Polinomis i fraccions. algèbriques BLOC 1. ARITMÈTICA I ÀLGEBRA. 1. Polinomis 1.1. Valor numèric d un polinomi 1.2. Arrels d un polinomi

Transcripción

1

2 # BLOC. ARITMÈTICA I ÀLGEBRA Polinomis i fraccions algèbriques q. Polinomis.. Valor numèric d un polinomi.. Arrels d un polinomi q. Operacions amb polinomis.. Suma.. Resta.3. Multiplicació.. Divisió.5. Regla de Ruffini q 3. Factorització de polinomis 3.. Teorema del residuo 3.. Teorema del factor 3.3. Factorització q. Fraccions algèbriques.. Fraccions algèbriques equivalents.. MCD i MCM de polinomis.3. Simplificació de fraccions algèbriques q 5. Operacions amb fraccions algèbriques 5.. Suma I resta 5.. Multiplicació 5.3. Divisió 5.. Descomposició de fraccions algèbriques en fraccions simples Problemes interactius Simulador

3 Notícia A Xile, Franco Parisi, l enginyer comercial conegut com «l economista dels pobres», proposa ajustar el sou mínim a un polinomi, una equació d ajust automàtic anual, en funció del producte geogràfic brut per capita. Segons ell, es pot tenir un Xile per a tothom, on tothom es benvingut, però també on arriba, i aiò és el que no està succeint. El salari mínim: fem un polinomi i es s acaba la tortura. Adaptat de: y EN CONTEXT a> Llegei la notícia anterior, refleiona i respon: quines altres situacions coneies que creus que es poden resoldre a través de polinomis o fórmules matemàtiques? Fes la pregunta a persones del teu entorn i compara les seves respostes amb la teva. b> Observa la imatge: E scriu al quadern què hi veus, què penses en observar-la i quina pregunta et suggerei. En petits grups, eposeu les vostres respostes de manera raonada. Finalment, poseu-les en comú amb tota la classe registrant les respostes en un quadre d observacions. c> La densitat de població es pot modelar mitjançant la fórmula: 3 D ( ) a +b on D ( ) representa la densitat de població a la distància (en km) del centre de la ciutat, i a i b són constants relacionades amb les característiques pròpies de la ciutat. Com més a prop del centre, més gran és la densitat de població. Podries dir on es troba el centre de la urbs de la imatge? Hi ha zones de la teva ciutat més poblades que d altres? Creus que aiò té a veure segons com es troben de prop o lluny aquestes zones del centre de la ciutat? Justifica si la teva ciutat respon al model descrit per la fórmula de l enunciat. 5

4 bloc. aritmètica i àlgebra. Polinomis.. Valor numèric d un polinomi.. Arrels d un polinomi RECORDA Un monomi és una epressió algebraica en la qual les úniques operacions que apareien entre les seves variables són el producte i la potència d eponent natural. Si té una única variable indeterminada, un monomi és una epressió del tipus: a n on a és un nombre real anomenat coeficient del monomi, n és la part literal, és la indeterminada i n, l eponent, és un nombre natural que indica el grau del monomi. Dos monomis són semblants si la seva part literal és idèntica; és a dir, si tenen la mateia variable indeterminada i el matei grau: 7 i -3 són semblants. z 5 i z no són semblants. VOCABULARI Epressió algebraica. Combinació de lletres, nombres i signes d operacions aritmètiques. Les lletres solen representar quantitats desconegudes i es denominen variables o incògnites.. Polinomis Els polinomis són epressions algèbriques que relacionen constants i variables. Encara que formalment són relativament simples, poden descriure gran quantitat de fenòmens i, per aiò, són una potent eina matemàtica utilitzada en disciplines com ara la informàtica o l enginyeria. q q Un polinomi és una epressió algebraica composta de la suma o resta de dos o més monomis. Es designen per una lletra majúscula, seguida de la variable o variables que apareien en la seva epressió, entre parèntesis: Pz ( ) z3 + z 9; Q (, y) 3 + 5y + 3y Si restringim el nostre estudi al cas d una única variable indeterminada: q q Un polinomi en la indeterminada és una epressió algebraica del tipus: P ( ) a + a n + + a+ a n n n 0 Considerem el polinomi P ( ) : Cadascun dels monomis que formen el polinomi s anomena terme del polinomi. En aquest cas, els termes són: 3, 3, - i 8. Els coeficients d un polinomi són els nombres reals que multipliquen a la variable en cadascun dels seus termes, aií, en l eemple:, 3, - i 8. El terme principal és el terme de major grau amb coeficient no nul, en aquest cas, 3. El seu grau determina el grau del polinomi, que en el nostre eemple és 3. El terme independent és el monomi de grau zero, en aquest cas, 8. Els termes dels polinomis solen ordenar-se en ordre decreient respecte als seus graus, en aquest cas parlem de polinomi ordenat. Finalment, un polinomi reduït és aquell que no té monomis semblants... Valor numèric d un polinomi Observa que si donem un valor a la indeterminada d un polinomi i efectuem les operacions indicades, obtenim com a resultat un nombre real. INTERNET En el apartado de Recursos de la siguiente eb encontrarás un interesante documento sobre los primeros tratados de álgebra i sobre los primeros usos de las letras como elementos matemáticos: q q El valor numèric d un polinomi P( ) per a un valor donat a, P(, és el nombre real que s obté substituint la variable pel seu valor a i operant el polinomi. Calcula el valor numèric del polinomi P( ) per a. COMPRENSIÓ. S ha de substituir en l epressió del polinomi el valor. Eercicis i problemes 7, 8 RESOLUCIÓ. Substituïm el valor i obtenim que un valor numèric de 6: P ()

5 unitat. Polinomis i fraccions algèbriques.. Arrels d un polinomi Eisteien certs valors de la variable, els que anul len el polinomi, que es denominen arrels o zeros, i que tenen una importància especial perquè, com veurem en apartats següents, és molt útil calcular-los per a factoritzar polinomis, resoldre equacions polinòmiques i simplificar fraccions algèbriques. q q Les arrels d un polinomi són els valors de la variable indeterminada que fan que el seu valor numèric sigui 0: a és arrel de P() 3 P( 0 Les arrels enteres d un polinomi compleien les propietats següents: Perquè un nombre enter a sigui arrel d un polinomi, és imprescindible que a sigui divisor del seu terme independent (sempre que aquest no sigui nul). El nombre d arrels enteres d un polinomi és sempre més petit o igual que el seu grau. FIXA-T HI Tots els polinomis que no tenen terme independent admeten com a arrel 0. En aquests casos, podem treure factor comú a la : P ( ) Q ( ). Aií doncs, si calculem el valor numèric del polinomi per a 0, el resultat serà zero com correspon a una arrel. Per eemple: Si P ( ) + ( + ), aleshores P (0) 0 i 0 és una arrel. Verifica si -, i 3 són arrels del polinomi P ( ) 8. COMPRENSIÓ. Les arrels del polinomi seran els valors de que anul len el polinomi (fan que el seu valor numèric sigui zero). RESOLUCIÓ. Substituïm els diferents valors de en l epressió del polinomi: P ( ) 8; P( ) ( ) S és arrel de P (). P() () S és arrel de P (). P(3) (3) S 3 no és arrel de P (). 3 Calcula les arrels enteres del polinomi P( ) + -. COMPRENSIÓ. Les arrels enteres del polinomi es troben entre els divisors del terme independent. Com que el grau de P ( ) és, com a màim hi haurà dues arrels enteres. RESOLUCIÓ. Elaborem una llista amb tots els divisors (positius i negatius) del terme independent i calculem el valor numèric del polinomi per a cadascun dels divisors: Div. () {±, ±, ± 3, ±, ± }. P () () S no és arrel de P ( ). P (-) (-) + (-) S - no és arrel de P ( ). P () () S no és arrel de P ( ). P (-) (-) + (-) S - no és arrel de P ( ). P (3) (3) S 3 és arrel de P ( ). P (-3) (-3) + (-3) S -3 no és arrel de P ( ). P () () S no és arrel de P ( ). P (-) (-) + (-) S - és arrel de P ( ). En aquest cas, el grau del polinomi és i ja hem trobat dues arrels. Aií, les arrels de P ( ) són 3 i -. LLENGUATGE MATEMÀTIC La utilitat del llenguatge algebraic per a plantejar i resoldre problemes consistei en la seva simplicitat i precisió. Un dels problemes més antics de les matemàtiques consistei en la resolució d equacions algèbriques i en la determinació de les arrels de polinomis. La notació que encara utilitzem avui en dia es va desenvolupar a partir del segle v però no va ser fins al segle vi que van aparèier les primeres aproimacions d arrels i fórmules de polinomis de fins a grau quatre. Problemes resolts A Eercicis i problemes 9 a 7

