CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E MAYO-2001, 13 H

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E MAYO-2001, 13 H"

Transcripción

1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E MAYO-200, H () Dada la función definida por f() = 2, determinar: Intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máimos y mínimos locales; intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de infleión; asíntotas verticales y asíntotas horizontales. A partir del análisis anterior, hacer un esbozo de la gráfica de f. (2) Un trozo de alambre de 0 m de largo, se corta en dos partes; una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. Cuánto debe medir cada parte para que el área total encerrada sea: (a) máima, (b) mínima? () De acuerdo con la teoría de la relatividad, la masa m de un objeto que viaja a una velocidad v, está dada por m 0 m =, v2 donde m 0 es la masa del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz. (a) Eplicar qué ocurre cuando v se acerca a la velocidad de la luz (b) Eplicar por qué sólo tiene sentido calcular lím m v c (4) Un incendio forestal se etiende en forma circular, con un radio que aumenta con una rapidez de 5 pies/min. Con qué rapidez está cambiando el área incendiada, cuando el radio es de 200 pies? Está aumentando o disminuyendo? (5) Sea f: R R una función continua en R cuya primera derivada f tiene la siguiente gráfica: f() c A partir de esta gráfica de f, determinar dónde la función f es creciente y dónde es decreciente. Eplicar además, cómo es la tangente a la gráfica de f en = 2, =, =2 & =. canek.azc.uam.m: 2/ / 2006.

2 2 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0700 Respuestas () Dada la función definida por f() = 2, determinar: Intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máimos y mínimos locales; intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de infleión; asíntotas verticales y asíntotas horizontales. A partir del análisis anterior, hacer un esbozo de la gráfica de f. Dominio: D f = R {0 }. Raíces o ceros de f() 2 =0 2 = = = ±. Podemos escribir f() = =. Derivamos f () = = = 2 +9 (*) 4 4 y de aquí calculamos los puntos críticos: f () =0 2 +9=0 2 =9 = = ±. El signo de la derivada viene dado por la epresión ( 2 9) = ( + )( ). Usamos entonces la tabla Signo de Intervalo + ( + )( ) < (< ) << + + >(> ) + + Vemos entonces que f() es decreciente para (, ) y para (, + ); f() es creciente para (, 0) y para (0, ). Con estos datos concluimos que = esunmínimo local; = es un máimo local. Para calcular la segunda derivada, derivamos ( ): f () =2 6 5 = 2 6 = Para calcular los puntos de infleión f () =0 2( 2 8) = = 0 = ± 2. La segunda derivada se factoriza entonces f () =2 ( + 2)( 2) 5.

3 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0700 El signo de la segunda derivada viene dado por + 2, 2 &. Usamos la tabla para conocer el signo de f () Signo de Intervalo f () < 2(< 0 < 2) 2 <<0(< 2) + + ( 2) < 0 << > 2(> 0 > 2) Vemos entonces que f() es cóncava hacia abajo para (, 2 ) ( 0, 2 ) ; f() es cóncava hacia arriba para ( 2, 0 ) ( 2, + ). Con estos datos concluimos que = 2 & = 2 son puntos de infleión. Calculamos lím f() = lím 2 =0 ±. ± ± Por lo tanto, y = 0 es una asíntota horizontal. Vemos claramente que una asíntota vertical es = 0. comportamientos laterales de la función en este caso Calculamos los siguiente límites para ver los lím f() = 0 lím f() = 0 + ( 0 ( 0 + ) =+ ; ) =. Con todo la anterior vamos a hacer un bosquejo de la gráfica. Calculamos la función en algunos puntos: f() La función es impar. La gráfica de la función f() es:

