Guía de estudio Algunos aspectos de lógica matemática Unidad A: Clases 1 y 2

Transcripción

1 Guía de estudio Algunos aspectos de lógica matemática Unidad A: Clases 1 y 2 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Félix Ruiz de Villalba, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa *. 1. Lógica matemática La lógica es, en general, la ciencia que investiga, formula y establece los principios del razonamiento. La palabra proviene del término latino lógica, y éste del griego logikè, y significa desde un punto de vista etimológico ciencia del discurso o ciencia del pensamiento. Tal ciencia se dedica entonces al análisis de las afirmaciones que se establecen y de las que se deducen de sus asociaciones. En su sentido más moderno, la lógica no trata de encontrar la veracidad del contenido de una determinada afirmación, sino que se encarga de la coherencia de las afirmaciones, es decir, de la validez de las deducciones. La importancia de la lógica radica en que su desconocimiento limita e impide el dominio de cursos superiores en matemáticas, así como las aplicaciones de esta ciencia a otras ramas. Así pues su manejo se considera fundamental para un estudio riguroso del cálculo. 1.1 Los elementos de la lógica Proposición: Enunciado lingüístico que puede ser considerado como proposición lógica cuando es susceptible de ser verdadero o falso. Se divide en dos tipos: simple y compuesta. Proposición simple: Es una proposición de la forma más trivial (básica). Proposición compuesta: Es la interacción entre un conjunto de proposiciones simples. Términos de enlace (Conectores): Son aquellos símbolos o expresiones que se utilizan para entrelazar dos proposiciones lógicas. Dentro del conjunto de conectores se destacan: * Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: milosos@gmail.com. Félix Ruiz de Villalba. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: feruvi@yahoo.com. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: linamaria54@gmail.com. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: siro@economicas.udea.edu.co.

2 Conector Significado No No es cierto que O Y Si entonces Si y solo si Ejemplo 1 Veamos algunas proposiciones simples: p : es un número impar q : = 7 r : 5 es un número par Como se puede observar las proposiciones tienen un valor de verdad, es decir p y q son proposiciones verdaderas, mientras que r es una proposición falsa. Ahora observemos otro ejemplo: Cómo estás? en el caso de esta expresión, no es posible asignar un valor de verdad, es decir no se sabe si la expresión es falsa o verdadera. De manera que no se trata de una proposición. Pedro está enfermo o viejo. Esta expresión está formada implícitamente por dos proposiciones simples: Pedro está enfermo y la otra proposición, Pedro es viejo. Se trata de una proposición compuesta, donde su valor de verdad está determinado por completo por el valor de verdad de cada uno de las proposiciones simples, y por el modo como se les reúne para formar la proposición compuesta p q. 1.2 Lenguaje de la lógica Conjunción: Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra y a la proposición compuesta se le llama conjunción. Para la conjunción se utiliza el símbolo lógico, de esta manera se tiene la nueva proposición p q. Ahora, el valor de verdad para la conjunción de dos proposiciones cualquiera, p y q será de la siguiente manera: p q debe ser verdadera, si y solamente si, tanto p como q son verdaderas. De manera que, si al menos, una de las proposiciones simples es falsa, entonces, el valor de verdad para p q será falso. Disyunción: En matemáticas se emplea la letra o en el sentido inclusivo como el término y/o. En este sentido cuando dos proposiciones simples se 2

3 combinan mediante la letra o a la proposición compuesta la llaman disyunción. Así pues una proposición del tipo p ó q será verdadera cuando p ó q o ambas son verdaderas. De forma simbólica la disyunción se representará por la expresión p q. Negación: Si p es una proposición fundamental, de esta se puede formar otra proposición que se llama negación de p, escribiendo: es falso que antes de p o simplemente se inserta la palabra No en p. Simbólicamente la negación se representará por p o por p. Condicional: En matemáticas se suele utilizar muy frecuentemente la proposición Si p, entonces q. Tales proposiciones se llaman condicionales y se le denota por: p q. El condicional p q también se puede expresar de las siguientes maneras: p implica q p solamente si q p es suficiente para q q es necesario para p El valor de verdad para la condicional será siempre verdadero a menos que p sea verdadera y q sea falsa es decir, una proposición verdadera no puede implicar una falsa. Bicondicional: Otro tipo de proposición que se presenta con frecuencia es de la forma p si, y solamente si, q. A este conectivo lógico especial se le llamará bicondicional y se denotará por el símbolo, entonces p q es lo mismo que p q y q p o aplicando la definición de la conjunción sería p q q p. Los valores de verdad para la bicondicional serán: Si p y q son verdaderas entonces p q será verdadera. Si p y q tienen el mismo valor de verdad entonces p Si p y q tienen diferentes valores de verdad p q será verdadera. q será falsa. 1.3 Tablas de verdad Hasta ahora se han presentado un conjunto de proposiciones lógicas así como de conectores por medio de los cuales se originan proposiciones más complejas. El valor de verdad de una proposición compuesta suponemos que 3