6 bloc. aritmètica i àlgebra. Operacions amb polinomis.. Suma.. Resta.3. Multiplicació.. Divisió.5. Regla de Ruffini. Operacions amb polinomis Les operacions que durem a terme amb polinomis són la suma, la resta, la multiplicació i la divisió. FIXA-T HI En operar, escriurem prèviament els polinomis ordenats de forma decreient. De la mateia manera, el resultat de qualsevol operació entre polinomis s ha de donar sempre en forma de polinomi ordenat i reduït. FIXA-T HI El grau del polinomi suma és sempre més petit o igual que el del polinomi de major grau. LLENGUATGE MATEMÀTIC El polinomi nul 0 () és aquell que té tots els seus coeficients nuls. Aií,O ( ) 0n + 0n El seu valor numèric és nul per a qualsevol valor de, d aquí ve el seu nom. Donat un polinomi P ( ), el seu oposat és el polinomi que s obté canviant el signe de tots els seus termes. El polinomi oposat es denota com a -P(). 8 6 Y 0 0 P() Polinomis oposats P() X.. Suma Per tal de sumar dos o més polinomis se sumen els termes semblants de tots dos, i s obté un polinomi nou. Si efectuem la suma en vertical, escrivim els polinomis un sota l altre, de manera que en una mateia columna hi hagi els termes d igual grau, i es deien, si cal, espais en blanc. Propietats de la suma de polinomis La suma de polinomis complei les mateies propietats que la suma de nombres reals: Associativa. Donats tres polinomis P (), Q () i R (), es verifica que [P () + + Q ()] + R ( ) P () + [Q() + R ()]. Commutativa. Donats dos polinomis P () i Q (), es verifica que P () + Q () Q () + P (). Element neutre. Per a qualsevol polinomi es verifica que P () + 0 () P (), on 0 () és el polinomi nul. Elemento opuesto. Per a qualsevol polinomi P (), eistei -P( ), tal que P () + + [-P( )] 0 () 0... Resta Per tal de restar dos polinomis, sumem al primer polinomi (minuend) l oposat del segon (subtrahend), i s obté un polinomi nou. P ( ) - Q ( ) P ( ) + [-Q ( )], on -Q ( ) és l oposat de Q ( ). Donats els polinomis P( ) i Q( ) , calcula P( ) + Q( ) i P( ) - Q( ). COMPRENSIÓ. Hem d operar els termes semblants dels dos polinomis. RESOLUCIÓ. En primer lloc, calculem la suma: P ( ) + Q ( ) ( ) + ( ) ( + 6) + ( 3) + (8 ) Per tal de determinar la diferència, restem els termes semblants dels dos polinomis, o sumem els termes semblants del primer polinomi amb els de l oposat del segon. P ( ) Q ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( 6) + ( + 3) + (8 + ) Si operem verticalment: (+) (-)

7 unitat. Polinomis i fraccions algèbriques.3. Multiplicació Per tal de multiplicar dos polinomis, multipliquem tots els termes del primer per cadascun dels termes del segon i sumem els monomis obtinguts. Dit d una altra manera, apliquem la propietat distributiva del producte de nombres reals respecte de la suma. El resultat serà un polinomi nou. La multiplicació d un nombre real per un polinomi és un cas concret de la multiplicació de dos polinomis, un dels quals és un polinomi de grau zero. RECORDA El producte de dos monomis a m i b n és un altre monomi ab m+n. 5 Donats els polinomis P( ) i Q( ) 3 -, calcula el seu producte. COMPRENSIÓ. Multipliquem tots els termes del segon polinomi per cadascun dels monomis del primer (o vicevers. RESOLUCIÓ. Si apliquem la propietat distributiva del producte respecte de la suma: P () Q () ( ) (3 - ) (-) + (-) 3 + (-) (-) (-) On, per acabar, hem reduït els termes semblants i ordenat el polinomi. Verticalment, en la primera línia escrivim el producte de P ( ) per - i en la segona el producte de P ( ) per 3. Després les sumem totes dues: P () Q () 3 - a línia: a línia: P ( ) Q ( ) Propietats de la multiplicació de polinomis FIXA-T HI En multiplicar dos polinomis, el grau del polinomi resultant és igual a la suma dels graus dels polinomis que es multipliquen. LLENGUATGE MATEMÀTIC El polinomi neutre és aquell que únicament té terme independent, que és igual a. La multiplicació de polinomis complei les mateies propietats que la multiplicació de nombres reals: Associativa. Donats tres polinomis P (), Q () i R (), es verifica que [P( ) Q ()] R () P () [Q( ) R ()]. Commutativa. Donats dos polinomis P () i Q (), sees verifica que P () Q () Q () P (). Element neutre. Per a qualsevol polinomi es verifica que P () P (), on és el polinomi neutre. Distributiva de la multiplicació respecte de la suma. Donats tres polinomis, P () [Q () + R ()] P () Q () + P () R (). FIXA-T HI És important procurar la presentació ordenada dels càlculs i els resultats obtinguts per evitar errors. 6 Comprova la propietat commutativa del producte de P( ) + 3 y Q ( ) +. COMPRENSIÓ. Verifiquem l enunciat de la propietat commutativa del producte de polinomis. RESOLUCIÓ. Multipliquem P () Q () i Q () P () i comprovem si s obté el matei resultat: P ( ) Q ( ) ( + 3 ) ( + ) Q ( ) P ( ) ( + ) ( + 3 )

8 bloc. aritmètica i àlgebra.. División FIXA-T HI Per tal de dividir dos polinomis, s ha de complir que el grau del dividend sigui igual o més gran que el grau del divisor. En dividir un polinomi P ( ) de grau m entre un altre polinomi Q ( ) de grau n < m obtenim dos polinomis més C ( ) i R ( ) que compleien les condicions següents: P ( ) Q ( ) C ( ) + R ( ) grau de C ( ) m - n; grau de R ( ) < n De forma anàloga a la divisió de nombres reals, els polinomis P ( ), Q ( ), C ( ) i R ( ) s anomenen, respectivament, dividend, divisor, quocient i residu. Si R ( ) 0, la divisió és eacta i aleshores podem dir que P ( ) és divisible per Q ( ), que P ( ) és múltiple de Q ( ), i que Q ( ) és divisor de P ( ). 7 INTERNET En el blog següent trobaràs aplicacions d operacions amb polinomis en la vida quotidiana. A continuació veurem com es pot dividir el polinomi P( ) entre Q( ). Per tal de dividir dos polinomis, apliquem l algorisme de la divisió: Ordenem els termes del dividend i del divisor, de major a menor grau, i deiem un espai en blanc en el lloc de cada terme que falti en el dividend. Dividim el primer terme del dividend entre el primer terme del divisor, i obtenim el primer terme del quocient. Multipliquem el quocient pel divisor. Restem aquest producte del dividend, per a aiò el canviem de signe (per restar sumem l oposat) i obtenim el primer residu parcial Baiem el següent terme del dividend i repetim el procés amb el polinomi resultant fins a obtenir un residu parcial de grau menor que el grau del divisor. El quocient i el residu de la divisió són: C( ) R ( ) 0 Com que el residu és igual a zero, es tracta d una divisió eacta. Aleshores podem dir que P( ) és múltiple de Q( ) i que Q( ) és divisor de P( ). Podem comprovar que el resultat és correcte verificant que P( ) Q( ) C( ) + R( ): Eercicis i problemes 3,, 6 a 5, 9 a 3 Q ( ) C( ) + R ( ) ( ) ( )

