Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Primera part: Matemàtica Discreta Tema 3: Relacions binàries en un conjunt

Transcripción

1 Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Primera part: Matemàtica Discreta Tema 3: Relacions binàries en un conjunt Robert Fuster Darrera actualització: 4 de novembre de 2006 Índex Unitat Temàtica 8. Relacions entre conjunts Relacions binàries Operacions amb relacions Operacions amb matrius booleanes Relacions binàries en un conjunt Unitat Temàtica 9. Relacions d ordre i d equivalència Relacions binàries d ordre Elements notables en un subconjunt Relacions binàries d equivalència Congruències en el conjunt dels nombres enters Unitat Temàtica 10. Divisibilitat en el conjunt dels nombres enters La divisió entera Màxim comú divisor i mínim comú múltiple L algorisme d Euclides Unitat Temàtica 11. Aritmètica residual. Equacions en congruències Aritmètica residual Equacions en congruències Mètode pràctic de resolució El teorema xinès dels residus

2 Unitat Temàtica 8. Relacions entre conjunts Definició 1 Una relació entre els conjunts A 1, A 2,..., A n és un subconjunt R A 1 A 2 A n En aquest tema estudiarem les relacions binàries Relacions binàries Definició 2 Una relació binària és una relació entre dos conjunts. En aquest cas, si (a, b) R es diu que a està relacionat amb b i s escriu arb. Per exemple, entre els conjunts A = {1, 2, 3} i B = {a, b, c, d} podem considerar la relació R = {(1, b), (2, a), (2, b)} Aquí, 1 es relaciona amb b i 2 es relaciona amb a i b; simbòlicament, 1Rb, 2Ra i 2Rb. Podem representar les relacions mitjançant diagrames sagitals, o bé amb una taula de doble entrada en la que marquem les posicions corresponent a elements que estan relacionats a R a b c d b 1 c 2 d 3 Però és més útil la representació amb matrius booleanes, perquè ens permet fer operacions amb les relacions d una manera molt còmoda. Una matriu booleana és una matrius d uns i zeros. Aleshores, si A = {a 1, a 2,..., a m } i B = {b 1, b 2,..., b n } podem representar una relació R entre A i B mitjançant la matriu booleana m n M R = ( ) a ij en la qual l element aij és 1 si a i Rb j o 0 en cas contrari. En el nostre exemple, M R =

3 La manera de passar d un diagrama tabular a la matriu booleana és òbvia: a les caselles seleccionades els correspon un 1 en la matriu i a les no seleccionades els correspon un Operacions amb relacions Com que una relació entre A i B és un subconjunt del producte cartesià A B, hi podem parlar de relació complementària i de unió, intersecció i diferència de dues relacions. Exemple 1 Entre els conjunts A = {1, 2, 3} i B = {a, b} considerem les relacions R 1 = {(1, a), (1, b), (3, a)} R 2 = {(1, b), (2, a), (2, b)} i calculem les relacions R c 1, R 1 R 2, R 1 R 2 i R 1 R La relació complementària de R 1 és aquesta: R c 1 = {(2, a), (2, b), (3, b)} 2. La unió de les dues relacions és R 1 R 2 = {(1, a), (1, b), (2, a), (3, a), (2, b)} 3. La intersecció, 4. i la diferència R 1 R 2 = {(1, b)} R 1 R 2 = {(1, a), (3, a)} D altra banda, com que una relació binària es pot interpretar com una correspondència entre dos conjunts, també podem parlar de la composició de relacions: Definició 3 Si R i S són respectivament relacions entre els conjunts A i B i els conjunts B i C, aleshores la relació composta S R es defineix per a(s R)c b/ arb bsc Per exemple, el següent diagrama mostra la composició de dues relacions. 3

4 1 2 3 a b c d A B C D Ací, la relació composta S R associa l element 1 amb C i el 2 amb A, B i C: S R = {(1, C), (2, A), (2, B), (2, C)} Operacions amb matrius booleanes L avantatge de representar les relacions mitjançant matrius booleanes es troba en el fet que podem interpretar les operacions amb relacions com a operacions lògiques entre matrius booleanes. En aquest apartat definim les operacions amb matrius booleanes i estudiem la seua relació amb les operacions amb relacions. Les operacions bàsiques entre matrius booleanes són la disjunció, la conjunció, la complementació i el producte booleà. Totes aquestes operacions es basen en la disjunció, la conjunció i la negació lògiques. En una matriu booleana, s interpreta el 1 com a «vertader» i el 0 com a «fals». Aleshores, si M i N són dues matrius booleanes de les mateixes dimensions, la matriu disjunció M N i la matriu conjunció M N es defineixen com a 11 b 11 a 12 b a 1n b 1n M N = a 21 b 21 a 22 b a 2n b 2n a m1 b m1 a m2 b m2... a mn b mn i a 11 b 11 a 12 b a 1n b 1n M N = a 21 b 21 a 22 b a 2n b 2n a m1 b m1 a m2 b m2... a mn b mn Com que probablement estem més familiaritzats amb les operacions aritmètiques amb matrius que no amb les operacions lògiques, pot ser útil comparar les unes amb les altres: la conjunció es pot calcular multiplicant element a element, mentre que la disjunció es pot calcular sumant les dues matrius i substituint per 1 tots els elements no nuls. Per exemple, si M = ( ) ( i N = ) aleshores ( ) M N =

