TEMA 6º : PROPORCIONALIDAD

Transcripción

1 TEMA 6º : PROPORCIONALIDAD F- 1.- Completa las siguientes tablas de proporcionalidad, averiguando previamente el tipo de relación: a) b) c) F- 2.- Completa las siguientes tablas de proporcionalidad, averiguando previamente el tipo de relación: a) b) c) REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Es un método para resolver problemas de proporcionalidad, cuyo enunciado relaciona magnitudes que son inversamente proporcionales. El proceso es similar al anterior cambiando en un aspecto, el invertir una de las fracciones que se forman con los datos. Los pasos a seguir para resolver los problemas por este método son: I.- Leer el enunciado y encontrar las magnitudes que aparecen, además tenemos que encontrar la relación entre las mismas. Ejemplo: Si cinco obreros tardan 6 horas en construir una tapia. Cuánto tardarán 2 obreros? Si leemos el enunciado encontramos dos magnitudes: número de obreros y otra que es el número de horas que tardan. Sabemos que la relación entre las mismas es inversa ya que si aumenta el número obreros al doble, el número de horas disminuye a la mitad. A la hora de resolver el problema escribimos el nombre de las mismas y en medio una I, significando que la relación entre las misma es inversa: Número de obreros I Número de horas

2 II.- Escribimos los datos debajo de la magnitud que corresponda y la incógnita x. En el ejemplo buscamos los datos en el enunciado: 5 obreros tardan 6 horas, 2 tardarán x. Lo escribiremos de la siguiente manera: Número de obreros I Número de horas x III.- Con los tres datos conocidos y la incógnita formamos una proporción (invirtiendo una de las razones) y calculamos el valor de la incógnita. En el ejemplo formaríamos las razones 5/2 y 6/x, pero para unirlas debemos de invertir ( dar la vuelta) a una de ellas, da igual la elegida. En este ejemplo invertimos la razón 6/x y obtenemos x/6.quedaría: Para calcular la incógnita se multiplica en cruz 5 por 6 y se divide entre 2 x= IV.- Escribir la solución. En la solución se responde a la pregunta que nos formula el problema. En el ejemplo: Solución : 2 obreros tardarán 15 horas. Todo el proceso junto del problema resuelto quedaría como sigue: Si cinco obreros tardan 6 horas en construir una tapia. Cuánto tardarán 2 obreros? Número de obreros I Número de horas x x= Solución : 2 obreros tardarán 15 horas. F- 3.- Una furgoneta, que marcha a una velocidad de 100 km/h, tarda 5 horas en ir de la ciudad A a la ciudad B. Cuánto tardará un camión que va a una velocidad de 50 km/h? F-4.- Un surtidor que tiene un caudal de 3 litros por minuto tarda 10 minutos en llenar cierto depósito. Cuánto tardaría en llenar el mismo depósito si el caudal fuera de 12 l/min? F-5.- Un taxi que va a 100 km/h necesita 20 minutos para cubrir la distancia entre dos pueblos. Cuánto tardaría si fuera a 80 km/h? F-6.- Un camión, a una media de 70 km/h, ha tardado tres cuartos de hora en ir de la ciudad A hasta la ciudad B. Cuál ha sido la velocidad media de un coche que ha invertido 35 minutos en el mismo recorrido? F-7.- En un concurso televisivo, cada participante recibe una cantidad de dinero inversamente proporcional al número de fallos cometidos. Un concursante que cometió cinco fallos se llevó Cuánto se llevará uno que solamente haya cometido dos fallos? F-8.- Tres obreros descargan un camión en dos horas. Cuánto tardarán dos obreros?