9 unitat. Polinomis i fraccions algèbriques.5. Regla de Ruffini La regla de Ruffini és un mètode que ens permet realitzar la divisió de polinomis d una manera més senzilla. Per tal d aplicar-la, el divisor ha de ser de la forma ( -, on a un nombre real. 8 Vegem com es pot dividir el polinomi P( ) entre Q( ) -, aplicant la regla de Ruffini. Observem que la forma del divisor és del tipus ( -, sent a, per tant podem aplicar la regla de Ruffini: Escrivim els coeficients ordenats del dividend i l oposat del terme independent del divisor (el nombre de la manera que es mostra. Si el dividend és incomplet, s ha de col locar un zero en el lloc de cada terme que falti. PAOLO RUFFINI Paolo Ruffini (765-8) va ser un matemàtic i metge italià que també es va dedicar a la docència. Va idear el mètode que permet trobar els coeficients del polinomi que resulta de la divisió d un polinomi qualsevol pel binomi - a. Cap a l any 805 va demostrar, encara que de manera prematura, la impossibilitat de trobar una solució general per a les equacions de cinquè grau o superiors Baiem el primer coeficient del dividend, el multipliquem per a i el resultat el sumem al segon coeficient del dividend Repetim el procés amb tots els coeficients del dividend L últim nombre obtingut equival al residu de la divisió, i el polinomi quocient es construei amb els altres nombres obtinguts com a coeficients, tenint en compte que té un grau menys que el dividend. FIXA-T HI Si ens trobem amb divisors del tipus (- +, per poder aplicar Ruffini hem de multiplicar per - al dividend i al divisor, ja que: - (- + - a Dividend Divisor quocient Aií doncs, el quocient i el residu resultants són: C( ) y R( ) 0 Residu De la mateia manera que en la divisió numèrica, s ha de complir que P( ) Q( ) C( ) + + R( ), després podem escriure: ( ) ( ) + 0 AMPLIA Donat un polinomi amb coeficient principal a n i terme independent a 0, el teorema de Gauss establei que si aquest polinomi té arrels racionals aleshores les mateies estan dins de la llista que es forma prenent totes les fraccions possibles el numerador de les quals sigui un divisor de a 0 i el denominador del qual sigui divisor de a n. AMPLÍA Si calculem el producte, comprovarem que es complei que el resultat equival al polinomi inicial: ( ) ( ) Eercicis i problemes 5, 6 a 8, 3 5

10 Falta traducir COMPROVACIO bloc. aritmètica i àlgebra 3. Factorització de polinomis 3.. Teorema del residu 3.. Teorema del factor 3.3. Factorització INTERNET Càlcul d arrels d un polinomi de grau 3: Aplicació del teorema del residu i regla de Ruffini: FIXA-T HI 3. Factorització de polinomis En aquest apartat veurem com podem epressar un polinomi en forma de producte de factors, per a la qual cosa ens seran molt útils els teoremes del residu i del factor. 3.. Teorema del residu El teorema del residu, que es deduei directament de les propietats de la divisió, s enuncia de la manera següent: 9 q q El residu R() de la divisió d un polinomi P( ) entre ( - és igual al valor numèric d aquest polinomi per a a; P( R( ). Calcula per substitució i mitjançant el teorema del residu el valor numèric del polinomi P( ) per a. El teorema del residu permet: Trobar el valor numèric d un polinomi sense necessitat de substituir. Obtenir el residu d una divisió entre - a sense necessitat d efectuar-la. FIXA-T HI El teorema del factorpermet saber si un polinomi és divisible per un altre de la forma ( - sense necessitat de fer la divisió. COMPRENSIÓ. Trobem el valor numèric P() substituint el valor de en el polinomi i calculant el residu de la divisió P ( ) : ( - ). RESOLUCIÓ. En primer lloc, substituïm en el polinomi per : P () A continuació, calculem el residu R( ) de la divisió P ( ) : ( - ) per la regla de Ruffini: 3.. Teorema del factor COMPROVACIÓ. Tal como enuncia el teorema del resto, el valor numérico del polinomio para i el resto de la división coinciden: P () R ( ). Si ( - és factor d un polinomi, aleshores a és arrel d aquest polinomi. Si apliquem el teorema del residu en el cas en què la divisió de P ( ) entre ( - és eacta, obtenim el teorema del factor, que s enuncia de la manera següent: q q Un polinomi P( ) eés divisible per ( - si i només si el valor numèric d aquest polinomi per a a és 0. Eercicis i problemes 33, 37 a Aií, el polinomi P ( ) es pot epressar de la forma P ( ) ( - C( ), on ( - és un factor de P ( ). 0 Determina de dues maneres diferents si el polinomi P( ) és divisible entre ( - ). COMPRENSIÓ. Hem de veure si el residu de la divisió és zero, per a aiò podem calcular-la o aplicar el teorema del factor. RESOLUCIÓ. Primer efectuem la divisió per Ruffini: Després P ( ) és divisible per ( - ). Anàlogament, pel teorema del factor: P () S S P () 0 Comprovem que el polinomi és divisible per ( - ), atès que P () 0. 5

11 unitat. Polinomis i fraccions algèbriques 3.3. Factorització de polinomis Factoritzar un polinomi consistei a epressar-lo com a producte de polinomis irreductibles (que no es poden seguir factoritzant) de grau menor anomenats factors. En cada pas, s ha d escriure el polinomi inicial com a producte de tots els factors oposats. D aquesta manera, un polinomi de grau n, P ( ) a n n + a n - n a + a 0 amb n arrels,,..., n, quedaria descompost de la manera següent: P ( ) a n ( - ) ( - )... ( - 0) Per a cada arrel calculada, a, tindrem un factor ( -. Tingues en compte que un polinomi de grau n té com a màim n arrels i, per tant, n factors irreductibles. Es finalitza la factorització quan tots els factors siguin de grau u o quan no es pugui continuar factoritzant. La factorització de polinomis ens permetrà: Simplificar fraccions algèbriques. Resoldre equacions i buscar les seves arrels enteres. Podem utilitzar les següents tècniques per a factoritzar un polinomi: Treure factor comú a la variable i/o a algun nombre (si el polinomi no té terme independent o els seus coeficients tenen algun divisor comú). Identificar les igualtats notables (vegeu el requadre al marge). Calcular les arrels enteres i factoritzar el polinomi aplicant la regla de Ruffini i els teoremes del residu i del factor. Calcular les arrels a través de la resolució de l equació de manera clàssica. Les arrels d un polinomi poden estar repetides. Si una arrel solament aparei una vegada es tracta d una arrel simple, si està repetida, s anomena arrel doble, arrel triple..., segons el nombre de vegades que es repeteii. Igualtats notables: b a b² ab a² b ab a RECORDA Quadrat d una suma o diferència: ( a ± a ± ab + b Suma per diferència: ( a + ( a a b Cub d una suma o diferència: ( a ± a + 3a b ± 3ab ± b INTERNET En aquest enllaç trobaràs eercicis i problemes resolts de polinomis: Problemes resolts B, C Eercicis i problemes 3 a 36, 3 a 50 Síntesi 70 i 7 Factoritza el polinomi P() COMPRENSIÓ. Per tal de factoritzar el polinomi, intentarem aplicar els mètodes presentats més amunt de manera successiva fins a aconseguir que tots els factors siguin de grau o irreductibles. RESOLUCIÓ. En primer lloc, traiem factor comú a la, atès que no eistei terme independent: P ( ) ( ) Prosseguim factoritzant el polinomi de grau 3. Per a aiò, calculem les arrels enteres, que es troben entre els divisors del terme independent, i apliquem el teorema del factor. Aií, obtenim que -3 és una arrel i, per tant, ( + 3) és un factor de P ( ): Div. () {±, ±, ± 3, ±, ± 6, ± } Aií, P () ( + 3)( + + ). Podríem seguir-ho provant amb altres divisors, però s identifica fàcilment una igualtat notable coneguda (el quadrat d una sum: P ( ) ( + 3)( + ) ( + 3)( + )( + ) Com que tots els factors són de grau u, hem acabat la factorització. Una vegada epressat el polinomi d aquesta manera, podem identificar que les arrels de P () són 0, -3 i -. Les dues primeres són arrels simples, mentre que - és una arrel doble perquè el factor ( + ) aparei dues vegades. 53