5 Per a calcular la disjunció en primer lloc sumem les matrius i a continuació canviem els elements no nuls per uns: M + N = ( ) M N = ( 1 1 ) La matriu complement (o negació) de la matriu M = (a ij ) és la matriu M c = ( a ij ), és a dir, la matriu que resulta de canviar els uns per zeros i viceversa. Per exemple, Si M = ( 1 0 ) aleshores M c = ( 0 1 ) Finalment, el producte booleà d una matriu booleana M de dimensions m n i una matriu booleana N de dimensions n p és la matriu m p M N = (c ij ) on c ij = (a i1 b 1j ) (a i2 b 2j )... (a in b nj ) Aquesta operació és la més complexa. Com en el cas de la conjunció, la manera més còmoda de calcular-la consisteix en fer el producte de les dues matrius de la manera ordinària i després substituir tots els elements no nuls per uns. Per exemple, si M = ( MN = ( ) ( 1 0 i N = ) aleshores ) 0 ( ) = M N = ( ) D altra banda, les matrius booleanes es poden comparar: es diu que la matriu M és menor o igual que la matriu N (M N) si tenen les mateixes dimensions i ho és element a element, ço és, si a ij b ij i, j. Per exemple ( ) ( ) Les propietats següents mostren la relació entre les operacions amb matrius booleanes i les operacions entre relacions binàries. 5

6 Propietats 1 Si R i S són dues relacions entre els conjunts A i B, aleshores 1. La matriu booleana associada a la relació complementària R c és la negació de la matriu M R : M R c = M c R 2. La matriu booleana corresponent a la unió de les dues relacions és la disjunció de les matrius corresponents a aquestes relacions: M R S = M R M S 3. La matriu booleana corresponent a la intersecció de les dues relacions és la conjunció de les matrius corresponents a aquestes relacions: M R S = M R M S Propietat 2 La composició de relacions es correspon amb el producte booleà de matrius booleanes: Si R és una relació entre els conjunts a i b i S una altra entre els conjunts B i C, aleshores 4. La matriu booleana associada a la composició S R és el producte booleà de les matrius M S i M R : M S R = M S MR 8.2. Relacions binàries en un conjunt D ara en avant considerarem una relació R en un conjunt A (és a dir, entre el conjunt A i ell mateix). Les propietats que poden tenir aquestes relacions són les que definim tot seguit. 6

7 Definicions 1 Siga R una relació en el conjunt A. 1. R és reflexiva si tot element es relaciona amb ell mateix: ara a A 2. R és simètrica si sempre que a es relaciona amb b b també es relaciona amb a: arb bra 3. R és antisimètrica si no és possible que a es relacione amb b i que b es relacione amb a quan a i b són elements distints: arb bra a = b 4. R és transitiva si sempre que a es relacione amb b i b amb c a es relaciona també amb c: arb brc arc A més de les representacions amb diagrames cartesians o sagitals, les relacions binàries en un conjunt es poden representar mitjançant un únic diagrama de Venn sobre el qual es dibuixen fletxes des de cada element fins a tots aquells amb els quals s hi relaciona. Vegem com es poden reconéixer aquestes propietats fent servir les matrius booleanes: a c b d e 7

8 Teorema 1 Siga R una relació en el conjunt A. Aleshores, 1. R és reflexiva si la diagonal de la matriu M R no conté cap zero, és a dir, I A (I és la matriu identitat formada només per uns a la diagonal i zeros a fora de la diagonal) 2. R és simètrica si la matriu M R és simètrica (M R = M t R ) 3. R és antisimètrica si en la matriu M R dos elements situats simètricament no són simultàniament 1: i = j a ij = 0 a ji = 0 4. R és transitiva si M R MR M R 8

9 Unitat Temàtica 9. Relacions d ordre i d equivalència 9.1. Relacions binàries d ordre Definició 4 Una relació binària R en el conjunt A és d ordre si és reflexiva, antisimètrica i transitiva. Exemples 2 1. La relació d ordre habitual en els naturals: n m p N/m = n + p 2. La relació de divisibilitat en el conjunt A = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24} arb a és divisor de b 3. La relació d inclusió en el conjunt de les parts d un conjunt: ARB A B Si R és una relació d ordre i arb direm que a és anterior a b (o que b és posterior a a). Notem que qualsevol element és posterior a ell mateix. En lloc de lletres majúscules (com R) les relacions d ordre se solen representar amb el signe : a b vol dir que a és anterior a b (o també, b a, que significa que b és posterior a a). Definició 5 Una relació d ordre en el conjunt A és total si tots els elements del conjunt són comparables, és a dir, si per a qualsevol parella d elements a, b A, a b o b a. En cas contrari, direm que l ordre és parcial. Entre les relacions d ordre de l exemple anterior, la primera és total (perque entre dos nombres naturals sempre n hi ha un que és menor o igual que l altre); en el cas de la divibilitat en el conjunt A = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24}, la relació és parcial, perquè ni 3 és divisor de 4 ni 4 ho és de 3. Les relacions d ordre se solen representar mitjançant els diagrames de Hasse. 9

