Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Autovalores y autovectores.

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1 Tema 5 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Autovalores y autovectores 5 Introducción Una matriz es una disposición ordenada de elementos de la forma: a a a m a a a m a n a n a nm Sus filas son las líneas horizontales y sus columnas las líneas verticales En el ejemplo anterior, observamos que las matriz tiene n filas y m columnas Tipos de matrices: matriz fila: es aquella que sólo tiene una fila matriz columna: es aquella que sólo tiene una columna matriz traspuesta: es la que resulta de intercambiar filas y columnas matriz cuadrada: es la que posee el mismo número de filas que de columnas matriz identidad, Id: es aquella matriz cuadrada cuyos elementos son el número en la diagonal y en el resto matriz diagonal: es aquella matriz cuadrada cuyos elementos extradiagonales son matriz triangular superior: es aquella cuyo elementos subdiagonales son matriz triangular inferior: es aquella cuyo elementos supradiagonales son matriz nula o cero: es aquella con todos los elementos nulos matriz simétrica: es aquella matriz cuadrada que es igual a su traspuesta Es decir, una matriz A que verifica la igualdad A t = A

2 matriz antisimétrica: es aquella matriz cuadrada que es igual a la inversa de su traspuesta Es decir, una matriz A que verifica la igualdad A t = A Otros aspectos importantes son: rango de una matriz A: Se llama menor de orden r de A al determinante de la matriz formada por la intersección de r filas y r columnas (cualesquiera) de A El rango de A es r si existe un menor no nulo de orden r y todos los menores de orden r + son nulos En este curso, haremos el cálculo del rango de una matriz usando el Método de Gauss inversa de una matriz A, A : Una matriz se dice invertible si det(a) En tal caso, existe su inversa, que llamaremos A y que verifica que: A A = Id y A A = Id 5 Operaciones básicas con matrices A continuación, definiremos las principales operaciones con matrices: suma/resta de dos matrices A y B: La suma/resta de una matriz A = (a ij ) i,j n con una matriz B = (b ij ) i,j n es una matriz C = (c ij ) i,j n cuyos elementos son: C = (c ij ) i,j n = (a ij ± b ij ) i,j n producto de una matriz A por un número real α: El producto de una matriz A = (a ij ) i,j n por un número real α es una matriz D = (d ij ) i,j n cuyos elementos son: D = (d ij ) i,j n = α A = (α a ij ) i,j n producto de dos matrices A y B: El producto de una matriz A = (a ij ) i,j n con una matriz B = (b ij ) i,j n es una matriz E = (e ij ) i,j n cuyos elementos son: E = (e ij ) i,j n, donde cada e ij = n (a ik b kj ) potencia de una matriz cuadrada A: La potencia m de una matriz cuadrada A = (a ij ) i,j n es una matriz cuyos elementos son el resultado de multiplicar la matriz A m veces por sí misma En el caso en que la matriz A sea diagonalizable, dicha operación se puede simplificar (ver Sección 57) k= Ejemplo 5 Dadas las matrices A = 3 5 y B =, calculamos: Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 3/4

3 A + B = AB = A = 3A + B = , A B =, BA = , B = Cálculo de determinantes El determinante de una matriz A, det(a) = A, es un operación que tiene sentido realizar si la matriz A es cuadrada El determinante para una matriz A de orden dos es igual a: A = a a a a = a a a a Recordemos de Bachillerato que el determinante de una matriz A de orden tres es igual a: a a a 3 A = a a a 3 a 3 a 3 a 33 = a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a a 3 a 3 a a a 33 a 3 a a 3 El cálculo del determinante de una matriz A de orden superior a tres es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera multiplicados por sus adjuntos correspondientes Tengamos en cuenta que: El adjunto del elemento a ij de una matriz A se designa por A ij y es el determinante de la matriz complementaria M ij precedido del signo + o según la suma de los subíndices i + j sea par (+) o impar ( ) Es decir, A ij = ( ) i+j M ij La matriz complementaria M ij del elemento a ij es la matriz que se obtiene al eliminar de la matriz A la fila i y la columna j Por tanto, el determinante de una matriz A de orden n viene dado, por ejemplo, por la expresión: det(a) = A = a A + a A + + a n A n Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 3 Curso 3/4