12 bloc. aritmètica i àlgebra. Fraccions algèbriques.. Fraccions algèbriques equivalents.. MCD i MCM de polinomis.3. Simplificació de fraccions algèbriques. Fraccions algèbriques De la mateia manera que la divisió entre dos nombres enters pot epressar-se com a fracció, la divisió entre polinomis dóna lloc a les fraccions algèbriques. q q S anomena fracció algebraica al quocient de dos polinomis amb coeficients reals P( ) i Q( ) de la forma: P( ) Q( ) amb Q( ) 0 Són fraccions algèbriques, per eemple: , 3, FIXA-T HI Qualsevol polinomi es pot epressar com a fracció algebraica, tan sols col locant la unitat com a denominador. Per eemple: Polinomi: - Fracció algebraica: -.. Fraccions algèbriques equivalents També de forma anàloga a les fraccions numèriques, per a les fraccions algèbriques és possible definir la seva equivalència, que epressem amb el signe igual: q q Dues fraccions algèbriques són equivalents, si es complei que: P ( ) Q ( ) R ( ) 3 P ( ) S( ) R ( ) Q ( ) S( ) Determina si les següents fraccions algèbriques són equivalents: + i. COMPRENSIÓ. Per tal de saber si dues fraccions algèbriques són equivalents, hem de calcular els productes creuats dels polinomis que les componen. RESOLUCIÓ. Trobem els dos productes creuats, que són iguals, per la qual cosa les fraccions són equivalents: ( + )( - ) ; ( - ) MCD i MCM de polinomis Conèier el màim comú divisor (MCD) i el mínim comú múltiple (MCM) de diversos polinomis ens serà útil per a operar amb les fraccions algèbriques. q q El màim comú divisor (MCD) de dos o més polinomis és el polinomi de major grau que és divisor de tots ells. El mínim comú múltiple (MCM) de dos o més polinomis és el polinomi de menor grau que és múltiple de tots ells. En la pràctica, primer descompondrem en factors els diferents polinomis i: En el MCD prenem els factors comuns elevats al menor eponent. En el MCM, els comuns i no comuns elevats al major eponent. 5

13 unitat. Polinomis i fraccions algèbriques.3. Simplificació de fraccions algèbriques En operar amb fraccions algèbriques, igual que ens passava amb les fraccions numèriques, sempre és convenient simplificar les fraccions. A més, una vegada efectuades les operacions és preferible simplificar també el resultat. 3 q q Simplificar una fracció algebraica és transformar-la en una altra de més senzilla i equivalent. Per tal de simplificar una fracció algebraica seguirem els passos següents: Factoritzarem els polinomis del numerador i del denominador. Dividirem el numerador i el denominador pels factors comuns, és a dir, pel MCD de tots dos. D aquesta manera, obtenim una fracció que no és possible simplificar més. q q S anomena fracció algebraica irreductible aquella en què entre numerador i denominador no hi ha més factors comuns que la unitat. Aquestes fraccions són la «mínima epressió» de la fracció equivalent inicial i, com el seu nom indica, no es poden reduir més. FIXA-T HI Per simplificar fraccions algèbriques utilitzem el matei mètode de simplificació que utilitzàvem amb les fraccions numèriques: INTERNET 3 En el següent enllaç trobaràs un vídeo sobre la simplificació de fraccions algèbriques. Calcula el MCD i el MCM dels polinomis P( ) i Q( ) COMPRENSIÓ. Per tal de calcular el MCD i el MCM és necessari factoritzar els dos polinomis. RESOLUCIÓ. Factoritzem P () i Q (): P ( ) ( + 3)( + ) y Q( ) ( + 3) ( + ) Per tal de trobar el MCD considerem els factors comuns elevats al menor eponent: M.C.D.[P (), Q ( )] ( + 3)( + ) Per tal de trobar el MCM prenem els factors comuns i no comuns elevats al major eponent: m.c.m.[p (), Q ()] ( + 3) ( + ) Eercicis i problemes 5 a 58 P( ) Simplifica la fracció algebraica Q ( ) COMPRENSIÓ. Factoritzem els polinomis del numerador i del denominador i els dividim pels factors comuns. RESOLUCIÓ. En primer lloc factoritzem: P ( ) ( 3)( + ) ; Q( ) ( 5)( + ) I, a continuació, dividim pels factors comuns: P ( ) Q ( ) ( 3)( + ) ( 5)( + ) 3 0 P ( ) La fracció irreductible és, per tant, Q ( )

14 bloc. aritmètica i àlgebra 5. Operacions amb fraccions algèbriques 5.. Suma i resta 5.. Multiplicació 5.3. Divisió 5.. Descomposició de fraccions algèbriques en fraccions simples 5. Operacions amb fraccions algèbriques Amb les fraccions algèbriques podem efectuar les mateies operacions que amb les fraccions numèriques: suma, resta, multiplicació i divisió. 5.. Suma i resta RECORDA En treballar amb fraccions algèbriques realitzarem les mateies operacions que utilitzàvem amb fraccions numèriques. Recordes com feies les següents operacions? ; ; 9 : 7 6 Per tal de sumar o restar fraccions algèbriques se segueien els següents passos: Es calcula el MCM dels denominadors de les fraccions donades, i es redueien les fraccions a comú denominador. S obté el numerador resultat mitjançant la suma o diferència dels numeradors obtinguts en el pas anterior. El denominador resultat és el MCM dels denominadors. Se simplifica la fracció algebraica resultant Calcula COMPRENSIÓ. Per tal de restar dues fraccions algèbriques és necessari reduir-les a comú denominador. RECORDA Per reduir a comú denominador:. Calculem el MCM dels denominadors.. Dividim el MCM entre els denominadors de cada fracció. 3. Multipliquem el numerador i el denominador de cada fracció pel resultat corresponent trobat en el punt. RESOLUCIÓ. Factoritzem els denominadors, calculem el MCM i reduïm a comú denominador. Finalment, operem els numeradors per obtenir el resultat. MCM ( -, + + ) MCM [( + )( - ), ( + ) ] ( + ) ( - ) ( + 0)( + ) ( + )( ) + + ( + )( ) ( + )( ) ( + 8) (5 + ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) 5.. Multiplicació El producte de fraccions algèbriques és una altra fracció que té: Per numerador el producte dels numeradors. Per denominador el producte dels denominadors. P ( ) R ( ) P ( ) R ( ) Q ( ) S ( ) Q ( ) S ( ) S ha de simplificar la fracció algebraica resultat, encara que també es pot simplificar abans d operar. 6 Calcula COMPRENSIÓ. Han de factoritzar-se les fraccions algèbriques abans d operar i simplificar-les perquè els càlculs siguin més senzills. RESOLUCIÓ. Factoritzem les fraccions, efectuem el producte en línia i, finalment, simplifiquem: ( 3)( 3) ( + 3) + ( + ) ( + 3) ( + ) ( + 3)( 3)( ) ( 3)( ) 56