10 Aquests diagrames es componen representant els elements del conjunt A com a punts del pla i unint-los mitjançant arestes (segments), seguint el criteri de posar més amunt els elements posteriors i d estalviar el màxim nombre possible de arestes: Si de l element a a l element b hi va un segment ascendent, aleshores a és anterior a b Com que es compleix la propietat reflexiva, no s uneix cap element amb ell mateix Tenint en compte la propietat transitiva, no s uneix a amb c si existeix b de manera que a és anterior a b i b és anterior a c. D aquesta manera, un element és anterior a un altre (distint) si hi ha un camí ascendent del primer fins al segon. Per exemple, el diagrama de Hasse i la matriu booleana per a la relació 2 dels exemples 2 són: M R = Elements notables en un subconjunt En el subconjunt B d un conjunt ordenat A (és a dir, on hi ha definida una relació d ordre) es distingeixen alguns elements especials. 10

11 Definició 6 Siga A un conjunt, una relació binària d ordre en A i B un subconjunt de A. Un element b B és maximal si no hi ha cap element en B posterior a b: x B/b x Un element b B és minimal si no hi ha cap element en B anterior a b: x B/x b Un element b B és màxim si és posterior a tots els de B: x b x B Un element b B és mínim si és anterior a tots els de B: b x x B 11

12 Definició 7 Siga A un conjunt, una relació binària d ordre en A i B un subconjunt de A. Un element a A és cota superior o fita superior de B si és posterior a tots els de B x a x B En aquest cas és diu que B és acotat o afitat superiorment. Un element a A és cota inferior o fita inferior de B si és anterior a tots els de B: a x x B En aquest cas és diu que B és acotat o afitat inferiorment. Un element a A és suprem de B si a és mínim en el conjunt de les cotes superiors de B Un element a A és ínfim de B si a és màxim en el conjunt de les cotes inferiors de B Cal parar atenció al fet que els elements màxims, mínims, maximals i minimals han de trobar-se en el subconjunt B, mentre que les fites superiors i inferiors (i per tant, els suprems i ínfims) poden estar fora del conjunt B. 12

13 Exemple 3 En el conjunt A = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24} amb la relació de divisibilitat anem a buscar els elements notables del subconjunt B = {2, 4, 6} Maximals: 4 i 6 Minimal: 2 Màxim no n hi ha Mínim: 2 Fites superiors: 12 i 24 Fites inferiors: 2 i 1 Suprem: 12 Ínfim: 2 Exemple Busquem els elements notables de l interval real [0, 1[ (amb l ordre habitual) Com que es tracta d una relació d ordre total, és evident que no hi ha cap diferència entre elements maximals i màxims o entre minimals i mínims. Maximals: No n hi ha. Minimal: 0 Màxim no n hi ha. Mínim: 0 Fites superiors: Tots els nombres de l interval [0, + [ Fites inferiors: Tots els nombres de l interval ], 0] Suprem: 1 Ínfim: 0 13

14 9.2. Relacions binàries d equivalència Definició 8 Una relació binària R en el conjunt A és d equivalència si és reflexiva, simètrica i transitiva. Per exemple, el el conjunt A = {1, 2, 3, 4, 5} la relació R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 2), (4, 4), (5, 5)} (1) és d equivalència. Les relacions d equivalència solen representar-se amb el símbol, és a dir, que quan a està relacionat amb b s escriu a b. Les relacions d equivalència es fan servir per classificar els elements d un conjunt. Si ens fixem em l exemple que acabem de veure, els elements del conjunt A es poden separar en tres conjunts: A 1 = {1, 3}, A 2 = {2, 4}, A 3 = {5} de manera que els elements de cada subconjunt estan relacionats entre ells, però no amb cap dels altres elements. A més a més, és evident que A 1, A 2 i A 3 constitueixen una partició del conjunt A. Cadascun d aquests subconjunts és una classe d equivalència. Definició 9 Si R és una relació d equivalència en el conjunt A, aleshores per a cada a A es defineix la classe d equivalència de A com el conjunt de tots els elements equivalents a a: [a] = a = {b A : arb} En l exemple de l expressió 1 les classes d equivalència són aquestes: Propietat 3 1 = 3 = {1, 3} 2 = 4 = {2, 4} 5 = {5} Siga una relació d equivalència en A. Aleshores, el conjunt de les classes d equivalència és una partició del conjunt A

15 Definició 10 Si és una relació d equivalència en el conjunt A, aleshores el conjunt quocient A/ és el conjunt de totes les classes d equivalència. En l exemple anterior, el conjunt cocient és A/ = {1, 2, 5}. Per acabar estudiarem una relació d equivalència relacionada amb la divisibilitat Congruències en el conjunt dels nombres enters Definició 11 Siga p > 1 un nombre enter. I siguen n i m dos nombres enters. Direm que n és congruent amb m mòdul p, i escriurem si n m és un múltiple de p. n m (mod p) Es comprova d immediat que aquesta és una relació d equivalència. A més, és fàcil veure que segons aquesta definició dos nombres enters estan relacionats si quan es divideixen entre p donen el mateix residu. Per exemple, (mod 7), perquè = 28 és un múltiple de 7 (o perquè els residus de les divisions enteres 12/7 i 40/7 són iguals:12 7 = 5 i = 5). El conjunt quocient corresponent es representa com Z p o Z/pZ i les classes d equivalència s anomenen classes residuals mòdul p. Vegm-ne alguns casos particulars: p = 2 Si p = 2, aleshores tots els nombres parells són congruents amb el zero (perquè si n és parell, aleshores el residu de dividir-lo entre 2 és zero) i tots els senars ho són amb el 1. Així, doncs, Z 2 = { 0, 1 } on 0 = {..., 4, 2, 0, 2, 4,... } 1 = {..., 3, 1, 1, 3, 5,... } p = 3 En aquest cas, tots els múltiples de 3 són congruents amb el zero (perquè si n és múltiple de 3, aleshores el residu de dividir-lo entre 3 és zero); els 15