4 4 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0700 f() 2 2 (2) Un trozo de alambre de 0 m de largo, se corta en dos partes; una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. Cuánto debe medir cada parte para que el área total encerrada sea: (a) máima, (b) mínima? Tomamos un alambre de 0 m de largo y lo dividimos en dos pedazos como se ve en la figura siguiente: 0 Alambre 0 Con los pedazos formamos las figuras: 4 4 h 0 Cuadrado 0 Triángulo 6 Si se tiene una pedazo de alambre de longitud y formamos un cuadrado, cada lado mide. Si se tiene 4 otro pedazo de alambre de longitud 0 y formamos un triángulo equilátero, cada lado mide 0. Para calcular la altura del triángulo usamos el teorema de Pitágoras, con lo que tenemos: [ ] 2 [ ] 2 h 2 = (0 ) (0 ) =( )(0 )2 = 6 (0 )2 h = (0 ). 6

5 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E El área encerrada por ambas figuras es: ( ) 2 A() = (0 ) (0 ) = (0 )2. Ésta es la función de la que deseamos calcular su máimo y mínimo absolutos. Dominio de esta función: D A =[0, 0]. Cuando = 0, formamos sólo el triángulo y cuando = 0, formamos sólo el cuadrado. Calculamos la derivada A () = (0 )( ) = = (*) Calculamos la segunda derivada A () = 9+4 > Lo cual nos indica que la función A() es cóncava hacia arriba. El punto crítico que encontraremos será un mínimo absoluto. Igualamos a cero la primera derivada usando ( ): =0 = Es necesario evaluar la función A() en los etremos de su dominio para compararlos entre sí: A(0) = A(0) = 00 6 = 0 4 =6.25. Evaluamos en el mínimo también ( 40 ) A y entonces: (a) El área máima encerrada es cuando formamos un cuadrado de lado 0 4. (b) El área mínima encerrada es cuando se forma un cuadrado con un perímetro de longitud y con el resto del alambre formamos el triángulo. () De acuerdo con la teoría de la relatividad, la masa m de un objeto que viaja a una velocidad v, está dada por m 0 m =, v2 donde m 0 es la masa del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz. (a) Eplicar qué ocurre cuando v se acerca a la velocidad de la luz Calculamos: lím m = lím cm 0 v c v c c2 v =+. 2 (b) Eplicar por qué sólo tiene sentido calcular lím m v c Puesto que v<c. c 2

6 6 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0700 (4) Un incendio forestal se etiende en forma circular, con un radio que aumenta con una rapidez de 5 pies/min. Con qué rapidez está cambiando el área incendiada, cuando el radio es de 200 pies? Está aumentando o disminuyendo? La figura relacionada con el incendio es: r La relación entre el área del incendio y el radio del mismo es A(r) =πr 2. Pero el radio está cambiando a una velocidad conocida de 5 pies/min. Es decir, depende del tiempo, es una función del tiempo. Por lo tanto el área depende también del tiempo: A(t) =πr 2 (t). Podemos entonces derivar esta epresión A (t) =2πr(t)r (t). Ésta es una relación entre derivadas para todo t. En particular, en un momento t 0 se tienen los datos especificados en el enunciado: A (t 0 )=2πr(t 0 )r (t 0 )=2 π = 2000 π pies 2 /min. > 0. El área está aumentando en ese momento t 0. (5) Sea f: R R una función continua en R cuya primera derivada f tiene la siguiente gráfica: f() 2 2 A partir de esta gráfica de f, determinar dónde la función f es creciente y dónde es decreciente. Eplicar además, cómo es la tangente a la gráfica de f en = 2, =, =2 & =. La función es creciente cuando la derivada es positiva; para (, 2) ( 2, ) (2, + ). La función es decreciente cuando la derivada es negativa, es decir, para (, 2).

7 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E En = 2 la tangente es vertical. En = la tangente es horizontal, paralela al eje, con pendiente cero. De hecho tiene aquí un máimo local porque la derivada cambia de signo de positivo a negativo. En = 2 la tangente es horizontal, paralela al eje, con pendiente cero. De hecho tiene aquí unmínimo local porque la derivada cambia de signo de negativo a positivo. En = la tangente no eiste. La gráfica tiene un salto. Por la izquierda tiene pendiente y por la derecha tiene pendiente 2.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E1000. (1) Sea f(x) una función cuya derivada es

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E1000. (1) Sea f(x) una función cuya derivada es CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 ) Sea f) una función cuya derivada es f ) = 3 3 4 3+) 50 + 6 y con dominio igual al de su derivada. Determine los intervalos de monotonía