15 unitat. Polinomis i fraccions algèbriques 5.3. Divisió Per tal de dividir dues fraccions algèbriques es multiplica la primera fracció per la inversa de la segona. En la pràctica, el quocient de fraccions algèbriques és una altra fracció que té: Per numerador el producte del numerador de la primera pel denominador de la segona. Per denominador el producte del denominador de la primera pel numerador de la segona. P ( ) R P S Q ( ) : ( ) ( ) ( ) S ( ) Q ( ) R ( ) És convenient simplificar la fracció algebraica resultat, encara que també es pot simplificar abans d operar. RECORDA La fracción inversa d una de donada és una altra fracció on el numerador i denominador estan intercanviats. 7 + inversa + 7 El producte de tot parell de fraccions inverses és igual a la unitat: ( 7) ( + ) ( + ) ( 7) 7 Calcula: :. COMPRENSIÓ. Han de factoritzar-se les fraccions algèbriques abans d operar i simplificar-les perquè els càlculs siguin més senzills. RESOLUCIÓ. Factoritzem les fraccions, efectuem el producte en creu i, finalment, simplifiquem: : ( + ) + ( 3)( ) : ( ) ( + )( ) ( + )( ) ( 3)( ) ( + ) 3 INTERNET 8 Efectua l operació següent epressant el resultat en forma de fracció irreductible: + +. En l enllaç següent trobaràs eercicis sobre fraccions algèbriques: COMPRENSIÓ. Per tal de calcular aquestes operacions, hem de reduir les fraccions a comú denominador. RESOLUCIÓ. En primer lloc, factoritzem els denominadors: - ( - ) - ( + )( - ) A continuació, calculem el MCM dels tres denominadors: MCM (, -, - ) MCM [, ( - ), ( + )( - )] ( - )( + ) Finalment, reduïm a comú denominador i operem els numeradors per obtenir el resultat: Problemes resolts D + + ( + ) + ( ) ( )( )( + ) + ( + ) ( + ) 3 3 ( )( + ) ( )( + ) Eercicis i problemes 59 a 67 Síntesi 7 57

16 bloc. aritmètica i àlgebra 5.. Descomposició de fraccions algèbriques en fraccions simples AMPLÍA AMPLIA Si l equació a + b + c 0 no té arrels reals, aleshores la fracció M n no es pot descompondre en factors a + b + c reals. Quan el denominador d una fracció algebraica es pot descompondre en factors, la fracció es pot escriure com a suma o diferència d altres fraccions més simples. Aquest procés es conei amb el nom de descomposició en fraccions simples. Suposem una fracció algebraica de numerador P ( ) i denominador Q ( ): Si grau P ( ) < grau Q ( ), considerem els casos següents: Q ( ) solament té arrels simples. Q ( ) ( - a )( - a )... ( - a n ), aleshores: P ( ) Q ( ) A a + A a A n a n Q ( ) té arrels múltiples. Q ( ) ( a ) m( a ) ( a ), aleshores: n m P ( ) A A, + Q ( ) a ( a ) A, m ( a ) m + A a A n m a n m Q ( ) conté polinomis de grau. Q ( ) ( + b + c)( a )( a ) ( a n ), aleshores: P ( ) Q ( ) M + N + b + c + A a + A a A n a n Problemes resolts E Eercicis i problemes 68 i 69 Si grau P ( ) grau Q (), efectuem la divisió i obtenim: P ( ) R ( ) C ( ) + Q ( ) Q ( ) Com que grau R () < grau Q (), apliquem el mètode anterior a R ( ) Q ( ). 9 Descompon la fracció algebraica següent en fraccions simples: COMPRENSIÓ. Atès que el grau P ( ) < grau Q ( ),descompondrem Q ( ) en factors i epressarem la fracció com a suma de fraccions. RESOLUCIÓ. En primer lloc, factoritzem Q ( ): Q ( ) ( - )( + ) que té arrels simples, per la qual cosa podem escriure la fracció de la manera següent: + A B Aií, si igualem els numeradors, obtenim: A ( + ) + B ( ) ( )( + ) + A( + ) + B( ) Per tal de determinar els valors de A i B, desenvolupem la igualtat i resolem el sistema d equacions: Aií doncs: + ( A + B ) + A B A + B A B 5A 5; A ; B

17 unitat. Polinomis i fraccions algèbriques Problemes RESOLTS A ARRELS D UN POLINOMI Calcula a i b perquè es compleii que -5 i 0 són arrels de P( ) + a+ b. COMPRENSIÓ. m és arrel de P ( ) 3 P (m) 0. Per tal de calcular a i b, hem d obtenir els valors del polinomi per a -5 i 0 i resoldre les equacions resultants. DADES. P ( ) + a + b; -5 i 0 arrels de P ( ). RESOLUCIÓ. Intenta resoldre el problema tu sol. Per a aiò, tapa la columna de la resposta i seguei aquests passos: Passos Apliquem la definició d arrel a -5 i 0 per plantejar un sistema de dues equacions i dues incògnites. Resposta P( 5) ( 5) + a( 5) + b 0 P(0) (0) + a(0) + b 0 5 0a + b 0 b 0 Resolem el sistema d equacions substituint el valor obtingut per a b en la primera epressió per a calcular a a 0 0 S 0a 5 S a 0 5 COMPROVACIÓ. Substituïm els valors de a 5/ i b 0 a P ( ) i comprovem que P (-5) P (0) 0.. s Calcula a i b perquè es compleii que: a les arrels de P ( ) + 3 b siguin -3 i. les arrels de Q ( ) 5 a+ b siguin - i. Sol.: a, b ; a 6, b 0 B FACTORITZACIÓ D UN POLINOMI Factoritza el polinomi P( ) i determina les seves arrels. COMPRENSIÓ. Per tal de factoritzar el polinomi, intentarem aplicar els diferents mètodes estudiats a la unitat de manera successiva fins a aconseguir que tots els factors siguin de grau o irreductibles. DADES. P ( ) RESOLUCIÓ. Calculem les arrels enteres, que es troben entre els divisors del terme independent, i apliquem el teorema del factor. Aií, obtenim que - és una arrel i, per tant, ( + ) és un factor de P ( ): Div. (6) {±, ±, ±3, ±6} Aií, la factorització queda de moment: P ( ) ( + ) ( 7 + 3) Podríem continuar provant amb altres divisors però, com que el polinomi resultant és de segon grau, trobarem les arrels aplicant la fórmula de les equacions de segon grau: 7 ± ± 5 7 ± 5 3 / ( ) I la factorització queda aií: P( ) ( + )( 3) /. Com que tots els factors són de grau u, hem acabat la factorització. Una vegada epressat el polinomi d aquesta forma, podem identificar que les arrels de P ( ) són -, 3 i /. Totes són arrels simples. COMPROVACIÓ. Si multipliquem els factors que formen el polinomi P ( ), comprovem que s obté l epressió de P ( ) de l enunciat.. s Factoritza els següents polinomis i determina les seves arrels: P ( ) ; Q ( ) Sol.: P() ( + )( + /)( - 3), -, -/, 3 3; P() 6( - )( + /),, -/ 3. s Factoritza el polinomi P ( ) i determina les seves arrels Sol.: P() ( - ) ( + )( + 3), (doble), - 59

