SISTEMAS ELECTRÓNICOS DE CONTROL

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1 SISTEMAS ELECTÓNICOS DE CONTOL TEOÍA DE ESONANCIA Introducción esonancia Serie esonancia Paralelo 6 B ELECTÓNICA

2 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann. INTODUCCIÓN Definimos como resonancia al comportamiento de un circuito con elementos inductivos y capacitivos, para el cual se verifica que la tensión aplicada en los terminales del mismo circuito, y la corriente absorbida, están en fase. La resonancia puede aparecer en todo circuito que tenga elementos L y C. Por lo tanto existirá una resonancia serie y otra resonancia paralelo o en una combinación de ambos. El fenómeno de resonancia se manifiesta para una o varias frecuencias, dependiendo del circuito, pero nunca para cualquier frecuencia. Es por ello que existe una fuerte dependencia del comportamiento respecto de la frecuencia. Deviene de ello la gran importancia de los circuitos sintonizados, especialmente en el campo de las comunicaciones, en lo que hace a la sintonización de señales de frecuencias definidas o al "filtrado" de señales de frecuencias no deseadas. Genéricamente se dice que un circuito está en resonancia cuando la tensión aplicada y la corriente están en fase, el factor de potencia resulta unitario.. ESONANCIA SEIE Para un circuito serie comoo el dibujado, la impedancia será la siguiente: Z + j L C Si trazamos el diagrama de tensiones y corrientes del circuito, se verificará que la tensión adelantará, atrasará o estará en fase con la corriente. Esto resulta evidente de la expresión anterior, en la cual, para algunas frecuencias se cumplirá que: L > C para otras frecuencias será: L < C En el primer caso, se comporta el circuito en forma inductiva, en el segundo, en forma capacitiva y, además, paraa alguna frecuencia, se cumplirá que: L C

3 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann Para este caso, el circuito se encontrará en resonancia, ya que la impedancia será resistiva pura, (tensión en fase con la corriente). Este tipo de circuito se denomina también esonante en Tensiones, dado que los módulos de las tensiones en los componentes reactivos, son iguales pero opuestos en fase y se cancelan. Debe observarse que cuándo, el circuito estará en resonancia, el circuito se comportará en forma resistiva pura, mientras la impedancia será sólo la resistencia del circuito, y, por consiguiente, la corriente será máxima.. FECUENCIA DE ESONANCIA La frecuencia de resonancia se obtiene muy fácilmente, ya que la componente imaginaria de la impedancia será nula, para que el circuito se comporte como resistivo puro. Para este caso simple será: si, resulta: L C. COMPOTAMIENTO DEL CICUITO SEGÚN LA FECUANCIA epresentaremos gráficamente (figura.) las distintas componentes de la impedancia en función de la frecuencia. La reactancia inductiva, X L, será pues una recta con origen en cero. La reactancia capacitiva, X C, por su parte, será una hipérbola equilátera, es decir tendrá como asíntota horizontal al eje de las frecuencias. También hemos graficado en la figura, la componente imaginaria de la impedancia del circuito, Finalmente representamos el módulo de la impedancia, es decir: f L C L C π f π L C L C Z + X 3

4 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann Figura..- Componentes de la impedancia en función de la frecuencia..3 SOBETENSIÓNN Y FACTO DE SELECTIIDAD/CALIDAD En los circuitos LC serie, puede ocurrir que la tensión en los elementos reactivos sea mayor que la tensión de alimentación. Este fenómeno se aprecia especialmente en frecuencias cercanas a la de resonancia cuando la resistencia total es mucho menor que la reactancia del circuito. En resonancia se cumple que: C L Tomemos pues para el análisis cualquiera de ellas. L L I, pero I Pues, en resonancia se cumple que el circuito se comporta en forma resistiva pura, es decir: Por lo tanto, reemplazando resulta: L Z L 4