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f() es creciente en un punto

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 (1) Considere la función h : R R definida por h() = 3 3 Halle el dominio y las raíces de la función Las asíntotas verticales y las horizontales

Más detalles

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas

Más detalles

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 página 1/20 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 Hoja 2. Problema 2 Resuelto por Carmen Jiménez Cejudo (diciembre 2014)

Más detalles

Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de 1ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos

Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de 1ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos página /9 Problemas Tema Solución a problemas de Repaso de ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos Hoja 2. Problema. Sea f x )=a x 3 +b x 2 +c x+d un polinomio que cumple f )=0, f ' 0)=2, y tiene dos

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA

APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA Matemáticas º Bachillerato APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA CRECIMIENTO DECRECIMIENTO, CONCAVIDAD CONVEXIDAD Sea y = f() una función continua cuya gráfica es la de la figura. DEFINICIÓN

Más detalles

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas. f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim +

Más detalles

Una función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x

Una función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN En una función se puede analizar su crecimiento o decrecimiento al mirar la variación que experimentan

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

Definición 1. Definición 3. Un numero critico de una función f es un numero c en el dominio de f tal c ) no existe.

Definición 1. Definición 3. Un numero critico de una función f es un numero c en el dominio de f tal c ) no existe. CALCULO DIFERENCIAL Definición. Una función f ( ) tiene un máimo absoluto (o máimo global) en c si f ( c ) f ( ) D, donde D es el dominio de f. El numero f ( c ) se llama valor máimo de f en D. De manera

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.

Más detalles

9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN

9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN 9- DERIVADAS - DERIVADA EN UN PUNTO Calcula la derivada de y = + en o = utilizando la definición Solución: y'() = 8 Calcula la derivada de - en o = utilizando la definición Solución: y '() = -6 Calcula

Más detalles

Ecuación de la recta tangente

Ecuación de la recta tangente Ecuación de la recta tangente Pendiente de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. Recta tangente a una curva en un punto

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

tiene un máximo relativo en x = asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo.

tiene un máximo relativo en x = asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo. Selectividad CCNN 006. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f() = -. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) Calcula los etremos relativos

Más detalles

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3. 6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN 1.- Derivada de una función en un punto. El estudio de la derivada de una función en un punto surge con el problema geométrico

Más detalles

x 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4

x 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4 CÁLCULO. Curso 2003-2004. Tema 7. Derivabilidad.. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las funciones: {, si 0 (a) e, si > 0 2 +, si > 0 (b), si = 0 2. Dada la función (c) 2 si < 0 e, si > 0 2

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha. Para ello

Más detalles

Universidad de San Carlos de Guatemala

Universidad de San Carlos de Guatemala Clave: 03-2-M-2-00-203 Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Departamento de matemática Curso: Matemática Básica 2 Código del curso: 03 Semestre: Segundo semestre 203 Tipo de eamen:

Más detalles

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9 Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 1/8 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9 Hoja 1. Problema 9 Resuelto por José Antonio Álvarez

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución:

1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución: RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD DE ANÁLISIS. I Departamento de Matemáticas 1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función

Más detalles

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?.

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?. ejerciciosyeamenes.com EXAMEN DERIVADAS. Estudia la derivabilidad de la función si f ()= si > 3. )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg() tiene pendiente?. 4. Ecuación de la recta tangente

Más detalles

Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad

Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad página / Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad Hoja. Calcula la derivada de f ()= +3 8 +9 +3. Encuentra tres números no negativos que sumen 4 y tales que uno sea doble de otro y la

Más detalles

Valores Máximos y Mínimos

Valores Máximos y Mínimos Valores Máimos y Mínimos MATE 01 Cálculo 1 /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de Actividades.5 Referencia: Teto Sección.1 Etremos en un intervalo Valores Máimos y Mínimos, Ver ejemplos 1 al 4; Ejercicios

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula. f(x) f(a) x a. x a

La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula. f(x) f(a) x a. x a 3 Derivación 3.. La derivada La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula f (a) = lím a f() f(a) a El cociente f() f(a) a es la pendiente de la recta secante a la función