18 C OJO: HAY QUE REDUCIR DOS LÍNEAS EN EL PROBLEMA D EN EL PROBLEMA C, HABIA LA TRADUCCION DEL AP. C) QUE YA NO ESTÁ FACTORITZACIÓ DE POLINOMIS MITJANÇANT IGUALTATS NOTABLES bloc. aritmètica i àlgebra Factoritza els següents polinomis, amb ajuda de les igualtats notables: P( ) ; R( ) ( + 7) - 6. COMPRENSIÓ. Intentarem identificar la forma dels polinomis amb les fórmules de les igualtats notables. DADES. P ( ) ;R ( ) ( + 7) - 6. RESOLUCIÓ. Identifiquem que P ( ) té la forma del quadrat d una suma: a + ab + b ( a +. Per tant: P ( ) (5 ) (5 + 3) S observa que Q () té la forma del quadrat d una diferència: ( a + ( a a b. Per tant: R ( ) ( + 7) 6 ( + 7) [( + 7) + ][( + 7) ] ( + )( + 3). s Usant les igualtats notables, factoritza: ( ) P 9; Q ( ) y ; c) R ( ) Sol.: P() ( + 3)( - 3); Q() (y + )(y - ); c) R() ( + 5)( + 5) D Calcula l operació següent amb fraccions algèbriques: E OPERACIONS COMBINADES COMPRENSIÓ. A més d operar segons hem vist a la unitat, s ha de tenir en compte la jerarquia de les operacions. + 3 DADES RESOLUCIÓ. D acord amb la jerarquia de les operacions, primer calcularem el producte de fraccions (mitjançant el producte en líni i després trobarem la suma (reduint a comú denominador). En tots els passos, sempre que sigui possible, simplificarem les fraccions: DESCOMPOSICIÓ EN FRACCIONS SIMPLES Descompon en fraccions simples la següent fracció algebraica: COMPRENSIÓ. Atès que el grau P ( ) < grau Q ( ), descompondrem Q ( ) en factors i epressarem la fracció com a suma de fraccions. DADES. P ( ) ; Q ( ) RESOLUCIÓ. En primer lloc, factoritzem Q (): Q () ( - )( - 3) que té arrels simples, per la qual cosa podem escriure la fracció de la manera següent: A B Aií, si igualem els numeradors, obtenim: A ( 3) + B ( ) ( )( 3) A ( 3) + B ( ) Per tal de determinar els valors de A i B, tenim dues opcions: ( + 3)( + ) + + ( + ) ( ) ( ) + ( + 3) ( ) ( ) 5. s Calcula: Desenvolupar la igualtat i resoldre el sistema: ( A + B) 3A B A + B 0 A B B ; A 3A B 3B B En la igualtat de polinomis A( - 3) + B( - ), substituir en els dos membres per valors que simplifiquin l epressió, en aquest cas els valors i 3: S A( - 3); A - 3 S B(3 - ); B Aií doncs: + + : s Descompon en fraccions més simples: Sol.: + + Sol.: ; ( + ) 60

19 unitat. Polinomis i fraccions algèbriques EXERCICIS y PROBLEMES POLINOMIS 7. a Justifica quines de les epressions següents són polinomis i quines no: - 5 d) e) + + c) 3-7 f) z - 7z 8. a Calcula per a -3 el valor numèric dels següents polinomis: P( ) ; Q( ) Sol.: P(-3) -5; Q(-3) s Assenyala el valor numèric dels polinomis següents per a - i i les seves arrels. - 9 c) + + ( )( + ) d) + Sol.: Valors: -5, -5; 0, 0; c), 0; d) 5, 5; Arrels: 3, -3;, -; c) -; d) - 0. s Eplica amb les teves pròpies paraules què és una arrel d un polinomi. Com podem trobar les arrels de P ( ) a + b + c?. s Determina quin és el polinomi de tercer grau les arrels del qual són, 3 i 7 i que té 7 com a coeficient del terme de major grau. Sol.: d Calcula el polinomi P( ) sabent que: és de tercer grau; s anul la per a ; c) només té dos termes; d) P() Sol.: P ( ) o P ( ) o P ( ) 3 3 OPERACIONS AMB POLINOMIS 3. a Donats els polinomis: P ( ) Q ( ), comprova que es complei: La propietat commutativa de la suma. La propietat associativa del producte.. a Donats els monomis: P ( ) y Q ( ) 6, calcula: P( ) + Q( ); P( ) - Q( ); c) P( ) Q( ); d) P( ). Sol.: ; -8 ; c) - ; d) - 5. a Utilitzant la regla de Ruffini, troba el quocient i el residu de les divisions següents: ( 3-8):( -) ( 33 + ):( + ) c) ( 6):( + ) Sol.: C( ) + +, R 0; C( ) , R -; c) C( ) c 3 - c + c - 8, R 0 6. s Determina a, b i c perquè es verifiqui: ( + c) + ( a + 3b+ 8) Sol.: a 3, b /3, c s Realitza les operacions següents amb polinomis: ( ) ( 97 7) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) 5 (-6-3) e) ( 6+ 0) ( 7+ 0) 0 ( + ) f) ( + 6) ( ) + ( ) Sol.: ; ; c) ; d) ; e) -0-3; f) s Siguin els polinomis: P ( ) + + 3, Q ( ) i R( ) - 3. Calcula: P( ) + Q( ); P( ) Q( ); c) P( ) + R( ); d) P( ) R( ). Per realitzar els càlculs, pots utilitzar el Wolfram Alpha a: Sol.: ; ; 3 c) ; d) s Donats els polinomis: P ( ) + 3 7, Q ( ) y R ( ), efectua les operacions següents: P( ) Q( ); P( ) R( ); c) Q( ) R( ); d) P( ) Q( ) R( ); e) P( ) + 3Q( ) + 3R( ). Sol.: ; ; c) ; d) ; e) s Determina el polinomi P( ) de primer grau que complei ( + ) P( ) Sol.: P( ) -. s Efectua les divisions polinòmiques següents: ( ) : ( ) ( ):( + ) c) ( ):( ) d) ( ):( + ) Sol.: C( ) 5 + 6, R ( ) 8; C( ) 7, R ( ) 9 ; c) C( ) 3, R( ) 3; d) C( ) ( ), R( ) s Comprova si + 3 és un divisor de s Donats els polinomis + P ( ) i Q ( ) + + 0, calcula ( ): P Q 3 ( ). Sol.: C( ) -, R( ) 9-6

