EJERCICIOS SOBRE VECTORES

Transcripción

1 EJERCICIOS SOBRE VECTORES 1) Dados los puntos A = ( 2, 1,4) ( 3,1, 5) uuu vecto AB B =, calcula las componentes del 2) Dados los puntos A = ( 2, 1,4), B = ( 3,1, 5) ( 4,2, 3) C =, detemina las uuu uuu coodenadas del punto D si los vectoes AB CD son equipolentes 3) Si u ( 3,5,1) v( 7,4, 2), halla las coodenadas de los siguientes vectoes: a) 2u b) 0v c) u d) 2u+ v 4) Dados los vectoes u u (3,3,2), v(5, 2,1) (1, 1,0) : u u a) Halla los vectoes u 2v+ 3, 2u+ v 4 u b) Calcula a b tales que u = av+ b e) u v f) 5u 3v 5) Detemina el módulos de los vectoes u ( 3,1, 2) 1 v,2, 3 2 6) Compueba si el vecto v 1 1,0, es unitaio 2 2 7) Sean los vectoes x( 1, 5,2), ( 3,4, 1), z ( 6,3, 5) u u b c paa que se cumpla que ax+ b+ cz = u u ( 24, 26, 6) Halla a, 8) Dados los vectoes u ( 2, 3,1), v( 1,0,2) opeaciones expesadas con componentes: a) u + v u b) u+ u c) u+ v+ u d) v u e) u+ 4 u 1,1,3 2, efectúa las siguientes f) 2u 3v g) 2u+ 3v u h) 4( v+ ) 3u u 1 7 u u v 3 i) ( ) ( ) 9) Dados los vectoes u ( 1,3, 2) de los vectoes siguientes:, v( 1,2,5) u ( 0,4, 3), hallas las componentes

2 u a) x= u+ 2v 3 u 1 1 b) = u+ v u c) z = 2u v ) Escibe tes combinaciones lineales distintas con los vectoes ( 2,0,3) u v ( 1,1,0) ( 0, 5,2) u, 11) Dados los vectoes u ( 1,5, 2), v ( 4,0, 9), ( 0, 1,6), x ( 13,3, 17) u ( 2, 10, 5), expesa: a) x como combinación lineal de u, v u b) u como combinación lineal de u v c) u como combinación lineal de u v u e 12) Cuáles de los siguientes vectoes tienen la misma diección? a ( 1, 3,2) b ( 2,0,1) c ( 2,6, 4) u d ( 5, 15,10) e ( 10, 30,5) 13) Estudia la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectoes: u { u 1,2,3, v 1,4,11, u 1,1, 1, x 0,1,4 { u 1,1,0, v 1,0,1, u 5,2,3 { u 1,0,0, v 0,1,0, u 0,0,1 { u 1,1,0, v 1,0,1, u 0,1,1 { u 1, 2,4, v 0,2,1, u 1, 3,0 { u 1,0,2, v 2,0, 4, u 3, 1,5 a) u ( 1,2,1 ), v ( 1,0,3, ) ( 1,2, 1) b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( ) g) ( ) ( ) ( ) 14) Detemina k paa que los siguientes conjuntos de vectoes sean linealmente dependientes: a) u( k, 3,2), v( 2,3, k), ( 4,6, 4) b) u ( 3,2,5), v u ( 2,4,7), ( 1, 1, k) u 15) Paa qué valoes de a el conjunto de vectoes S ( 1,1,1 ),( a,1,1 ),1, ( a,0) una base? = es

3 16) Razona po qué los vectoes x( 2, k,3), ( 3, 2, k) z ( 1,1, 1) u son linealmente independientes paa cualquie valo de k 17) Compueba que no es posible expesa el vecto x(3, 1,0) como combinación lineal de u(1,2, 1) v(2, 3,5) Son linealmente independientes x, u v? 18) Compueba que cualquiea de los vectoes a (1,2,3), b (2,1,3), c (1,0,1) puede expesase como C L de los otos dos 19) Consideamos el espacio vectoial son base? 3 Cuáles de estos conjuntos de vectoes u 1 3 u 1,2, 3, v 2, 4,6,,1, = = = 2 2 { u 2,3, 1, v = = 4,6, 2, u = 1,2,4 { u 1,0, 2, v 2, 1,1, u = = = 4, 1, 3 { u 3,1, 1, v = = 1,0,2, u = 2,5,3 { u 3,5, 1, v = = 1,2, 1, u = 0,1,1 { u 2,0,0, v 0,1,0, u = = = 0,0, 3 { u 2,0,0, v = = 3,1, 1, u = 3,0,1 u 1,1,1, v = = 1, 1,0, u = 0, 1,1 a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( ) g) ( ) ( ) ( ) h) ( ) ( ) ( ) u 20) Halla, en cada caso, todos los valoes de m, n p tales que mu+ nv+ p = 0 : a) u u (3,0,1), v(1, 1,0) (1,0,1) b) u(1, 1,0), v u (1,1,1) (2,0,1) 21) *Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectoes: a) u u (1,2,1), v( 1,0,3) (1,2, 1) b) u (1,2,3), v u (1,4,11), (1,1, 1) c) u (1,1,0), v u (1,0,1) (5,2,3) x( 0,1,4) 22) *Detemina k paa que los siguientes conjuntos de vectoes sean linealmente dependientes: a) uk (, 3,2) b) u (3,2,5), (2,4,7) u, v(2,3, k) (4,6, 4) v u (1, 1, k)