4 Ejemplo 53 Para una matriz de orden 4, det(a) = a A + a A + a 3 A 3 + a 4 A 4 Ejemplo 53 Calculamos los siguientes determinantes: 3 4 = 4 3 = = = 87 3 = = ( ) + 5 ( ) = 9 También se puede realizar el cálculo del determinante de una matriz habiendo aplicado antes el método de Gauss a dicha matriz Ver Sección 55 Ejemplo 533 En la asignatura Instrumentos Ópticos, obligatoria en el primer cuatrimestre de o curso del Grado en Óptica y Optometría, se usarán matrices a las que habrá que calcularles (entre otras cosas) su determinante e inversa Algunas de dichas matrices son: Matrix de transferencia del dioptrio con respecto al vértice V : donde f = M V V = V n n f ( n n ) R, n, n son los índices de refracción de dos medios separados por una superficie esférica de radio R (radio de curvatura del dioptrio) centrada en un punto C y con vértice en el punto V Observemos que: det(m V V ) = n n y M V V = V, n n n n Matrix de transferencia del sistema respecto a los orígenes en O en el espacio objeto y O en el espacio imagen: M O O = γ f, β donde γ es el aumento angular, β el aumento lateral, y γ β = n n Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 4 Curso 3/4 O O f

5 Matriz de traslación de A a C, estando ambos puntos a distancia d: T CA = T (A C; d) = C ( ) d A Observemos que: det(t CA ) = y T CA = ( d ) 54 Matrices inversas La matriz inversa de una matriz A, A se puede calcular de la forma: A = A (Adj(A))t donde Adj(A) es la matriz adjunta de A, que se obtiene al sustituir cada elemento a ij por su adjunto correspondiente A ij Ejemplo 54 Calculamos las inversas de las siguientes matrices: ( ) 3 = ( ) t ( ) 3 = = 6 = 6 3 t = 3 t 4 = 55 Sistemas lineales Método de Gauss La necesidad de resolver sistemas lineales surge en muchas aplicaciones: determinación de tensiones en los nudos de una red de corriente continua, cálculo de estructuras reticuladas definidas por vigas, Un sistema lineal de ecuaciones se puede escribir de la forma: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 5 Curso 3/4

6 y se puede resolver de varias formas Nosotros optaremos por su resolución una vez escribamos el sistema en forma matricial: a a a n x b a a a n x = b a m a m a mn x n b m En consecuencia, nos plantearemos resolver un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas: A u = b donde A es una matriz m n del sistema de ecuaciones (A R m R n ), b es el vector de términos independientes m ( b R m ) y u es el vector de incógnitas n que buscamos ( u R n ) Recordemos que en Bachillerato hemos estudiado la clasificación de los sistemas de ecuaciones según sean resolubles o no: Sistema Compatible Determinado (SCD) Sistema Compatible Indeterminado (SDI) Sistema Incompatible (SI) Dicha clasificación se puede hacer atendiendo al: Teorema de Rouché Frobenius: El sistema de ecuaciones de matriz A y término independiente b tiene solución si y sólo si rg(a) = rg(a b) En consecuencia, Si rg(a) < rg(a b), entonces el sistema es incompatible Si rg(a) = rg(a b) = dim(a), entonces el sistema es compatible determinado (posee una única solución) Si rg(a) = rg(a b) < dim(a), entonces el sistema es compatible indeterminado (posee infinitas soluciones) Respecto a su resolución, podemos recordar la Regla de Cramer que es válida tanto para sistemas compatibles determinados como para sistemas compatibles indeterminados Pero no será este el método que usaremos En este curso, pretendemos describir un método directo de resolución de sistemas de ecuaciones escritos en forma matricial, llamado Método de Gauss Dicho método permite además clasificar el sistema según tenga o no solución Consiste en la transformación de una matriz ampliada del sistema (A b) en otra matriz triangular superior realizando una serie de operaciones que describiremos a continuación Una vez obtenida la nueva matriz, el sistema se resuelve mediante un algoritmo de subida El objetivo de este método es encontrar un método de resolución de matrices cualesquiera poco costoso desde el punto de vista computacional (que realice pocas operaciones algebraicas) Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 6 Curso 3/4