20 bloque. aritmètica i àlgebra. s Dividei P ( ) 33 6 entre els polinomis següents, i mostra n el resultat en la forma Divisor Quocient + Residu: - ; -; c) - 3. Sol.: ( ) ( 3 + 5) + ( 9) ; ( ) ( ) + 0; c) ( 3) ( ) + 5. s Calcula les operacions indicades i simplifica. ( ) + ( 35 ) + ( ) ( 8 5) ( 3 3) + ( 3 5) c) ( ) ( 7+ ) d) ( 6 5) ( 6+ 5) e) ( + ) ( + + ) f) 3 Amb l ajuda de la calculadora d operacions amb polinomis que trobaràs a realitza novament les operacions anteriors. Sol.: ; 5 ; c) 8 + ; d) 36 5; e) 83 + ; f) s Troba el quocient i el residu de les següents divisions aplicant la regla de Ruffini: ( ):( + ) ( ):( 3) c) ( 5 + ):( + 3) d) ( a3 + 3 :( Sol.: C( ) , R 636; C( ) , R 86; c) C( ) , R 07; d) C( ) a+ a + a3 + 3, R ( ) a + a 7. s Calcula el valor del paràmetre p, perquè la divisió ( 3 5 p):( + 3) tingui com a residu -30. Sol.: p s Determina el valor del paràmetre m, perquè el polinomi P( ) sigui divisible entre Q( ). P ( ) + m, Q ( ) P ( ) m, Q ( ) + Sol.: m -; m 9 9. d Calcula i simplifica les operacions següents: ( 3 + ) ( s+ 3) ( s 3) Sol.: ; s 30. d Donats els polinomis + P ( ) 3 9, Q ( ) +, calcula P ( ) [ Q ( )]. Sol.: / 3. d Efectua les següents operacions amb polinomis: [( 3 - ) + (3-3)] ( + 3) [( 3 - ) - (3-3)] ( + 3) c) [(3-3) - ( 3 - )] ( + 3) Tenint en compte les propietats de la suma, la resta i la multiplicació de polinomis, podries haver predit el resultat de l apartat c), a partir dels resultats de l apartat i el? Com? Sol.: ; ; c) d Troba un polinomi de primer grau que en dividir-lo per ( - tingui de residu R, i en dividir-lo per ( -) doni eacte. Sol.: - 3 FACTORITZACIÓ DE POLINOMIS 33. a Determina, sense fer la divisió, si el polinomi P ( ) és divisible per Q ( ) + 3. Justifica la resposta. 3. a Troba un polinomi de grau 3 les arrels del qual siguin 3, 3 i -5. Sol.: a Factoritza el polinomi P( ) Sol.: ( - )( - ) 36. a Factoritza el polinomi P( ) Sol.: (3-5) 37. s Utilitza el teorema del residu per a calcular el residu d aquestes divisions: ( - ) : ( - ); ( - 8) : : ( + ); c) ( 7 - ) : ( - ). Sol.: -; -80; c) s Troba el residu de les següents divisions algèbriques, sense fer-les: (3-5 + ) : ( + ); ( ) : ( - ); c) ( 0 - ) : ( + ). Sol.: 3; -6; c) s Calcula les arrels enteres dels polinomis següents de dues maneres diferents: A ( ) B ( ) 8 9 Sol.: -, -3, s Utilitzant la regla de Ruffini, esbrina si el polinomi P ( ) + 33 és múltiple de: A ( ) + 3 B ( ) +. s Aplica el teorema del factor per a: comprovar si ( + ) és un factor de: P( ) ; identificar els factors del polinomi P( ) , d entre els següents: ( - ), ( - 3), ( + ), ( + ).. s Troba el valor de m, sabent que ( + ) és un factor del polinomi m m. Sol.: m 3. s Escriu un polinomi de grau 3 les arrels del qual siguin, i 3, i el seu coeficient del terme de major grau és.. s Factoritza el polinomi Sol.: ( - )( + )( + ) 6

21 unidad. Polinomis i fraccions algèbriques 5. s Factoritza els polinomis següents: ( + ) - ; 3 - ; c) ; d) Sol.: ( )( + 3 ); ( + )( + + ) ; c) ( + )( + 3 ); d) ( 5)( )( + 5) 6. s Factoritza els següents polinomis: ; ; c) 5 +. Sol.: ( + 3)( 6 + ) ; ( 3)( 8 + ) ; c) ( )( )( + )( + ) 7. s Factoritza els polinomis següents: ( - ) - - ( - ) - 5( - ); Sol.: ( )( + )( 6 5) ; ( + 6)( 6 ) 8. s Factoritza els polinomis següents i escriu les seves arrels: 33 - ; ; c) ; d) 6-6. Sol.: 3( 3 ) ; ( - 3) ; c) ( + ) ; d) ( )( + )( + ) 9. s Factoritza els següents polinomis, traient factor comú: ( 3) + 5( 3 ); 7ts ( + 9) 6( s + 9 ); c) 5y( y + ) ( y + ). Sol.: ( 3)( + 5) ; ( s+ 9)( 7t 6) ; c) ( y + )( 5y ) 50. d Raona quines de les afirmacions següents són certes: - 9 ( - 3) per a qualsevol nombre real. El polinomi + 00 és una suma de quadrats, i, per tant, no pot ser factoritzat. c) En treure factor comú en el polinomi 3y 3 + 9y + + y, el trinomi resultant no pot ser factoritzat. FRACCIONS ALGÈBRIQUES 5. a Proposa una fracció equivalent a la fracció: a Simplifica la fracció algebraica següent: ( 3)( + 3) ( + 3)( ) Sol.: - 3 ( - ) 53. s Comprova si els següents parells de fraccions algèbriques són equivalents: i + i c) i s Completa les equivalències següents: Sol.: 0+ ; s Calcula el MCD i el MCM dels polinomis A ( ) 3 + i B ( ) Sol.: M.C.D.[ A ( ), B ( )] ( )( + )( ), m.c.m.[ A ( ), B ( )] ( + )( + )( ) 56. s Simplifica les següents fraccions algèbriques: c) Sol.: + 3 ; + ; c) s Epressa les fraccions següents en la seva forma més simple: 3( + ) + 5( ) + 7 c) d) Sol.: ; ; c) 3 ; d) s Factoritza mentalment el numerador i denominador de les següents fraccions algèbriques i després simplifica-les si és possible ( + ) Sol.: /3; c) d) OPERACIONS AMB FRACCIONS ALGÈBRIQUES 59. a Reduei a comú denominador + ; c) + ; d) i ( - ). ( ) Sol.: ( + )( ), ( + ) ( + )( ) 60. s Reduei a comú denominador i simplifica les fraccions algèbriques següents: Efectua les operacions amb fraccions algèbriques de l eercici anterior, utilitzant, en línia, el programa Derive o un altre de similar Sol.: ; ( ) 3( )( + ) 6. s Realitza les operacions següents i simplifica: ( + ) Sol.: ; 3+ ( - 3) - 63

22 bloc. aritmètica i àlgebra 6. s Calcula i epressa en la seva forma més simple: m n + 3n n m 7m+ 6 Sol.: n + 3 m s Calcula i simplifica les fraccions algèbriques següents: : 5 0 c) -8 - : : 7 6. s Calcula: Sol.: 5( + ) Sol.: ; ; c) 3( 7) + : ; 3( + ) ( 3+ ) 65. s Realitza les operacions amb fraccions algèbriques següents: c) : ( + ) Sol.: ; 3 ( + 5 ) ; c) s Multiplica i dividei les fraccions algèbriques següents: c) - - z + 3z 5z + 5 : 6z : 39 Sol.: ; 3( + ) 5 z ; c) 3( + ) 67. s Calcula i simplifica: + c) : + ( + ) Sol.: ; 3 ( ++ ) ; c) s Escriu la fracció següent com a suma de fraccions més simples Sol.: s Descompon les següents fraccions algèbriques en fraccions més simples: Síntesi Sol.: s Donat Q ( ) p ; : Sabent que és una arrel del polinomi, troba p i els factors de Q( ). Epressa les arrels del polinomi donat. c) Calcula el seu valor numèric per a - i 5. Sol.: p, ( - ), ( + ) i (3 - ); arrels:, - i /3; c) Q(-) 0, Q(5) s Efectua les operacions següents amb fraccions algèbriques: + 3 c) + 3 : 3 Calcula el MCD i el MCM dels denominadors dels resultats. - 3 Sol.: ; + 3 ; c) 3( + 3) 7. d Epressa l àrea A( ) i el volum V( ) d aquesta caia usant polinomis: Calcula V( ) + A( ), V( ) - A( ), V( ) A( ), V( ) : A( ). Determina quines són les arrels de V( ). Sol.: A( ) , V( ) ; V( ) + A( ) , V( ) - A( ) , V( ) A( ) , V( ) A( ) (/6 + /6) - + 6; arrels: 0, 3, -6 6