16 nombres que són congruents amb 1, són 4, 7, 10, i en general tots els de la forma 3n + 1. Els congruents amb el número 2 són 5, 8, 11,... : 0 = {..., 6, 3, 0, 3, 6, 9,... } = {3n : n Z} 1 = {..., 5, 2, 1, 4, 7, 10,... } = {3n + 1 : n Z} 2 = {..., 4, 1, 2, 5, 8, 11,... } = {3n + 2 : n Z} I, com que aquests tres conjunts inclouen tots els nombres enters, Z 3 = { 0, 1, 2 } (notem que acò significa que el residu de la divisió entre 3 només pot ser 0, 1 o 2). En general, Z p té exactament p elements: Z p = { 0, 1,..., p 1 } On 0 = {..., 2p, p, 0, p, 2p,...} = {pn : n Z} 1 = {..., 1 2p, 1 p, 1, 1 + p, 1 + 2p,...} = {pn + 1 : n Z} 2 = {..., 2 2p, 2 p, 2, 2 + p, 2 + 2p,...} = {pn + 2 : n Z}. p 1 = {..., (p 1) 2p, (p 1) p, p 1, (p 1) + p, (p 1) + 2p,...} = {pn + (p 1)) : n Z} 16

17 Unitat Temàtica 10. Divisibilitat en el conjunt dels nombres enters A l apartat anterior hem donat per conegudes les propietats principals de la divisibilitat en el conjunt Z dels nombres enters. Ací repassarem aquestes propietats. Definició 12 Siguen a, b Z, a = 0. Direm que b és divisible entre a (o que a divideix b, o que a és divisor de b o que b és múltiple de a) i ho representarem escrivint a b o b = ȧ si k Z/ b = ka. Un enter p > 1 es diu primer si els seus únics divisors positius són p i 1. Observem que el nombre 1 no és primer. Propietats 4 Si a, b, c són nombres enters, 1. Si a b i a c aleshores a b + c i a b c 2. Si a b aleshores a bc Demostració: 1. Si a b i a c aleshores existeixen dos enters k 1 i k 2 de manera que b = k 1 a i c = k 2 a. Llavors, b ± c = (k 1 ± k 2 )a, així que a b ± c. 2. Si a b aleshores existeix k de manera que b = ka. Per tant, bc = kac = (kc)a, és a dir, a bc La divisió entera Teorema 2 Si a > 0 i b són dos nombres enters, aleshores existeix un únic nombre enter q de manera que aq b < a(q + 1). Demostració: En primer lloc demostrarem que existeix un nombre enter q de manera que aq b < a(q + 1) i després veurem que aquest nombre és únic. Distingirem dos casos, segons que b 0 o b < 0. 17

18 1. Suposem que b 0. Si calculem tots els productes a 0, a 1, a 2,..., a n,... obtenim una successió creixent i no acotada de nombres enters, així que en algun moment obtindrem un terme més gran que b. Si elegim q com l últim enter de manera que aq b tindrem el que volíem: aq b < a(q + 1). 2. Si b < 0 podem fer un raonament semblant amb els productes negatius a 0, a ( 1), a ( 2),..., a ( n),... Finalment, hem de provar la unicitat de q. Ho farem per reducció a l absurd: suposem que aq 1 b < a(q 1 + 1) i aq 2 b < a(q 2 + 1) (amb q 2 = q 1 ). Operant amb aquestes dues expressions obtenim aq 1 b < a(q 1 + 1) aq 2 b < a(q 2 + 1) } 0 b aq 1 < a 0 b aq 2 < a } a < a(q 2 q 1 ) < a 1 < q 2 q 1 < 1 0 b aq 1 < a a < b + aq 2 0 i, com es tracta de nombres enters, q 2 q 1 = 0, és a dir, q 2 = q 1. } Definició 13 Si a i b són dos nombres enters i a > 0 el quocient per defecte (o símplement el quocient) de la divisió entera b/a és el número q que verifica la relació aq b < a(q + 1). La diferència r = b aq s anomena residu de la divisió. Observem que el residu r = b aq verifica les desigualtats 0 r < a. Vegem-ne un parell d exemples trivials: si b = 7 i a = 2, llavors q = 3 (perquè 2 3 = 6 7 < 2 4 = 8 i r = 1; però si b = 7 i a = 2, llavors el quocient no és 3 sinó 4, perquè 2 ( 4) = 8 7 < 2 ( 3) = 6. Tornant a les qüestions que ja havíem estudiat, que a siga divisor de b equival a què el residu de la divisió entera siga r = 0. I, en general, si considerem la relació d equivalència de la divisibilitat, com que b = aq + r resulta que b r = aq és un múltiple de a. 18

