ,[[2,1,1],[-4,2,3]]) f= linear_transformation (QQ^3,QQ^2,M, side = right ) u= vector (QQ,[2,-3,9]) f(u) f. matrix ( side = right ) f. domain () f. codomain () 2. Dando las imágenes de los vectores de la base canónica de K n. U=QQ^3 V=QQ^4 v1= vector (QQ,[-1,4,2,2]) v2= vector (QQ,[5,3,1,3]) v3= vector (QQ,[2,6,-1,0]) f= linear_transformation (U,V,[v1,v2,v3]) 5 / 9

9 Otras formas de expresar una aplicación lineal Queremos encontrar otras formas de expresar una aplicación lineal de K n en K m. 1. A partir de una matriz M M m n (K). M= matrix (QQ,[[2,1,1],[-4,2,3]]) f= linear_transformation (QQ^3,QQ^2,M, side = right ) u= vector (QQ,[2,-3,9]) f(u) f. matrix ( side = right ) f. domain () f. codomain () 2. Dando las imágenes de los vectores de la base canónica de K n. U=QQ^3 V=QQ^4 v1= vector (QQ,[-1,4,2,2]) v2= vector (QQ,[5,3,1,3]) v3= vector (QQ,[2,6,-1,0]) f= linear_transformation (U,V,[v1,v2,v3]) 5 / 9

10 Aplicaciones lineales referidas a otras bases Dada una aplicación lineal f : K n K m, y bases B de K n y D de K m, podemos calcular la matriz asociada a f respecto de B y D, abreviadamente M BD (f ). x1,x2,x3,x4=var ( x1,x2,x3,x4 ) f_simb (x1,x2,x3,x4)=[3*x1-4*x2+2*x3-2*x4, 2*x1+7*x2+6*x3-x4,-2*x2+x4] U=QQ^4 V=QQ^3 # Aplicacion lineal asociada a las bases canonicas f= linear_transformation (U,V, f_simb ) f. matrix ( side = right ) # Ahora introducimos la base B de Q^4 b0= vector (QQ,[1,2,2,1]) b1= vector (QQ,[-1,0,1,1]) b2= vector (QQ,[0,2,3,0]) b3= vector (QQ,[-2,0,1,1]) B=[b0, b1, b2, b3] 6 / 9

11 Aplicaciones lineales referidas a otras bases (cont.) # Ahora introducimos la base D de Q^3 d0= vector (QQ,[2,1,-6]) d1= vector (QQ,[4,5,-1]) d2= vector (QQ,[-2,0,1]) D=[d0,d1,d2] # Definimos los espacios con las nuevas bases U1=U. subspace_with_basis (B) V1=V. subspace_with_basis (D) # Aplicacion lineal asociada a las bases B y D f1 = linear_ transformation ( U1, V1, f_simb ) f1. matrix ( side = right ) f1. is_equal_function (f) 7 / 9

12 Operaciones con aplicaciones lineales Sean f, g : K n K m y h : K m K r aplicaciones lineales y B, D, L bases de K n, K m y K r respectivamente. La aplicación suma f + g es lineal y M BD (f + g) = M BD (f ) + M BD (g). U=QQ^4 V=QQ^2 A= matrix (QQ,2,4,[[-1,0,4,5],[2,9,3,-1]]) f= linear_transformation (U,V,A, side = right ) H= matrix (QQ,2,4,[[-1,4,-2,0],[1,5,8,-3]]) g= linear_transformation (U,V,H, side = right ) f+g (f+g). matrix ( side = right )==A+H Dado λ K, la aplicación f λ es lineal y M BD (f λ) = M BD (f ) λ f*7 (f*7). matrix ( side = right )==A*7 8 / 9

13 Operaciones con aplicaciones lineales Sean f, g : K n K m y h : K m K r aplicaciones lineales y B, D, L bases de K n, K m y K r respectivamente. La aplicación suma f + g es lineal y M BD (f + g) = M BD (f ) + M BD (g). U=QQ^4 V=QQ^2 A= matrix (QQ,2,4,[[-1,0,4,5],[2,9,3,-1]]) f= linear_transformation (U,V,A, side = right ) H= matrix (QQ,2,4,[[-1,4,-2,0],[1,5,8,-3]]) g= linear_transformation (U,V,H, side = right ) f+g (f+g). matrix ( side = right )==A+H Dado λ K, la aplicación f λ es lineal y M BD (f λ) = M BD (f ) λ f*7 (f*7). matrix ( side = right )==A*7 8 / 9

14 La aplicación composición h f : K n K r es lineal y M BL (h f ) = M DL (h) M BD (f ). W=QQ^3 J= matrix (QQ,[[4,-2],[-1,3],[-3,2]]) h= linear_transformation (V,W,J, side = right ) h*f (h*f). matrix ( side = right )==J*A 9 / 9