Más detalles

Ejercicios para el Examen departamental

Ejercicios para el Examen departamental Departamento de Física Y Matemáticas Ejercicios para el Examen departamental 1ª Parte M. en I.C. J. Cristóbal Cárdenas O. 15/08/2011 Ejercicios para el examen departamental de Cálculo 1 primera parte A

Más detalles

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS UNIDAD APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 98 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f

Más detalles

MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS

MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo en el valor c si hay un intervalo (r, s), que contiene a c, en el cual f(c) f(x) para toda x entre r y s. Si además,

Más detalles

Representaciones gráficas

Representaciones gráficas 1 MAJ99 Representaciones gráficas 1. Se considera la función 3 f ( ) 1 60 3 (a) Hállense sus máimos y mínimos. (b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Represéntese gráficamente.

Más detalles

DERIVABILIDAD. 1+x 2. para x [1, 3]

DERIVABILIDAD. 1+x 2. para x [1, 3] 1 DERIVABILIDAD 1. Definir derivada y derivadas laterales de una función en un punto. Probar que la función f es derivable en =1 y que la derivada lateral por la derecha en =0 es infinito. para [0, 1)

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I APLICACIONES DE LA DERIVADA. 1. Derivabilidad y monotonía. creciente para x en cierto intervalo f es < 0

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I APLICACIONES DE LA DERIVADA. 1. Derivabilidad y monotonía. creciente para x en cierto intervalo f es < 0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. Derivabilidad y monotonía Tenemos también el resultado: f (x) > 0 creciente para x en cierto intervalo f es Lo cual es claro, pues: Si la

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

Derivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.

Derivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN. Derivadas. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.. Función derivable en un punto, derivada de una función en

Más detalles

Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos

Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím

Más detalles

Ejercicios de representación de funciones: Primer ejemplo:

Ejercicios de representación de funciones: Primer ejemplo: www.juliweb.es tlf. 69886 Ejercicios de representación de funciones: Primer ejemplo: f ( ) º) Dominio. Dom f ( ) R {} º) Simetrías. f ( ) No es par f ( ) f ( ) No es impar No hay simetría. º) Puntos de

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto

Más detalles

ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN Teoría Práctica Los pasos a seguir para el estudio completo y representación de una Función son los siguientes: ) Hallar el Dominio de la función. En dicho

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto

Más detalles

3.1 Situaciones que involucran funciones trigonométricas

3.1 Situaciones que involucran funciones trigonométricas 3.1 Situaciones que involucran funciones trigonométricas Ejemplo 1) La traectoria de un proectil disparado con una inclinación respecto a la horizontal con una velocidad inicial v 0 es una parábola. Epresa

Más detalles

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N 13 CÁLCULO I

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N 13 CÁLCULO I UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N CÁLCULO I Profesor: Carlos Ruz Leiva MÁXIMOS Y MÍNIMOS Criterio de la segunda derivada Supongamos que

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD . Sea la función f ( ) = 6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c. Represente gráficamente la función.. Sea

Más detalles

Precálculo 1 - Ejercicios de Práctica. 1. La pendiente de la línea (o recta) que pasa por los puntos P(2, -1) y Q(0, 3) es:

Precálculo 1 - Ejercicios de Práctica. 1. La pendiente de la línea (o recta) que pasa por los puntos P(2, -1) y Q(0, 3) es: Precálculo 1 - Ejercicios de Práctica 1. La pendiente de la línea (o recta) que pasa por los puntos P(2, -1) y Q(0, 3) es: a. 2 b. 1 c. 0 d. 1 2. La ecuación de la línea (recta) con pendiente 2/5 e intercepto

Más detalles

Cálculo Diferencial en una variable

Cálculo Diferencial en una variable Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia

Más detalles

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y). TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:

Más detalles

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

Expliquemos con exactitud qué queremos decir con valores máximos y mínimos.

