Sobre la Generalización en Álgebra. Dra. Verónica Hoyos A. Resp. Línea de Investigación en Educación Matemática, Doctorado en Educación, UPN

Transcripción

1 Sobre la Generalización en Álgebra Dra. Verónica Hoyos A. Resp. Línea de Investigación en Educación Matemática, Doctorado en Educación, UPN

2 Dos aspectos: (a) Situación en el currículum (b) Antecedentes y algunas de la últimas preguntas de investigación

3 (a) Situación en el currículum -> Ir al documento temas (en el currículum) relacionados con la generalización, también adjunto.

4 (b) Antecedentes y preguntas de investigación recientes Antecedentes: El tema de la generalización en álgebra está asociado a la búsqueda de significado en el uso de literales y de los símbolos algebraicos. En la década de los 90 s, las representaciones gráficas comienzan a ser visualizadas como herramientas para infundir significado a las representaciones simbólicas con literales (p.e. Romberg, Fennema & Carpenter, 1993). Aunque el campo de estudios en la línea de investigación del significado que se asigna a las representaciones simbólicas con literales a partir del uso de representaciones gráficas es muy amplio, entre los primeros resultados que hubo en esa dirección se encuentran los que pertenecen al reconocimiento de patrones de figuras.

5 El álgebra como actividad de generalización 1. el uso de notación algebraica como una herramienta para expresar pruebas 2. articulación de la estructura de un patrón o de una interrelación usando lenguaje ordinario

6 - Entre los autores que han desarrollado investigación en esta línea están Bell, 1976; Fischbein y Kedem, 1982; Mason y Pimm., 1984; Mason, Graham, Pimm y Gowar, 1985; y recientemente Mason, Graham y Johnston-Wilder, Indagando acerca del uso de la notación algebraica para expresar patrones generales y de figuras, y para justificar formas equivalentes de las relaciones derivadas de los patrones, Lee (1987), y Lee y Wheeler (1987) encontraron que pocos estudiantes usan álgebra o aprecian su papel en la justificación de una afirmación general sobre los números.

7 - Por otro lado, MacGregor y Stacey (1993), quienes observaron que una dificultad adicional subyace en la inhabilidad de los estudiantes para articular claramente la estructura de un patrón o una interrelación usando lenguaje ordinario. - Healy and Hoyles (1999) han sugerido aproximaciones visuales (p.e. con cerillos) para proveer soporte para la representación algebraica de secuencias - Ainley, Wilson y Bills (2003) comparon generalización del contexto con generalización de cálculos, y encontraron que la generalización del contexto no parecía ser suficiente para apoyar a los alumnos a moverse a una versión simbólica de la regla. - Por otro lado, Radford (2000), argumenta que tales procesos requieren tiempo.

8 3. Construcción de fórmulas algebraicas 4. Articulación, prueba o justificación de propiedades numéricas generales (ó teóricas) con la notación algebraica y conexiones entre ellas.

9 - Mason sugiere la visualización y la manipulación de figuras para conducir a los estudiantes a la construcción de fórmulas algebraicas - Zaskis y Campbell (1996), encontraron que los estudiantes no están familiarizados con propiedades numéricas generales. - Por otro lado, Mason (2002), ó Guzmán y Kieran (2002) han sugerido estrategias para ayudar a los estudiantes a llegar a estar concientes de propiedades numéricas teóricas

10 - Arzarello, Bassin y Chiappini (1994) señalaron que algunos estudiantes que podían expresar los elementos del problema usando lenguaje natural, eran incapaces de expresarse usando lenguaje algebraico. - En contraste, Douek (1999) encontró que representaciones no estándar de problemas numéricos teóricos no evitaron que los estudiantes produjeran pruebas válidas y soluciones de problemas.

11 Finalmente, ya más recientemente, Alcock y Weber (2005) han reportado, basados en su investigación relacionada con tareas de demostración, que los estudiantes usan tanto aproximaciones referenciales (involucrando alguna ejemplificación), como sintácticas (involucrando manipulación); y que los estudiantes que usan aproximaciones referenciales pueden tener una comprensión más significativa de sus pruebas pero no pueden ser capaces de completarlas.

