Sistema de Capitalización Continua MATEMÁTICA FINANCIERA. Derivación del factor de capitalización continua

Transcripción

1 Sistema de MATEMÁTICA FINANCIERA SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN CONTINUA Luis Alcalá UNSL Segundo Cuatrimeste 06 La TEA equivalente a una tasa nominal fija, aumenta a medida que aumentamos la frecuencia de capitalización Dada una tasa nominal J p, el capital acumulado al cabo de t años es C t = + Jp Si dejamos fijo el valor de la tasa nominal, pej J p = J, qué sucede con el factor de capitalización a medida que aumenta el período p? p Vamos a demostrar que el factor de capitalización + Jp p converge a medida que p p pt La tasa nominal con capitalización continua también suele denominarse tasa instantánea Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera - 06 / 8 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera - 06 / 8 Frecuencia p Factor Capitalización Valor anual + 0,5,5 semestral + 0,5,5565 cuatrimestral + 0,5 4,5765 trimestral 4 + 0,5 4 6,58650 bimestral 6 + 0,5 6,5969 mensual + 0,5 5,60755 semanal 5 + 0,5 5 65,6584 diario , ,6798 por hora ,5,68 continuamente lim p p + 0,5 p,684 Derivación del factor de capitalización continua La última fila de la tabla se obtiene calculando el ĺımite p + 0,5 p = e 0,5 =, 684 lim p A medida que p crece, la frecuencia de capitalización aumenta, disminuyendo el tiempo entre dos capitalizaciones consecutivas Cuando p tiende a infinito, decimos que los intereses se capitalizan en forma instantánea Esto se conoce como capitalización continua El capital acumulado al cabo de t años ahora es C t = lim p + J p pt = C0 e Jt Por lo tanto, podemos establecer una equivalencia entre la tasa nominal J y la efectiva i dada por + i = e J ln + i = J i = e J Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera - 06 / 8 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8

2 Derivación del factor de capitalización continua $ Una manera alternativa: fijar una tasa nominal anual J Calcular el capital final que produce la capitalización compuesta a medida que se incrementa la frecuencia de capitalización t + J + J + J + J4 4 + J6 6 + J t t 4t 6t t e Jt + J t 6t + J6 6 4t + J4 4 t + J t + J + J t Años Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 $ J Definición Se denomina capitalización continua a la ley financiera por la cual un capital inicial impuesto durante t años a una tasa nominal anual J produce un capital final e Jt C t = + i t = e Jt 0 hoy t Años t años Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8

3 Observación En capitalización continua, el tiempo t en la fórmula siempre debe colocarse en años, para que sea dimensionalmente compatible con la tasa nominal continua J Ejemplo Calcular el capital final que producirá un capital inicial de $0000 impuesto a capitalización continua durante 8 meses a una tasa del % Ejemplo Calcular el capital final que producirá un capital inicial de $00000 impuesto durante 7 años a una tasa nominal continua del % Sólo debemos aplicar la fórmula : C 7 = e 0, 7 = 467, 954 Por lo que al cabo de 7 años dispondremos de $467,40 No es más que calcular C 8 = 0000 e 0, 8 = 08 Observe que debimos convertir los 8 meses a 8 en la fórmula de capitalización continua años para poder usarlos Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Ejemplo Hoy extraemos del banco $75,75 Cuál fue el capital original si nos pagan una tasa nominal continua del 8,5% y el depósito fue pactado por 8 meses? Sabemos que de donde = C t e Jt C t = e Jt = 75, 75 e 0,85 8 = 550 Luego el depósito original fue por $550 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera - 06 / 8 Ejemplo 4 Determinar el interés total obtenido al depositar $5000 a plazo fijo por el término de meses capitalizados en forma continua con una tasa nominal del,% Por definición: I T = C final C original Es decir I T = e Jt = e Jt = 5000 e 0, = 56, 8 Por lo que el interés total obtenido es de $56,4 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera - 06 / 8

4 Ejemplo 5 Hallar el capital que produce intereses de $0 al cabo de 45 días, a una tasa nominal continua del 5% Del problema anterior sabemos que I T = e Jt Luego = I T e Jt = 0 45 = 54, 74 0,5 e 65 Por lo que el capital buscado es $54,7 Si se hubiera usado el año comercial, el resultado sería: = ,5 e 60 = 465, Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera - 06 / 8 Ejemplo 6 Depositamos en un banco $ y al cabo de 0 meses nos entregan $86750 Cuál es la tasa nominal que le pagó el banco si el mismo usa capitalización continua? Como C t = e Jt, tenemos que Luego J = 0 J = ln t Ct ln = 0, ie, una tasa nominal continua del,088% Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Ejemplo 7 Durante cuantos días hay que imponer un capital de $000 a una tasa nominal continua J =, 85%, para obtener no menos de $400? Deseamos hallar el menor valor de t, en días, tal que e 0,85 t 65 como la función logaritmo es monótona creciente, ln400 ln , 85 t 65, luego t 65 ln400 ln000 0, , Dado un capital A disponible al momento t, en el sistema de capitalización continua el valor del mismo a la fecha focal f es: pues si A al momento f = Ae Jf t, t < f, debemos capitalizar A por f t años Jf t A al momento f = Ae si t > f, debemos actualizar el capital A por t f años: A al momento f = Ae Jt f Por lo tanto, debemos imponer el capital al menos 479 días Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8