19 10.2. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple Definició 14 El màxim comú divisor dels enters a 1, a 2,..., a n és el més gran de tots els enters positius que els divideixen a tots. Es representa com mcd (a 1, a 2,..., a n ). El mínim comú múltiple dels enters a 1, a 2,..., a n és el més menut de tots els enters positius que són múltiples de tots ells. Es representa com mcm (a 1, a 2,..., a n ). Diem que dos nombres enters a i b són primers entre ells si mcd (a, b) = 1 (és a dir, quan no tenen cap divisor primer comú). Per a calcular el màxim comú divisor de dos enters a i b podem fem servir un algorisme recursiu, conegut com algorisme d Euclides o bé la descomposició factorial dels nombres enters. Començarem recordant aquest segon mètode. Teorema 3 Tot enter positiu m es un producte de nombres primers: m = p m 1 1 pm 2 2 p m k k on p 1, p 2,..., p k són nombres primers. Si suposem ordenats aquests nombres (p 1 < p 2 < < p k ) llavors aquesta factorització és única. Per exemple, 105 = i 36 = Aleshores, el màxim comú divisor és el producte de tots els factors primers comuns als dos nombres, comptats tantes vegades com siguen divisors dels dos (és a dir, elevats al menor exponent). En aquest cas mcd (105, 36) = 3. El mínim comú múltiple és el producte de tots els divisors, comuns o no, elevats al major exponent: mcm (105, 36) = = És interessant notar que ab = mcd (a, b) mcm (a, b) Així que si ja hem calculat el màxim comú divisor, el mínim comú múltiple es pot obtenir com ab mcm (a, b) = mcd (a, b) L algorisme d Euclides L algorisme d Euclides es basa en la següent propietat. 19

20 Lema 1 Suposem que b > a > 0 i a no divideix b. Aleshores, si r és el residu de la divisió entera de b entre a, mcd (b, a) = mcd (a, r) Demostració: Com que b = aq + r els divisors comuns de a i r també són divisors de b. D altra banda, com r = b aq resulta que els divisors comuns de b i a també ho són de r. Això significa que els divisors comuns de a i b són els mateixos que els divisors comuns de a i r. I, en particular, mcd (b, a) = mcd (a, r) L algorisme d Euclides consisteix en l aplicació reiterada d aquesta propietat: Suposem que b > a > 0. Per tal de calcular mcd (b, a) fem el següent: Calculem la divisió entera de b entre a. Anomenem r 1 al residu obtingut. Si r 1 = 0, aleshores a divideix b i, per tant, mcd (b, a) = a. Si no, calculem la divisió entera de a entre r 1. Anomenem r 2 al residu obtingut. Si r 2 = 0, aleshores r 1 divideix a i, per tant, mcd (b, a) = mcd (a, r 1 ) = r 1. Si no, calculem la divisió entera de r 1 entre r 2. Anomenem r 3 al residu obtingut. Si r 3 = 0, aleshores r 2 divideix r 1 i, per tant, mcd (b, a) = mcd (a, r 1 ) = mcd (r 1, r 2 ) = r 2. Si no,... Tenint en compte que els residus són no negatius i decreixents, aquest procés acaba necessàriament en un nombre finit de passos. Siga D = b, a = d Fins que d=0 Algorisme d Euclides Siga r el residu de la divisió D/d D=d d=r Fi (fins que) mcd (a, b) = d 20

21 Exemple 5 Calculem mcd (105, 36). Fent la divisió entera obtenim 105 = , així que mcd (105, 36) = mcd (36, 33). Ara bé, 36 = , de manera que mcd (105, 36) = mcd (33, 3). Ara, 33 = 3 11 així que mcd (105, 36) = 3. Tots aquests càlculs, quan es fan a mà es poden ordenar d aquesta manera: q 1 q 2 q 3 b a r 1 r 2 r 1 r

22 Unitat Temàtica 11. Aritmètica residual. Equacions en congruències Aritmètica residual En aquesta secció estudiem les operacions en el conjunt Z p de les classes residuals mòdul p. Aquestes operacions tenen moltes aplicacions pràctiques. Per exemple, si avui és dimecres quan passen 51 dies serà divendres, perquè 51 = = i per tant, 51 2 (mod 7); dit d una altra manera, en Z 7, 51 = 2. Definició 15 Si a i b són dos elements de Z p, aleshores la suma i el producte de a i b es defineixen com a + b = a + b (2) a b = ab (3) En la pràctica, per a operar amb dos classes residuals mòdul p fem les operacions ordinàries amb nombres enters, dividim el resultat entre p i ens quedem amb el residu d aquesta divisió. Per exemple, per a calcular en Z 5 el producte 3 4, com que 3 4 = 12 dividim 12 entre 5 i obtenim 12 = , així que 3 4 = 2. 22