5 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann Donde llamaremos a: Q L L X L Factor de selectividad o simplemente Q del circuito Mediante un desarrollo análogo se llega, para el capacitor a: Q C X C Cualquiera sea la forma de calcular el Q, en resonancia el valor será idéntico, ya que X L X C, para. El factor de mérito nos indica cuánto más grande es el valor de la reactancia que el de la resistencia. Es conveniente que los circuitos resonantes, en general, tengan un Q elevado, pues su comportamiento será mucho más dependiente de la frecuencia en la vecindad de la resonancia. Esto sucederá cuando la resistencia sea pequeña. Los circuitos prácticos usados en sintonía en el campo de las radio frecuencias (F), tienen valores de Q superiores a en la mayoría de los casos. El factor Q se suele llamar también factor de sobretensión o también factor de calidad. Más adelante daremos una definición del Q basada en conceptos energéticos..4 ADMITANCIA CECA DE LA ESONANCÍA Prácticamente, la información más útil sobre el comportamiento del circuito a frecuencias cercanas a la de resonancia, se encuentra en la parte inferior (en forma de ""), de la curva de la impedancia en funciónn de la frecuencia. Por lo tanto, resulta útil epresentar la función inversa, es decir La admitancia. Y Z Además esta curva tendrá la misma forma que la corriente, si excitamos al circuito con tensión constante, ya que: I Y También, la parte más importante se encuentra dentro de un intervalo comprendido en ±% de f, donde f es la frecuencia de resonancia, ya que a frecuencias mayores, las variaciones son muy pequeñas. Por último, conviene explicar también que en la gráfica se toma la frecuencia en coordenadas logarítmicas, lo cual es muy común cuando se grafican funciones de la frecuencia, ya que el espectro de los valores es muy amplio. Además aquí se tiene la ventaja adicional que el uso de coordenadas logarítmicas simetriza la curva respecto de la frecuencia de resonancia. En las figuras siguientes (figuras. y.3), observamos las curvas correspondientes al módulo y a la fase de la admitancia en la vecindad de la resonancia. emos en ellas que para frecuencias bajas, el comportamiento es capacitivo (fase 9 ). Luego, el comportamiento capacitivo persiste pero en forma menos intensa (circuito C), hasta la frecuencia de resonancia, donde el comportamiento es resistivo (fase ). Luego, el comportamiento se torna levemente inductivo, a medida que crece la frecuencia respecto de la resonancia (circuito L), hasta que a frecuencias muy altas se torna fuertemente inductivo, circuito inductivo puro (fase -9 ). 5

6 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann efiriéndonos ahora a la curva del módulo de la admitancia, se observa que a frecuencias muy bajas, resulta que dicho módulo es muy bajo, ya que la reactancia capacitiva es muy alta. En resonancia, el circuito presenta la impedancia mínima e igual a la resistencia, por lo que la admitancia será máxima e igual a la conductancia. Y Y G Por último, para frecuencias muy superiores a la de resonancia, la admitancia reduce su módulo, ya que la reactancia inductiva es muy alta, con lo cual la impedancia es también alta. Es interesante observar que si el circuito tiene una resistencia muy pequeña, la admitancia en resonancia tiende a nfinito, lo mismo que la corriente. Si las pérdidas suben, sube y, consecuentemente se reduce el módulo de admitancia en resonancia, por lo que la curva se aplasta. esumiendo, si el Q del circuito es elevado, la curva es más aguda, mientras que si Q es reducido, la curva resulta menos aguda. En lo que se refiere a la fase, la variación de la misma es mucho más rápida a valores de Q altos. Si el factor de mérito tiende a infinito, la fase varía bruscamente, pasando de +9 a -9. Todo esto pone de manifiesto que a valores de Q elevados, el fenómeno de resonancia se hace mucho más notorio que a valores bajos. Los gráficos siguientes están basados en el circuito que sigue. Figura..- Módulo de la admitancia. 6

7 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann Figura.3.- Fase de la admitancia. eamos ahora que sucede si en el mismo circuito graficado anteriormente, adoptamos una resistencia 5Ω, es decir veces menor que la ya usada. Figura.4.- Módulo de la admitancia con 5Ω. Y con respecto a la fase, vemos que varía mucho más bruscamente, como lo habíamos anticipado. 7

8 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann Figura.5.- Fase de la admitancia con 5Ω..5 PUNTOS DE POTENCIA MITAD eamos que sucede si la componente reactiva total es igual a la resistencia del circuito. Y Z + j L C De manera que el módulo de la admitancia valdrá: Mientras que el ángulo de fase adoptará el siguiente valor: El doble signo, devienee por el hecho que tendremos el mismo valor para el comportamiento capacitivo (frecuencias inferiores a la de resonancia) y para el comportamiento inductivo (frecuencias superiores a la de resonancia). La potencia disipada en el circuito será en resonancia: Para los puntos en los tendremos: Y, pero si L Y C + Y Y ϕ arctg ± arctg 45 P I ( ± ) ± Y ± j cuales la componente reactiva es idéntica a la resistencia del circuito, P Y Y 8