4 se asigna de acuerdo con la extensión natural de las hipótesis anteriores. Dichas hipótesis se resumen y se generalizan por medio de lo que se llama una tabla de verdad. Tabla de verdad para las proposiciones más relevantes: p q p q p q p q p q V V V V V V V F V F F F F V V F V F F F F F V V Como se había mencionado anteriormente la disyunción es siempre verdadera a menos que las dos proposiciones sean falsas, la conjunción por su parte será siempre falsa a menos que las dos proposiciones sean verdaderas, la condicional será siempre verdadera excepto cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa y por último la bicondicional será verdadera si los valores de verdad son iguales. Ejemplo 2 Determinar una tabla de verdad para p q. p q p p q V V F V V F F F F V V V F F V V Ejemplo 3 Determinar una tabla de verdad para ( p q) r ( q p) En esta situación debe tenerse en cuenta que se utilizarán tres proposiciones: p, q, y r. Por esta razón la tabla de verdad deberá tener un mayor número de filas procedamos a la construcción de la tabla. La regla para el número de filas de una tabla de verdad es 2 n donde n es el número de proposiciones simples. 4

5 p q r p q ( ) p q r q q p ( p q) r ( q p) V V V V V F F F V V F V F F F V V F V V V V V V V F F V F V V V F V V V V F F F F V F V F F F V F F V F F V F V F F F F F V F V Recíproco, contrario y contrarecíproco A partir de p Directo: p q Recíproco: q p Contrario: p q Contrarecíproco q p q se obtienen otros condicionales usados en matemáticas Ejemplo 4. Dada la proposición directa: Si te manejas bien te llevo al parque se obtiene: Recíproco: Te llevo al parque si te manejaste bien Contrario: Si no te manejas bien entonces no te llevo al parque Contrarecíproco: Si no te llevo al parque entonces te manejaste mal. 1.4 Tautologías Las tautologías son un caso especial de proposiciones, las cuales se caracterizan por tener solo el valor de verdad V en la última columna de sus tablas de verdad, independientemente del valor de las demás proposiciones. Ejemplo 5 Determinar una tabla de verdad para p p p p p p V F V F V V 5

6 Se observa que el valor de verdad de esta proposición p p es V, independientemente del valor de p. Por tanto se trata de una tautología. A dicha tautología se le llama ley del tercero excluido. Ejemplo 6 Construir una tabla de verdad para la proposición: ( p q) ( q r) ( p r) p q r p q q r ( p q) ( q r) p r ( p q) ( q r) ( p r) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V A esta proposición se le conoce con el nombre de La ley del silogismo, la cual es un principio fundamental del razonamiento lógico además de ser una tautología. 1.5 Contradicción La contradicción en una proposición compuesta que se caracteriza por solo tener el valor de verdad F en la última columna de sus tablas de verdad, independiente del valor que tomen las demás proposiciones. Ejemplo 7 Determinar una tabla de verdad para p p : p p p p V F F F V F De acuerdo con la tabla los valores de la última son falsos, es decir, efectivamente tenemos una contradicción. Ejemplo 8 Determinar la tabla de verdad para ( p q) ( p q) 6