23 Exemple 6 Les taules de Cayley de la suma i el producte en Z 2, Z 3 i en Z 4 són aquestes: SUMA EN Z PROD. EN Z SUMA EN Z PROD. EN Z SUMA EN Z PROD. EN Z Aquestes operacions són commutatives i associatives; el producte és distributiu respecte a la suma; 0 i 1 són neutres de la suma i el producte respectivament i tot element té simètric respecte a la suma. Així doncs, Z p és un anell. L existència del simètric respecte al producte està relacionada amb les propietats de la divisibilitat. Com que 0 és absorbent per al producte és evident que no pot tenir simètric. Però, a més a més, en la taula s observa que en Z 4 l element 2 tampoc no en té. Per a poder determinar en general quins elements tenen simètric en Z p gastarem aquesta propietat: Propietat 5 Si mcd (a, p) = 1 aleshores l aplicació és bijectiva. f a : Z p Z p x f a (x) = a x Demostració: Serà suficient que provem que és injectiva (perquè els conjunts de inicial i final són finits i tenen el mateix nombre d elements). Suposem, que a x = a y. Llavors a x y = 0, de manera que p a(x y) i com mcd (a, p) = 1 això significa que p x y, és a dir, x = y. 23

24 Teorema 4 Un element a = 0 del conjunt Z p té simètric respecte al producte si i només si a i p són primers entre ells. Demostració: Suposem en primer lloc que x és el simètric de a vol dir que és a dir, a x = 1 k Z/1 = ax + kp Ara bé, si m = mcd (a, p), llavors m ax + kp = 1 la qual cosa, significa què mcd (a, p) = 1. Recíprocament, si mcd (a, p) = 1, per la propietat anterior l aplicació f a : Z p Z p x f a (x) = a x és bijectiva, així que ha d haver algun x de manera que a x = f a (x) = 1. D aquest resultat s hi dedueix que Z p és un cos únicament quan p és un nombre primer. Definició 16 En un anell, si el producte de dos elements no nuls és zero es diu que són divisors de zero. En Z 4, l element 2 és divisor de zero. En Z 6 ho són 2, 3 i 4. En general, en Z p a és divisor de zero quan mcd (a, p) = Equacions en congruències El problema de buscar el simètric d un element Z p es pot interpretar com el de resoldre una equació: dir que x és el simètric de a és el mateix que dir que a x = 1 (4) Així que el teorema 4 ens diu que l equació (4) té solució en Z p únicament quan mcd (a, p) = 1. De manera més general, anem a estudiar les equacions a x = b a, b Z p Aquestes equacions també es poden escriure en la forma ax b (mod p) 24

25 per la qual cosa es coneixen com equacions en congruències. (mod p) vol dir que, per a algun k Z, Ara bé, ax b b = ax + pk però, repetint el raonament que hem fet en el teorema anterior, això significa que b ha de ser múltiple del mcd (a, p). Així que Teorema 5 Siguen a, b, p nombres enters no nuls. L equació a x = b té solució en Z p si i només si mcd (a, p) b. Exemple 7 Resolguem l equació 4 x = 6 en Z 7. Com que mcd (4, 7) = 1, aleshores l equació té solució. Podem resoldre-la calculant successivament els productes 4 x per a x = 0, 1, 2,... fins que el resultat siga 6: així que la solució és 5. Exemple = = = 8 = = 12 = = 16 = = 20 = 6 En el conjunt Z 8 l equació 4 x = 7 no té solució, perquè mcd (4, 8) = 4 no és un divisor de 7. El Teorema anterior caracteritza els nombres a i b per als quals l equació a x = b té solució, però no ens diu quantes solucions té aquesta equació. Per a contestar aquesta qüestió, estudiarem en primer lloc el cas en què mcd (a, p) = 1. 25

26 Teorema 6 Si mcd (a, p) = 1, aleshores l equació a x = b té una única solució en Z p. Demostració: Com que l aplicació f a del Lema 5 és bijectiva, si a x = a y = b, aleshores x = y. Quan a i p no són primers entre ells la solució, si existeix, ja no és única. Però en aquest cas podem reduir el problema a l anterior. Exemple 9 Resolguem l equació 8 x = 12 en Z 20 o, equivalentment, l equació en congruències 8x 12 (mod 20) Com que mcd (8, 20) = 4 i 4 és divisor de 12, la solució existeix. Si dividim l expressió 8x + 20k = 12 pel màxim comú divisor, 4, obtenim 2x + 5k = 3, de manera que el problema inicial és equivalent a La solució d aquesta equació és 2x 3 (mod 5) x 4 (mod 5) (5) Però volem expressar les solucions com elements de Z 20. Per a fer-ho, escrivim la solució com x {..., 6, 1, 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39,... } ara bé, tots els nombres que són congruents mòdul 5 no tenen perquè ser-ho mòdul 20. En concret, (mod 20) (mod 20) (mod 20) (mod 20) 26

27 (els nombres que són congruents mòdul 5 van de 5 en 5, mentre que els que ho són mòdul 20 van de 20 en 20). Així, és clar que la solució (5) es pot expressar també d aquesta manera: x 4 (mod 20) ó x 9 (mod 20) ó x 14 (mod 20) ó x 19 (mod 20) i les solucions de l equació en Z 20 són x 1 = 4, x 2 = 9, x 3 = 14, x 4 = 19 És clar que hi ha exactament 4 solucions perquè 20 = 5 4. El que hem vist amb aquest darrer exemple es pot generalitzar de la manera següent: Teorema 7 Suposem que mcd (a, p) = m i que m b. Aleshores, l equació a x = b en Z p (6) té exactament m solucions. Si a = a 1 m, b = b 1 m i p = p 1 m i x és la solució de l equació a 1 x = b 1 en Z p1 aleshores les solucions de l equació (6) són x, x + p 1, x + 2p 1,..., x + (m 1)p 1 Tot el que sabem sobre les equacions en congruències es resumeix en el següent teorema: Teorema 8 Siguen a, b, p nombres enters no nuls i considerem, en Z p, l equació ax = b (7) 1. L equació (7) té alguna solució si i només si mcd (a, p) és un divisor de b. 2. En cas de tenir alguna solució, el nombre exacte de solucions és mcd (a, p). Per tant, (a) la solució és única si mcd (a, p) = 1 (b) hi existeixen diverses solucions si mcd (a, p) = 1 27