7 55 Método de Gauss El método de Gauss data de 88 Aunque ya había sido utilizado con anterioridad, fue Gauss ( ) quien lo sistematizó por primera vez El método de Gauss es un método general de resolución de un sistema lineal de la forma A u = b donde A es una matriz cualquiera Se compone de dos etapas: procedimiento de eliminación, que equivale a determinar una matriz invertible M tal que la matriz M(A b) sea una matriz triangular superior, resolución del sistema lineal MA u = M b, por el algoritmo de subida Describimos brevemente la primera etapa: a) Etapa de eliminación: ) Al menos uno de los elementos de la primera columna de A, a i, i n es diferente de cero (ó det(a) =), que llamaremos el primer pivote de la eliminación ) Intercambiamos la fila donde está el pivote con la primera fila, lo que equivale a multiplicar a izquierda por una matriz de trasposición del tipo: T (i, i ) = } i } i i i }{{} }{{} con det(t (i, i )) = Tomamos entonces P dada por la matriz: I si a P = T (, i) si a i, i es el pivote, det(p ) = y P A = (α i j ) tal que α Hacemos combinaciones lineales adecuadas de la primera fila de P A con las otras filas de P A, de forma que se anulan todos los elementos de la primera columna situados debajo de la diagonal Es decir, multiplicamos E k (P A), donde E k = α k+ k det(e k ) = α k k α n k α k k En la práctica, la matriz de paso M no se calcula explícitamente, sino que se obtienen directamente M A y M b Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 7 Curso 3/4

8 Nota 55 La matriz M verifica si Λ es par det(m) = si Λ es impar siendo Λ el número de matrices de permutación P distintas de la identidad A u = b M A u = M b Todo ello, nos permitirá probar el siguiente resultado teórico: Teorema: Sea A R m n M m n (invertible o no) Se verifica que existe (al menos) una matriz invertible M R m m tal que la matriz M A es triangular superior (o inferior) Es interesante comparar el número de operaciones totales realizadas al aplicar el método de Gauss, las que llevan la matriz A a una matriz triangular junto con las realizadas por el método de subida, con las que se realizarían al aplicar la Regla de Cramer, para mostrar la gran diferencia de cálculos cuando el tamaño de la matriz aumenta Nota 55 En el caso de que A sea una matriz cuadrada y det(a), entonces det(ma) = ±det(a) Esto se puede usar para calcular el determinante de A sin usar las fórmulas anteriores Algoritmo de subida El algoritmo de subida se aplica una vez que el sistema A u = b se ha transformado en (MA) u = M b donde MA es ahora una matriz triangular superior Si escribiremos el sistema triangular superior como à u = b: ã ã ã 3 ã m ã n ã ã 3 ã m ã n ã 33 ã 3m ã 3n ã mm ã mn Por tanto, el sistema de ecuaciones asociado es: x x x 3 x n b b = b3 bm ã x + ã x + ã 3 x ã m x m + + ã n x n = b ã x + ã 3 x ã m x m + + ã n x n = b ã 33 x ã 3m x m + + ã 3n x n = b 3 ã mm x m + + ã mn x n = b m Observemos que para que el sistema tenga solución m n, es decir, el número de ecuaciones es menor o igual que el número de incógnitas Si m = n, entonces el sistema se resuelve despejando x n en la última ecuación, sustituyéndolo en la penúltima para calcular x n y así sucesivamente hasta llegar a despejar x en la primera ecuación De ahí el nombre de algoritmo de subida Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 8 Curso 3/4