Expliquemos con exactitud qué queremos decir con valores máximos y mínimos. Introducción: Ahora que conocemos las reglas de derivación nos encontramos en mejor posición para continuar con las aplicaciones de la derivada. Veremos cómo afectan las derivadas la forma de la gráfica

Más detalles

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?

Más detalles

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress. FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVAVILIDAD 1- Sea : definida por a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1/2 y que la recta tangente en el punto de

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x = Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.

Más detalles

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una

Más detalles

DERIVADAS. es: = + = es: = +

DERIVADAS. es: = + = es: = + DERIVADAS. La derivada de la función f ( ) es: A) f ( ) f ( ) + B) f ( ) D) f ( ) ( ) f ( ). La derivada de la función f ( ) e es: A) f ( ) e f ( ) e B) f ( ) ( ) e D) f ( ) + e ( ) f e + e e e e ( ).

Más detalles

Ejercicio 1 Relacione convenientemente cada una de las siguientes expresiones: (considere x > 0 ) P Q a b. ax + bxh + h. x bxh

Ejercicio 1 Relacione convenientemente cada una de las siguientes expresiones: (considere x > 0 ) P Q a b. ax + bxh + h. x bxh Módulo 1 DERIVADAS 1.1 Reglas de diferenciación Reconocimiento de saberes Ejercicio 1 Relacione convenientemente cada una de las siguientes epresiones: (considere > 0 ) ln ( e ) ln ln ( e ) ln e ln + ln

Más detalles

Interpretación geométrica de la derivada

Interpretación geométrica de la derivada Interpretación geométrica de la derivada El matemático francés ierre de Fermat (60 665) al estudiar máimos mínimos de ciertas funciones observó que en aquellos puntos en los que la curva presenta un máimo

Más detalles

PROBLEMAS DE REPASO. Solución: Si llamamos x e y a las longitudes de cada uno de los catetos, sabemos que: x 2 y 2 1 y 2 1 x 2 El volumen del cono es:

PROBLEMAS DE REPASO. Solución: Si llamamos x e y a las longitudes de cada uno de los catetos, sabemos que: x 2 y 2 1 y 2 1 x 2 El volumen del cono es: PROBLEMAS DE REPASO 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus catetos. Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado

Más detalles

Matemáticas 2 Agosto 2015

Matemáticas 2 Agosto 2015 Laboratorio # 1 Línea recta I.-Determina la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones y exprésala en la forma general. Pasa por el punto (1,5) y tiene pendiente 2 Pasa por y Pendiente

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..

Más detalles

1. [2014] [EXT-A] a) La derivada de la función f(x) es: (x-1) 3 (x-3). Determine la función f(x) sabiendo que f(0) = 1. +2x+2. x 3

1. [2014] [EXT-A] a) La derivada de la función f(x) es: (x-1) 3 (x-3). Determine la función f(x) sabiendo que f(0) = 1. +2x+2. x 3 [4] [EXT-A] a) La derivada de la función f() es: (-) (-) Determine la función f() sabiendo que f() = b) Determine el límite: lim + ++ ++ + [4] [EXT-B] a) Dadas las funciones f() = y g() = - +, determine

Más detalles

1 Problemas de Optimización

1 Problemas de Optimización 1 Problemas de Optimización Eercise 1.1 Hallar un número positivo ue sumado con su inverso nos dé una suma mínima Si llamamos a dicho número; entonces la epresión ue nos permite calcular la suma de él

Más detalles

Unidad 5. La derivada. 5.2 La derivada de una función

Unidad 5. La derivada. 5.2 La derivada de una función Unidad 5 La derivada 5. La derivada de una función A continuación trataremos uno de los conceptos fundamentales del Cálculo, que es el de la derivada. Este concepto es un ite que está estrecamente ligado

Más detalles

Ejercicios para aprender a derivar

Ejercicios para aprender a derivar Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f ( ) k f '( ) 0 f ( ) a f '( ) a n n f ( ) a f '( ) an f ( ) u( ) + v( ) f '( ) u' + v' Ejemplos:

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones:

Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones: Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones: 1.- Sea la curva paramétrica definida por, con. a) Halle. b) Para qué valor(es) de, la curva tiene recta tangente vertical? 2.- Halle para : a) b)