23 Polinomis Un polinomi en la indeterminada és una epressió algebraica del tipus: P( ) a a n n + n n + + a + a0 # Síntesis. Polinomis Polinomios. Operacions Factorización amb de polinomios polinomis El valor numérico d un polinomi P() per a un valor donat a, P(, és el nombre real que s obté substituint la variable pel seu valor a i operant el polinomi. Les arrels d un polinomi són els valors de la variable indeterminada que fan que el seu valor numèric sigui Factorització Fracciones algebraicas de polinomis. Fraccions algèbriques 5. Operacions amb fraccions algèbriques Operacions amb polinomis Suma Resta Multiplicació Divisió Propietats de la suma: associativa, commutativa, element neutre, element oposat. Propietats de la multiplicació: associativa, commutativa, element neutre, distributiva de la multiplicació respecte de la suma. Regla de Ruffini Teorema del residu: resto: El El resto residu R() R() de de la división la de d un polinomio P() entre ( ( és es igual al al valor numèric numérico d aquest de dicho polinomio per para a a; P( a; P( R(). R(). Factorització de polinomis Teorema del factor: Un polinomi P() és divisible per ( si i només si el valor numèric d aquest polinomi per a a és 0. Factorització Mètodes: treure factor comú, identificar les igualtats notables, determinar les arrels senceres (Ruffini, teoremes del residu i del factor), calcular les arrels resolent l equació. S anomena fracció algebraica al quocient de dos polinomis amb coeficients reals P() i Q() de la forma: P( ) Q( ) amb Q( ) 0 Dues fraccions algebraiques són equivalents si es complei que: P( ) R ( ) 3 P( ) S( ) R ( ) Q ( ) Q ( ) S( ) Fraccions algebraiques El màim comú divisor (MCD) de dos o més polinomis és el polinomi de major grau que és divisor de tots ells. El mínim comú múltiple (MCM) de dos o més polinomis és el polinomi de menor grau que és múltiple de tots ells. Simplificar una fracció algebraica és transformar-la en una altra de més senzilla i equivalent. S anomena fracció algebraica irreductible aquella en què entre numerador i denominador no hi ha més factors comuns que la unitat. Operacions amb fraccions algebraiques Suma, resta, multiplicació, divisió. Descomposició en fraccions simples. 65

24 AVALUACIÓ # Polinomis i fraccions algèbriques Calcula les següents operacions amb polinomis: [( ) + ( )] ( + 3) ( 3 + )( - 7) + (5-5) + ( ) ( + 3) Sol.: ; 5 ( ) Justifica si són correctes aquestes afirmacions: Si es dividei 3 + entre -, el residu és 3. El binomi + és un factor de c) Si es dividei entre - 3, el residu és d) El binomio + es un factor de Un dels clients d Indústries del Cartró SL ha demanat una caia de cartró sense tapa. La caia es construei tallant els quadrats dels cantons d un full de cartró que mesura un total de 8 cm, i aiecant els laterals. El volum de la caia ve donat per la fórmula 3 V( ) 8 + 3, on representa la mesura del quadrat tallat. Utilitza la divisió polinòmica i el teorema del residu per a calcular si un volum de 60 cm 3 correspon a quadrats de cantons de, 3, o 5 cm, i indica les dimensions de la caia per a aquest volum. Quan hi haurà més turistes, a la primera setmana o a la penúltima? c) El nombre de turistes crei ràpidament entre les setmanes 7 i 0. Utilitza el teorema del residu per a determinar la setmana de màima afluència a l illa. 5 Assenyala quina estratègia utilitzaries per a factoritzar cadascun dels polinomis següents; després, factoritza ls: d) b - b - 8 e) 6 - c) m m f) 6t + 6t + Sol.: ( - )( + ); ( - /3)( + /); c) ( - 0) ; d) ( - )( + )( - 5/); e) ( + )( - + )( - )( + + ); f) 6t + 6t + 6 En Joan ha factoritzat un polinomi com a ( a -( - y), mentre que en Pau ha factoritzat el matei polinomi i ha obtingut com a solució ( b - ( y - ). Poden ser les dues solucions correctes? Justifica la resposta. 7 En l eercici següent, et proposem un polinomi i una de les seves arrels. Factoritza ls completament i digues el seu valor numèric per a l arrel: P ( ) 5 + +, - 3 Q ( ) , 3 3 c) R ( ) , -3 3 d) S ( ) , 3 e) T ( ) + 30, 3/ Sol.: P ( ) -5( + )( - /5); Q ( ) ( - 3)( - 5)( + ); c) R ( ) ( - )( - 3)( + 3) ; d) S ( ) ( - ) ( + )( + 5); e) T ( ) ( - 3/)( + )( + 5) Sol.: cm, 6 0 (en cm) Durant les setmanes dels mesos d estiu, el nombre de turistes que arriben a l illa de Tavira es pot modelar seguint la següent funció polinòmica 3 N ( ) 0, , on N( ) és el nombre (en milers) de turistes durant la setmana. Respon: Quan hi haurà més turistes a l illa de Tavira, a la setmana 5 ( 5) o a la setmana 0? 8 L empresa en la qual treballes, MVM Music SL, està desenvolupant un nou lector d MP3. Els teus estudis de mercat han determinat que per a unitats venudes, els beneficis es calculen mitjançant el polinomi B( ) 80 0, euros. El president de l empresa et demana que li aclareiis la fórmula. Troba una nova epressió per als beneficis, en la qual la no tingui eponents. 9 Resol: : Sol.:

25 ZONA OJO: la abreviacion ud. creo que no es correcta UD. Polinomis i fraccions algèbriques BLOG Gaussianos En aquest blog trobaràs un interessant article en el qual es parla de polinomis generadors de nombres primers. Descriu-ne alguns tenint en compte, en cada cas, les seves limitacions. SOCIETY Per a què serveien els polinomis a la vida real? Per a resoldre equacions, per a etreure arrels, per a operar algebraicament... Només per a aiò? A més de totes les aplicacions estrictament matemàtiques ja conegudes, els polinomis són útils en diversos camps de la ciència: telecomunicacions, biologia i medicina, realitzar pronòstics en economia i meteorologia, etc. Per eemple, en pediatria solen utilitzar-se fórmules en forma de fraccions algèbriques per a deduir la dosi de medicació que ha de prendre un menor, prenent com a referència la d un adult. Per a menors d entre i anys se sol utilitzar la fórmula de Young: y N y +, on N és la fracció resultant, és la dosi estàndard per a un adult i y és l edat del menor. Cerca a la ara algunes aplicacions concretes dels polinomis en els camps abans esmentats. SOCIETY El pare de la computació Charles Babbage (79-87) va ser un matemàtic britànic que és considerat el pare de la computació pel seu afany d inventar màquines de calcular. Entre elles destaca la màquina diferencial (8), la funció de la qual havia de ser la tabulació de polinomis usando usant el mètode numèric de les diferències. Tot i que la va començar a construir mai no va aconseguir acabar-la a causa de diverses dificultats tècniques; no obstant aiò, el 99 el Museu de Ciències de Londres en va construir una rèplica basant-se en el projecte de Babbage i utilitzant la tecnologia d aquella època. La màquina va funcionar sense cap problema... CRITICAL SENSE EL CÀLCUL DE L IPC El IPC (índe de preus de consum) indica la variació dels preus de diversos articles i serveis entre dos períodes de temps. A Espanya es calcula mitjançant la fórmula de Laspeyres, de la qual forma part un determinat polinomi amb coeficients percentuals. Formeu grups de tres components i distribuïu els rols i les tasques amb la finalitat d investigar què és l IPC. Busqueu informació en diferents fonts per esbrinar quin tipus d articles i serveis s utilitzen per a calcular l IPC a Espanya i d on s obtenen aquestes dades. Creus que és ajustada la distribució percentual d aquests articles i serveis si es té en compte l ús real que es fa de cadascun d ells? Feu un càlcul simplificat de l IPC al vostre barri o població. Per a aiò, definiu un cistell de consum tipus i en el supermercat més proper determineu l evolució setmanal del preu del vostre cistell durant un parell mesos. Compareu el resultat obtingut amb la variació real de l IPC en el matei període. Eposeu a classe el mètode que heu seguit i les vostres conclusions. 67