28 El teorema 5 té una conseqüencia molt important en la Teoria de Nombres, el Teorema de Bezout, que enunciem tot seguit: Teorema 9 Teorema de Bezout Siguen a, b Z. Si m = mcd (a, b) llavors existeixen nombres enters x i y de manera que ax + by = m Aquesta expressió es coneix com identitat de Bezout. Demostració: Pel teorema 5 l equació a x = m té solució en Z b, així que podem trobar x de manera que ax m (mod b), però això vol dir que podem trobar y amb ax + by = m, que és el que volíem provar. Exemple 10 Busquem les solucions de l equació en congruències 25x (mod 15) Aquest problema és aparentment distint dels anteriors. Però restant 3 als dos membres de la igualtat es redueix a 25x 20 (mod 15) D altra banda, com que 25 i 20 són més grans que 15 podem simplificar encara més l equació: 10x 5 (mod 15) Com que mcd (10, 15) = 5 podem assegurar que existeixen exactament 5 solucions en Z 15. Dividint l equació per 5 obtenim 2x 1 (mod 3) I la solució immediata és x 2 (mod 3) (perquè 2 2 = 4 1 (mod 3)). Aquesta és la solució també de l equació original, però també podem expressarla com x 2 (mod 15) ó x 5 (mod 15) ó x 8 (mod 15) ó x 11 (mod 15) ó x 14 (mod 15) 28

29 Mètode pràctic de resolució El mètode de tempteig que hem fet servir fins ací per a resoldre les equacions en congruències no és adequat, excepte en casos trivials. Per exemple, la solució de l equació 40x 19 (mod 63) (8) és x 43 (mod 63), de manera que hauríem de fer 42 proves per a trobar-la. En aquest apartat descriurem un mètode pràctic de resolució, basat en l Algorisme d Euclides, i l aplicarem entre altres a l equació 8. Per a simplificar el problema suposarem que a i b són primers entre ells. Si apliquem l Algorisme d Euclides, per a comprovar mcd (a, b) = 1 i si suposem que cal fer n divisions per a arribar-hi, tindrem (esquemàticament), q 1 q 2 q 3 q 4... q n 1 q n q n+1 b a r 1 r 2 r 3... r n 2 r n 1 r n = 1 r 1 r 2 r 3 r 4 r 5... r n 0 Aleshores, la primera divisió que hem fet significa que b aq 1 = r 1, la segona que a r 1 q 2 = r 2, la tercera que r 1 r 2 q 3 = r 3 i així successivament. Així doncs, b aq 1 = r 1 r 1 aq 1 (mod b) (9) a r 1 q 2 = r 2 r 2 a + aq 1 q 2 (mod b) (10) r 1 r 2 q 3 = r 3 r 2 aq 1 (a + aq 1 q 2 )q 3 (mod b) (11) Per a simplificar les expressions construïm la successió recurrent P 1 = q 1, P 2 = 1 + P 1 q 2, P k = P k 2 + P k 1 q k, k 2 Aleshores les congruències 9 11 s expressen així r 1 ap 1 (mod b), r 2 ap 2 (mod b), r 3 ap 3 (mod b) i, en general, r k ( 1) k ap k (mod b). Per tant, com que r n = 1, 1 = r n ( 1) n ap n (mod b) i la solució de l equació ax 1 (mod b) és x ( 1) n P n (mod b). Per a trobar la solució de l equació més general ax c (mod b) basta multiplicar per c: aquesta solució és x ( 1) n P n c (mod b). En resum, 29

30 Teorema 10 Suposem que mcd (a, b) = 1 i que b > a > 0. Si q 1, q 2,... i r 1, r 2,... són els quocients i els residus successius de l Algorisme d Euclides, de manera que r n = 1, construïm la successió P 0 = 1, P 1 = q 1, P k = P k 2 + P k 1 q k (k = 2, 3,... ) Aleshores, la solució de l equació és x ( 1) n P n c (mod b). ax c (mod b) El càlcul de la successió P k és especialment simple si distribuïm la informació d aquesta manera: k n 1 n q k q 1 q 2 q 3 q 4... q n 1 q n P k 1 q 1 P 2 P 3 P 4... P n 1 P n perquè llavors cada P k (a partir de k = 2) es calcula multiplicant el nombre que té al damunt (q k ) pel que té a l esquerra (P k 1 ) i sumant-hi el que hi ha un lloc més a l esquerra d aquest últim (P k 2 ): k 2 k 1 k q k P k 2 P k 1 P k Aplicarem aquest mètode a un parell d exemples; en primer lloc, al problema que plantejavem al principi d aquest apartat: Exemple 11 Resolució de l equació en congruències 40x 19 (mod 63) En primer lloc, calculem el mcd (63, 40) fent ús de l Algorisme d Euclides: = mcd (63, 40)