Más detalles

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS

Más detalles

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números

Más detalles

LA DERIVADA. Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x 2 en el intervalo [0,2] Solución

LA DERIVADA. Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x 2 en el intervalo [0,2] Solución LA DERIVADA INTRODUCCIÓN El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales,

Más detalles

Profesor: Fernando Ureña Portero

Profesor: Fernando Ureña Portero MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 13-14 1.-Dada la función a) (3p.) Dominio de f() b) (3 p.) Calcular. Es posible calcular? Por qué? c) (4p.) Calcular.- Estudiar la continuidad de la función: { 3.-a)

Más detalles

Ecuaciones de la forma. y se sabe que pasa por el punto ( 4 ;16 ), cuál es la ecuación de la recta? con m > 0. contenga los puntos ( 2;? por qué?

Ecuaciones de la forma. y se sabe que pasa por el punto ( 4 ;16 ), cuál es la ecuación de la recta? con m > 0. contenga los puntos ( 2;? por qué? Ecuaciones de la forma y = m. Haga las gráficas de y = y = y = y = y y y y y y a. Como son las rectas b. Cuales son simétricas respecto al origen c. La recta y que tipo de simetría presenta respecto a

Más detalles

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2 Integrales. Calcular las siguientes integrales: i) d ii) d 6 iii) sen d i) Operando se tiene: d = / / / / d = 7 / / / / / = c = c 7 7 ii) Ajustando constantes se tiene: d 6d = 6 c 6 6 iii) Haciendo el

Más detalles

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Funciones 1. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional: 2 + 5 f() = f() = 3 5 2 + 6 4 2 4 Racional. Polinómica. Aplica la teoría

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

SESIÓN 8 MAXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCION, APLICACIONES DE LOS MAXIMOS Y MINIMOS

SESIÓN 8 MAXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCION, APLICACIONES DE LOS MAXIMOS Y MINIMOS SESIÓN 8 MAXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCION, APLICACIONES DE LOS MAXIMOS Y MINIMOS I. CONTENIDOS: 1. Máximos y mínimos de una función (definiciones) 2. Máximos y mínimos (metodología de cálculo) 3. Ejercicios

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas 11 Aplicaciones de las derivadas 1. Representación de funciones polinómicas Piensa y calcula Calcula mentalmente: a) lím ( 3 3) b) lím ( 3 3) +@ a) + @ b) @ @ Aplica la teoría Representa las siguientes

Más detalles

2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones

2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto

Más detalles

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo

Más detalles

MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS

MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo en el valor c si hay un intervalo (r, s), que contiene a c, en el cual f(c) f(x) para toda x entre r y s. Si además,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 29-OCTUBRE-1996. (1) 2x 3 > 4.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 29-OCTUBRE-1996. (1) 2x 3 > 4. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 9-OCTUBRE-199 1) 3 > 4. +1 ) Sea la función 3 si 1 a + b si 1 . Encontrar los valores de a, b, c para que la función

Más detalles

Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial. Parcial 2

Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial. Parcial 2 Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial Parcial Estudiante: Fecha: Sea g() = ( + 3). Entonces f (7) = 00. Verificarlo a partir de la derivada como limite. (La derivada obviamente es pero

Más detalles

RELACIÓN 3a DE EJERCICIOS. MATEMÁTICAS 1. INGENIERÍA QUÍMICA.

RELACIÓN 3a DE EJERCICIOS. MATEMÁTICAS 1. INGENIERÍA QUÍMICA. RELACIÓN 3a DE EJERCICIOS. MATEMÁTICAS 1. INGENIERÍA QUÍMICA. 1. Sea f : IR IR definida por f() = 2 + 1, IR. Probar, utilizando la definición, que f es derivable en cualquier punto de IR. Encontrar los

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 94 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales UNIDAD 0: Límites de funciones. Continuidad ACTIVIDADES-PÁG. 08. Podemos decir lo siguiente: a) Para esta función: f () tiende a cuando tiende a f () tiende a + cuando tiende a por la izquierda f () tiende

Más detalles