12 Algunas de las últimas preguntas de investigación sobre generalización de patrones Radford (2006) plantea: Cómo los estudiantes comprenden lo que es común a un patrón? Cuáles son los mecanismos (linguísticos o de otro tipo) a través de los cuales los estudiantes generalizan lo que han observado como común, en todos los términos de una secuencia? Cómo expresan los estudiantes la generalidad?

13 Referencias bibliográficas: Romberg, T. A., Fennema, E., & Carpenter, T. P. (Eds.). (1993). Integrating research on the graphical representation of function. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. - Bell, A. (1976). A study of pupils proof-explanations in mathematical situations. Educational Studies in Mathematics, 7, Fischbein, E., & Kedem, I. (1982). Proof and certitude in the development of mathematical thinking. In A. Vermandel (Ed.), Proceedings of the Sixth Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Antwerp, Belgium: PME Program Committee.

14 - Mason, J., & Pimm, D. (1984). Generic examples: Seeing the general in the particular. Educational Studies in Mathematics, 15, Mason, J., Graham, A., Pimm, D., & Gowar, N. (1985). Routes to / roots of algebra. Milton Keynes, UK: Open University Press. - Mason, J., Graham, A., & Johnston-Wilder, S. (2005). Developing thinking in algebra. London: Sage. - Lee, L. (1987). The status and understanding of generalised algebraic statements by high school students. In J.C. Bergeron, N. Herscovics, & C. Kieran (Eds.), Proceedings of the 11th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp ). Montreal, Quebec: PME. - Lee, L., & Wheeler, D. (1987). Algebraic thinking in high school students: Their conceptions of generalisation and justification (Research report). Montreal, Quebec: Concordia University, Mathematics Department.

15 MacGregor, M., & Stacey, K. (1997). Students understanding of algebraic notation: Educational Studies in Mathematics, 33, Healy, L., & Hoyles, C. (1999). Visual and symbolic reasoning in mathematics: Making connections with computers? Mathematical Thinking and Learning, 1, Ainley, J., Wilson, K., & Bills, L. (2003). Generalising the context and generalising the calculation. In N. A. Pateman, B. J. Dougherty, & J. Zilliox (Eds.), Proceedings of the 27th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 9-16). Honolulu, HI: PME. - Radford, L. (2000). Signs and meanings in students emergent algebraic thinking: A semiotic analysis. Educational Studies in Mathematics, 42,

16 Zaskis, R. & Campbell, S. (1996). Divisibility and multiplicative structure of natural numbers: Preservice teachers understanding. Journal for Research in Mathematics Education, 27, Zazkis, R. (1998). Odds and ends of odds and evens: An inquiry into students understanding of even and odd numbers. Educational Studies in Mathematics, 36, Mason, J. (2002). What makes an example exemplary? Pedagogical and research issues in transitions from numbers to number theory. In A.D. Cockburn & E. Nardi (Eds.), Proceedings of the 26th PME International Conference, 1, Guzmán, J. & Kieran, C. (2002). The role of calculators in instrumental genesis: The case of Nicolas and factors and divisors. In A.D. Cockburn & E. Nardi (Eds.), Proceedings of the 26th PME International Conference, 3, 41-48

17 Arzarello, F., Bazzini, L., & Chiappini, G. (1994). The process of naming in algebraic thinking. In J. P. da Ponte & J. F. Matos (Eds.), Proceedings of the 18th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp ). Lisbon, Portugal: PME. -Douek, N. (1999). Argumentative aspects of proving: Analysis of some undergraduate mathematics students performances. In O. Zaslavsky (Ed.), Proceedings of the 23rd PME International Conference, 2,

18 Alcock, L., & Weber, K. (2005). Referential and syntactic approaches to proof: Case studies from a transition course. In H.L. Chick & J.L. Vincent (Eds.), Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp ). Melbourne, Australia: PME Program Committee. Radford, L. (2006). Algebraic thinking and the generalization of patterns: A semiotic perspective. Proceedings of PME-NA2006. Mérida (México): Universidad Pedagógica Nacional Kieran, C. (2006). Research on the Learning and Teaching of School Algebra at the Middle, Secondary, and College Levels: Building Meaning for Symbols and Their Manipulation. Handbook of Research on Mathematics Teaching. Reston, VA: NCTM