31 Construïm la successió P k : Així que la solució és k q k P k x ( 1) = 209 (mod 63) Finalment, com que 4 63 = 252, podem expressar la solució com Exemple 12 x = = 43 (mod 63) Resolguem l equació en congruències 111x 75 (mod 321) En primer lloc, apliquem l Algorisme d Euclides: = mcd (321, 111) (12) Com que mcd (321, 111) = 3 75 l equació és compatible (i té tres solucions en l interval enter [0, 320]). Podem simplificar-la, dividint tots els seus termes per 3. Llavors obtenim l equació equivalent 37x 25 (mod 107) En primer lloc tornem a aplicar l algorisme d Euclides: = mcd (107, 37) (13) Construïm la successió P k : k q k P k

32 La solució serà x ( 1) = 650 (mod 107) Dividint 650 entre 107 s obté 650 = , així que podem expressar la solució com x 99 (mod 107) Si observem detingudament les expressions 12 i 13 notarem que ens podíem haver estalviat la segona aplicació de l algorisme d Euclides, perquè és clar que els quocients successius que s hi obtenen són els mateixos El teorema xinès dels residus Exemple 13 Cerquem una solució del sistema d equacions en congruències x 5 (mod 6) x 2 (mod 7) Perquè es verifique la primera equació, haurà de ser Substituint en la segona, x = 5 + 6k k 1 2 (mod 7) 6k = 3 (mod 7) 6k 1 4 (mod 7) Aquesta és una equació en congruències, que té solució única perquè mcd (6, 7) = 1. La solució és k 1 3 (mod 7) (perquè 6 3 = 18 = ) és a dir, que k 1 = 3 + 7k 2 i la solució del sistema és x = 5 + 6k 1 = 5 + 6(3 + 7k 2 ) = k 2 23 (mod 42) Aquest exemple és un cas particular del Teorema que segueix. 32

33 Teorema 11 Si m 1, m 2,..., m k són nombres enters positius primers entre ells dos a dos i m = m 1 m 2... m k, aleshores el sistema x b 1 (mod m 1 ) x b 2 (mod m 2 ). x b k (mod m k ) té una solució única x de manera que 0 x < m. Demostració: En primer lloc, provarem la unicitat: si hi ha alguna solució en [0, m[, aquesta solució és única: suposem que n hi ha dues, x 1 i x 2. En aquest cas, x 1 x 2 és solució del sistema x 0 (mod m 1 ) x 0 (mod m 2 ). x 0 (mod m k ) En altres paraules, x 1 x 2 és múltiple de m 1, m 2,..., m k. Però llavors també és múltiple del mínim comú múltiple de tots aquests nombres, que és m 1 m 2... m k. Així que, tenint en compte que m < x 1 x 2 < m, ha de ser x 1 x 2 = 0 i x 1 = x 2. Ara provarem l existència de la solució. Primer de tot, podem suposar que 0 b 1 m 1, 0 b 2 m 2,..., 0 b k m k Farem la prova per inducció sobre el nombre d equacions: Si k = 1 (el sistema té únicament l equació x b 1 (mod m 1 )), aleshores no hi ha res a demostrar: existeix una única solució en [0, m 1 [, que és b 1. Suposem que el teorema és cert per a k = n equacions, i tractem de provar-lo per a n + 1 equacions. Així, considerem el sistema x b 1 (mod m 1 ) x b 2 (mod m 2 ). (14) x b n (mod m n ) x b n+1 (mod m n+1 ) 33

34 Com que estem suposant certa la propietat per a un sistema de n equacions, sabem que existeix un únic nombre x 0 en l interval enter [0, m 1 m 2... m n [ de manera que x 0 b 1 (mod m 1 ) x 0 b 2 (mod m 2 ). x 0 b n (mod m n ) Aleshores qualsevol nombre de la forma x 0 + k(m 1 m 2... m n ) també és solució de les n primeres equacions. Per a què també ho siga de la darrera equació cal que x 0 + k(m 1 m 2... m n ) b n+1 (mod m n+1 ) Ara bé, aquesta és una equació en congruències (on la incògnita és k) que, com que mcd (m n+1, m 1 m 2... m n ) = 1, té una solució única k 0 en [0, m n+1 [. Llavors és clar que x 0 + k 0 (m 1 m 2... m n ) és solució del sistema (14). Si aquesta solució és més gran que m 1, llavors restant-li m seguirà sent una solució del sistema, així que podem assegurar que existeix una solució en [0, m[. Exemple 14 Resolguem el sistema d equacions en congruències x 1 (mod 2) x 2 (mod 5) x 3 (mod 7) La primera equació significa que Substituint en la segona, x = 1 + 2k k 1 2 (mod 5) 2k 1 1 (mod 5) La solució d aquesta equació és k 1 3 (mod 5), així que x = 1 + 2k 1 = 1 + 2(3 + 5k 2 ) = k 2. Substituint en la tercera equació, k 2 3 (mod 7) 10k 2 3 (mod 7) I la seua solució és k 2 1 (mod 7), de manera que x = k 2 = (1 + 7k 3 ) = k 3 17 (mod 70). 34