Algoritmo para Aproximar el Área Bajo la Curva de la Función Normal Estándar

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1 Algoritmo para Aproimar l Ára Bajo la Curva d la Función Normal Estándar Algoritmo para Aproimar l Ára Bajo la Curva d la Función Normal Estándar M. n C. Víctor Manul Silva García, M. n C. Eduardo Vga Alvarado, Prosors dl CIDETEC-IPN Ing. Salvador Pérz Cárdnas, Ing. Migul Ángl Jiménz Cruz. Prosors d ESIQUIE-IPN. L a unción normal dinida como ( ( ) u ) ( ) σ π σ para - < <, s una d las uncions más studiadas n la toría d la probabilidad, con importants aplicacions n la stadística. Prácticamnt todos los libros qu abordan las ramas d probabilidad o stadística tinn como apéndic una tabla, n la cual aparcn los valors d la intgral dinida d la unción normal para un caso particular, a sabr, para u0 σ. Sin mbargo, normalmnt n ninguno d stos libros s plica la manra d cómo s obtinn los valors d la tabla; s claro qu l ára bajo la curva s pud aproimar utilizando las sumas d Rimann, pro st procso pud sr inacto para algunos casos. El prsnt trabajo propon otra orma d cálculo, cua aproimación tin un rror qu oscila ntr las cotas -.* * 0-4 para cada intrvalo d longitud 0.0. El dscubriminto d la unción normal s db al matmático almán Carl Fridrich Gauss, a quién también s db la dmostración dl torma undamntal dl álgbra, qu airma qu todo polinomio d constants compljas tin al mnos una raíz. Gauss dmostró st important torma d cuatro ormas dirnts a lo largo d su vida. b a b a ( ) d ( a) para un cirto c ε [a,b] + ( b) ( b a) 880 ( c)... [] La stratgia para dmostrar sta igualdad s ncuntra n la scción d problmas dl capítulo 8 dl libro Calculus d Spivak, M., Ed. Rvrt, 99. Cab mncionar qu l torma d Roll la dinición d la unción F(t) Q()[(t)-Q(t)]+Q(t)[()-Q()] jugan un papl important n la dmostración. Aquí Q ( ) ( a)( ) ( b) Q( ) P( ) + A( a)( )( b) Con A igual a una constant, P() s un polinomio d grado con la siguint caractrística: P(a)(a), P( ) ( ) La unción qu s sustituirá n la prsión s : PROCEDIMIENTO S partirá dl hcho d qu sí () s continua n l intrvalo [a,b], ntoncs: para - < <, la cual s dnomina unción normal stándar. La cuarta drivada d la unción normal stándar s continua n cualquir intrvalo [a,b] n los númros rals. Esto s db básicamnt a qu la cuarta drivada 6 polibits 00

2 Algoritmo para Aproimar l Ára Bajo la Curva d la Función Normal Estándar s pud prsar como l producto d ()*P(), n dond P() s un polinomio d grado cuatro. Si s aplica la órmula d drivación a ( ) ( ) π d manra sucsiva, s sncillo ncontrar qu: ( ) π ( ) Ahora s buscarán las cotas para la unción ()con ε [a,b] así conocr aproimadamnt l valor d ( b a) 880 ( c) Ants d sguir adlant s convnint mncionar qu, n gnral, n las tablas dond s proporcionan los valors d la intgral dinida d la normal stándar, s considra al intrvalo [a,b] como [0,3], l cual a su vz s divid n subintrvalos d longitud 0.0. En st ordn d idas s analizará la unción () n dicho intrvalo, con l in d avriguar los valors máimo mínimo d () con ε [a,b]. Para sto s dbn considrar trs aspctos, a sabr:. Los puntos singulars d () n (0,3).. (0) (3). 3. Los puntos d [0,3] tals qu () no s drivabl. Dado qu la unción () s drivabl n todo l intrvalo [0,3], ntoncs s dscarta l último punto. Para localizar los puntos singulars d () n [0,3], s toma como bas la igualdad () ()0. A partir d lla s obtin: La prsión s pud scribir como: [3] Utilizando [3] s pudn calcular todos los puntos singulars d (), sindo stos: ,, Sin mbargo, dado qu l intrvalo d intrés s (0,3), s tomará n cunta únicamnt: Entoncs, los puntos d intrés son: (0), (.3), (.87) (3). Es simpl obsrvar qu l valor máimo d () lo toma n 0 l mínimo n.3, lo qu conduc a las cotas siguints:.(0 (0.0) ( c) ) 4.6( A continuación s prsnta la gráica d la unción ( ).9 π ( ) para ε [0,3] ) 3 π ( + 0 ) 0... [] Dado qu π > 0 para todo ε R Las cotas qu s mustran n la prsión, son válidas para cada uno d los subintrvalos d longitud 0.0, qu 3 XIII 6 polibits 7