5 Esto nos permite concluir: Proposición Dada una tasa nominal continua J, la serie de capitales A, A,, A n disponibles en los momentos t a, ta,, ta n es financieramente equivalente a la serie de capitales B, B,, B m disponibles en los momentos t b, tb,, tb m, a la fecha focal f en el sistema de capitalización continua si A j e Jf ta j m = B j e Jf tb j j= donde todos los datos temporales deben ser expresados en años j= Ejemplo 8 Se desea sutituir el siguiente esquema de pagos: $50000 hoy, $60000 a los cinco años y $00000 a los 0 años, por dos pagos iguales, el primero al año, y el segundo a los 6 años Hallar el valor nominal de los montos a pagar usando una tasa nominal continua J =, 5%, y tomando como fecha focal el día de hoy Resolver nuevamente el problema usando como fecha focal f = 5 años El valor del primer esquema de pagos está dado por e 0,5f e 0,5f 5 0,5f e El valor del segundo esquema de pagos a la fecha focal f es C e 0,5f 0,5f 6 + C e Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Usando como fecha focal el origen f = 0, tenemos e 0, e 0,5 0 = C e 0,5 + C e 0, e 0, e,5 = C e 0,5 + C e 0, , , 0 =, C 0647, 4, = C ie, los nuevos pagos serán de $80748,9 El caso f = 5 queda como ejercicio 80748, 9 = C Ejemplo 9 Debemos realizar pagos, el primero de $40000 dentro de tres meses, el segundo de $0000 dentro de 6 meses y último de $50000 a los 9 meses Por razones de flujo de caja disponibilidad de efectivo queremos sustituir estos pagos por dos: uno de $50000 dentro de 5 meses y otro por un monto a determinar a los 0 meses Se conviene una tasa del 5% nominal continua Debemos igualar los valores a la fecha focal dada de ambas operaciones: valor de la operación original a la fecha focal f = valor de la operación nueva a la fecha focal f Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8

6 Usando como fecha focal: f = 6 meses fecha focal $ 500 C $ 400 $ 00 $ 500 meses Por un lado, la transacción original e 0, e 0,5 = El nuevo esquema implica que de donde e 0,5 + C e 0,5 4 = , C C = , = 7445 Por lo que el a los 0 meses deberemos pagar $7445 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera - 06 / 8 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera - 06 / 8 Tasa Media Continua Tasa Media Continua Al cabo de años, la inversión original genera Como ya vimos, se le llama tasa media a la tasa que produce el mismo efecto final que un grupo de tasas dadas actuando simultáneamente Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 0 Ud tiene $00000 invertidos al 8%, $50000 al 8% y $75000 al %, donde todas las tasas son nominales anuales continuas y todas las inversiones son por años Qué tasa nominal anual continua debería ofrecerle una entidad financiera para que ud coloque todo su capital, $45000, en la misma por tres años? e 0, e 0, e 0,0 La operación nueva genera al cabo de años e J Si queremos que ambas operaciones sean equivalentes, tenemos que e 0, e 0, e 0,0 = e J Por lo que la tasa nominal continua J que buscamos J media = ln 00000e0, e 0, e 0, Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera - 06 / 8 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8

7 Tasa Media Continua El resultado es J media = 0, Por lo tanto, la entidad financiera debe ofrecer una tasa nominal continua de al menos 9,7% Esta tasa produce igual rentabilidad en tres años que las otras tres inversiones en conjunto En resumen, a tres años ambas inversiones producen el mismo capital final de $569050,7 Comprobación: 00000e 0, e 0, e 0,0 = , e 0,0, = , 748 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Tasa Media Continua En general, la serie de capitales C k, k =,, n, colocados a las tasas continuas J k, k =,, n, durante t años, es equivalente a colocar hoy la suma de todos los capitales C = C k, a la tasa continua media J media durante t años, la cual realiza la igualdad en la siguiente ecuación: C k e Jkt = Ce J mediat Despejando la tasa media, obtenemos J media = ln t C C k e J kt 4 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Vencimiento Medio Continuo Vencimiento Medio Continuo Dada una tasa nominal continua J, deseamos hallar el vencimiento medio v medio, con el que podemos sustituir una serie de capitales C, C,, C n disponibles en los momentos t t t n, por un único pago C = n C k Como en el sistema continuo la equivalencia financiera puede realizarse a cualquier fecha focal sin alterar el resultado, para f = 0 Ejemplo Pablo desea sustituir tres pagos, de $4000, $000 y $000, con vencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un año, respectivamente, por un único pago de $0000 Hallar el vencimiento medio para una tasa de capitalización continua del 0% Luego C k e Jt k = Ce Jv medio v medio = ln C ln J C k e Jt k 5 v medio = ln0000 ln e 0, e 0,0 = 0, 4855 años, ie, aproximadamente 58 días 0, 0 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8 Luis Alcalá UNSL CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat Financiera / 8