9 Si m < n, entonces se considera que hay n m parámetros (por ejemplo x m+ = λ, x m+ = λ,, x n = λ n m ) y se opera como en el caso anterior para las m primeras incógnitas (x, x,, x m ) Ejemplo 553 Resuelve por el método de Gauss el sistema x + y + 3z = x + y + z = 6 3x + y + z = 8 Sol: La reducción de la matriz ampliada por el método de Gauss es la siguiente: F F 3 8 F F 3 8 F 3 3F F 3 F 6 4 El sistema equivalente que tenemos que resolver es: x + y + z = 6 y + z = 4z = ( Se trata por tanto de un Sistema Compatible Determinado, cuya solución es (x, y, z) =, 5, 5 ) Ejemplo 554 Resuelve por el método de Gauss el sistema x + y z = x + y + z = 3x y z = Sol: La reducción de la matriz ampliada por el método de Gauss es la siguiente: F F 3 F + F 5 3 F 3 + 3F 5 Como las dos últimas filas son iguales, el sistema equivalente que tenemos que resolver es: { x + y + z = 5y + z = Se trata por tanto de ( un Sistema Compatible Indeterminado Si consideramos z = λ, su 3λ + solución es (x, y, z) =, λ ), λ 5 5 Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 9 Curso 3/4

10 Ejemplo 555 Resuelve por el método de Gauss el sistema x + y + z = x + y z = x + y = Sol: La reducción de la matriz ampliada por el método de Gauss es la siguiente: F F F 3 F El sistema equivalente que tenemos que resolver es: x + y + z = z = z = Se trata por tanto de un Sistema Incompatible 56 Autovalores y autovectores de una matriz cuadrada Dada una matriz cuadrada A de dimensión n, se llama autovalor de A a un escalar λ tal que verifica para un vector v el sistema: A v = λ v Dicho vector v se llama autovector de A asociado al autovalor λ Cálculo de los autovalores: Si conocemos el valor del autovalor de A, λ, su autovector asociado v verifica que: A v = λ v A v λ v = (A λ Id) v = Por tanto, para que el sistema anterior tenga solución v, es necesario que: ã λ ã ã n ã a λ a n det(a λ Id) =, con A λ Id = a n a n a nn λ Observemos que det(a λ Id) es un polinomio en λ, de orden n, que se llama polinomio característico de A Las soluciones de dicho polinomio, es decir, los valores de λ, son los autovalores de A Ejemplo 56 Cálculo de los autovalores de la matriz A = 3 Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 3/4

11 El polinomio característico viene dado por: 3 λ A λ Id = λ = (3 λ)( λ)( λ) = λ Como los autovalores de A son las soluciones del polinomio característico, estos son: λ = 3, λ =, λ 3 = Cálculo de los autovectores: Para cada autovalor λ i de A se verifica que (A λ i Id) v i = Por tanto, para calcular el autovector v i asociado al autovalor λ i se resuelve el sistema homogéneo: (A λ i Id) v i = Observemos que se trata de un sistema compatible indeterminado, ya que det(a λ i Id) = Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones, pero todas ellas serán proporcionales entre sí Elegiremos entonces sólo los elementos que sean solución del sistema det(a λ i Id) = que sean linealmente independientes Ejemplo 56 Cálculo de los autovectores de la matriz A = 3 Procedemos a calcular los autovectores asociados a cada uno de los autovalores calculados en el Ejemplo 56: autovector asociado al autovalor λ = 3: Para ello, resolvemos el sistema: x (A 3 Id) v = x =, x 3 que es equivalente a: { x x + x 3 = x 3 = { x = x x 3 = v = autovector asociado al autovalor λ = : Para ello, resolvemos el sistema: x (A Id) v = x =, x 3 que es equivalente a: x = x + x 3 = x 3 = {x = x 3 = v = Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 3/4