3 PORCENTAJES Porcentaje o tanto por ciento es una expresión matemática por la que una cantidad se divide en grupos de 100 y de cada uno de los grupos, se tomará el tanto indicado. Se expresa con el símbolo % (por ciento). Ejemplo: 20% se lee 20 por ciento y significa que por cada grupo de 100 en el que dividamos la cantidad, debemos de tomar 20. Para calcular el tanto por ciento de una cantidad lo podemos realizar por los siguientes métodos: a) Método mental: se utiliza con cantidades sencillas, con las que podamos realizar fácilmente los grupos de 100 y multiplicar por el número de grupos que obtengamos. Ejemplo: 20% de % es el tanto por ciento y nos indica que por cada grupo de 100 debemos de tomar % de 300 = es la cantidad a dividir en grupos de 100, podemos observar que en 300 hay 3 grupos de 100. Por tanto, 3 grupos por 20 que debo tomar de cada grupo, el resultado es 60. b) Método de la fracción: todo tanto por ciento se puede convertir en fracción cuyo numerador es el tanto y el denominador es 100. Así 25% 25/100. El método consiste en convertir el porcentaje en fracción y hallar después la fracción de la cantidad. Ejemplo: 30% de 240 = 30/100 de 240 = (240 : 100) 30 = 72 ( Recuerda que para hallar la fracción de un número se divide por el denominador y se multiplica por el numerador) c) Método decimal: igual que el porcentaje se transforma en fracción, podemos convertirlo en decimal si dividimos el numerador por el denominador. Así, 25% 25/100 0,25. El método consiste en multiplicar la cantidad por el decimal que le corresponda al tanto por ciento. Ejemplo: 15% de 80 El decimal que le corresponde es 15 % = 15/100 0,15 15% de 80 = 0,15 80 = 12 d) Método de la proporción: se utiliza en la resolución de problemas. Consiste en escribir las magnitudes con los datos que nos proporciona el problema y formar una pareja de fracciones equivalente que reciben el nombre de proporción. Tendremos en cuenta que del porcentaje obtenemos dos datos, así de 18% obtenemos los datos 100 y 18 ( de cada 100 tomo 18). Además los problemas siempre serán de proporcionalidad directa. Ejemplo: Pedro tiene un paquete con 30 caramelos y se ha comido el 20 %. Cuántos caramelos se ha comido? Caramelos totales del paquete Caramelos comidos X Solución: se ha comido 6 caramelos. F-9.- Calcula por el método mental: a) 10% de 200 b) 20% de 400 c) 15% de 300 d) 12% de 600 e) 12% de 50 f ) 50% de 700 g) 16% de 150 h) 15% de 1000 F-10.- Calcula los porcentajes por el método de la fracción: a) 20% de 100 b) 15% de 200 c) 25% de 50 d) 40% de 250 e) 30% de 500 f ) 16% de g) 50% de 800 h) 25% de 40 F-11.- Calcula por el método decimal: a) 12% de 25 b) 15% de 90 c) 80% de 560 d) 3% de 2 40 e) 48% de 750 f ) 6,5% de 80

4 F-12.- En una población de habitantes, el 40% viven de la agricultura Cuántos viven de la agricultura? F-13.- En una clase de 30 alumnos, el 60% son chicos y el 40%, chicas. Cuántos chicos y cuántas chicas hay en la clase? CÁLCULO DEL TOTAL Nos dan como datos el tanto por ciento( %) y la parte. Nosotros debemos de calcular el total. Ejemplo: En una clase el 40 % de los alumnos son morenos. Si en la clase hay 12 alumnos morenos, cuántos alumnos totales hay en la clase? PRIMER MÉTODO: ALUMNOS PORCENTAJE (%) x 100 Solución: Hay 30 alumnos en total. SEGUNDO MÉTODO: 40% de x = 12 0,40 x = 12 x = alumnos totales. F-14.- Calcula: F-15.- En un congreso de cardiólogos el 15% son españoles. Sabiendo que hay 36 médicos españoles, cuántos son los asistentes totales al congreso? F-16.- Me he gastado 30 en un libro, lo que supone un 15% del dinero que tenía ahorrado. Cuánto dinero tenía ahorrado? CÁLCULO DEL TANTO POR CIENTO O PORCENTAJE Nos dan como datos el total y la parte. Nosotros debemos calcular el tanto por ciento. Ejemplo: Un hotel dispone de 400 camas, de las que 280 están ocupadas. Cuál es el porcentaje de ocupación del hotel? PRIMER MÉTODO CAMAS PORCENTAJE (%) Solución:70% 280 x SEGUNDO MÉTODO x % de 400 = 280 x = Solución:70% F-17.- Calcula el porcentaje: a) x % de 360 = 90 b) x % de 20 = 2 c) x% de 240 = 36 F-18.- En una familia que tiene unos ingresos mensuales de 2 400, se gastan 300 en ocio. Qué porcentaje de los ingresos se dedica al ocio? F-19.- En una población de 8000 habitantes hay 3840 hombres. Qué porcentajes de hombres hay en dicha población?

