5.7 Serie de Fourier en medio intervalo 415

Transcripción

1 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo Serie de Fourier e medio itervlo Serie de Fourier de coseos E ls seccioes teriores se d or hecho que l fució está defiid e u itervlo que su orige está ddo e su uto medio o se que < x <, es decir que su eriodo es igul, si embrgo uede ser itereste exresr e térmios de fourier u fució que esté defiid < x <, es decir sólo l mitd del itervlo, l cul se uede relizr de diverss mers, or ejemlo defiiedo de mer rbitrri l fució e el itervlo < x< Siedo y = f( x), l cul está defiid e el itervlo < x <, se uede hcer refereci tres csos: Reflejdo l gráfic de l fució resecto l eje verticl, e < x<, covirtiédol e fució r, e el itervlo de < x<. Como se muestr e l figur 5.7. f(x) f(-x) f(x) x Figur 5.7. Reflexió r de f ( x ) Reflejdo l gráfic resecto l orige e el itervlo < x<, covirtiédol e fució imr, e el itervlo de < x<. Como se muestr e l figur Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

2 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 46 f(x) f(x) 4 4 x -f(x) Figur 5.7. Reflexió imr de f ( x ) Defiiedo l fució f e < x< como f ( x) = f( x+ ), como se muestr e l figur f(x) f(x+) f(x) 5 4 x Figur Reflexió de mitd de eriodo f ( x) = f( x+ ) E l defiició de serie de Fourier de fucioes res o imres, solo se utiliz l mitd del itervlo, es decir de < x <, or lo tto e l ráctic o hy ecesidd de reflejr l fució hciédol r o imr, si se defie l fució e l mitd del itervlo rtir del orige. A esto se le cooce como desrrollos e mitd del itervlo. [3] Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

3 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 47 Suoiedo que se tiee l fució f ( x ) cotiu or rtes defiid e el itervlo (, ), etoces itetremos costruir l serie de coseos de Fourier de f, r lo cul defiiremos l extesió eriódic r de f ( x ). [] Se defie e rimer istci l fució e el itervlo de [, ] r de f ( x ) dd or, medite su extesió f ( x) ( ) ( ) f x x = f x x () Observemos hor que f ( x) es u fució r e [, ], y extedemos f ( x) itervlo [, ], origido que f ( x) mer que l serie de Fourier de l fució f ( x) se todo el se u fució eriódic, de eriodo, de tl o f π ( x) = + cos x = co = f ( x ) dx () = f ( x) cos x dx (3) Ddo que f ( x) es u fució r o teemos térmios seoidles, ero el que se r imlic que de cuerdo ( de l secció 5.6. = f ( xdx ) = ( ) f ( xdx ) o bie 3) = f( x) dx (4) Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

4 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 48 y = f ( x) cos x dx (5) serie de Fourier de coseos de f e u itervlo de [, ] es l serie f ( x) x (6) = + cos = De igul mer, suoiedo que se tiee l fució f ( x ) cotiu or rtes defiid e el itervlo (, ), se uede itetr costruir l serie de Fourier de seos de f, r lo cul defiiremos l extesió eriódic imr f ˆ( x ) de ( ) Se defie e rimer istci l fució e el itervlo de [, ] imr de f ( x ) f x e el itervlo [, ]., medite su extesió fˆ ( x) ( ) ( ) f x x = f x x (7) Observemos hor que ˆf ( x ) es u fució imr e [, ], y extedemos ˆf ( ) el itervlo [, ], origido que ˆf ( ) tl mer que l serie de Fourier fució ˆf ( x ) se x todo x se u fució eriódic, de eriodo, de ˆ( f x ) = b se x = co b = fˆ( x ) se x dx (8) Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

5 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 49 Ddo que ˆf ( x ) es u fució imr o teemos térmios coseoidles, ero el que se imr imlic que de cuerdo ( 3 ) y ( 4 ) de l secció 5.6. ˆ ( ) ˆ b = f xse x dx f( xse ) x dx = serie de seos de Fourier de f e u itervlo de [, ] es l serie f ( x) = b se = (9) co b = f( x) se x dx () Ejemlo 5.7. Suog que f ( t) seos de Fourier r f. figur os muestr ls extesioes r e imr de f ( t) = t, r < t <. Determir l serie de coseos y = t f(-t) f (t) f (t).5 t t -f(-t) Figur Extesió eriódic r e imr de f ( t) = t Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