12 autovector asociado al autovalor λ 3 = : Para ello, resolvemos el sistema: x (A Id) v = x =, x 3 que es equivalente a: { x = x x + x 3 = {x = x 3 = v 3 = Ejemplo 563 Cálculo de los autovalores y autovectores de la matriz A = El polinomio característico viene dado por: λ A λ Id = 3 λ λ = λ3 λ + 5λ 3 = 3 Como los autovalores de A son las soluciones del polinomio característico, estos son: λ =, λ =, λ 3 = 3 Esto implica que el autovalor λ = es un autovalor doble Calculemos ahora los autovectores de A: autovectores asociados al autovalor λ = : Para ello, resolvemos el sistema: x (A Id) v = 4 x =, x 3 que es equivalente a: x x + x 3 = x 4x + x 3 = x + x x 3 = { x x + x 3 = Observemos que en este caso tenemos dos autovectores asociados: v =, v = autovector asociado al autovalor λ = 3: Para ello, resolvemos el sistema: 5 x (A Id) v = x =, 3 x 3 Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 3/4

13 que es equivalente a: 5x x + x 3 = x + x 3 = x + x + 3x 3 = { x + x 3 = x + x + 3x 3 = Observemos que en este caso tenemos dos autovectores asociados: v 3 = Ejemplo 564 Cálculo de los autovalores y autovectores de la matriz A = El polinomio característico viene dado por: A λ Id = λ λ λ = λ3 + 3λ 3λ + = (λ ) 3 = Como los autovalores de A son las soluciones del polinomio característico, estos son: λ = con multiplicidad 3 Esto implica que el autovalor λ = es un autovalor triple Calculemos ahora los autovectores de A: autovectores asociados al autovalor λ = : Para ello, resolvemos el sistema: (A Id) v = x x x 3 =, que es equivalente a: x + x + x 3 = x 3 = x x x 3 = { x + x = x 3 = Observemos que en este caso tenemos un único autovector asociado: v = Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 3 Curso 3/4

14 57 Diagonalización de matrices Dos matrices A y B se llaman semejantes si están relacionadas por la igualdad A = P B P, donde P es una matriz llamada matriz de paso Nuestro objetivo es saber si una matriz A es semejante a una matriz diagonal D, es decir, si existe una matriz P invertible tal que A = P D P En ese caso, se dice que A es una matriz diagonalizable Observemos que no todas las matrices son diagonalizables Teorema: Una matriz cuadrada A de dimensión n es diagonalizable si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes Además, la matriz diagonal D es la matriz de autovalores en la diagonal, y la matriz P es la matriz de los autovectores (escritos en columna) en el mismo orden que aparecen los autovalores en D Consecuencias: Si una matriz sólo posee autovalores simples, siempre es diagonalizable Si una matriz posee autovalores múltiples, la multiplicidad del autovalores debe ser igual al número de autovectores asociados a dicho autovalor Una condición para comprobar este caso es: Terorema: Sea λ un autovalor múltiple de grado de multiplicidad r Entonces, si n rg(a λ Id) = r, la matriz A es diagonalizable Nota 57 Los ejemplos 56 y 563 son diagonalizables El Ejemplo 564 no es diagonalizable Ejercicio 57 Comprobar que la matriz del Ejemplo 563 es diagonalizable, calcular su matriz de paso P y la igualdad A = P DP Sol: Las matrices asociadas son: D = 3, P = y P = Potencia de una matriz cuadrada diagonalizable Sea A una matriz cuadrada diagonalizable, entonces A = P DP La potencia m de A viene dada por la expresión: A m = P DP P DP P DP (m veces) = P D m P, λ m donde D m = λ m λ m n Ejercicio 573 Calcula la potencia de la matriz A = Sol: A = P D P con D = 4 4 y P = Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 4 Curso 3/4

15 Teorema de Caley-Hamilton: Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica Es decir, si la ecuación característica de A es p(λ) =, entonces p(a) = Ejercicio 574 Comprueba el Teorema de Caley-Hamilton para la matriz ( 5 5 ) Dpto Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 5 Curso 3/4

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