7 p q p q p p q ( p q) ( p q) ( p q) V V V F V F F V F F F F V F F V V V V F F F F V V V F F 1.6 Indeterminación o contingencia Esta se presenta cuando en una tabla de verdad las respuestas son tanto falsas como verdaderas. Ejemplo 9 La tabla de verdad para ( p q) p es: p q p q ( ) p q p V V V V V F F V F V F V F F V F Equivalencia lógica Sea un conjunto de proposiciones lógicas P ( p, q, r,...) y (,,,...) son lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. Q p q r se dirá que Ejemplo 10 Analizar las tablas de verdad para ambas proposiciones y determinar si existe equivalencia lógica ( p q) ( q p) y p q. Inicialmente se realiza la tabla de verdad para ( p q) ( q p) que es: p q p q q p ( p q) ( q p) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V 7

8 La tabla de verdad para p q es: p q p q V V V V F F F V F F F V Efectivamente las tablas de verdad son iguales lo que implica la equivalencia lógica entre las dos expresiones. 1.7 Leyes de la lógica A continuación se presentan un conjunto de leyes de la lógica que pueden considerarse como tautologías: 1. Idempotencia: 8 a. ( p p) p b. ( p p) p 2. Identidad: a. ( p V ) V b. ( ) p F p c. ( p V ) p d. ( ) 3. Conmutativas: a. ( p q) ( q p) b. ( p q) ( q p) 4. Asociativas: p F F a. ( p q) r p ( q r) ( p r) q b. ( p q) r p ( q r) ( p r) q 5. Distributivas: a. p ( q r) ( p q) ( p r) b. p ( q r) ( p q) ( p r) 6. Ley de la doble negación ( p) p 7. Ley del tercero excluido: ( p p) V 8. Ley de contradicción: ( p p) F

9 9. Leyes de Morgan: a. ( p q) ( p q) b. ( p q) ( p q) 10. Definición alterna del condicional: ( p q) ( p q) 11. Ley de la absorción: p p q p a. ( ) p p q p b. ( ) 12. Definición alterna del bicondicional ( p q) ( p q) ( q p) Ejemplo 11 Aplicando las leyes lógicas demuestre la ley del modus tollendo tollens [( p q) q] p [( ) ] [( ) ( )] [( p q) F] p [( p q) ] p p q q p Def. alterna cond. (ley 10) p q q q p Distributiva (ley 5) Contradicción (ley 8) Identidad (ley 2) ( p q) p Def. alterna cond. (ley 10) [ ( ) ( )] p q p Morgan (ley 9) ( p q) p Doble negación (ley 6) p ( p q) Conmutativa (ley 3) ( p p) q Asociativa (ley 4) V q Tercer excluido (ley 7) V Identidad (ley 2) 1.8 Cuantificadores Cuando en el lenguaje ordinario utilizamos: ningún, todos, algunos, cada, existe al menos, estamos hablando de proposiciones cuantificadas. Los cuantificadores se reducen a cuatro tipos: 9

10 Cuantificador Se simboliza Todo A es B ( x ) A ( x ) B ( x ) ( ) ( x ) A( x) B( x) ( ) Todo A es no B (Ningún A es B) Algún A es B ( x) A( x) B ( x) ( ) Algún A es no B ( x) ( A( x) B( x) ) Negación de cuantificadores ( x) ( P( x) ) ( x) ( P ( x) ) ( x) ( P ( x) ) ( x) ( P ( x) ) Ejemplo 12 Niega los siguientes cuantificadores: a) Todos los futbolistas son millonarios b) Algunos políticos son corruptos c) Todos los estudiantes ganaron la materia d) Todo numero es par o primo e) ( x) A( x < 5) f) ( x) A( x 5) 2 g) ( x) A( x > 2 x 3) h) ( x) A( x > 1 x = 2) Respuestas: a) Algunos futbolistas no son millonarios b) Todos los políticos no son corruptos c) Algunos estudiantes perdieron la materia d) hay números que son impares y no primos. e) ( x) A( x 5) f) ( x) A( x > 5) 2 g) ( x) A( x 2 x = 3) h) ( x) A( x 1 x 2) > (Se debe aplicar la ley alterna del condicional y ley de Morgarn). 10

11 Referencias Uribe Calad, Julio A. Matemáticas básicas y operativas. Susaeta. Primera edición Sobel, Max A. y Lerner, Norbert. Precálculo. Pearson. Sexta edición México. ISBN Páginas