9 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann emos que la potencia vale la mitad que la correspondiente a resonancia, es decir: P P De estas consideraciones deviene el nombre de puntos de potencia mitad. El intervalo de frecuencias comprendido entre los puntos de potencia mitad, define lo que se conoce como ancho de banda de 3 db, o simplemente ancho de banda.. Este último valor es muy importante, ya que define la selectividad del circuito resonante, parámetro muy importante fundamentalmente en comunicaciones cuando se estudian los circuitos sintonizados, ya que, en gran parte, dependerá de la selectividad, la calidad de la recepción. El concepto de ancho de banda de 3dB, surge el hecho que la potencia en los puntos de potencia mitad, cae justamente 3dB, lo cual puede demostrarse muy fácilmente, como sigue: P P P P ( db) log 3( db) Gráficamente resulta: 9

10 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann A continuación observamos el diagrama de fase: emos que el ancho de banda del circuito es: BW f f f 3, KHz,7KHz, 4KHz Observándose que el circuito es bastante selectivo, ya que el ancho de banda es sólo de 4Hz. Como veremos en el párrafo siguiente, la selectividad está íntimamente relacionada con el valor del Q..6 ELACIÓN ENTE EL FACTO DE CALIDAD EN ESONANCIA Y EL ANCHO DE BANDA Determinemos la frecuencia correspondiente a cada uno de los puntos de potencia mitad. Para f f, resulta: L C L C C L C C L C + C Se trata pues de una ecuación de segundo grado con una incógnita, de muy fácil resolución mediante la fórmula resolvente, es decir: + L L C ± L 4 L + L C

11 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann En forma análoga podemos determinar la frecuencia f f, haciendo: L C L C C L C C L C C L L C ± L 4 L + L C Por lo tanto, el ancho de banda en término de pulsación, resulta: L + L L L L Q Por lo tanto, podemos escribir: BW f f BW: Ancho de banda; donde Q f BW Q L C f BW Aquí se observa que cuanto mayor es el factor de mérito del circuito, menor es el ancho de banda, con lo que aumenta la selectividad. Es interesante observar que la relación anterior provee un método sencillo para la medición del Q del circuito, ya que bastará determinar la frecuencia de resonancia y las frecuencias para las cuales el ángulo de fase vale ± 45. El concepto de selectividad define la mayor o menor aptitud que tiene un circuito para separar el resto de las frecuencias respecto de la de resonancia..7 AUMENTO DE OLTAJE EN ESONANCIA EN UN CICUITO SEIE La caída de tensión en una bobina es: En resonancia tenemos que: I, por consiguiente L I X I L L L L Q

12 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann De la misma manera: En resonancia tenemos que: I C I X, por consiguiente I C Estos voltajes ( L y C ), siendo iguales y de fase opuesta, se cancelan uno a otro; sin embargo, sus valores pueden llegar a ser superiores al de la fuente de alimentación. Estas sobretensiones pueden ser eliminadas eligiendo correctamente el valor de. Para un circuito paralelo como el dibujado en la figura 3., demostraremos la equivalencia e identidad con el circuito de la figura 3. y determinaremos luego la impedancia. C C Q C 3. ESONANCIA PAALELO Figura 3. Figura 3.

13 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann Para demostrar que ambos circuitos son idénticos y equivalentes, determinaremos la admitancia [Y] de la seriee L y del paralelo P L P, de ambos circuitos. Las mismas deberán ser iguales. Para el circuito serie, formado por L tenemos que:. Ahora, para el circuito paralelo P L P tenemos que: Pero como:. Igualando esta ecuación, con la ecuación que define la admitancia equivalente del circuito serie L obtenemos:.. Dos números complejos son iguales si las partes reales e imaginarias efecto, los circuitos serán iguales si: resultan iguales. En Considerando que generalmente. (se tendrá presente que es la resistencia óhmica del conductor). Entonces y serán de valor despreciable frente al otro término de la ecuación. Luego tendremos que: y o bien: Dadas estas condiciones ambos circuitos serán idénticos y equivalentes. 3

14 E.E.T Nº 46 Guillermo Lehmann 3. FECUENCIA DE ESONANCÍA Como en el circuito serie, en alguna frecuencia se dará que:... En este caso por encontrarse ambos componentes en paralelo las corrientes por los mismos serán iguales en módulo pero opuestas en fase. esultando éste un circuito resonante en corrientes. El diagrama fasorial se muestra a continuación: De la observación del mismo encontramos que, al cancelarse las corrientes reactivas entre sí, la corriente por la resistencia P es igual a la corriente de la fuente. Luego la impedancia del circuito será: 3. SOBECOIENTE Y FACTO DE SELECTIIDAD En los circuitos LC paralelo, puede ocurrir que la corriente en los elementos reactivos sea mayor que la corriente de alimentación. Este fenómeno se apreciaa especialmente en frecuencias cercanas a la de resonancia cuando la impedancia total es mucho mayor que la reactancia de los componentes del circuito. El factor de selectividadd o sobreintensidad será: 4

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