4 23) * Cuáles de los siguientes conjuntos de vectoes son una base? a) A = ( 1,2,1 ),1,0,1 ( ),( 2,2,2) b) B = ( 1,1,1 ),1,0,1 ( ),1,1,0,0,0,1 ( ) ( ) 24) Halla k paa que el vecto u ( 3, 4,1) v u ( 1,2,0) ( 2, k,1) una base de 3? sea combinación lineal de los vectoes u uv,, constitue Paa qué valoes de k el conjunto 25) Dados los vectoes a = ( 1,0,1), b = ( 1, 1,4) siguientes poductos escalaes: a) ab b) ac c) a ( b+ c) a 2b c d) ( ) c( 1, 1, 2) 26) Detemina el ángulo que foman los siguientes paes de vectoes: a) u = ( 1, 1,0), v = ( 3,3,1) b) u = ( 0, 2,1), v = ( 3,1,4) c) u = ( 1, 1,2), v = ( 3,2,1) ealiza los 27) Dados los vectoes u = ( 1,2,2) a) u v b) u c) v v = ( 4,5, 3), calcula: d) Ángulo que foman u v e) La poección de v sobe u 28) Dados los vectoes a= i+ mj+ k b= 2i+ 4j+ mk, halla m paa que los vectoes a b sean: a) Paalelos b) Otogonales 29) Dados los vectoes u = 2i j+ k v = + i 3j+ 2k, compueba que los vectoes u v v u son opuestos halla su módulo 30) Halla el áea del paalelogamo que foman los vectoes u = ( 7, 1,2) v = ( 1,4, 2)

5 31) Halla un vecto pependicula a u = ( 2,3,1) 32) En una base otonomal tenemos a ( 1,2,2) b( 4,5, 3) a) ab b) ab a v = ( 1,3,0), que sea unitaio Calcula: c) ( ab, ) d) La poección de b sobe a 33) Dados los vectoes a= i+ mj+ k b= 2i+ 4j+ mk, halla m paa que los vectoes a b sean: a) Paalelos b) Otogonales 34) Halla la poección del vecto u = ( 3,1,2) sobe el vecto v = ( 1, 1,2) 35) Son a = ( 1,2,3) b = ( 2, 2,1) foman otogonales? Si no lo son, halla el ángulo que 36) Calcula m paa que el vecto a= ( 1,3, m) sea otogonal al vecto b = ( 1, 2,3) ) Compueba que el vecto u =,,0 no es unitaio da las coodenadas de 2 2 un vecto unitaio de la misma diección que u 38) Dados u = 2i j+ k v = + i 3j+ 2k, compueba que los vectoes u v v u son opuestos, halla su módulo 39) Halla el áea del paalelo amo que foman los vectoes a = ( 7, 1,2) b = ( 1,4, 2) 40) Halla un vecto pependicula a u = ( 2,3,1) a v = ( 1,3,0) que sea unitaio 41) Halla un vecto otogonal a u = ( 1, 1,0) 24 u 42) Halla uv,, en los siguientes casos: a) u(1, 3,2), v(1,0, 1) u (2,3,0) a v = ( 2,0,1) cuo módulo sea

6 b) u u (3,2,1), v(1, 2,0) ( 4,1,1) c) u(1,2, 1), v u (3,0,2) ( 1,4, 4) 43) *Calcula el volumen del paalelepípedo deteminado po u (1,2,3), v( 2,1,0) u = u v 44) Calcula el volumen del paalelepípedo deteminado po a(3, 1,1) c(2,1, 4) 45) *Calcula el valo de m paa que u(2, 3,1), v(1, m,3) coplanaios, b (1,7,2) u ( 4,5, 1) sean 46) *Pueba que los vectoes (1, a, b), (0, 1, c), (0, 0, 1) son linealmente independientes cualesquiea que sean a, b c 47) Dados los vectoes a(1,2, 1) b (1,3,0), compueba que el vecto a b pependicula a a+ b a a b 48) *Dados los vectoes uu (2,0,0) 1, u uu 2 (0,1, 3) u3 = au1+ bu2 deben cumpli a b paa que u uu 3 sea otogonal al vecto v (1,1,1)? es uu u uu, qué elación 49) Calcula las coodenadas de un vecto u que sea otogonal a v (1,2,3) u u (1, 1,1) tal que uv,, = 19 50) Obtén λ paa que los siguientes vectoes sean linealmente dependientes: uu (3,2,5) 1, uuu (2,4,7) 2 u uu 3 ( 1, 3, λ ) Paa λ = 3, expesa el vecto v ( 7,3,15) como combinación lineal de u u 1, u uu 2 u uu 3 51) Dados los vectoes ua (,1 + a,2 a), va (,1, a) u (1, a,1), se pide: a) Halla los valoes de a paa los que los vectoes u, v u son linealmente dependientes b) Estudia si el vecto c ( 3,3,0) depende linealmente de u, v u paa el caso a = 2 c) Justifica azonadamente si paa a = 0 se cumple la igualdad u u v = ( ) 0