Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple (MAS) Dinámica

Transcripción

1 Moviiento oscilatorio Dináica IES a Madalena. Avilés. Asturias a aceleración de un punto que oscila con MAS puede expresarse coo: a = A ωsen( ωt) En función del tiepo. a = ω x En función de la distancia al orien. Por tanto un cuerpo de asa que oscile con MAS estará soetido a una fuerza que varía con el tiepo en la fora: F = a = Aωsen( ω t) = Asen( ωt) Si eleios coo variable la distancia al orien (x) podeos expresar la fuerza actuante coo: F = a = ω x = x Donde = ω x = - A Generalente esta es la fora ás usada y nos indica que en un MAS la fuerza es proporcional al desplazaiento y opuesta a él. Cuando el punto se coloque a la derecha del orien (en oviiento de ida o de vuelta) la fuerza apunta hacia la izquierda; ientras que cuando esté a la izquierda la fuerza apunta hacia la derecha. Es decir la fuerza apunta siepre hacia el orien (punto de equilibrio) x =A a constante recibe el nobre de constante elástica y se ide en N/ en el S.I. a constante elástica en el caso de uelles perite cuantificar "la dureza" del iso. Muelles "uy duros" (que cuesta trabajo estirarlos) tienen una constante elástica elevada ientras que los uelles "blandos" (los que se estiran con facilidad) tienen constantes elásticas pequeñas. A partir de la ecuación de definición de la constante elástica (ver ás arriba) podeos relacionar periodo (o frecuencia) de oscilación con : π = ω = = T T T f = = π = = = T π π Si se auenta la asa del cuerpo las oscilaciones serán ás lentas (ayor periodo). Una asa enor provocará una disinución del periodo de oscilación (oscilaciones ás rápidas) El periodo de oscilación de un cuerpo colado de un resorte depende de la asa del cuerpo y de la constante elástica del resorte. Para un iso cuerpo el periodo será ayor (oscilará ás lentaente) cuanto enor sea la constante elástica (cuanto "ás blando" sea el uelle). Un uelle blando producirá un oviiento oscilatorio con un periodo laro (oscilación ás lenta). Un uelle duro provocará que las oscilaciones sean ás rápidas (periodo corto) Más inforación en FisQuiWeb: aboratorio Física º Bachillerato Estudio de un uelle real.

2 Física º Bachillerato. IES a Madalena. Avilés. Asturias Ejeplo (Oviedo 000) Se enancha un uelle de 30 c de lonitud y constante elástica 50 N c - a un cuerpo de asa 0 y el sistea se deja colado del techo. a) En qué porcentaje se alarará el uelle? b) Se tira lieraente del cuerpo hacia abajo y se suelta cuál será el periodo de oscilación del sistea? c) Se desenancha el uelle del techo y se fija a la pared poniendo el uelle horizontal y el cuerpo sobre una esa siendo el coeficiente de rozaiento entre abos despreciable. Cuál será el nuevo periodo de oscilación? Solución: Cuando se cuela el cuerpo el uelle se estira y ejerce una fuerza elástica hacia arriba iual a x que equilibra el peso d F e = d P= F P = 0;F = P e d = ;d = = e 0 0s = 0 04 = 4 0c 500s 4c 00c c Porcentaje: = 3 3 = 3 3% 30c 00c 00c Una vez puesto en oviiento el sistea oscilará con un periodo: 0 T == π = π = 0 40s 500s El periodo de oscilación de un uelle sólo depende de la asa del cuerpo y de su constante elástica coo ninuno de ellos varía al pasar de la posición vertical a la horizontal el periodo será el iso. Ejeplo (Oviedo 00) Un bloque de 5 colocado sobre una esa y unido a un uelle de constante elástica = 500 N/ oscila sin rozaiento. a velocidad áxia que alcanza en su trayectoria es de 70 c/s. Calcular: a) a frecuencia de oscilación b) a aplitud de la oscilación Solución: a) El periodo de oscilación viene dado por: T == π = π afrecuenciaserá:f = = = 94s T 0 34s a velocidad áxia se alcanza cuando el cuerpo pasa por x = 0 (ver apuntes MAS I) y tiene una valor: π vmax = ω A = A = πfa T A v 0 70s πf π 94s MAX = = s = 0 34s = = 3 8c

3 Física º Bachillerato. IES a Madalena. Avilés. Asturias El péndulo siple coo oscilador arónico Cuando un péndulo oscila la fuerza que lo ipulsa es la coponente del peso seún la tanente (ver fi). Si las oscilaciones tienen ucha aplitud el péndulo describe un arco. a trayectoria está bastante alejada de la propia de un MAS (sobre la recta x). El oviiento aunque es oscilatorio no puede considerarse arónico siple. Si las oscilaciones tienen poca aplitud (ver fi de la derecha) la trayectoria seuida por el péndulo se aproxia bastante a la propia de una MAS ya que entonces arco y cuerda se confunden. Adeás la fuerza puede considerarse que apunta con poco error en la dirección de la recta x. Podreos poner por tanto: x Fx = Psen α = x Fx = (elsinoenosindicaquelafuerzaseoponealdesplazaientox) Coparando con: F = x Concluios: x x = ; = Para pequeñas oscilaciones (ánulo inferior a 0 0 ) un péndulo siple se coporta coo un oscilador arónico de constante = / Operando podeos obtener el periodo de oscilación: = ; ω = = ;T = π T El periodo de un péndulo siple sólo depende de la lonitud del péndulo. Péndulos de lonitudes randes oscilaran lentaente (periodo elevado) ientras que péndulos cortos oscilarán rápidaente (periodos cortos) Ejeplo 3 (Oviedo 007) En una catedral hay una lápara que cuela desde el techo de una nave y que se encuentra situada a del suelo. Se observa que oscila leveente con una frecuencia de 0 Hz. Cuál es la altura h de la nave? Dato. = 9 8 /s El periodo de un péndulo siple depende únicaente de su lonitud por lo tanto para que las oscilaciones tenan una frecuencia de 0 Hz (T = 0 s) la lonitud del péndulo deberá de ser: h T = π = T = 9 8s 0 s = 4 8 a nave tendrá por tanto una altura de: = 68 3