3 Algoritmo para Aproimar l Ára Bajo la Curva d la Función Normal Estándar s orman a partir dl intrvalo [0,3]. D aquí s pud concluir para ins prácticos qu: CONCLUSIONES (0.0) ( c) Ahora bin, si s tin n cunta la conclusión antrior, s divid l intrvalo [0,3] n 300 subintrvalos d longitud 0.0, ntoncs l ára bajo la curva s pud aproimar d la siguint manra: 3 0 ( ) d 300 [( i)(0.0)] [( i/ )(0.0)] [( i i multiplicado por π (0.0)] A continuación s prsnta un programa n lnguaj Fortran 90/9 para aproimar l ára bajo la curva n [0,3]. PROGRAM Tabla_Normal!Propósito: Calcular los valors dl ára bajo la curva normal,&!n l intrvalo [0,3]. IMPLICIT NONE REAL : : C CHARACTER (n30) Archivo_d_Salida INTEGER : : Estado REAL, DIMENSION (0 : 309) : : A0. INTEGER : : i REAL, PARAMETER : : RAIZ_DO_PI.06606, INC0.0 C (INC)/(6*RAIZ_DO_PI) * Si s compara l método propusto con l método d Rimann, para situacions similars (trs sumandos por intrvalo), s obsrva qu l método d Rimann pud tnr allas n l trcr dcimal (tabla). * Con l método propusto s pudn obtnr rsultados coniabls, hasta dl ordn d 0 -. D hcho, s ralizó l cálculo d una tabla con cinco dcimals (tabla). * Una aplicación d st procdiminto s d utilidad para los alumnos dl ára d ingniría o dl ára d cincias, a qu s important qu llos pudan obtnr su tabla d la unción normal stándar d manra coniabl. BIBLIOGRAFÍA [] Stphn Chapman, Fortran 90 /9 or Scintists and Enginrs. Editorial Mc Graw Hill. [] John E. Frud, Ronald E. Walpol, Estadística Matmática, Editorial Prntic Hall. [3] Michal Spivak, Calculus, Editorial Rvrté. [4] D. Struik, Historia Concisa d las Matmáticas. Instituto Politécnico Nacional. DO i,309 A(i)(p((-0.)*(((REAL(i)-.)*(INC))**))+ 4*p((& -0.)*(((REAL(i)-0.)* (INC))**))+ p((-0.) & *(((REAL(i))*(INC))**)))*C+A(i-) END DO WRITE(*,*) DAME NOMBRE DE Archivo_d_Salida READ(*, (A30) )Archivo_d_Salida OPEN(0,FILEArchivo_d_Salida,STATUS NEW, AC& TION WRITE, IOSTATEstado) WRITE (0,00) (A(i), i0,309) 00FORMAT (0(,F7.4)) END PROGRAM 8 polibits 00

4 Algoritmo para Aproimar l Ára Bajo la Curva d la Función Normal Estándar Tabla XIII 6 polibits 9

5 Algoritmo para Aproimar l Ára Bajo la Curva d la Función Normal Estándar Tabla 0 polibits 00

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