5 AUMENTO PORCENTUAL En este tipo de problemas se aumenta un x% la cantidad dada, por tanto tendremos como porcentaje final 100% + x%. Ejemplo: El precio de un juguete, que costaba 400 ha subido un 20%. Cuál es el precio actual? Si aumentamos el 20%, se paga 100% + 20% = 120% PRIMER MÉTODO PRECIO ( ) PORCENTAJE(%) Solución:480 x 120 SEGUNDO MÉTODO 120 % de 400 = 1, = 480 Solución: 480 F-20.- La paga mensual de Andrea es de 25 y le han prometido un aumento del 20% para el próximo mes. Cuál será su nueva asignación mensual? F-21.- El precio de una reparación es de 120. A cuánto ascenderá la factura si se añade el 16% de IVA? F-22.- Yo recibía hasta ahora 6 semanales, pero me han subido la asignación a 7,5. Cuál ha sido el porcentaje aumentado? F-23.- He pagado 0,44 por una barra de pan, lo que supone un aumento del 10% sobre el precio que tenía ayer. Cuánto costaba la barra ayer? DISMINUCIÓN PORCENTUAL En este tipo de problemas de disminuye un x% la cantidad dada, por tanto tendremos como porcentaje final 100% - x %. Ejemplo: Una bicicleta costaba 800, pero me hacen una rebaja del 15%. Cuánto debo pagar por la bicicleta? Si disminuimos el 15 %, se paga 100% - 15% = 85 % PRIMER MÉTODO PRECIO ( ) PORCENTAJE(%) Solución:680 x 85 SEGUNDO MÉTODO 85 % de 800 = 0, = 680 Solución: 680 F-24.- He ido a comprar un balón que costaba 45, pero me han hecho una rebaja del 12%. Cuánto he pagado por el balón? F-25.- Sara ha comprado un jersey que costaba 35, pero le han hecho una rebaja del 15%. Cuánto ha pagado? F-26.- Roberto ha pagado 29,75 por unos pantalones que estaban rebajados un 15%. Cuánto costaban los pantalones sin rebajar? F-27.- Adelaida ha pagado 29,75 por una blusa que costaba 35. Qué tanto por ciento le han rebajado? F-28.- Una camisa cuesta 30. Cuánto pagaremos si nos hacen una rebaja del 15%? F-29.- El 8% de las ovejas de un rebaño son negras. Cuántas ovejas hay en total si las negras son 22? F-30.- Actualmente me dan 15 mensuales de paga, pero he convencido a mis padres para que me suban el 15%. Cuál será mi paga a partir de ahora? F-31.- Una CD de música cuesta 11,35. Cuánto pagaré si me hacen una rebaja del 40%. F-32.- En una granja, el 15% de los animales son vacas. Sabiendo que hay 30 vacas, cuál es el número total de animales?