4 Física º Bachillerato. IES a Madalena. Avilés. Asturias Estudio enerético del MAS a fuerza elástica es una fuerza conservativa (ver apuntes Enería II de º de Bachillerato) ya que cuando realiza trabajo neativo resta enería cinética al cuerpo que se transfora en enería potencial elástica. a enería potencial acuulada puede volver a convertirse en enería cinética dejando que la fuerza elástica actúe (realizando trabajo positivo) Por ser una fuerza conservativa se cuplirá: E c + E p = E c + E p -x En la fiura superior el uelle se estira hacia la izquierda (counicándole enería cinética). a fuerza elástica apunta entonces hacia la derecha y realiza trabajo neativo (restando enería cinética) que transfora en enería potencial elástica. Si ahora se suelta el uelle la fuerza elástica realiza trabajo positivo y la enería potencial se transfora en cinética. a situación es siilar si el uelle se coprie (fiura inferior) x a enería potencial elástica vale: E p = x Tendrá su valor áxio en x = A y x = - A y un valor nulo en x =0 a enería cinética para un objeto que se ueva con MAS se puede escribir en función de la elonación en la fora: Ec = v Coov = ω A x Ec = ω A x ( ) a enería cinética adquiere un valor áxio para x = 0 y nulo para x =A Si ahora suaos las expresiones para la enería cinética y la potencial observaos que la sua es una cantidad constante lo que deuestra la interconversión de abas foras de enería: Ec = ω ( A x ) Ep = ωx Ec + Ep = ω ( A x ) + ω x = ωa Ec + Ep = ω A = A 4

5 Física º Bachillerato. IES a Madalena. Avilés. Asturias Ejeplo 4 π Un cuerpo de 400 oscila con MAS de ecuación: x = 0 60sen t 0 60 a) Calcular los valores de la enería cinética y potencial cuando está a 050 y a 060 del orien. b) Coprobar que la sua de abas enerías peranece constante. c) En que punto de la trayectoria abas enerías (cinética y potencial) tendrán idéntico valor? A 0 50delorien π Ec = ω ( A x ) = s ( ) = J π Ep = ω x = J 0 50 = Ec + Ep = 0 603J + 37J = 974J A 0 60delorien(x = A) Ec = ω ( A A ) = 0 π Ep = ω A = Ec + Ep = 0 000J + 974J = 974J 0 60 = 974J Seún la expresión vista anteriorente la sua de la enería cinética y la potencial debe de ser constante e iual a / A. Efectivaente: π Ec + Ep = A = ω A = ω A = s = J Para saber en que punto las enería cinética y potencial tienen idéntico valor iualaos abas: Ec = ( A x ) Ep = x Ec = Ep; ( A x ) = x ( ) A x = x ; x = A A 0 60 x = ;x = =

6 Física º Bachillerato. IES a Madalena. Avilés. Asturias Oscilaciones aortiuadas y forzadas. Resonancia os oviientos oscilatorios reales (por ejeplo la oscilación de un péndulo) van perdiendo aplitud hasta que lentaente se detienen debido a la acción de fuerzas no conservativas (rozaientos) que convierten la enería cinética en calor. Se dice que las oscilaciones se aortiuan lo que se traduce en una disinución proresiva de la aplitud hasta la extinción total de las oscilaciones (ver ráfica a la derecha) Por otro lado a un oscilador puede aplicársele una fuerza externa que lo fuerce a oscilar con deterinada frecuencia (la de la fuerza aplicada). De esta anera debido a la acción externa se le counica constanteente enería que una vez absorbida por el oscilador se traduce en oviiento. a fora ás efectiva de counicar enería a un oscilador es cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide (aunque sea de fora aproxiada) con la frecuencia natural del oscilador que para un uelle o un péndulo siple viene dada por las expresiones: Muelle = ω = ( π f) = ( )f f = π Pendulo siple T = π ; f = π Si la enería se suinistra con esta frecuencia la aplitud auenta en cada aportación pudiendo hacerse (teóricaente) infinita aunque en la realidad esto no llea a pasar debido a los efectos de la aortiuación descritos ás arriba. Cuando se suinistra enería a un sistea oscilante con una frecuencia iual a su frecuencia de oscilación natural se dice que se produce resonancia la enería del oscilador auenta entonces en cada aportación pudiendo adquirir valores uy altos. El fenóeno de la resonancia es uy usado incluso en la cocina! ya que los icroondas funcionan seún este principio. Un icroondas tiene en su interior un dispositivo llaado anetrón que es capaz de enerar ondas electroanéticas (siilares a las de los dispositivos Wi-Fi) con una lonitud de onda de unos c y una frecuencia de unos 5 GHz. Esta es la frecuencia natural de vibración de los enlaces O-H presentes en las oléculas de aua rasas y azúcares. Por esta razón estas oléculas absorben la enería incidente provocando el calentaiento de los alientos. os platos y tazas por ejeplo están forados por arcillas que son copuestos de Si y O por eso no se calientan si se introducen vacíos en su interior (si se calientan cuando introducios en su interior un líquido es debido a que parte del calor del líquido pasa a la taza) Inforafía sobre cóo funciona un icroondas en: 6