6 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 4 Pr determir l serie de coseos teemos corde co (6), f ( x) = + cos x = Dode los coeficietes está ddos or = f( x) dx y segú (4), = tdt t =, o bie = f( x) cos x dx, = () Segú (5), = tcos t dt Hciedo u = t, or lo que du = dt Hciedo dv = cos t dt, etoces v se t = De tl mer que = tse t se t dt Resultdo = tse t cos t + Sustituyedo los límites de l itegrl, obteemos = se cos se cos + + = π Simlificdo cos( ) O bie ( ) ( ) ( ) Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

7 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 4 4 imr = π r () De tl mer que l serie de coseos de Fourier serí 4 π 3π 5π f ( t) = cos t cos t cos t... π (3) Pr determir l serie de seos de Fourier, os bsmos e l ecució (). b = tse t dt Hciedo u = t, or lo que du = dt Hciedo dv = se t dt, etoces v cos t = De tl mer que b = tcos t cos t dt + Resultdo b = cos t se t t + Sustituyedo los límites de l itegrl, obteemos b = cos se cos se + + Simlificdo b cos ( ) ( π) ( π) ( ) ( ) =, o bie ( ) b =, resultdo b ( ) + = (4) Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

8 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 4 Y dd l ecució (9), f ( x) = b se x = Teemos que l serie de seos de Fourier serí ( ) ( ) + f x = se t π = Desrrolldo l serie π π 3π f ( x) = se t se t se t... π + 3 (5) Ejemlo 5.7. Siedo coseos. f( t ) =, e el itervlo < t < determir l serie de seos y Pr determir l serie de coseos teemos corde co (6), f ( x) = + cos t = t, o bie Dode los coeficietes está ddos segú (4) or = () dt = [] = (6) Segú (5), = () cos t dt De tl mer que = s e t, sustituyedo los límites de l itegrl = se se ( ) ( ) = (7) Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

9 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 43 = π Simlificdo cos( ) De tl mer que l serie de coseos de Fourier serí f() t = = (8) Pr determir l serie de seos de Fourier, os bsmos e l ecució (). b = () se t dt De tl mer que b = os c t Sustituyedo los límites de l itegrl, obteemos b = cos cos + ( ) Simlificdo b ( ) = cos +, o bie b ( ) + = + (9) De tl mer que 4 imr b r Y dd l ecució (9), f () t = b se t = Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

10 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 44 f () t = b se t = Teemos que l serie de seos de Fourier desrrolld serí 4 π 3π 5π f ( t) = se t se t se t... π () Ejemlo Determir l serie de seos y coseos de Fourier r f ( t ) = t itervlo < t <. [5] e el figur muestr ls extesioes r e imr de f ( t) = t f(t) f(t) f(-t) f (t) -f(-t) f (t) t t 5 Figur Extesioes r e imr de f ( t) = t Pr determir l serie de coseos, dode los coeficietes está ddos or Segú (4), = f( x) dx y = f( x) cos x dx, sí Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

11 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 45 ( ) t, o bie = t dt = t = ( ) ( ) = () Segú (5), ( ) = t cos t dt Dode = se t tcos t d t Hciedo u = t, or lo que du = dt Hciedo dv = cos t dt, etoces v= se t De tl mer que = se t tse t se t dt Resultdo = se t tse t cos t + Sustituyedo los límites de l itegrl, obteemos 4 4 = se ( ) se ( ) cos ( ) π 4 se( ) ( ) se ( ) cos ( ) π Simlificdo 4 4 π π = cos( ) +, sí = ( ) 4 π r Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

12 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 46 O bie 4 imr = π r () De tl mer que l serie de coseos de Fourier serí = +, de tl mer que f () t cos t = f ( t ) cos π... t 9 cos π t 5 cos π π t = (3) Pr determir l serie de seos de Fourier, teemos que = b se t = f () t = t se t dt, or lo que, dode b ( ) b = se t dt tse t dt Hciedo u = t, or lo que du = dt Hciedo dv = se t dt, etoces v= cos t De tl mer que b = e t dt tse t s π dt, itegrdo b = cos t tcos t cos t dt + Resultdo b = os t tcos t se t c + Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics

13 5.7 Serie de Fourier e medio itervlo 47 Sustituyedo los límites de l itegrl, obteemos b = cos ( ) ( ) cos ( ) se ( ) + cos π ( ) ( ) cos π ( ) se π + ( ) Simlificdo b = cos cos se cos + + ( π ) ( ) ( π ) ( π ) ( ) b = c +, filmete Resultdo os( ) b = ( ) + (4) O bie b 4 r = imr r (5) Y dd l ecució (9), f ( x) = b se x = Teemos que l serie de seos de Fourier serí f () t = + ( ) se t π = Desrrolldo l serie f ( t ) se ( π t ) ( ) ( 3 )... se π t 3 se π π t = (6) Istituto Tecológico de Chihuhu / C. Básics