6 F-33.- Ayer la barra de pan subió un 10%. Si ahora cuesta 55 céntimos, cuál era el precio anterior? F-34.- Un jersey, rebajado en un 20%, me ha costado 40. Cuánto costaba antes de la rebaja? F-35.- Un jersey costaba 50 y he pagado 40. Qué porcentaje me han rebajado? F-36.- En una ciudad de dos millones de habitantes, el 82% son europeos; el 9%, africanos; el 6%, asiáticos, y el resto, americanos. Cuál es el porcentaje de americanos? Cuántos hay en cada grupo? F-37.- El 16% de los alumnos de un colegio estuvieron enfermos de gripe durante el invierno pasado. Si fueron 144 los alumnos enfermos de gripe, cuál es el número total de alumnos del colegio? F-38.- Un CD cuesta rebajado 8, si el descuento ha sido del 25%, cuál era su precio antes del descuento? F-39.- Completa las siguientes tablas de valores proporcionales indicando previamente cuáles son de proporcionalidad directa y cuáles de proporcionalidad inversa: F-40.- Indica como son las siguientes parejas de magnitudes: a) Nº de bolsas de leche y su valor en euros. b) Edad de una persona y su estatura. c) Velocidad de un coche y el espacio recorrido d) Nº de obreros de una fábrica y nº de coches fabricados e) Edad de una persona y su peso f) Días trabajados y dinero cobrado g) Carbón que se echa cada día y lo que dura el carbón que tenemos h) Velocidad que llevo y tiempo que tardo en recorrer una distancia i) Páginas de un libro y tiempo que tardo en leerlo j) Peso de una vaca y le leche que da F-41.- Señala si son directas o inversas las magnitudes siguientes: a) Número de peldaños de una escalera de una altura fija y la separación de los mismos. b) Número de melocotones que entran en 1 kg y su tamaño. c) Número de coches fabricados en un día y número de ruedas utilizadas. d) Cantidad de pasteles comidos en una hora y velocidad al comerlos. e) Peso total de las personas que pueden subir en un ascensor y el número total de personas que pueden montar en él. f) Superficie de una baldosa y número que necesitamos para cubrir el suelo de una habitación. g) Número de horas que está encendida una bombilla y el gasto que ocasiona. h) El número de caramelos que nos toca en un reparto y el número de personas entre las que se reparten, siendo las cantidad constante.

7 F-42.- Señala si las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales: a) Número de niños que asisten a una fiesta de cumpleaños y el tamaño del trozo de tarta que le corresponde a cada uno. b) Distancia recorrida por un tren y el número de horas que está circulando. c) Número de obreros que realiza una tala de árboles y los días que dura dicha tala. d) Número de personas a las que atiende un médico durante una hora y el tiempo que dedica a cada paciente. e) Número de kilómetros que separa 2 ciudades y el costo del billete de autobús. f) Cantidad de kilos de uva recogida y el número de obreros que están vendimiando. g) Número de litros de agua caídos en un día de lluvia y el tiempo que está lloviendo, siendo constante la cantidad por minuto. h) Vueltas que da un ciclista a una pista circular y el radio de la misma, manteniendo constantes tanto el tiempo como la velocidad. i) Número de filetes iguales que entran en un kilogramo y el tamaño de cada filete. F-43.- Escribe si son magnitudes directa o inversamente proporcionales: a) El espacio recorrido por un tren y el tiempo empleado en recorrerlo. b) El nº de litros de gasolina y el precio total pagado. c) La altura de una torre y la sombra que proyecta. d) El número de pisos y la altura de un edificio. e) Cantidad de agua que arroja un grifo y tiempo en llenar un depósito F-44.- Averigua si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales o no: a) El número de botellas fabricadas por una máquina y el número de horas. b) El sueldo de un profesor y el número de alumnos a los que da clase. c) El número de Euros y la cantidad de Yenes al realizar el cambio. d) El precio de un automóvil y el número de caballos que tiene de potencia. e) El precio de la gasolina y el número de litros. f) El número de habitantes de un país y su extensión en kilómetros cuadrados. F Señala cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales y cuáles inversamente proporcionales. a) El número de entradas del cine y el precio. b) Días de construcción de una casa y número de albañiles. c) Cantidad de leche y número de botellas para llenar. d) Número de pasteles y número de niños para comérselos.